【数学】2018届一轮复习人教A版空间几何体的表面积和体积学案

【数学】2018届一轮复习人教A版空间几何体的表面积和体积学案

专题39空间几何体的表面积和体积 ‎ ‎ ‎ 1.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．‎ ‎ ‎ ‎1.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ 高频考点一　求空间几何体的表面积 例1、(1)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)‎ A．1＋ B．1＋2 C．2＋ D．2 ‎(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r等于(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎(3)一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ ‎【答案】　(1)C　(2)B　(3)12‎ ‎ (3)设正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.‎ 由题意，得×6××2××h＝2，‎ ‎∴h＝1，‎ ‎∴斜高h′＝＝2，‎ ‎∴S侧＝6××2×2＝12. ‎ ‎【感悟提升】空间几何体表面积的求法 ‎(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．‎ ‎(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．‎ ‎(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．‎ ‎【变式探究】(2016·全国Ⅲ卷)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ A.18＋36 B.54＋18 C.90 D.81‎ ‎【答案】　B 高频考点二　求空间几何体的体积 例2、(1)(2016·山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋π B.＋π C.＋π D.1＋π ‎(2)正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)‎ A.3 B. C.1 D. ‎【答案】　(1)C　(2)C ‎【变式探究】(2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　D ‎【解析】　如图，‎ 由题意知，该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ‎＝＝.选D.‎ 高频考点三　求简单几何体的体积 例3、在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D．2π ‎【答案】　C ‎ ‎ 该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C. ‎ ‎【变式探究】(1)一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于(　　)‎ A. B. C．36π D. ‎(2)如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】　(1)B　(2)A ‎【解析】　(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，高为12，如图所示，‎ 其中AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，则AB＝10.‎ 由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大．‎ 即r＝＝2，故能得到的最大球的体积为πr3＝×8＝，故选B.‎ ‎【感悟提升】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ 高频考点四　与球有关的切、接问题 例4、已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为(　　)‎ A. B．2 C. D．3 ‎【答案】　C ‎【解析】　如图所示，由球心作平面ABC的垂线，‎ 则垂足为BC的中点M.‎ 又AM＝BC＝，‎ OM＝AA1＝6，‎ 所以球O的半径R＝OA＝＝.‎ ‎【感悟提升】空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎【变式探究】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为(　　)‎ A. B．1‎ C. D. ‎【答案】　C ‎ ‎ ‎∴()2＋()2＝1，即x＝，则AB＝AC＝1，‎ ‎∴S矩形ABB1A1＝×1＝.‎ ‎1. 【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎ 2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎ 3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）‎ A. ‎ B. C.D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥，其体积，故选A.‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C）90 （D）81‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积 ‎，故选B．‎ ‎5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎ 6.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为，底面边长为，2,2，所以，该三棱锥的体积为.‎ ‎7.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 1.【2015高考陕西，理5】一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图知：该几何体是半个圆柱，其中底面圆的半径为，母线长为，所以该几何体的表面积是，故选D．‎ ‎2.【2015高考新课标1，理11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16 + 20，则r=（ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）4 （D）8‎ ‎【答案】B ‎ 3.【2015高考重庆，理5】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，，选A.‎ ‎4.【2015高考北京，理5】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．5‎ ‎【答案】C ‎ 5.【2015高考安徽，理7】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）‎ ‎ （A） （B）‎ ‎ （C） （D）‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ 6.