2019-2020学年重庆市南岸区高二上学期期末学业质量调研抽测数学试题 解析版

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绝密★启用前 重庆市南岸区2019-2020学年(上)期末学业质量调研抽测 高二数学试卷 ‎（分数：150分 时间：120分钟）‎ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。‎ 一、选择题 1. 函数的图象在点处的切线的倾斜角为 A. 0 B. C. D. ‎ 2. 下列各组中的函数与相等的是      ‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ 3. 的展开式中的系数为 A. 10 B. C. D. ‎ 4. 若点O与点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为      ‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 6 D. 8‎ 5. 函数的图象大致是 A. B. C. D. ‎ 6. 双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是    ‎ A. B. C. D. ‎ 1. 设O为坐标原点，点P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为  ‎ A. B. C. D. 1‎ 2. 已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为 A. B. C. D. ‎ 3. 已知数列是等差数列，若，且它的前n项和有最大值，则使得的n的最大值为   ‎ A. 11 B. ‎12 ‎C. 21 D. 22‎ 4. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为．‎ A. 1 B. C. D. 2‎ 5. 下列命题中，假命题的个数是 若直线a在平面上，直线b不在平面上，则a、b是异面直线 若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有且只有一条 若a、b是异面直线，则与c、d与直线a、b都相交，则c、d也是异面直线 设a、b是两条直线，若平面，，则平面 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 1. 若直线与曲线有公共点，则k的取值范围是     ‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题 2. 已知一个样本x，1，y，5的平均数为2，方差为5，则 ______ ．‎ 3. 设点和，在直线l：上找一点P，使为最小，则这个最小值为______．‎ 4. 能说明“若，则”为假命题的一组a，b的值依次为______．‎ 5. 已知双曲线C：的右焦点为F，抛物线E：的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且，则双曲线C的离心率为______．‎ 三、解答题 6. 已知数列的前n项和为，，． 求，的值； 设，求数列的前n项和． ‎ 7. 设． 解关于x的不等式； 若对任意的，不等式恒成立，求x的取值范围． ‎ 1. 如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，，，，E，F分别是棱AD，PC的中点． Ⅰ证明平面PAB；Ⅱ若二面角为， 证明平面平面ABCD； 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值． ‎ 2. 已知椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率为设过点的直线l与椭圆C相交于不同两点A，B，周长为8．Ⅰ求椭圆C的标准方程；Ⅱ已知点，证明：当直线l变化时，总有TA与TB的斜率之和为定值． ‎ 3. 已知椭圆C：的离心率为，以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为． Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A、B，当动点M在定直线上运动时，直线AM、BM分别交椭圆于P、Q两点，求四边形APBQ面积的最大值． ‎ 1. 如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是矩形，底面ABCD，E、F分别是AB、PD的中点，． Ⅰ求证：平面PEC；Ⅱ求二面角的大小；Ⅲ若，，求直线PE与平面PCD所成角的正弦值． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查导数的几何意义，对数函数的导数，直线的倾斜角与斜率，属于基础题． 先求出函数在切点处的导数值，即为切线在此处的斜率，从而求得切线在此处的倾斜角． 【解答】 解：因为函数， 则 ‎， 则函数图象在点处的切线的斜率为， 设函数的图象在点处的切线的倾斜角为， 则， 又因为 ． 故选D． 2.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了同一函数的判定，是基础题． 确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域，当两个函数定义域、对应法则相同即两函数为相等函数，据此可判断出答案． 【解答】 解：对于A，，与的定义域不同，故不是同一函数； 对于B，，与的定义域相同，对应关系不同，故不是同一函数； 对于C，，与的定义域不同，故不是同一函数； 对于D，，与的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数． 故选D． 3.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，由 ‎，即可得出，属于基础题． 