黑龙江省大庆实验中学2019届高三11月月考(期中)数学(理)试卷
2019届黑龙江省大庆实验中学
高三11月月考(期中)数学(理)试题此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
数学
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题
1.已知复数z=x+yi (x,y∈R),若-3+3i=x+y-1i,则z=
A.2 B.2 C.5 D.5
2.已知集合A=xx2-x-2<0,B=x-2
1” 是“1a<1” 的充分必要条件.
B.命题“ 若x2<1,则x<1” 的否命题是“ 若x≥1,则x2≥1” .
C.设x,y∈R,则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要而不充分条件.
D.设a,b∈R,则“a≠0” 是“ab≠0” 的必要不充分条件.
6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A. B. C. D.
7.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b=2,∠B=π6,∠C=π4,则a=
A.3-1 B.3+1 C.3 D.3
8.若正实数a,b满足1a+2b=ab,则ab的最小值为
A.2 B.2 C.22 D.4
9.定积分02πsinxdx的值是
A.0 B.2 C.4 D.8
10.在矩形ABCD中,AB=2,BC=2,点E为BC的中点,点F在CD上,若AB⋅AF=2,则AE⋅BF的值是
A.2 B.22 C.3 D.
11.已知函数f(x)=sinωx+π3-3cosωx+π3 ω>0在区间-3π4,π2上单调,且在区间0,2π内恰好取得一次最大值2,则ω的取值范围是
A.0,23 B.14,23 C.0,34 D.14,34
12.已知函数f(x)=x-1ex-kx3-12x2+2,若对任意的x1,x2∈0,+∞,且x1≠x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2),则实数k的取值范围是
A.-∞,e3 B.-∞,e3 C.-∞,13 D.-∞,13
二、填空题
13.已知实数x、y满足x-y+5≥0x≤3x+y≥0,则目标函数z=x+2y的最小值为_____________.
14.已知函数f(x)=a⋅2x+a-22x+1是定义在R上的奇函数,则a=___________.
15.如图,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PC=PD=AB=2,点E为棱PA的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为___________
16.若数列an满足a1=1,-1nan+an+1=3⋅2n-1 n∈N*,数列bn的通项公式bn=an+12n-12n+1-1 ,则数列bn的前10项和S10=___________
三、解答题
17.已知等比数列an中,a3,a4,a5依次是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且a1=32,公比q≠1
(1)求an;
(2)设bn=-log2an,求数列bn的前n项和Tn
18.已知a,b,c分别为ΔABC三个内角A,B,C的对边,向量m=sinA,sinB,n=cosB,cosA且m⋅n=sin2C.
(1)求角C的大小;
(2)若sinA+sinB=3sinC,且ΔABC面积为63,求边c的长.
19.在ΔABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=2BC=2CD,如图1.以DE为折痕将ΔADE折起,使点A到达点P的位置,如图2.
如图1 如图2
(1)证明:平面BCP⊥平面CEP;
(2)若平面DEP⊥平面BCED,求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。
20.在数列{ an }中, 已知a1=1,且数列{ an }的前n项和Sn满足4Sn+1-3Sn=4, n∈N*.
(1)证明数列{ an }是等比数列;
(2)设数列{ nan }的前n项和为Tn,若不等式Tn+(34)n⋅an-16<0对任意的n∈N*恒成立, 求实数a的取值范围.
21.设函数f(x)=x22-alnx-12
(1)当a=1时,求函数f(x)的极值.
(2)若函数f(x)在区间1,e上有唯一的零点,求实数a的取值范围.
22.已知函数f(x)=ax-cosx的定义域为0,π
(1)当a=-32时,求函数f(x)的单调递减区间.
(2)若f(x)<1-π2-sinx恒成立,求a的取值范围.
2019届黑龙江省大庆实验中学
高三11月月考(期中)数学(理)试题
数学 答 案
参考答案
1.D
【解析】
【分析】
由复数相等的条件列式求得x,y的值,代入复数模的计算公式求解.
【详解】
∵-3+3i=x+y-1i
∴-3=x3=y-1,即x=-3,y=4.
又z=x+yi,
∴|z|=(-3)2+42=5 .
故选:D.
【点睛】
本题考查由复数相等的条件求复数的模长,属于基础题.
2.D
【解析】
【分析】
解不等式得集合A,根据集合的运算和包含关系判断即可.
【详解】
集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2},B=x-20可得[﹣π2ω,π2ω]是函数含原点的递增区间,结合已知可得[﹣π2ω,π2ω]⊇[-3π4,π2],可解得0<ω≤23,又函数在区间[0,2π]上恰好取得一次最大值,根据正弦函数的性质可得14 × π2ω ≤2π,得ω≥14 ,进而得解.
【详解】
f(x)=sinωx+π3-3cosωx+π3=2sinωxω>0,
∴[﹣π2ω,π2ω]是函数含原点的递增区间.
