黑龙江省大庆实验中学2019届高三11月月考(期中)数学(理)试卷

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黑龙江省大庆实验中学2019届高三11月月考(期中)数学(理)试卷

‎2019届黑龙江省大庆实验中学 高三11月月考(期中)数学(理)试题此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 ‎ 数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。‎ ‎2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。‎ ‎4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。‎ 一、单选题 ‎1.已知复数z=x+yi ‎(x,y∈R)‎,若‎-3+3i=x+y-1‎i,则z‎=‎ ‎ A.‎2‎ B.‎2‎ C.‎5‎ D.5‎ ‎2.已知集合A=‎xx‎2‎‎-x-2<0‎,B=‎x‎-21‎” 是“‎1‎a‎<1‎” 的充分必要条件.‎ B.命题“ 若x‎2‎‎<1‎,则x<1‎” 的否命题是“ 若x≥1‎,则x‎2‎‎≥1‎” .‎ C.设x,y∈R,则“x≥2‎且y≥2‎”是“x‎2‎‎+y‎2‎≥4‎”的必要而不充分条件.‎ D.设a,b∈R,则“a≠0‎” 是“ab≠0‎” 的必要不充分条件.‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B. C. D.‎ ‎7.在ΔABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b=‎‎2‎,‎∠B=‎π‎6‎,‎∠C=‎π‎4‎,则a=‎ A.‎3‎‎-1‎ B.‎3‎‎+1‎ C.‎3‎ D.‎‎3‎ ‎8.若正实数a,b满足‎1‎a‎+‎2‎b=‎ab,则ab的最小值为 A.‎2‎ B.‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎‎4‎ ‎9.定积分‎0‎‎2πsinxdx的值是 A.‎0‎ B.‎2‎ C.‎4‎ D.‎‎8‎ ‎10.在矩形ABCD中,AB=‎‎2‎,BC=2‎,点E为BC的中点,点F在CD上,若AB‎⋅AF=‎‎2‎,则AE‎⋅‎BF的值是 A.‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎3‎ D.‎ ‎11.已知函数f(x)=sinωx+‎π‎3‎-‎3‎cosωx+‎π‎3‎ ω>0‎在区间‎-‎3π‎4‎,‎π‎2‎上单调,且在区间‎0,2π内恰好取得一次最大值2,则ω的取值范围是 A.‎0,‎‎2‎‎3‎ B.‎1‎‎4‎‎,‎‎2‎‎3‎ C.‎0,‎‎3‎‎4‎ D.‎‎1‎‎4‎‎,‎‎3‎‎4‎ ‎12.已知函数f(x)=x-1‎ex-kx‎3‎-‎1‎‎2‎x‎2‎+2‎,若对任意的x‎1‎‎,x‎2‎∈‎0,+∞‎,‎且x‎1‎‎≠‎x‎2‎,都有x‎1‎f(x‎1‎)+x‎2‎f(x‎2‎)>x‎2‎f(x‎1‎)+x‎1‎f(x‎2‎)‎,则实数k的取值范围是 A.‎-∞,‎e‎3‎ B.‎-∞,‎e‎3‎ C.‎-∞,‎‎1‎‎3‎ D.‎‎-∞,‎‎1‎‎3‎ 二、填空题 ‎13.已知实数x、y满足x-y+5≥0‎x≤3‎x+y≥0‎,则目标函数z=x+2y的最小值为_____________.‎ ‎14.已知函数f(x)=‎a⋅‎2‎x+a-2‎‎2‎x‎+1‎是定义在R上的奇函数,则a=‎___________.‎ ‎15.如图,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,PA=PB=PC=PD=AB=2‎,点E为棱PA的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为___________‎ ‎16.若数列an满足a‎1‎‎=1‎,‎-1‎nan‎+‎an+1‎‎=3⋅‎‎2‎n-1‎ n∈‎N‎*‎,数列bn的通项公式bn‎=‎an+1‎‎2‎n‎-1‎‎2‎n+1‎‎-1‎ ,则数列bn的前10项和S‎10‎‎=‎___________‎ 三、解答题 ‎17.