高考数学专题复习练习第二章 函数、 导数及其应用 质量检测
第二章 函数、导数及其应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)
1.化简[(－2)6] －(－1)0的结果为 ( )
A.－9 B.7 C.－10 D.9
解析：[(－2)6] －(－1)0＝(26) －1＝8－1＝7.
答案：B
2.设 ( )
A. B. C.－ D.
解析：f(f())＝f(－)＝.
答案：B
3.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0,1)；(2)在区间(0，＋∞)上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数是 ( )
A.y＝x3＋1 B.y＝log2(|x|＋2) C.y＝()|x| D.y＝2|x|
解析：显然四个函数都满足性质(1)，而满足性质(2)的只有C.
答案：C
4.下列是关于函数y＝f(x)，x∈[a，b]的几个命题：
①若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则(x0,0)是f(x)的一个零点；
②若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可用二分法求x0的近似值；
③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点；
④用二分法求方程的根时，得到的都是近似值.
那么以上叙述中，正确的个数为 ( )
A.0 B.1 C.3 D.4
解析：因为①中x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点，而不是(x0,0)，所以①错误；
②因为函数f(x)不一定连续，所以②错误；
③方程f(x)＝0的根一定是函数f(x)的零点，所以③错误；
④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，所以④也错误.
答案：A
5.若函数f(x)＝x3＋f′(1)x2－f′(2)x＋3，则f(x)在点(0，f(0))处切线的倾斜角为 ( )
A. B. C. D.
解析：由题意得：f′(x)＝x2＋f′(1)x－f′(2)，
令x＝0，得f′(0)＝－f′(2)，
令x＝1，得f′(1)＝1＋f′(1)－f′(2)，
∴f′(2)＝1，∴f′(0)＝－1，
即f(x)在点(0，f(0))处切线的斜率为－1，
∴倾斜角为π.
答案：D
6.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x、y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是 ( )
解析：由题意可知，y＝(2≤x≤10).
答案：A
[文]已知f(x)＝ax，g(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(3)·g(3)<0，那么f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是 ( )
解析：首先清楚这两类函数图象在坐标系中的位置和走向，另外还应知道f(x)＝ax与g(x)＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，于是可排除A、D.因图中B、C关于y＝x对称，最后利用函数值关系式f(3)·g(3)<0，排除B，故选C .
答案：C
10.(2010·福州模拟)关于x的方程(m＋3)x2－4mx＋2m－1＝0的两根异号，且负数根的绝对值比正数根大，那么实数m的取值范围是 ( )
A.－3
0 D.m<0或m>3
解析：∵x1x2<0，x1＋x2<0，
解得-30⇒－30时，恒有f(x＋Δx)>f(x)，则实数a的取值范围是 .
解析：依题意，对于任意x≥2，当Δx>0时，恒有f(x＋Δx)>f(x)，说明函数f(x
)在[2，＋∞)上是单调递增函数，所以应有，解得－4x2；②x；③|x1|>x2.
其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是 .
解析：函数f(x)为偶函数，f′(x)＝2x＋sinx，
当0＜x≤时，00，函数f(x)在上为单调增函数，
由偶函数性质知函数在上为减函数.
当x>x时，得|x1|>|x2|≥0，
∴f(|x1|)>f(|x2|)，由函数f(x)在上为偶函数得f(x1)>f(x2)，故②成立.
∵>－，而f ＝f ，
∴①不成立，同理可知③不成立.故答案是②.
答案：②
15.定义在R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝kx＋b(k，b为常数)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.现有如下命题：
①对给定的函数f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；
②g(x)＝2x为函数f(x)＝2x的一个承托函数；
③定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数.
下列选项正确的是 .
解析：对于①，若f(x)＝sinx，则g(x)＝B(B<－1)，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y＝tanx，y＝lgx就没有承托函数，∴命题①正确；
对于②，∵当x＝时，g()＝3，f()＝＝2＝，∴f(x)0，且4－b≠0，
即(－4)2－4(4－b)>0且b≠4，
解得b>0且b≠4，
所以所求b的取值范围是(0,4)∪(4，＋∞).
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax＋(x≠0，常数a∈R).
(1)讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f(x)在x∈[3，＋∞)上为增函数，求a的取值范围.
解：(1)定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.
当a＝0时，f(x)＝，满足对定义域上任意x，f(－x)＝f(x)，∴a＝0时，f(x)是偶函数；
当a≠0时，f(1)＝a＋1，f(－1)＝1－a，
若f(x)为偶函数，则a＋1＝1－a，a＝0矛盾；
若f(x)为奇函数，
则1－a＝－(a＋1),1＝－1矛盾，∴当a≠0时，f(x)是非奇非偶函数.
(2)任取x1>x2≥3，f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－
＝a(x1－x2)＋＝(x1－x2)(a－).
∵x1－x2>0，f(x)在[3，＋∞)上为增函数，
∴a>，即a>＋在[3，＋∞)上恒成立.
∵＋<，
∴a≥.
19.(本小题满分12分)某公司生产一种产品的固定成本为0.5万元，但每生产100件需再增加 成本0.25万元，市场对此产品的年需求量为500件，年销售收入(单位：万元)为R(t)＝5t－(0≤t≤5)，其中t为产品售出的数量(单位：百件).
(1)把年利润表示为年产量x(百件)(x≥0)的函数f(x)；
(2)当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润？
解：(1)当0≤x≤5时，f(x)＝R(x)－0.5－0.25x
＝－x2＋4.75x－0.5；当x>5时，
f(x)＝R(5)－0.5－0.25x＝12－0.25x，
故所求函数解析式为
(2)0≤x≤5时，f(x)＝－(x－4.75)2＋10.78125，
∴在x＝4.75时，
f(x)有最大值10.78125，当x>5时，
f(x)＝12－0.25x<12－0.25×5
＝10.75<10.78125，
综上所述，当x＝4.75时，f(x)有最大值，即当年产量为475件时，公司可获得最大年利润.
20.(本小题满分12分)定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(x＋4)，当2≤x≤6时，f(x)＝
()|x－m|＋n，f(4)＝31.
(1)求m，n的值；
(2)比较f(log3m)与f(log3n)的大小.
解：(1)因为函数f(x)在R上满足f(x)＝f(x＋4)，
所以4是函数f(x)的一个周期.
可得f(2)＝f(6)，即()＋n＝()＋n， ①
又f(4)＝31，()＋n＝31， ②
联立①②组成方程组解得m＝4，n＝30.
(2)由(1)知，函数f(x)＝()＋30，x∈[2,6].
因为1－2)，设f(－2)＝m，f(t)＝n.
(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调函数；
(2)求证：n>m；
(3)[理]若t为自然数，则当t取哪些值时，方程f(x)－m＝0(m∈R)在[－2，t]上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数m的取值范围.
解：(1)因为f′(x)＝(x2－3x＋3)·ex＋(2x－3)·ex＝x(x－1)·ex，
由f′(x)>0⇒x>1或x<0；由f′(x)<0⇒0－2时，f(－2)3＝f(0)，
因而f(－2)
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