2018届二轮复习空间中的平行与垂直课件

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第 2 讲　空间中的平行与垂直 专题五 　 立体几何与空间向量 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　空间线面位置关系的判定 空间线面位置关系判断的常用方法 (1) 根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题 . (2) 必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断 . 例 1 　 (1)(2017· 四川省眉山中学月考 ) 已知 m ， n 为空间中两条不同的直线， α ， β 为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是 A. 若 n ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊂ β ，则 m ∥ α B. 若 m ⊥ α ， α ⊥ β ，则 m ∥ β C. 若 m ， n 在 α 内的射影互相平行，则 m ∥ n D. 若 m ⊥ l ， α ∩ β ＝ l ，则 m ⊥ α 解析　 由题意知， n ⊥ α ， n ⊥ β ，则 α ∥ β ，又 m ⊂ β ，则 m ∥ α ， A 正确； 若 m ⊥ α ， α ⊥ β ，可能会现 m ⊂ β ， B 错误； 若 m ， n 在 α 内的射影互相平行，两直线异面也可以， C 错误； 若 m ⊥ l ， α ∩ β ＝ l ，可能会出现 m ⊂ α ， D 错误 . 故选 A. √ 答案 解析 答案 解析 (2)(2017 届泉州模拟 ) 设四棱锥 P － ABCD 的底面不是平行四边形， 用平面 α 去截此四棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面 α A. 有无数多个 B . 恰有 4 个 C. 只有 1 个 D . 不存在 √ 思维升华 解析　 如图，由题知面 PAD 与面 PBC 相交，面 PAB 与面 PCD 相交， 可设两组相交平面的交线分别为 m ， n ， 由 m ， n 决定的平面为 β ， 作 α 与 β 平行且与四条侧棱相交，交点分别为 A 1 ， B 1 ， C 1 ， D 1 ， 则由面面平行的性质定理得 A 1 B 1 ∥ n ∥ C 1 D 1 ， A 1 D 1 ∥ m ∥ B 1 C 1 ， 从而得截面必为平行四边形 . 由于平面 α 可以上下平移， 可知满足条件的平面 α 有无数多个 . 故选 A. 思维升华　 解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中 . 答案 解析 跟踪演练 1 　 (1) α ， β ， γ 是三个平面 ， m , n 是两条直线，则下列命题正确的是 A. 若 α ∩ β ＝ m, n ⊂ α ， m ⊥ n ，则 α ⊥ β B. 若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ m, α ∩ γ ＝ n ，则 m ⊥ n C. 若 m 不垂直平面 α ，则 m 不可能垂直于平面 α 内的无数条直线 D. 若 m ⊥ α ， n ⊥ β ， m ∥ n ，则 α ∥ β √ 解析　 逐一分析所给的命题： A 项，若 α ∩ β ＝ m, n ⊂ α ， m ⊥ n ，并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线，不一定有 α ⊥ β ，该说法错误； B 项，若 α ⊥ β ， α ∩ β ＝ m, α ∩ γ ＝ n ，无法确定 m ， n 的关系，该说法错误； C 项，若 m 不垂直平面 α ，则 m 可能垂直于平面 α 内的无数条直线，该说法错误； D 项，若 m ⊥ α ， n ⊥ β ， m ∥ n ，则 α ∥ β ，该说法正确 . 故选 D . 答案 解析 (2)(2017 届株洲一模 ) 如图，平面 α ⊥ 平面 β ， α ∩ β ＝直线 l, A ， C 是 α 内不同的两点， B ， D 是 β 内不同的两点，且 A ， B ， C ， D ∉ 直线 l, M ， N 分别是线段 AB ， CD 的中点 . 下列判断正确的 是 A. 当 CD ＝ 2 AB 时 ， M ， N 两点不可能重合 B. M ， N 两点可能重合，但此时直线 AC 与 l 不可能相交 C. 当 AB 与 CD 相交，直线 AC 平行于 l 时，直线 BD 可以与 l 相交 D. 当 AB ， CD 是异面直线时，直线 MN 可能与 l 平行 √ 解析　 由于直线 CD 的两个端点都可以动， 所以 M ， N 两点可能重合，此时两条直线 AB ， CD 共面， 由于两条线段互相平分， 所以四边形 ACBD 是平行四边形， 因此 AC ∥ BD ，则 BD ⊂ β ， 所以由线面平行的判定定理可得 AC ∥ β ， 又因为 AC ⊂ α ， α ∩ β ＝ l ， 所以由线面平行的性质定理可得 AC ∥ l ，故应排除答案 A ， C ， D ，故选 B. 