已知等比数列an中,a‎3‎‎,a‎4‎,‎a‎5‎依次是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且a‎1‎‎=32‎,公比q≠1‎ ‎ ‎(1)求an; ‎ ‎(2)设bn‎=-‎log‎2‎an,求数列bn的前n项和Tn ‎18.已知a,b,c分别为ΔABC三个内角A,B,C的对边,向量m‎=‎sinA,sinB,n‎=‎cosB,cosA且m‎⋅n=sin2C.‎ ‎(1)求角C的大小;‎ ‎(2)若sinA+sinB=‎3‎sinC,且ΔABC面积为‎6‎‎3‎,求边c的长.‎ ‎19.在ΔABC中,D,E分别为AB,AC的中点,AB=2BC=2CD,如图1.以DE为折痕将ΔADE折起,使点A到达点P的位置,如图2. ‎ 如图1 如图2‎ ‎(1)证明:平面BCP⊥‎平面CEP;‎ ‎(2)若平面DEP⊥‎平面BCED,求直线DP与平面BCP所成角的正弦值。‎ ‎20.在数列‎{   an  }‎中, 已知a‎1‎‎=1‎,且数列‎{   an  }‎的前n项和Sn满足‎4Sn+1‎-3Sn=4‎, n∈‎N‎*‎.‎ ‎(1)证明数列‎{   an  }‎是等比数列;‎ ‎(2)设数列‎{  nan  }‎的前n项和为Tn,若不等式Tn‎+‎(‎3‎‎4‎)‎n⋅an-16<0‎对任意的n∈‎N‎*‎恒成立, 求实数a的取值范围.‎ ‎21.设函数f(x)=x‎2‎‎2‎-alnx-‎‎1‎‎2‎ ‎(1)当a=1‎时,求函数f(x)‎的极值.‎ ‎(2)若函数f(x)‎在区间‎1,e上有唯一的零点,求实数a的取值范围.‎ ‎22.已知函数f(x)=ax-cosx的定义域为‎0,π ‎(1)当a=-‎‎3‎‎2‎时,求函数f(x)‎的单调递减区间.‎ ‎(2)若f(x)<1-π‎2‎-sinx恒成立,求a的取值范围.‎ ‎2019届黑龙江省大庆实验中学 高三11月月考(期中)数学(理)试题 数学 答 案 参考答案 ‎1.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数相等的条件列式求得x,y的值,代入复数模的计算公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎∵‎‎-3+3i=x+y-1‎i ‎∴‎-3=x‎3=y-1‎,即x=-3,y=4.‎ 又z=x+yi,‎ ‎∴|z|=‎(-3‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎‎=5‎ .‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由复数相等的条件求复数的模长,属于基础题.‎ ‎2.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式得集合A,根据集合的运算和包含关系判断即可.‎ ‎【详解】‎ 集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}={x|﹣1≤x≤2},‎B=‎x‎-20‎可得[﹣π‎2ω,π‎2ω]是函数含原点的递增区间,结合已知可得[﹣π‎2ω,π‎2ω]⊇[‎-‎3π‎4‎,‎π‎2‎],可解得0<ω≤‎2‎‎3‎,又函数在区间[0,2π]上恰好取得一次最大值,根据正弦函数的性质可得‎1‎‎4‎ ‎×‎ π‎2ω ‎≤2π,得ω≥‎‎1‎‎4‎ ,进而得解.‎ ‎【详解】‎ f(x)=sinωx+‎π‎3‎-‎3‎cosωx+‎π‎3‎‎=2sinωxω>0‎,‎ ‎∴[﹣π‎2ω,π‎2ω]是函数含原点的递增区间.‎ 又∵函数在[‎-‎3π‎4‎,‎π‎2‎]上递增,‎ ‎∴[﹣π‎2ω,π‎2ω]⊇[‎-‎3π‎4‎,‎π‎2‎],‎ ‎∴得不等式组:﹣π‎2ω≤‎-‎‎3π‎4‎,且π‎2‎≤π‎2ω,‎ 又∵ω>0,‎ ‎∴0<ω≤‎2‎‎3‎ ,‎ 又函数在区间[0,2π]上恰好取得一次最大值,‎ 根据正弦函数的性质可知‎1‎‎4‎ ‎×‎ π‎2ω ‎≤2π且‎5‎‎4‎ ‎×‎ π‎2ω ‎‎>2π 可得ω∈[‎1‎‎4‎,‎5‎‎4‎‎)‎.综上:ω∈‎‎1‎‎4‎‎,‎‎2‎‎3‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦函数的图象和性质,研究有关三角的函数时要利用整体思想,灵活应用三角函数的图象和性质解题,属于中档题.