【解答】 解：， 展开式中的系数为． 故选D． 4.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值，考查了综合应用能力、运算能力，属于中档题． 先求出左焦点坐标F，设，根据在椭圆上可得到、的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将、的关系式代入组成二次函数进而可确定答案． 【解答】 解：由题意，，设点，则有，解得， 因为，， 所以 ， 此二次函数对应的抛物线的对称轴为， 因为，所以当时，取得最大值， 故选：C． 5.【答案】A ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查对数函数的图象和性质以及函数图象的平移变换，属于基础题． 把对数函数的图象向右一个单位即可得到结果． 【解答】 解：， 在 上单调递减， 又函数的图象是由的图象向右平移一个单位得到， 故选A． 6.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 由题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值． 【解答】 解：由题意可得，，，，，， 且，菱形的边长为， 由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D， 由面积相等，可得， 即为， 即有， 由，可得， 解得， 因为，所以 ‎， 可得． 故选C． 7.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，注意运用基本不等式和向量的加减运算，考查运算能力，属于中档题． 由题意可得，设，要求的最大值，设，运用向量的加减运算可得，再由直线的斜率公式，结合基本不等式，可得最大值． 【解答】 解：由题意可得，设， 显然当，；当，． 要求的最大值，设， 则 ， 可得， 当且仅当，取得等号． 故选C． 8.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查双曲线的方程与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方程为，利用四边形ABCD的面积为2b，求出A 的坐标，代入圆的方程，即可得出结论． 【解答】 解：以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆的方程为，双曲线的两条渐近线方程为， 设， 四边形ABCD的面积为2b， ， 将代入，可得， ， 双曲线的方程为， 故选：D． 9.【答案】C ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查了等差数列的性质在求解和的最值中应用，解题的关键是灵活利用和公式及等差数列的性质，为中档题． 由，它们的前n项和有最大可得，，，从而有，，从而可求满足条件的n的值． 【解答】‎ 解：由，它们的前n项和有最大值，可得数列的， ，，， ， 等价于， ，， ‎ 使得的n的最大值， 故选C．‎ ‎ 10.【答案】C ‎ ‎【解析】解：由三视图可知几何体是一条侧棱与底面垂直，底面是正方形，四棱锥的高为2，底面正方形的对角线的长为2， 四棱锥的4个侧面面积分别为：；；；． 最大侧面面积为：． 故选：C． 判断几何体的图形，利用三视图的数据求解最大侧面面积即可． 本题考查三视图求解几何体的侧面面积，考查数形结合以及空间想象能力计算能力． 11.【答案】D ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题． 在中，a、b相交、平行或异面；在中，与a、b都垂直的直线有有无数条；在中，c、d相交、平行或异面；在中，平面或． 【解答】 解：在中，若直线a在平面上，直线b不在平面上，则a、b相交、平行或异面，故是假命题； 在中，若a、b是异面直线，则与a、b都垂直的直线有有无数条，故是假命题； 在中，若a、b是异面直线，c、d与直线a、b都相交，则c、d相交、平行或异面，故 是假命题； 在中，设a、b是两条直线，若平面，，则平面或，故是假命题． 故选：D． 12.【答案】B ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查动点的轨迹方程，同时考查恒过定点的直线与线段相交问题，考查运算能力，属于中档题． 曲线C表示线段AB：，，求得直线l恒过定点，由直线的斜率公式计算即可得到所求范围．  【解答】 解：方程 表示的是动点到点，的距离之和为2，即有P的轨迹为线段，‎ 直线为恒过定点的直线，‎ ‎，，‎ 直线l与曲线有公共点，等价为，即为． 故选B．‎ ‎ 13.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】 本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意方差、平均数的性质的合理运用． 利用平均数和方差公式列出方程组，由此能求出xy的值． 【解答】 解：一个样本x，1，y，5的平均数为2，方差为5， ‎ ‎ 解得． 故答案为． 14.【答案】 ‎ ‎【解析】【分析】本题考查了点关于直线对称点的求法、互相垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 设点关于直线l：的对称点为，求出可得的最小值． 【解答】‎ 解：设点关于直线l：的对称点为， 则，解得． 则的最小值， 故答案为． ‎ ‎ 15.【答案】， ‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查命题的真假的应用，根据不等式的性质是解决本题的关键．比较基础． 根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可． 【解答】 解：当，时，满足，但为假命题， 故答案可以是，‎ ‎， 故答案为：，． 16.【答案】 ‎ ‎【解析】解：，，． 设，则，， ， ，解得，即， 在双曲线的右支上， ，． ． 故答案为：． 