热点二　空间平行、垂直关系的证明 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化 . 例 2 　 (1)(2017· 全国 Ⅱ ) 如图，四棱锥 P — ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， AB ＝ BC ＝ AD ， ∠ BAD ＝ ∠ ABC ＝ 90°. ① 证明：直线 BC ∥ 平面 PAD ； 证明　 在平面 ABCD 内，因为 ∠ BAD ＝ ∠ ABC ＝ 90° ， 所以 BC ∥ AD . 又 BC ⊄ 平面 PAD ， AD ⊂ 平面 PAD ， 所以 BC ∥ 平面 PAD . 证明 ② 若 △ PCD 的面积为 2 ， 求四棱锥 P — ABCD 的体积 . 解答 解　 如图，取 AD 的中点 M ，连接 PM ， CM . 因为侧面 PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ， 平面 PAD ∩ 平面 ABCD ＝ AD ， 所以 PM ⊥ AD ， PM ⊥ 底面 ABCD . 因为 CM ⊂ 底面 ABCD ， 所以 PM ⊥ CM . 取 CD 的中点 N ，连接 PN ，则 PN ⊥ CD ， 解得 x ＝－ 2( 舍去 ) 或 x ＝ 2. 所以四棱锥 P — ABCD 的体积 (2)(2017· 重庆市巴蜀中学三模 ) 如图，平面 ABCD ⊥ 平面 ADEF ，四边形 ABCD 为菱形，四边形 ADEF 为矩形 ， M ， N 分别是 EF ， BC 的中点 ， AB ＝ 2 AF, ∠ CBA ＝ 60 °. ① 求证 ： DM ⊥ 平面 MNA ； 证明 证明　 连接 AC ，在菱形 ABCD 中 ， ∠ CBA ＝ 60° ，且 AB ＝ BC ， ∴△ ABC 为等边三角形， 又 ∵ N 为 BC 的中点， ∴ AN ⊥ BC ， ∵ BC ∥ AD ， ∴ AN ⊥ AD ， 又 ∵ 平面 ABCD ⊥ 平面 ADEF ，平面 ABCD ∩ 平面 ADEF ＝ AD ， AN ⊂ 平面 ABCD ， ∴ AN ⊥ 平面 ADEF ，又 DM ⊂ 平面 ADEF ， ∴ DM ⊥ AN . ∵ 在矩形 ADEF 中 ， AD ＝ 2 AF ， M 为 EF 的中点， ∴△ AMF 为等腰直角三角形， ∴∠ AMF ＝ 45° ， 同理可证 ∠ DME ＝ 45° ， ∴∠ DMA ＝ 90° ， ∴ DM ⊥ AM ， 又 ∵ AM ∩ AN ＝ A ，且 AM ， AN ⊂ 平面 MNA ， ∴ DM ⊥ 平面 MNA . ② 若三棱锥 A － DMN 的体积 为 ， 求 MN 的长 . 证明 思维升华 证明　 设 AF ＝ x ，则 AB ＝ 2 AF ＝ 2 x ， 在 Rt △ ABN 中 ， AB ＝ 2 x, BN ＝ x, ∠ ABN ＝ 60° ， ∵ 平面 ABCD ⊥ 平面 ADEF, AD 为交线 ， FA ⊥ AD ， ∴ FA ⊥ 平面 ABCD ， 设 h 为点 M 到平面 ADN 的距离，则 h ＝ AF ＝ x ， 思维升华　 垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下 (1) 证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换 . (2) 证明线线垂直常用的方法： ① 利用等腰三角形底边中线即高线的性质； ② 勾股定理； ③ 线面垂直的性质，即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可， l ⊥ α ， a ⊂ α ⇒ l ⊥ a . 跟踪演练 2 　 (2017· 北京市海淀区适应性考试 ) 如图，四棱锥 P － ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA ⊥ 底面 ABCD ，且 PA ＝ ， E 是侧棱 PA 上的动点 . (1) 求四棱锥 P － ABCD 的体积； 解　 ∵ PA ⊥ 平面 ABCD ， 解答 (2) 如果 E 是 PA 的中点，求证： PC ∥ 平面 BDE ； 证明　 连接 AC 交 BD 于 O ，连接 OE . ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ O 是 AC 的中点， 又 ∵ E 是 PA 的中点， ∴ PC ∥ OE ， ∵ PC ⊄ 平面 BDE, OE ⊂ 平面 BDE ， ∴ PC ∥ 平面 BDE . 证明 (3) 是否无论点 E 在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD ⊥ CE ？