【2015高考新课标2，理9】已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )‎ A．36π B.64π C.144π D.256π ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．‎ ‎7.【2015高考山东，理7】在梯形中，， .将梯形绕所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】C ‎ 8.【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】由题意得，该几何体为一立方体与四棱锥的组合，如下图所示，∴体积，‎ 故选C. ‎ ‎1．（2014·湖南卷）一块石材表示的几何体的三视图如图12所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于(　　)‎ 图12‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B　‎ ‎ 2．（2014·全国卷）正四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)‎ A. B．16π C．9π D. ‎【答案】A　‎ ‎【解析】如图所示，因为正四棱锥的底面边长为2，所以AE＝AC＝.设球心为O，球的半径为R，则OE＝4－R，OA＝R，又知△AOE为直角三角形，根据勾股定理可得，OA2＝OE2＋‎ AE2，即R2＝(4－R)2＋2，解得R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝4π×＝.‎ ‎3．（2014·陕西卷）已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为(　　)‎ A. B．4π C．2π D. ‎【答案】D　【解析】设该球的半径为R，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2R)2＝()2＋12＋12，解得R＝1，所以该球的体积为V＝πR3＝π.‎ ‎4．(2013年高考重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.　　　B.　　　C．200　　　D．240‎ ‎【答案】：C ‎ 5.(2013年高考广东卷)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是(　　)‎ A．4　　　　　 B. C.　　　　　 D．6‎ ‎【答案】：B ‎【解析】：由四棱台的三视图可知，台体上底面积S1＝1×1＝1，下底面积S2＝2×2＝4，高h＝2，代入台体的体积公式V＝(S1＋＋S2)h＝×(1＋＋4)×2＝.‎ ‎6.(2013年高考全国新课标卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A．16＋8π B．8＋8π ‎ C．16＋16π D．8＋16π ‎【答案】：A ‎ 7.(2013年高考陕西卷)某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________．‎ ‎【答案】：3π ‎【解析】：由三视图可知，该几何体为半径r＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S＝πr2＋2πr2＝3π. ‎ ‎1.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则主视图中的x的值是(　　)‎ A.2 B. C. D.3‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是直角梯形，且S底＝(1＋2)×2＝3.∴V＝x·3＝3，解得x＝3. ‎ ‎2.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(　　)‎ A.1＋ B.2＋ C.1＋2 D.2 ‎【答案】　B 故△SAB与△SBC均是边长为的正三角形，故该四面体的表面积为2×××＋2××()2＝2＋.‎ ‎3.如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB＝2PN，则三棱锥N－PAC与三棱锥D－PAC的体积比为(　　)‎ A.1∶2 B.1∶8‎ C.1∶6 D.1∶3‎ ‎【答案】　D ‎ 4.若某一几何体的主视图与左视图均为边长是1的正方形，且其体积为，则该几何体的俯视图可以是(　　)‎ ‎【答案】　C ‎【解析】　若俯视图为A，则该几何体为正方体，其体积为1，不满足条件.若俯视图为B，则该几何体为圆柱，其体积为π×1＝，不满足条件.若俯视图为C，‎ 则该几何体为三棱柱，其体积为×1×1×1＝，满足条件.若俯视图为D，则该几何体为圆柱的，体积为π×1＝，不满足条件.‎ ‎5.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.‎ ‎【答案】　 ‎【解析】　设新的底面半径为r，由题意得πr2·4＋πr2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝.‎ ‎7.已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________.‎ ‎【答案】　π ‎ 6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.‎ ‎【答案】　π ‎【解析】　由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为2的圆柱和底面半径为1，高为1的半圆锥拼成的组合体.‎ ‎∴体积V＝π×12×2＋×π×12×1＝π.‎ ‎7.圆锥被一个平面截去一部分，剩余部分再被另一个平面截去一部分后，与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示，若r＝1，则该几何体的体积为________.‎ ‎【答案】　 ‎ 8.四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.‎ ‎(1)求四面体ABCD的体积；‎ ‎(2)证明：四边形EFGH是矩形.‎ ‎【解析】(1)解　由该四面体的三视图可知，‎ BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，‎ 又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，‎ ‎∴四面体ABCD的体积V＝××2×2×1＝.‎ ‎(2)证明　∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，‎ 平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，‎ ‎∴FG∥EH.‎ 同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形.‎ 又∵AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形.‎ ‎9.已知一个几何体的三视图如图所示. ‎ ‎(1)求此几何体的表面积；‎ ‎(2)如果点P，Q在主视图中所示位置，P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的最短路径的长.‎