又∵函数在[-3π4,π2]上递增,
∴[﹣π2ω,π2ω]⊇[-3π4,π2],
∴得不等式组:﹣π2ω≤-3π4,且π2≤π2ω,
又∵ω>0,
∴0<ω≤23 ,
又函数在区间[0,2π]上恰好取得一次最大值,
根据正弦函数的性质可知14 × π2ω ≤2π且54 × π2ω >2π
可得ω∈[14,54).综上:ω∈14,23
故选:B.
【点睛】
本题主要考查正弦函数的图象和性质,研究有关三角的函数时要利用整体思想,灵活应用三角函数的图象和性质解题,属于中档题.
12.D
【解析】
【分析】
将x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1)变形得[f(x1)﹣f(x2)(x1﹣x2)≥0,进而分析函数f(x)在0,+∞为增函数或常数函数,据此可得答案.
【详解】
根据题意,将x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1)变形可得[f(x1)﹣f(x2)]
(x1﹣x2)≥0,所以函数f(x)在0,+∞为增函数或常数函数.
当f(x)在0,+∞为增函数时,则f’(x)=xex-3kx2-x≥0 在0,+∞恒成立,
所以3k≤(ex-1x)min ,h(x)= ex-1x ,
h'(x)=ex(x-1)+1x2>0,∴ h(x)在0,+∞为增函数,
x→0 , h(x)→ 1 ∴ 3k≤1 , k≤13 .
因为f(x)在0,+∞不可能为常数函数,(舍) 所以k≤13 .
故选:D
【点睛】
本题考查函数单调性的判定与应用,关键是依据x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),判断出函数f(x)在0,+∞为增函数或常数函数,利用导数求出k的范围,属于中档题.
13.-3
【解析】
满足条件的点(x,y)的可行域如下:
由图可知,目标函数z=x+2y在点(3,-3)处取到最小值-3
14.1
【解析】
依题意可得,f(0)=0,则2a-22=0,解得a=1
当a=1时,f(x)=2x-12x+1,则f(-x)=2-x-12-x+1=1-2x1+2x=-f(x)
所以f(x)为奇函数,满足条件,故a=1
15.36
【解析】
【分析】
做出平行四边形,将要求的角转化为角GFD或其补角为所求角,在三角形FDG中应用余弦定理得到夹角的余弦值.
【详解】
取PD的中点记为F点,BC的中点记为 点,连接FG,GD,因为EF//BC,且EF=12BC,BG=12BC,故得到四边形EFGB为平行四边形,故角GFD或其补角为所求角,根据题干得到,三角形PAB为等边三角形,BF为其高线,长度为3,FG=3,DG=CD2+CG2=5,
FD=1,根据余弦定理得到cos∠GFD=3+1-523=-36,因为异面直线夹角为直角或锐角,故取正值,为:36.
故答案为:36.
【点睛】
这个题目考查的是异面直线的夹角的求法;常见方法有:将异面直线平移到同一平面内,转化为平面角的问题;或者证明线面垂直进而得到面面垂直,这种方法适用于异面直线垂直的时候.
16.-20462047
【解析】
【分析】
对于-1nan+an+1=3⋅2n-1,当n=1,代入得a2=-4,依次得a3=10,a4=-22,a5=46...发现规律, 利用bn=an+12n-12n+1-1,求出S10.
【详解】
由-1nan+an+1=3⋅2n-1,当n=1,代入得a2=-4,依次得a3=3×22-2,a4=-3×23+2,a5=3×24-2,a6=-3×25+2,a7=3×26-2...发现规律, 利用bn=an+12n-12n+1-1,得b1=-43 ,b2=103×7,b3=-227×15,b4=4615×31,b5=-9431×63... ,求出S10=-20462047.
故答案为:-20462047
【点睛】
本题考查的是在数列中,给了递推公式不好求通项公式时,可以列举几项再发现规律,求出题中要求的前10项和,属于中档题.
17.(1)an=26-n;(2)Sn=n2-11n2.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)设某等差数列{cn}的公差为d,等比数列{an}的公比为q,依题意可求得q=12,从而可求得数列{an}的通项公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)知an=26-n,于是可求得bn=n-6,继而可得数列{bn}的前n项和Tn.
【详解】
(1)设某等差数列{cn}的公差为d,等比数列{an}的公比为q,
∵a3,a4,a5 分别是某等差数列{cn}的第5项、第3项和第2项,且a1=32,
∴a3=c5,a4=c3,a5= c2
∴c5=c3+2d=c2+3d,即a3=a4+2d=a5+3d,d=a3-a42=a4-a5 ,
∴a3=3a4-2a5,解得q=或q=1,又q≠1,∴q=,
∴an=32×=26-n.
(Ⅱ)bn=-log2an=-log226-n=n-6,所以数列bn是以-5为首项,以1为公差的等差数列,
∴Tn=n(-5+n-6)2=n(n-11)2 n2-11n2 .