‎ ‎12.D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1)变形得[f(x1)﹣f(x2)(x1﹣x2)≥0,进而分析函数f(x)在‎0,+∞‎为增函数或常数函数,据此可得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意,将x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1)变形可得[f(x1)﹣f(x2)]‎ ‎(x1﹣x2)≥0,所以函数f(x)在‎0,+∞‎为增函数或常数函数.‎ 当f(x)在‎0,+∞‎为增函数时,则f‎’‎(x)=xex-3kx‎2‎-x‎≥0‎ 在‎0,+∞‎恒成立,‎ 所以3k‎≤(‎ex‎-1‎x‎)‎min ,h(x)= ex‎-1‎x ,‎ h‎'‎(x)=ex‎(x-1)+1‎x‎2‎>0,‎∴‎ h(x)在‎0,+∞‎为增函数, ‎ x‎→0‎ , h(x)‎→‎ 1 ‎∴‎ 3k‎≤1‎ , k‎≤‎‎1‎‎3‎ .‎ 因为f(x)在‎0,+∞‎不可能为常数函数,(舍) 所以k‎≤‎‎1‎‎3‎ .‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查函数单调性的判定与应用,关键是依据x1f(x1)+x2f(x2)≥x1f(x2)+x2f(x1),判断出函数f(x)在‎0,+∞‎为增函数或常数函数,利用导数求出k的范围,属于中档题.‎ ‎13.‎‎-3‎ ‎【解析】‎ 满足条件的点‎(x,y)‎的可行域如下:‎ 由图可知,目标函数z=x+2y在点‎(3,-3)‎处取到最小值-3‎ ‎14.1‎ ‎【解析】‎ 依题意可得,f(0)=0‎,则‎2a-2‎‎2‎‎=0‎,解得a=1‎ 当a=1‎时,f(x)=‎‎2‎x‎-1‎‎2‎x‎+1‎,则f(-x)=‎2‎‎-x‎-1‎‎2‎‎-x‎+1‎=‎1-‎‎2‎x‎1+‎‎2‎x=-f(x)‎ 所以f(x)‎为奇函数,满足条件,故a=1‎ ‎15.‎3‎‎6‎ ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 做出平行四边形,将要求的角转化为角GFD或其补角为所求角,在三角形FDG中应用余弦定理得到夹角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 取PD的中点记为F点,BC的中点记为 点,连接FG,GD,因为EF//BC,且EF=‎1‎‎2‎BC,BG=‎1‎‎2‎BC,故得到四边形EFGB为平行四边形,故角GFD或其补角为所求角,根据题干得到,三角形PAB为等边三角形,BF为其高线,长度为‎3‎,FG=‎3‎,DG=CD‎2‎+CG‎2‎‎=‎‎5‎,‎ FD=1,根据余弦定理得到cos∠GFD=‎3+1-5‎‎2‎‎3‎=-‎‎3‎‎6‎,因为异面直线夹角为直角或锐角,故取正值,为:‎3‎‎6‎.‎ 故答案为:‎3‎‎6‎.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是异面直线的夹角的求法;常见方法有:将异面直线平移到同一平面内,转化为平面角的问题;或者证明线面垂直进而得到面面垂直,这种方法适用于异面直线垂直的时候.‎ ‎16.‎‎-‎‎2046‎‎2047‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于‎-1‎nan‎+‎an+1‎‎=3⋅‎‎2‎n-1‎,当n=1,代入得a‎2‎‎=‎-4,依次得a‎3‎‎=10,a‎4‎=-22,a‎5‎=46...‎发现规律, 利用bn‎=‎an+1‎‎2‎n‎-1‎‎2‎n+1‎‎-1‎,求出S‎10‎.‎ ‎【详解】‎ 由‎-1‎nan‎+‎an+1‎‎=3⋅‎‎2‎n-1‎,当n=1,代入得a‎2‎‎=‎-4,依次得a‎3‎‎=3×‎2‎‎2‎-2,a‎4‎=-3×‎2‎‎3‎+2,a‎5‎=3×‎2‎‎4‎-2,a‎6‎=-3×‎2‎‎5‎+2,a‎7‎=3×‎2‎‎6‎-2...‎发现规律, 利用bn‎=‎an+1‎‎2‎n‎-1‎‎2‎n+1‎‎-1‎,得b‎1‎=-‎4‎‎3‎ ,b‎2‎‎=‎10‎‎3×7‎,b‎3‎=-‎22‎‎7×15‎,b‎4‎=‎46‎‎15×31‎,b‎5‎=-‎94‎‎31×63‎...‎ ,求出S‎10=‎‎-‎‎2046‎‎2047‎.