由题意可知，求出A点坐标，代入双曲线方程化简即可得出a，c的关系，从而得出离心率的值． 本题考查了双曲线的性质，平面向量的运算，属于中档题． 17.【答案】解：因为数列的前n项和为，，． 所以：， 解得：． 所以：， 解得：． 因为， 所以：， 则：‎ ‎， 所以：． 由于：， 则数列是首项，公比是的等比数列． 所以：． 因为， 所以：． 所以：， ， ， ， ． 所以数列的前n项和为：． ‎ ‎【解析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，分组法求数列的和． 直接利用递推关系式求出数列的通项公式． 利用分组法求出数列的和． 18.【答案】解：，即为， 即有， 当时，即有，解得； 当时，即有，由可得； 当时，，即有，且； 当时，，可得或 ‎； 当时，，可得或． 综上可得，时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为或； 时，解集为或 对任意的，不等式恒成立， 即为， 即，对任意的恒成立． 设，． 则，且， 即，且， 即，且， 解得． 故x的取值范围是． ‎ ‎【解析】本题考查一元二次不等式的解法，当含字母系数时要注意运用分类讨论的思想方法，考查不等式恒成立问题的解法，注意构造关于a的一次函数，运用单调性解决，考查运算能力，属于中档题． 对，化简不等式，变形为，对a讨论，分，，，，，结合二次函数的图象和性质即可得到所求解集； 由题意可得，，对任意的恒成立，设，可得，且，由一元二次不等式的解法，即可得到所求x的范围． ‎ ‎19.【答案】解：Ⅰ证明：连结AC，， 底面ABCD是平行四边形，为BD中点， 是棱AD的中点．在中，， 又平面PAB，平面PAD，平面PAB． 同理可证，平面PAB． 又，平面平面PAB， 平面EFH，平面PAB； Ⅱ如图，连结PE，BE． ，，，，． 又为AD的中点，，， 即为二面角的平面角，即，． 中，，，同理， 平面ABD， 平面PBC，平面平面ABCD； ‎ 由知，，， ，，， ，BA，BP两两垂直， 以B为坐标原点，分别以BD，BA，BP为X，Y，Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，0，，，0，，0，， ，0，， 设平面PBC的法向量为， ，，令，则，， 故1，， ，F分别是棱AD，PC的中点， ，， ， ， 即直线EF与平面PBC所成角的正弦值为． ‎ ‎【解析】本题主要考查空间直线与平面平行的判定定理以及线面角大小的求法，要求熟练掌握相关的判定定理，属于中档题．Ⅰ要证明平面PAB，可以先证明平面平面PAB，而要证明面面平行则可用面面平行的判定定理来证；Ⅱ要证明平面平面ABCD，可用面面垂直的判定定理，即只需证平面ABCD即可； 由知，BD，BA，BP两两垂直，建立空间直角坐标系，得到直线EF的方向向量与平面PBC法向量，其夹角的余弦值的绝对值即为所成角的正弦值． 20.【答案】解：Ⅰ由题意知，，所以 ‎． 因为，所以，则． 所以椭圆C的方程为．Ⅱ证明：当直线l垂直与x轴时，显然直线TA与TB的斜率之和为0， 当直线l不垂直与x轴时，设直线l的方程为，，， ，整理得：， 恒成立， ，， A，B两点在直线上，故，， TA，TB的斜率存在， 由 ， 因为 ， ， 直线TA与TB的斜率之和为0， 综上所述，直线TA与TB的斜率之和为定值，定值为0． ‎ ‎【解析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．Ⅰ由的周长为8，得，由，求出c，可求得b；即可求解椭圆方程．Ⅱ分类讨论，当直线l不垂直与x轴时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，即可求得 ‎，即可证明直线TA与TB的斜率之和为定值． 21.【答案】解：Ⅰ根据题意，椭圆C：的离心率为，则有， 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为，则有， 又，解得，，， 故椭圆C的方程为；Ⅱ由对称性，可令点，其中． 将直线AM的方程代入椭圆方程，得 ， 由，得，则． 再将直线BM的方程代入椭圆方程得 ， 由，得，则． 故四边形APBQ的面积为 ． 由于，且在上单调递增，故， 从而，有． 当且仅当，即，也就是点M的坐标为时，四边形APBQ的面积取最大值6． ‎ ‎【解析】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系以及基本不等式的性质，关键是求出椭圆的标准方程，属于难题．Ⅰ根据题意，分析可得且，解可得a、b的值，将其代入椭圆的方程，即可得答案；Ⅱ令点，其中，将直线AM的方程 代入椭圆方程，得，由根与系数的关系可以用t表示、再将直线BM的方程代入椭圆方程得，同理可以用t表示、进而可以用t表示四边形APBQ的面积，结合对勾函数的性质分析可得答案． 22.【答案】Ⅰ证明：取PC的中点G，连结EG、FG， 是PD的中点， ，且， 四边形ABCD是矩形， ，且， ，且， 又是AB的中点，， ，且， 四边形AEGF是平行四边形， ， 平面PEC，平面PEC， 平面PEC．Ⅱ解：平面ABCD， 平面ABCD，， 四边形ABCD是矩形，， ，PA、平面PAD， ‎ 平面PAD， 又平面PAD，， 是二面角的平面角， ，为等腰直角三角形， ， 二面角的大小为．Ⅲ解：由Ⅱ知，为等腰直角三角形， 是斜边PD的中点，， 由Ⅰ知，，， 又由Ⅱ知平面PAD，平面PAD， ，， 又，PD、平面PCD， 平面PCD， 是直线PE在平面PCD上的射影， 为直线PE与平面PCD所成的角， 在中，， ， ， 在等腰直角中，， 是PD中点，，， ． 直线PE与平面PCD所成角的正弦值为．‎ ‎【解析】本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．Ⅰ取PC的中点G，连结EG、FG，推导出四边形AEGF是平行四边形，从而，由此能证明平面PEC．Ⅱ推导出，，从而平面PAD，进而，是二面角的平面角，由此能求出二面角的大小．Ⅲ推导出，，，，从而为直线PE与平面PCD所成的角，由此能求出直线PE与平面PCD所成角的正弦值． ‎