2019届二轮复习（理）第一部分方法、思想解读第4讲　从审题中寻找解题思路课件（37张)

2019届二轮复习（理）第一部分方法、思想解读第4讲　从审题中寻找解题思路课件（37张)

第 4 讲　从审题中寻找解题思路 - 2 - 审题亦即提取有效信息 , 挖掘隐含信息 , 提炼关键信息 . 条件是题目的 “ 泉眼 ” . 为考察学生的观察、理解、分析、推理等能力 , 高考试题往往变换概念的表述形式 , 精简试题从条件到结论的中间环节 , 透析试题的条件之间的联系 , 隐去问题涉及的数学思想及背景 . 如何科学地审题是同学们最需要掌握的基本技能 . 事实上 , 审题能力的培养并未引起应有的重视 , 很多同学热衷于题型的总结与解题方法和技巧的训练 , 把数学学习等同于解题训练 , 一味地机械模仿导致应变能力不强 , 遇到陌生的问题往往束手无策 , 致使解题失误或陷入误区 . - 3 - 审题和解题是解答数学试题的重要两步 , 其中 , 审题是解题的前提 , 详细全面地审题为顺利解题扫除大部分障碍 , 正确把握数学试题中的已知条件和所求 , 从题目关键词语中挖掘隐含条件、启发解题思路 , 最短时间内理解条件和结论所包含的详细信息是保障解题效率与解题质量的必需条件 . 解题作为审题活动的升华 , 是全面解答数学试题的核心 . - 4 - 怎样才算审清题意了呢 ? 主要是弄清题目已经告诉了什么信息 , 需要我们去做什么 , 从题目本身获取 “ 如何解这道题 ” 的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与目标之间联系的更多信息 . 试题的条件和结论是两个信息源 , 为了从中获取尽可能多的信息 , 我们要字斟句酌地分析条件、分析结论、分析条件与结论之间的关系 , 常常还要辅以图形或记号 , 以求手段与目标的统一 . - 5 - 一、审清条件信息 审视条件一般包括 “ 挖掘隐含信息、洞察结构特征、洞悉图形趋势、研读图表数据 ” 等几方面 . 审题时要避开过去熟悉的同类题目的影响 , 看似相同 , 就按过去同类型题目进行求解 , 要审出同还是不同 , 不能似是而非 . - 6 - 例 1 (1) 若直线 y=kx+b 是曲线 y= ln x+ 2 的切线 , 也是曲线 y= ln( x+ 1) 的切线 , 则 b= 　　　　　 .  答案 : (1)1 - ln 2 　 (2)60° 　 (1) 审题指导一 直线 y=kx+b 是两条曲线的切线 , 但从已知中看不出它们的切点相同 , 所以应分别设出切点坐标 . 审题指导二 曲线 y= ln x 上的所有点向上平移 2 个单位长度得到曲线 y= ln x+ 2, 曲线 y= ln x 上的所有点向左平移 1 个单位长度得到曲线 y= ln( x+ 1 ) . - 7 - (2) 审题指导一 先作出草图了解题意 , 由 △ ADC 的面积为 3 - → DC → DB → BC. 在 △ ADC 中 , 由余弦定理得 AC , 在 △ ABD 中 , 由余弦定理得 AB , 在 △ ABC 中 , 由余弦定理得 ∠ BAC. 审题指导二 考虑已知的条件 ∠ ADB= 120°, AD= 2, S △ ADC = 3 - , 作 AE ⊥ BC , 在 Rt △ DAE 中易得 AE , DE , 由 S △ ADC 易得 DC , 从而得 BC ; 分别在 Rt △ AEC ,Rt △ AEB 中由勾股定理易得 AC , AB , 这样由余弦定理得 ∠ BAC. 审题指导三 在审题指导二得出 AE , DE , BE 后 , 如能及时审视出 AE=BE , 则有 ∠ EAB= 45°, 在 Rt △ AEC 中易求 tan ∠ EAC , 从而利用 tan ∠ BAC= tan(45° + ∠ EAC ) 得出 ∠ BAC. - 8 - - 9 - ∴ b= ln x 0 + 1 = 1 - ln 2 . - 10 - - 11 - ( 法二 ) 如图 , 作 AE ⊥ BC , 由 ∠ ADB= 120°, AD= 2 , - 12 - ( 法三 ) 如上图 , 作 AE ⊥ BC , 由 ∠ ADB= 120°, AD= 2 , - 13 - 二、审条件中的隐含 有的数学试题条件并不明显 , 审题时要注意挖掘隐含条件和信息 , 对条件进行再认识、再加工 , 只有这样 , 方可避免因忽视隐含条件而出现错误 . 要注意已知条件中的概念本身容易疏忽的限定信息 , 关注问题中易于疏忽的特殊情形、可能情形 , 相近概念之间的差异 , 要清晰定理成立、公式存在的前提 . - 14 - 例 2 (1) 若钝角三角形三内角的度数成等差数列 , 且最大边长与最小边长的比值为 m , 则 m 的取值范围是 ( 　　 ) A . (1,2) B . (2, +∞ ) C . [3, +∞ ) D . (3, +∞ ) (2) 设点 P 在曲线 y= e x 上 , 点 Q 在曲线 y= ln(2 x ) 上 , 则 |PQ| 的最小值为 ( 　　 ) 答案 : (1)B 　 (2)B 　 - 15 - (1) 审题指导 由三角形三内角 A , B , C 的度数成等差数列 , 可以立即得到 B 的度数 , B= 60° . 