高考数学难点突破_难点09 指数、对数函数

高考数学难点突破_难点09 指数、对数函数

难点9 指数函数、对数函数问题 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.‎ ‎●难点磁场 ‎(★★★★★)设f(x)=log2,F(x)=+f(x).‎ ‎(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；‎ ‎(2)若f(x)的反函数为f－1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f－1(n)>;‎ ‎(3)若F(x)的反函数F－1(x),证明：方程F－1(x)=0有惟一解.‎ ‎●案例探究 ‎［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.‎ ‎(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；‎ ‎(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.‎ 命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.‎ 知识依托：(1)证明三点共线的方法：kOC=kOD.‎ ‎(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.‎ 错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.‎ 技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.‎ ‎(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题意知：x1>1,x2>1,则A、B纵坐标分别为log8x1,log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x2,所以OC的斜率：k1=,‎ OD的斜率：k2=，由此可知：k1=k2,即O、C、D在同一条直线上.‎ ‎(2)解：由BC平行于x轴知：log2x1=log8x2 即：log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得：x13log8x1=3x1log8x1,由于x1>1知log8x1≠0,∴x13=3x1.又x1>1,∴x1=,则点A的坐标为(，log8).‎ ‎［例2］在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,对每个自然数n点Pn 位于函数y=2000()x(0bn+1>bn+2.则以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2+bn+1>bn,即()2+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是( )‎ 二、填空题 ‎3.(★★★★★)已知函数f(x)=.则f-－1(x－1)=_________.‎ ‎4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=‎ ae－nt,那么桶2中水就是y2=a－ae－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有.‎ 三、解答题 ‎5.(★★★★)设函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.‎ ‎(1)写出函数y=g(x)的解析式；‎ ‎(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围.‎ ‎6.(★★★★)已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x1,x2∈(0,+∞),判断［f(x1)+f(x2)］与f()的大小，并加以证明.‎ ‎7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.loga2x+loga2y=loga(ax2)+loga(ay2)(a>0且a≠1),求loga(xy)的取值范围.‎ ‎8.(★★★★)设不等式2(logx)2+9(logx)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log2)(log2)的最大、最小值.‎ 参考答案 难点磁场 解：(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x1＜x2＜1,则 F(x2)－F(x1)=()+()‎ ‎,‎ ‎∵x2－x1>0,2－x1>0,2－x2>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.‎ 因此F(x2)－F(x1)>0,F(x2)>F(x1),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.‎ ‎(2)证明：由y=f(x)=得：2y=,‎ ‎∴f－1(x)=,∵f(x)的值域为R，∴f-－1(x)的定义域为R.‎ 当n≥3时，f-1(n)>.‎ 用数学归纳法易证2n>2n+1(n≥3),证略.‎ ‎(3)证明：∵F(0)=,∴F－1()=0,∴x=是F－1(x)=0的一个根.假设F－1(x)=0还有一个解x0(x0≠),则F-1(x0)=0,于是F(0)=x0(x0≠).这是不可能的，故F-1(x)=0有惟一解.‎ 歼灭难点训练 一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10x+1) ①‎ 又g(－x)+h(－x)=lg(10－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10－x+1) ②‎ 由①②得：g(x)=,h(x)=lg(10x+1)－.‎ 答案：C ‎2.解析：当a>1时，函数y=logax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数.‎ 答案：B 二、3.解析：容易求得f- －1(x)=,从而：‎ f－1(x－1)=‎ 答案：‎ ‎4.解析：由题意，5分钟后，y1=ae－nt,y2=a－ae－nt,y1=y2.∴n=ln2.设再过t分钟桶1中的水只有,则y1=ae－n(5+t)=,解得t=10.‎ 答案：10‎ 三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.‎ ‎∵点P(x,y)在函数y=loga(x－3a)的图象上，∴－y′=loga(x′+2a－3a),即y′=loga,∴g(x)=loga.‎ ‎(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|loga(x－3a)－loga|=|loga(x2－4ax+3a2)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤loga(x2－4ax+3a2)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x2－4ax+3a2在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ(x)=loga(x2－4ax+3a2)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ(x)］max=μ(a+2)=loga(4－4a),［μ(x)］min=μ(a+3)=loga(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组的解.‎ 由loga(9－6a)≥－1解得0＜a≤,由loga(4－4a)≤1解得0＜a≤,‎ ‎∴所求a的取值范围是0＜a≤.‎ ‎6.解：f(x1)+f(x2)=logax1+logax2=logax1x2,‎ ‎∵x1,x2∈(0,+∞),x1x2≤()2(当且仅当x1=x2时取“=”号)，‎ 当a>1时，有logax1x2≤loga()2,‎ ‎∴logax1x2≤loga()，(logax1+logax2)≤loga,‎ 即f(x1)+f(x2)］≤f()(当且仅当x1=x2时取“=”号)‎ 当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga()2,‎ ‎∴(logax1+logax2)≥loga,即［f(x1)+f(x2)］≥f()(当且仅当x1=x2时取“=”号）.‎ ‎7.解：由已知等式得：loga2x+loga2y=(1+2logax)+(1+2logay),即(logax－1)2+(logay－1)2=4,令u=logax,v=logay,k=logaxy,则(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u－1)2+(v－1)2=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，分两类讨论.‎ ‎(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+≤k≤2(1+);‎ ‎(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－)≤k≤1－.x综上，当a>1时，logaxy的最大值为2+2，最小值为1+；当0＜a＜1时，logaxy的最大值为1－，最小值为2－2.‎ ‎8.解：∵2(x)2+9(x)+9≤0‎ ‎∴(2x+3)( x+3)≤0.‎ ‎∴－3≤x≤－.‎ 即 ()－3≤x≤() ‎∴()≤x≤()－3,∴2≤x≤8‎ 即M={x|x∈［2,8］}‎ 又f(x)=(log2x－1)(log2x－3)=log22x－4log2x+3=(log2x－2)2－1.‎ ‎∵2≤x≤8,∴≤log2x≤3‎ ‎∴当log2x=2,即x=4时ymin=－1;当log2x=3,即x=8时，ymax=0.‎