‎ 故答案为:‎‎-‎‎2046‎‎2047‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的是在数列中,给了递推公式不好求通项公式时,可以列举几项再发现规律,求出题中要求的前10项和,属于中档题.‎ ‎17.(1)an‎=‎‎2‎‎6-n;(2)Sn‎=‎n‎2‎‎-11n‎2‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)设某等差数列{cn}的公差为d,等比数列{an}的公比为q,依题意可求得q=‎1‎‎2‎,从而可求得数列{an}的通项公式;(Ⅱ)由(Ⅰ)知an‎=‎‎2‎‎6-n,于是可求得bn=n-6,继而可得数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)设某等差数列{cn}的公差为d,等比数列{an}的公比为q,‎ ‎∵a3,a4,a‎5‎ 分别是某等差数列{cn}的第5项、第3项和第2项,且a1=32,‎ ‎∴a3=c5,a4=c3,a‎5‎= c‎2‎ ‎ ‎∴c5=c3+2d=c2+3d,即a3=a4+2d=a5+3d,d=a‎3‎‎-a‎4‎‎2‎‎=a‎4‎‎-a‎5‎ ,‎ ‎∴a‎3‎‎=3a‎4‎-2‎a‎5‎,解得q=或q=1,又q≠1,∴q=,‎ ‎∴an=32×=‎2‎‎6-n.‎ ‎(Ⅱ)bn=‎-‎log‎2‎an=-log‎2‎‎2‎‎6-n‎=n-6‎,所以数列bn是以-5为首项,以1为公差的等差数列,‎ ‎∴Tn=n(-5+n-6)‎‎2‎‎=‎n(n-11)‎‎2‎ n‎2‎‎-11n‎2‎ .‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差,等比数列的通项公式和等差数列的求和,着重考查等差数列与等比数列的通项公式的应用,属于中档题.‎ ‎18.(1)C=π‎3‎ (2)c=6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用向量的数量积、两角和的正弦公式及三角函数的倍角公式即可得出;(2)利用正弦定理化简已知等式,得到a+b=‎3‎c,再利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积,将sinC以及已知面积代入求出ab的值,利用余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将a+b与ab,cosC的值代入即可求出c的值 ‎【详解】‎ ‎(1)∵,‎ ‎∴sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,‎ ‎∴2sinCcosC=sinC,‎ ‎∵0<C<π,∴sinC≠0,‎ ‎∴cosC=,∴C=.‎ ‎(2)由题意得sinA+sinB=‎3‎sinC,利用正弦定理化简得:a+b=‎3‎c,‎ ‎∵S△ABC=absinC=ab=6,即ab=24 ,‎ 由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=(a+b)2﹣3ab,即c2=‎3‎‎2‎ab=36,所以c=6.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积公式的运用、正弦定理和余弦定理解三角形;熟练掌握向量的数量积运算、三角函数的有关公式及性质是解题的关键.‎ ‎19.(1)见解析;(2)直线DP与平面BCP所成角的正弦值为‎6‎‎4‎.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)在题图1中,可证DE∥BC ,在题图2中,BC⊥‎平面CEP.进而得到BC⊥‎平面CEP.从而证得平面BCP⊥‎平面CEP;‎ ‎(2)可证得EP⊥‎平面BCED. EP⊥CE.则以E为坐标原点,分别以ED,EC,EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量可求直线DP与平面BCP所成角的正弦值.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)证明:在题图1中,因为AB=2BC=2CD,且D为AB的中点.由平面几何知识,得‎∠ACB=90°‎. ‎ 又因为E为AC的中点,所以DE∥BC ‎ 在题图2中,CE⊥DE,PE⊥DE,且CE∩PE=E,‎ 所以DE⊥‎平面CEP,‎ 所以BC⊥‎平面CEP. ‎ 又因为BC⊂‎平面BCP,‎ 所以平面BCP⊥‎平面CEP.