设三角形的三个内角为 A , B , C , 其中 A 为钝角 , (2) 审题指导 认真观察曲线 y= e x 与曲线 y= ln(2 x ) 的方程 , 一个是指数型 , 一个是对数型 , 这两个函数有怎样的关系哪 ? 不难发现它们互为反函数 . - 16 - 解析 : (1) 设 △ ABC 的三边分别为 a , b , c , 且 a>b>c. 因为 △ ABC 为钝角三角形且三内角的度数成等差数列 , 所以 B= 60°, 且 A> 90° . 所以 0° 0 时 , f' ( x ) = 4 x- e x , 作 y= 4 x 与 y= e x 的图象如图所示 , 故存在实数 x 0 ∈ (0,1), 使得 f' ( x 0 ) = 0, 则当 x ∈ (0, x 0 ) 时 , f' ( x 0 ) < 0, 当 x ∈ ( x 0 ,2) 时 , f' ( x 0 ) > 0, 所以 f ( x ) 在 (0, x 0 ) 内单调递减 , 在 ( x 0 ,2) 内单调递增 , 又 f (2) = 8 - e 2 ≈8 - 7 . 4 = 0 . 6, 故选 D . - 24 - 五、审图表数据找关联 数据分析素养是数学学科核心素养之一 . 此类问题关注现实生活 , 其试题中的图表、数据隐藏着丰富的数据和信息及其内在联系 , 也往往暗示着解决问题的目标和方向 , 要求考生发现生活中的问题 , 学着运用课堂上学到的知识来分析、解决 . 在审题时 , 要认真观察分析图表、数据的特征和规律 , 找到其中的内在联系 , 为解决问题提供有效的途径 . - 25 - 例 5 某公司计划购买 1 台机器 , 该种机器使用三年后即被淘汰 . 机器有一易损零件 , 在购进机器时 , 可以额外购买这种零件作为备件 , 每个 200 元 . 在机器使用期间 , 如果备件不足再购买 , 则每个 500 元 . 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件 , 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 , 得下面条形图 . 记 x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 , y 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用 ( 单位 : 元 ), n 表示购机的同时购买的易损零件数 . - 26 - (1) 若 n= 19, 求 y 与 x 的函数解析式 ; (2) 若要求 “ 需更换的易损零件数不大于 n ” 的频率不小于 0 . 5, 求 n 的最小值 ; (3) 假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件 , 或每台都购买 20 个易损零件 , 分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 , 以此作为决策依据 , 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件 ? - 27 - 审题指导 把统计与函数结合在一起进行考查 , 有综合性但难度不大 . (1) 当 n= 19 时 , 探求 y 与 x 的函数解析式 , 由于机器使用前额外购买这种零件的价格与机器使用期间再购买这种零件的价格不同 , 需对 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数 x 与购机的同时购买的易损零件数 n= 19 加以比较 , 自然应用分类讨论思想对 x ≤ 19 与 x> 19, 分别探求 y 与 x 的函数解析式 ; (2) 本题的统计图表不是高频考查的频率分布直方图 , 而是统计图表中的条形图 ; (3) 许多考生没有读懂题意 , 本问是判断购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件 , 而判断的决策依据是 : 这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 , 为此需计算两种方案时的平均数 . 每一种方案 , 如何求解其平均数呢 ? 自然借助于条形图 ! - 28 - 解 : (1) 当 x ≤ 19 时 , y= 3 800; 当 x> 19 时 , y= 3 800 + 500( x- 19) = 500 x- 5 700 . 