【数学】江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试（A）试题 （解析版）

【数学】江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试（A）试题 （解析版）

www.ks5u.com 江西省宜春市高安中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学（A）试题 一、 选择题 (本大题共12个小题,每小题5分,共60分.)‎ ‎1.已知集合A＝，则A∩B的元素个数是( )‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】联立，解得 即和的图象有3个交点，，，‎ ‎∴集合有3个元素，故选B.‎ ‎2.若两直线的倾斜角分别为 与，则下列四个命题中正确的是（ ）‎ A. 若<，则两直线的斜率：k1 < k2 B. 若=，则两直线的斜率：k1= k2‎ C. 若两直线的斜率：k1 < k2 ，则< D. 若两直线的斜率：k1= k2 ，则=‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，两直线的倾斜角分别为 与，斜率分别是，‎ 所以，且，‎ 根据正切在之间的定义域和单调性的关系，‎ 可得，对于A中，当，此时，所以不正确；‎ 对于B中，当，此时斜率不存在，所以不正确；‎ 对于C中，当，此时，所以不正确；‎ 对于D中，当，此时，所以是正确的，故选D．‎ ‎3.平面向量与的夹角为，，，则等于 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于,所以,因此,因此,故选D.‎ ‎4.已知直线的倾斜角为，则的值是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，选C.‎ ‎5.设为等差数列, 其前n项和为.若，则( )‎ A. 54 B. 40 C. 96 D. 80‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵2a8＝a11+6‎ 由等差数列的性质可得，2a8＝a11+a5＝a11+6‎ 从而可得，a5＝6‎ 由等差数列的前n项和可得，‎ 故选A．‎ ‎6.已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的余弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，取的中点，连接，则,‎ 所以异面直线与所成角就是直线与所成角，‎ 设正三棱柱的各棱长为,则，‎ 设直线与所成角为，‎ 在中，由余弦定理可得，‎ 即异面直线与所成角的余弦值为，故选D．‎ ‎7.在中，，则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎，‎ 即故选B．‎ ‎8.若是函数的两个不同的零点，且这三个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则的值等于（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 9 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，若是函数的两个不同的零点，‎ 可得，‎ 因，可得，‎ 又三个数列适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，‎ 可得或，解得或，‎ 所以，则，故选C.‎ ‎9.已知函数是定义在上的偶函数，，当时，‎ ‎，则不等式的解集是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 是定义在上的偶函数，，解得，的定义域为 又，当时，‎ 在单调递减，‎ 再由偶函数的对称性可知，解得 答案选C ‎10.已知函数，将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，再把所得的图象向右平移个单位长度，所得的图象关于原点对称，则的一个值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】将的图象上所有的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象；再把所得的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象．结合所得的图象关于原点对称，可得，即，，当时，则的一个值是．‎ 故选D．‎ ‎11.正数满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ ‎ ‎ 当且仅当，即时，“=”成立，‎ 若不等式对任意实数恒成立，‎ 则，‎ 即对任意实数恒成立，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 实数的取值范围是.‎ 故选D.‎ ‎12.已知球是正三棱锥的外接球，底边，侧棱，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，设的中心为，球的半径为，连接，‎ ‎ 则， 在中，，解得， ， 在中，， 过点作圆的截面，当截面与垂直时，截面的面积最小， 此时截面圆的半径为，最小面积为． 当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为． 故选B 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中横线上)‎ ‎13.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】要使在上递增，根据复合函数单调性，需二次函数对称轴在的左边，并且在时，二次函数的函数值为非负数，即，解得.即实数的取值范围是.‎ ‎14.记不等式组表示的平面区域为，则圆在区域内的弧长为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据所给不等式组，画出可行域如下图所示 ‎ ‎ 所以两条直线形成的夹角为 ‎ 所以圆在区域内的弧长为 ‎15.已知等差数列的公差,且成等比数列,若为数列的前项和,则的最小值为____________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，∴a32=a1a13，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0， 解得d=2．可得,‎ 则,‎ 当且仅当n=2,等号成立.‎ 故答案为4‎ ‎16.已知函数满足，且,当时，，若曲线与直线有5个交点，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，‎ 可得，是周期为2的函数，‎ 又由，‎ 则函数的图象关于对称，‎ 由当时，,可画出函数的图象，‎ 作出直线的图象，如图所示，‎ 要使得与有5个交点，‎ 则当时， ,解得，当时，，解得，所以实数的取值范围是，‎ 故答案为.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共75分,17题满分10分，其余满分12分)‎ ‎17.（1）已知直线与.若，求的值.‎ ‎（2）已知圆过两点，且圆心在直线，求圆的方程.‎ 解：（1）因为，所以，解得.‎ ‎（2）设圆方程为，则圆的圆心为 ‎ 又由圆过两点，且圆心在直线上，‎ 则有，解可得，‎ 则圆的方程为.‎ ‎18.已知公差不为的等差数列的首项,且成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式;‎ ‎（2）设,求数列的前项和．‎ 解：(1)设数列的公差为,则.‎ 由成等比数列,得 ‎ 即得 (舍去)或.‎ 所以数列通项公式为 ‎(2)因为 ‎ 所以 ‎19.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面是等腰梯形，且 ，其中 .‎ ‎（1）证明：平面 平面 .‎ ‎（2）求点 到平面 的距离．‎ 解：（1）过点作交于点.‎ 因为底面 是等腰梯形，且 ，所以 ‎ 在 中， ，同理可得 ‎ 因为 与 相似，所以 ，‎ 所以 ，则 ‎ 因为 平面平面，所以 ‎ 因为 平面平面，且 ，所以 平面 ‎ 因为 平面 ，所以平面 平面 ‎ ‎（2）因为平面，所以 ，‎ 因为 ，所以 ‎ 在 中，因为 ，‎ 所以，‎ 所以 ，则的面积为 ‎ ‎ 设点到平面 的距离为，则三棱锥的体积 ‎ 因为 ，所以，解得 ‎ 故点到平面的距离为 ‎20.在平面四边形中，已知，，．‎ ‎（1）若，求的面积；‎ ‎（2）若，，求的长．‎ 解：（1）在中，‎ ‎ 即 ,解得.‎ 所以.‎ ‎（2）因为,所以 ，,‎ ‎ .‎ 在中，, .‎ ‎ ‎ 所以.‎ ‎21.已知向量，，函数．‎ ‎（1）当时，求的值域；‎ ‎（2）若对任意，，求实数取值范围．‎ 解：（1） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 当时，，，‎ 所以的值域为． ‎ ‎（2）令，，由（1）得，问题等价于，恒成立，当时，； ‎ ‎ 当时，，恒成立，‎ 因为，，当且仅当时，等号成立，‎ 所以的最小值为2，故，综上，实数的取值范围为．‎ ‎22.对于定义域为R的函数，部分与的对应关系如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）数列满足，且对任意，点都在函数的图像上，求；‎ ‎（3）若，其中，，，，求此函数的解析式，并求()．‎ 解：(1) ‎ ‎(2) ‎ ‎ ,周期为4 , 所以=.‎ ‎(3)由题意得 由 又 而 ‎ 从而有 ‎ ‎ ‎ ‎ 此函数的最小正周期为6, ‎ ‎ ‎ ‎1)当 时.‎ ‎. ‎ ‎2)当 时.‎ ‎.‎