【点睛】
本题考查等差,等比数列的通项公式和等差数列的求和,着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用,属于中档题.
18.(1)C=π3 (2)c=6
【解析】
【分析】
(1)利用向量的数量积、两角和的正弦公式及三角函数的倍角公式即可得出;(2)利用正弦定理化简已知等式,得到a+b=3c,再利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积,将sinC以及已知面积代入求出ab的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将a+b与ab,cosC的值代入即可求出c的值
【详解】
(1)∵,
∴sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,
∴2sinCcosC=sinC,
∵0<C<π,∴sinC≠0,
∴cosC=,∴C=.
(2)由题意得sinA+sinB=3sinC,利用正弦定理化简得:a+b=3c,
∵S△ABC=absinC=ab=6,即ab=24 ,
由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=(a+b)2﹣3ab,即c2=32ab=36,所以c=6.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积公式的运用、正弦定理和余弦定理解三角形;熟练掌握向量的数量积运算、三角函数的有关公式及性质是解题的关键.
19.(1)见解析;(2)直线DP与平面BCP所成角的正弦值为64.
【解析】
【分析】
(1)在题图1中,可证DE∥BC ,在题图2中,BC⊥平面CEP.进而得到BC⊥平面CEP.从而证得平面BCP⊥平面CEP;
(2)可证得EP⊥平面BCED. EP⊥CE.则以E为坐标原点,分别以ED,EC,EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量可求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.
【详解】
(1)证明:在题图1中,因为AB=2BC=2CD,且D为AB的中点.由平面几何知识,得∠ACB=90°.
又因为E为AC的中点,所以DE∥BC
在题图2中,CE⊥DE,PE⊥DE,且CE∩PE=E,
所以DE⊥平面CEP,
所以BC⊥平面CEP.
又因为BC⊂平面BCP,
所以平面BCP⊥平面CEP.
(2)解:因为平面DEP⊥平面BCED,平面DEP∩平面BCED=DE,EP⊂平面DEP,EP⊥DE.
所以EP⊥平面BCED.
又因为CE⊂平面BCED,
所以EP⊥CE.
以E为坐标原点,分别以ED,EC,EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
在题图1中,设BC=2a,则AB=4a,AC=23a,AE=CE=3a,DE=a.
则P0,0,3a,Da,0,0,C0,3a,0,B2a,3a,0.
所以DP=-a,0,3a,BC=-2a,0,0,CP=0,-3a,3a.
设n=x,y,z为平面BCP的法向量,
则n⋅BC=0,n⋅CP=0,,即-2ax=0,-3ay+3az=0.
令y=1,则z=1.所以n=0,1,1.
设DP与BCP平面所成的角为θ,
则sinθ=sinn,DP=cosn,DP=n⋅DPnDP=3a2×2a=64.
所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为64.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明,以及利用空间向量求线面角,属中档题.
20.(1)见解析(2) (-∞, 20)
【解析】分析:(1)利用4Sn+1-3Sn=4推出an+1an=34是常数,然后已知a2a1=34,即可证明数列{ an }是等比数列;
(2)利用错位相减法求出数列{ nan }的前n项和为Tnn,化简不等式Tn+(34)n⋅an-16<0,通过对任意的n∈N*恒成立,求实数a的取值范围.
详解:
(1) ∵已知4Sn+1-3Sn=4, n∈N*,
∴ n≥2时, 4Sn-3Sn-1=4.
相减得4an+1-3an=0. 又易知an≠0,
∴an+1an=34.
又由4Sn+1-3Sn=4, n∈N*得4(a1+a2)-3a1=4,
∴a2=34, ∴a2a1=34.
故数列{ an }是等比数列.
(2)由(1)知an=1×(34)n-1=(34)n-1.
∴Tn=1×(34)0+2×(34)1+⋯+n×(34)n-1,
∴34Tn=1×(34)1+2×(34)2+⋯+n×(34)n.
相减得14Tn=1+34+(34)2+⋯+(34)n-1-n×(34)n=1-(34)n1-34-n×(34)n,
∴Tn=16-16×(34)n-4n×(34)n,
∴不等式Tn+(34)n×an-16<0为16-16×(34)n-4n×(34)n+(34)n×an-16<0.
化简得4n2+16n>a.
设f(n)=4n2+16n,
∵n∈N* ∴f(n)min=f(1)=20.
故所求实数a的取值范围是(-∞, 20).
点睛:本题考查等比数列的判断,数列通项公式与前n项和的求法,恒成立问题的应用,考查计算能力.
21.(1)极小值为0,无极大值;(2)a|a≤1,a>e2-12
【解析】
【分析】
(1)由a=1,得函数f(x)的解析式,求出其导函数以及导数为0的根,通过比较两根的大小找到函数的单调区间,进而求出f(x)的极小值;(2)求导后按a≤1,或a≥e2,或1
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