所以 y 与 x 的函数解析式为 (2) 由条形图知 , 需更换的零件数不大于 18 的频率为 0 . 46, 不大于 19 的频率为 0 . 7, 故 n 的最小值为 19 . - 29 - (3) 若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件 , 则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3 800,20 台的费用为 4 300,10 台的费用为 4 800, 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 为 ( 3 800 × 70 + 4 300 × 20 + 4 800 × 10) = 4 000 . 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件 , 则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4 000,10 台的费用为 4 500, 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 为 ( 4 000 × 90 + 4 500 × 10) = 4 050 . 比较两个平均数可知 , 购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件 . - 30 - 六、审结论善转换 结论是解题的最终目标 , 解决问题的思维在很多情形下都是在目标意识下启动和定向的 . 审视结论是要探索已知条件和结论间的联系与转化规律 , 可以从结论中捕捉解题信息 , 确定解题方向 . 有些问题的结论看似不明确或不利于解决 , 我们可以转换角度 , 达到解决问题的目的 . - 31 - 例 6 如 图 , 在以 A , B , C , D , E , F 为顶点的五面体中 , 面 ABEF 为正方形 , AF= 2 FD , ∠ AFD= 90°, 且二面角 D-AF-E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ° . (1) 证明平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC ; (2) 求二面角 E-BC-A 的余弦值 . 审题指导 本题第 (1) 小题要证明平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC , 只需证明 AF ⊥ 平面 EFDC ; 第 (2) 小题要求二面角 E-BC-A 的余弦值 , 只需探求半平面 BCE 与半平面 BCA 的法向量 , 为此需建立适当的空间直角坐标系 , 利用向量求解 . - 32 - (1) 证明 : 由已知可得 AF ⊥ DF , AF ⊥ FE , 所以 AF ⊥ 平面 EFDC. 又 AF ⊂ 平面 ABEF , 故平面 ABEF ⊥ 平面 EFDC. (2) 解 : 过 D 作 DG ⊥ EF , 垂足为 G , 由 (1) 知 DG ⊥ 平面 ABEF. 由 (1) 知 ∠ DFE 为二面角 D-AF-E 的平面角 , 由已知 , AB ∥ EF , 所以 AB ∥ 平面 EFDC. 又平面 ABCD ∩ 平面 EFDC=CD , 故 AB ∥ CD , CD ∥ EF. - 33 - 由 BE ∥ AF , 可得 BE ⊥ 平面 EFDC , 所以 ∠ CEF 为二面角 C-BE-F 的平面角 , ∠ CEF= 60° . - 34 - 七、审已知与结论建联系 高考试题的条件和结论是两个信息源 , 其条件和结论 , 很多都是以数式的结构形式进行搭配和呈现的 . 弄清问题不仅要弄清条件 , 弄清结论 , 而且还要弄清条件与所求结论的相互联系 , 以求手段与目标的统一 . - 35 - 答案 解析 解析 关闭 答案 解析 关闭 - 36 - - 37 - 1 . 试题的条件和结论是解题的两个信息源 , 题目的条件对于得出结论是充分的 , 解题的钥匙就放在题目的条件里 , 其中的许多信息常常是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们 , 所以 , 审题要逐字逐句看清楚 , 力求从语法结构、逻辑关系、数字含义、条件特征、答题形式、数据联系等各方面真正弄懂题意 . 只有细致审题才能挖掘出来 , 让其 “ 现出原形 ”, 避免发生会而不对、对而不全的现象 . 欲速则不达 , 磨刀不误砍柴工 , 审题不要怕慢 ! 当然这有待于平时的审题训练 . 2 . 审题决定成败 . 审题是解题的一个重要步骤 , 通过审题收集信息、加工信息 , 熟悉题目并深入到题目内部去思考 , 去分析 , 我们就会找到问题解决的突破口 . 审题是通向成功的起点 , 也是成功的归宿 .