证明 你的结论 . 解　 无论点 E 在任何位置，都有 BD ⊥ CE . 证明如下： ∵ 四边形 ABCD 是正方形， ∴ BD ⊥ AC ， ∵ PA ⊥ 底面 ABCD ，且 BD ⊂ 平面 ABCD ， ∴ BD ⊥ PA ， 又 ∵ AC ∩ PA ＝ A ， AC ， PA ⊂ 平面 PAC ， ∴ BD ⊥ 平面 PAC . ∵ 无论点 E 在任何位置，都有 CE ⊂ 平面 PAC ， ∴ 无论点 E 在任何位置，都有 BD ⊥ CE . 解答 热点三　平面图形的折叠问题 平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化，有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键 . 一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法 . 例 3 　 (2017· 孝义质检 ) 如图 (1) ，在五边形 ABCDE 中 ， ED ＝ EA ， AB ∥ CD ， CD ＝ 2 AB ， ∠ EDC ＝ 150°. 如图 (2) ，将 △ EAD 沿 AD 折到 △ PAD 的位置，得到四棱锥 P － ABCD . 点 M 为线段 PC 的中点，且 BM ⊥ 平面 PCD . (1) 求证：平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ； 证明 ∴ 四边形 ABMN 为平行四边形， ∴ AN ∥ BM ， 又 BM ⊥ 平面 PCD ， ∴ AN ⊥ 平面 PCD ， ∴ AN ⊥ PD ， AN ⊥ CD . 由 ED ＝ EA ，即 PD ＝ PA 及 N 为 PD 的中点，可得 △ PAD 为等边三角形， ∴∠ PDA ＝ 60° ，又 ∠ EDC ＝ 150° ， ∴∠ CDA ＝ 90° ， ∴ CD ⊥ AD ， 又 AN ∩ AD ＝ A ， AN ⊂ 平面 PAD ， AD ⊂ 平面 PAD ， ∴ CD ⊥ 平面 PAD ，又 ∵ CD ⊂ 平面 ABCD ， ∴ 平面 PAD ⊥ 平面 ABCD . 解　 设四棱锥 P － ABCD 的高为 h ，四边形 ABCD 的面积为 S ， 解答 思维升华 思维升华　 (1) 折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口 . (2) 存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论 . 跟踪演练 3 　 (2017 届四川省成都市九校模拟 ) 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD ∥ BC , AB ⊥ BC, BD ⊥ DC ，点 E 是 BC 边的中点 ，将 △ ABD 沿 BD 折起，使平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，连接 AE, AC, DE, 得到如图所示的空间几何体 . (1) 求证 ： AB ⊥ 平面 ADC ； 证明 证明　 因为平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， 平面 ABD ∩ 平面 BCD ＝ BD ， 又 BD ⊥ DC ， DC ⊂ 平面 BCD ，所以 DC ⊥ 平面 ABD . 因为 AB ⊂ 平面 ABD ，所以 DC ⊥ AB . 又 AD ⊥ AB ， DC ∩ AD ＝ D ， AD ， DC ⊂ 平面 ADC ， 所以 AB ⊥ 平面 ADC . 解答 故 BC ＝ 3. 由于 AB ⊥ 平面 ADC ， AB ⊥ AC ， E 为 BC 的中点， 因为 DC ⊥ 平面 ABD ， 设点 B 到平面 ADE 的距离为 d ， Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 全国 Ⅰ 改编 ) 如图，在下列四个正方体中， A ， B 为正方体的两个顶点， M ， N ， Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是 ______. 答案 解析 1 2 (1) 解析　 对于 (1) ，作如图 ① 所示的辅助线，其中 D 为 BC 的中点，则 QD ∥ AB . ∵ QD ∩ 平面 MNQ ＝ Q ， ∴ QD 与平面 MNQ 相交， ∴ 直线 AB 与平面 MNQ 相交； 1 2 对于 (2) ，作如图 ② 所示的辅助线， 则 AB ∥ CD ， CD ∥ MQ ， ∴ AB ∥ MQ ， 又 AB ⊄ 平面 MNQ ， MQ ⊂ 平面 MNQ ， ∴ AB ∥ 平面 MNQ ； 1 2 对于 (3) ，作如图 ③ 所示的辅助线， 则 AB ∥ CD ， CD ∥ MQ ， ∴ AB ∥ MQ ， 又 AB ⊄ 平面 MNQ ， MQ ⊂ 平面 MNQ ， ∴ AB ∥ 平面 MNQ ； 1 2 对于 (4) ，作如图 ④ 所示的辅助线， 则 AB ∥ CD ， CD ∥ NQ ， ∴ AB ∥ NQ ，又 AB ⊄ 平面 MNQ ， NQ ⊂ 平面 MNQ ， ∴ AB ∥ 平面 MNQ . 