2017-2018学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

2017-2018学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高二上学期第三次月考数学（理）试题

‎2017-2018学年内蒙古鄂尔多斯市第一中学高二上学期第三次月考 数学（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.“直线与平面内无数条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（ ）条件 A．充要B．充分非必要C．必要非充分D．既非充分又非必要 ‎2.若命题“∃x∈R，使x2＋(a－1)x＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为（ ）‎ A．1≤a≤3B．－1≤a≤3C．－3≤a≤3D．－1≤a≤1‎ ‎3.如图程序框图输出的结果为（ ）‎ A. B. C. D. x y O 图1‎ x y O A x y O B x y O C y O D x ‎4.设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数可能为（　　）‎ ‎5.有下列四个命题：①“若，则互为倒数”的逆命题；‎ ②“相似三角形的周长相等”的否命题；‎ ③“若，则方程有实根”的逆否命题；‎ ④“若，则”的逆否命题.‎ 其中真命题是（ ）‎ ‎ A ①② B ②③ C ①③ D ③④‎ C A D B ‎6.如右图在一个二面角的棱上有两个点，，线段分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，，则这个二面角的度数为( )‎ A．B．C．D．‎ ‎7.如图是某次拉丁舞比赛七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1、a2，则a1、a2的大小关系是（ ）‎ 甲 乙 ‎0‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎7‎ m ‎9‎ ‎3‎ A.a1＝a2B．a1>a2C．a2>a1D．无法确定 ‎8.曲线上的点到直线的最短距离是（ ）‎ A．B．C．D．0‎ ‎9.如图，圆C内切于扇形，，若在扇形内任取一点，则该点在圆C内的概率为（ ）‎ A.B．C.D． ‎10.如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是（ ）‎ A．45°B．60°C．90°D．120°‎ ‎11.若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点，为坐标原点，的面积为，则该双曲线的离心率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（每小题5分，共20分，把正确的答案写在题中横线上．）‎ ‎13.已知点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P满足的方程______‎ ‎14.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是______‎ ‎15.从集合中任意取出两个不同的数记作，则方程表示焦点在轴上的双曲线的概率是．‎ ‎16.设，若函数，有大于零的极值点，则的取值范围是．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出必要的文字、过程和步骤）‎ ‎17.（10分）已知椭圆的顶点与双曲线的焦点重合，它们的离心率之和为，若椭圆的焦点在轴上，求椭圆的方程.‎ ‎18.（12分）如图（1），等腰直角三角形的底边，点D在线段上，于E，现将沿折起到的位置，如图（2）‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若，直线与平面所成的角为，求长.‎ ‎19.（12分）为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重（单位：千克）情况，将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图，已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12.‎ ‎（Ⅰ）求该校报考体育专业学生的总人数；‎ ‎（Ⅱ）已知A，是该校报考体育专业的两名学生，A的体重小于55千克，的体重不小于70千克，现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70千克的学生共6名，然后再从这6人中抽取体重小于55千克学生1人，体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组，求A不在训练组且在训练组的概率.‎ ‎20.（12分）已知函数，其中为常数.‎ ‎（Ⅰ）若对任意恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当>1时，判断在上零点的个数，并说明理由.‎ ‎21.（12分）在平面直角坐标系中，动点到两点的距离之和等于4，设点的轨迹为曲线，直线过点且与曲线交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）的面积是否存在最大值，若存在，求出的面积的最大值；若不存在，说明理由.‎ ‎22.（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）判断的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若在上的最小值为2，求的值.‎ 市一中2017～2018学年度第一学期第三次月考 高二数学（理科）参考答案 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B A D C B C B D B A C ‎13.14.(－1,0]15.16.‎ ‎17.解：设所求椭圆方程为，其离心率为，焦距为2，双曲线的焦距为2，离心率为，则有：‎ ‎，＝4 ‎ ‎∴‎ ‎∴，即①‎ 又＝4 ②‎ ‎③‎ 由①、②、③可得 ‎∴所求椭圆方程为 ‎18.解：（1）‎ 又 ‎（2）由（1知），所以两两垂直.分别以的方向为的正方向建立空间直角坐标系.‎ 设 可得 设的法向量为，则 所以取 直线与所成的角为，且 解得，或 所以的长为 ‎19.解：（1）设该校报考体育专业的人数为n，前三小组的频率为 ，则由题意可得，.又因为，故.‎ ‎（2）由题意，报考体育专业的学生中，体重小于55千克的人数为，记他们分别为体重不小于70千克的人数为，记他们分别为，从体重小于55千克的6人中抽取1人，体重不小于70千克的3人中抽取2人组成3人训练组，所有可能结果有：(A,a,b)，(A,a,c)，(A,b,c)，(B,a,b)，(B,a,c)，(B,b,c)，(C,a,b)，(C,a,c)，(C,b,c)，(D,a,b)，(D,a,c)，(D,b,c)，(E,a,b)，(E,a,c)，(E,b,c)，(F,a,b)，(F,a,c)，(F,b,c)，共18种；‎ 其中A不在训练组且a在训练组的结果有(B,a,b)，(B,a,c)，(C,a,b)，(C,a,c)，(D,a,b)，(D,a,c)，(E,a,b)，(E,a,c)，(F,a,b)，(F,a,c)，共10种.‎ 故概率为 ‎20.解:（1）由题意可知在R上连续，且，令得 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增；‎ 故时，为极小值也是最小值.令.‎ 即对任意恒成立时，的取值范围是.‎ ‎（2）当时，.‎ 且在上单调递减，‎ 在上有一个零点.‎ 又，令，当时，，‎ 在上单调递增.‎ ‎，即.‎ 在上有一个零点.‎ 故在上有两个零点.‎ ‎21.解：（1）由椭圆定义知，点的轨迹是以为焦点，长半轴长为2的椭圆.故曲线的方程为.‎ ‎（2）存在面积的最大值 因为直线过，可设直线的方程为.‎ 则 整理得 由 设 解得 则 设 则在区间上为增函数 所以 所以当且仅当时取等号 所以的最大值为 ‎22.解:(1)由题意得的定义域为,.‎ ①当时,,故在上为增函数;‎ ②当时,由得;由得;由得;‎ ‎∴在上为减函数;在上为增函数.‎ 所以,当时,在上是增函数;当时,在上是减函数,在上是增函数.‎ ‎(2)∵,.由(1)可知:‎ ①当时,在上为增函数,,得,矛盾!‎ ②当时,即时,在上也是增函数,‎ ‎,∴(舍去).‎ ③当时,即时,在上是减函数,在上是增函数,‎ ‎∴,得(舍去).‎ ④当时,即时,在上是减函数,有,‎ ‎∴.‎ 综上可知:.‎