‎ ‎(2)解:因为平面DEP⊥‎平面BCED,平面DEP∩‎平面BCED=DE,EP⊂‎平面DEP,EP⊥DE.‎ 所以EP⊥‎平面BCED. ‎ 又因为CE⊂‎平面BCED,‎ 所以EP⊥CE.‎ 以E为坐标原点,分别以ED,EC,EP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系 在题图1中,设BC=2a,则AB=4a,AC=2‎3‎a,AE=CE=‎3‎a,DE=a.‎ 则P‎0,0,‎3‎a,Da,0,0‎,C‎0,‎3‎a,0‎,B‎2a,‎3‎a,0‎.‎ 所以DP‎=‎‎-a,0,‎3‎a,BC‎=‎‎-2a,0,0‎,CP‎=‎‎0,-‎3‎a,‎3‎a. ‎ 设n=‎x,y,z为平面BCP的法向量,‎ 则n⋅BC=0,‎n⋅CP=0,‎,即‎-2ax=0,‎‎-‎3‎ay+‎3‎az=0.‎ 令y=1‎,则z=1‎.所以n=‎‎0,1,1‎. ‎ 设DP与BCP平面所成的角为θ,‎ 则sinθ=sinn,‎DP=cosn,‎DP=n⋅‎DPnDP=‎3‎a‎2‎‎×2a=‎‎6‎‎4‎.‎ 所以直线DP与平面BCP所成角的正弦值为‎6‎‎4‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明,以及利用空间向量求线面角,属中档题.‎ ‎20.(1)见解析(2) ‎‎(-∞,      20)‎ ‎【解析】分析:(1)利用‎4Sn+1‎-3Sn=4‎推出an+1‎an‎=‎‎3‎‎4‎是常数,然后已知a‎2‎a‎1‎‎=‎‎3‎‎4‎,即可证明数列‎{   an  }‎是等比数列; (2)利用错位相减法求出数列‎{  nan  }‎的前n项和为Tnn,化简不等式Tn‎+‎(‎3‎‎4‎)‎n⋅an-16<0‎,通过对任意的n∈‎N‎*‎恒成立,求实数a的取值范围.‎ 详解:‎ ‎(1) ‎∵‎已知‎4Sn+1‎-3Sn=4,       n∈‎N‎*‎,‎ ‎ ‎∴‎ n≥2‎时, ‎‎4Sn-3Sn-1‎=4.    ‎ 相减得‎4an+1‎-3an=0‎. 又易知an‎≠0,             ‎ ‎∴an+1‎an=‎‎3‎‎4‎‎. ‎ 又由‎4Sn+1‎-3Sn=4,       n∈‎N‎*‎得‎4(a‎1‎+a‎2‎)-3a‎1‎=4,       ‎ ‎ ‎∴a‎2‎=‎3‎‎4‎,                                      ∴a‎2‎a‎1‎=‎‎3‎‎4‎.‎ 故数列‎{   an  }‎是等比数列. ‎ ‎(2)由(1)知an‎=1×‎(‎3‎‎4‎)‎n-1‎=‎‎(‎3‎‎4‎)‎n-1‎. ‎ ‎ ‎∴Tn=1×‎(‎3‎‎4‎)‎‎0‎+2×‎(‎3‎‎4‎)‎‎1‎+⋯+n×‎‎(‎3‎‎4‎)‎n-1‎,‎ ‎ ‎∴‎3‎‎4‎Tn=1×‎(‎3‎‎4‎)‎‎1‎+2×‎(‎3‎‎4‎)‎‎2‎+⋯+n×‎‎(‎3‎‎4‎)‎n.‎ 相减得‎1‎‎4‎Tn‎=1+‎3‎‎4‎+‎(‎3‎‎4‎)‎‎2‎+⋯+‎(‎3‎‎4‎)‎n-1‎-n×‎(‎3‎‎4‎)‎n=‎1-‎‎(‎3‎‎4‎)‎n‎1-‎‎3‎‎4‎-n×‎‎(‎3‎‎4‎)‎n,‎ ‎ ‎∴Tn=16-16×‎(‎3‎‎4‎)‎n-4n×‎‎(‎3‎‎4‎)‎n, ‎ ‎ ‎∴‎不等式Tn‎+‎(‎3‎‎4‎)‎n×an-16<0‎为‎16-16×‎(‎3‎‎4‎)‎n-4n×‎(‎3‎‎4‎)‎n+‎(‎3‎‎4‎)‎n×an-16<0‎.‎ 化简得‎4n‎2‎+16n>a.‎ 设f(n)=4n‎2‎+16n, ‎ ‎∵n∈‎N‎*‎‎ ‎∴f‎(n)‎min=f(1)=20‎.‎ 故所求实数a的取值范围是‎(-∞,      20)‎.‎ 点睛:本题考查等比数列的判断,数列通项公式与前n项和的求法,恒成立问题的应用,考查计算能力.‎ ‎21.(1)极小值为‎0‎,无极大值;(2)‎a|a≤1,a>‎e‎2‎‎-1‎‎2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由a=1,得函数f(x)的解析式,求出其导函数以及导数为0的根,通过比较两根的大小找到函数的单调区间,进而求出f(x)的极小值;(2)求导后按a‎≤1,或a≥e‎2‎,或1
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