1 2 2.(2017· 江苏 ) 如图，在三棱锥 A — BCD 中， AB ⊥ AD ， BC ⊥ BD ，平面 ABD ⊥ 平面 BCD ，点 E ， F ( E 与 A ， D 不重合 ) 分别在棱 AD ， BD 上，且 EF ⊥ AD . 求证： (1) EF ∥ 平面 ABC ； 证明　 在平面 ABD 内，因为 AB ⊥ AD ， EF ⊥ AD ， 所以 AB ∥ EF . 又 EF ⊄ 平面 ABC ， AB ⊂ 平面 ABC ， 所以 EF ∥ 平面 ABC . 1 2 证明 (2) AD ⊥ AC . 证明　 因为平面 ABD ⊥ 平面 BCD ， 平面 ABD ∩ 平面 BCD ＝ BD ， BC ⊂ 平面 BCD ， BC ⊥ BD ， 所以 BC ⊥ 平面 ABD . 因为 AD ⊂ 平面 ABD ，所以 BC ⊥ AD . 又 AB ⊥ AD ， BC ∩ AB ＝ B ， AB ⊂ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ， 所以 AD ⊥ 平面 ABC . 又 AC ⊂ 平面 ABC ，所以 AD ⊥ AC . 1 2 证明 押题预测 答案 解析 押题依据　 空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点 . 此类题常与命题的真假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力 . 1 2 1. 不重合的两条直线 m ， n 分别在不重合的两个平面 α ， β 内，下列为真命题的是 A. m ⊥ n ⇒ m ⊥ β B. m ⊥ n ⇒ α ⊥ β C. α ∥ β ⇒ m ∥ β D. m ∥ n ⇒ α ∥ β √ 押题依据 1 2 解析　 构造长方体，如图所示 . 因为 A 1 C 1 ⊥ AA 1 ， A 1 C 1 ⊂ 平面 AA 1 C 1 C ， AA 1 ⊂ 平面 AA 1 B 1 B ，但 A 1 C 1 与平面 AA 1 B 1 B 不垂直，所以平面 AA 1 C 1 C 与平面 AA 1 B 1 B 不垂直 . 所以选项 A ， B 都是假命题 . CC 1 ∥ AA 1 ，但平面 AA 1 C 1 C 与平面 AA 1 B 1 B 相交而不平行，所以选项 D 为假命题 . “ 若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面 ” 是真命题，故选 C. 2. 如图 (1) ，在正 △ ABC 中， E ， F 分别是 AB ， AC 边上的点，且 BE ＝ AF ＝ 2 CF . 点 P 为边 BC 上的点，将 △ AEF 沿 EF 折起到 △ A 1 EF 的位置，使平面 A 1 EF ⊥ 平面 BEFC ，连接 A 1 B ， A 1 P ， EP ，如图 (2) 所示 . (1) 求证： A 1 E ⊥ FP ； 押题依据　 以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式 . 1 2 证明 押题依据 证明　 在正 △ ABC 中，取 BE 的中点 D ，连接 DF ，如图所示 . 因为 BE ＝ AF ＝ 2 CF ， 所以 AF ＝ AD ， AE ＝ DE ，而 ∠ A ＝ 60° ， 所以 △ ADF 为正三角形 . 又 AE ＝ DE ，所以 EF ⊥ AD . 所以在题图 (2) 中 A 1 E ⊥ EF ， 又 A 1 E ⊂ 平面 A 1 EF ，平面 A 1 EF ⊥ 平面 BEFC ， 且平面 A 1 EF ∩ 平面 BEFC ＝ EF ， 所以 A 1 E ⊥ 平面 BEFC . 因为 FP ⊂ 平面 BEFC ，所以 A 1 E ⊥ FP . 1 2 (2) 若 BP ＝ BE ，点 K 为棱 A 1 F 的中点，则在平面 A 1 FP 上是否存在过点 K 的直线与平面 A 1 BE 平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由 . 解 答 1 2 解　 在平面 A 1 FP 上存在过点 K 的直线与平面 A 1 BE 平行 . 理由 如下： 如题图 (1) ，在正 △ ABC 中，因为 BP ＝ BE ， BE ＝ AF ， 所以 BP ＝ AF ，所以 FP ∥ AB ，所以 FP ∥ BE . 如图所示，取 A 1 P 的中点 M ，连接 MK ， 因为点 K 为棱 A 1 F 的中点， 所以 MK ∥ FP . 因为 FP ∥ BE ，所以 MK ∥ BE . 因为 MK ⊄ 平面 A 1 BE ， BE ⊂ 平面 A 1 BE ， 所以 MK ∥ 平面 A 1 BE . 故在平面 A 1 FP 上存在过点 K 的直线 MK 与平面 A 1 BE 平行 . 1 2