2018-2019学年河北省武邑中学高二上学期开学考试数学(理）试题-解析版

2018-2019学年河北省武邑中学高二上学期开学考试数学(理）试题-解析版

绝密★启用前 河北省武邑中学2018-2019学年高二上学期开学考试数学(理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知集合A=｛-2，-1,0，1,2｝，B=｛x|（x -1）（x+2）＜0｝,则A∩B=（ ）‎ A． ｛--1,0｝ B． ｛0,1｝ C． ｛-1,0,1｝ D． ｛,0,，1，2｝‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】‎ B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；‎ ‎∴A∩B={﹣1，0}．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查列举法、描述法表示集合，解一元二次不等式，以及交集的运算．‎ ‎2．已知等差数列中，，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列通项公式直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵等差数列{an}中，a5=8，‎ ‎∴a2+a4+a5+a9=a1+d+a1+3d+a5+a1+8d ‎=a5+（3a1+12d）=4a5=4×8=32．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的四项和的求法，考查等差数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．‎ ‎3．各项都是实数的等比数列{}，前n项和记为,若, ,则等于（ ）‎ A． 50 B． 60 C． 70 D． 90‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质，得：S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，由此能求出S30的值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵在等比数列中，S10=10，S20=30，‎ 由等比数列的性质，得：‎ S10，S20﹣S10，S30﹣S20成等比数列，‎ ‎∴（S20﹣S10）2=S10•（S30﹣S20），‎ ‎∴（30﹣10）2=10（S30﹣30），‎ 解得S30=70．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的前30项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．‎ ‎4．已知的面积为，且，则等于(　　)‎ A． 30° B． 30°或150° C． 60° D． 60°或120°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由面积公式得，进而可求得，从而得解．‎ ‎【详解】‎ 由面积公式得，∴，A=60°或120°，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理之下的三角形面积公式与特殊角的三角函数值，属于基础题．‎ ‎5．设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：反射光线和入射光线关于直线对称，所以设入射光线上的任意两点，其关于直线对称的两个点的坐标分别为，且这两个点在反射光线上，由直线的两点式可求出反射光线所在的直线方程为，所以D为正确答案．‎ 考点：1、直线的对称性；2、直线方程的求法．‎ ‎6．设为直线，是两个不同的平面，则下列事件中是必然事件的是（ ）‎ A． 若，，则 B． 若，，则 C． 若，，则 D． 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间中的线面关系逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【详解】‎ 对于A，若l∥α，l∥β，则 α∥β或α与β相交，故A错误；‎ 对于B，若 l⊥α，l⊥β，由线面垂直的性质得 α∥β，故B正确；‎ 对于C，若l⊥α，l∥β，则 α⊥β，故C错误；‎ 对于D，若 α⊥β，l∥α，则 l⊂β或l∥β或l与β相交．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中的线面关系，属于中档题．‎ ‎7．已知函数，则函数的值域为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数与指数函数的图象与性质，求出函数f（x）的值域．‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ ‎∴f（x）=，‎ 又﹣（x﹣1）2+1≤1，‎ ‎∴0＜≤2，‎ ‎∴函数f（x）的值域为（0，2]．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二次函数与指数函数的图象与性质应用问题，属于基础题．‎ ‎8．设且，则下列不等式中恒成立的是（ ）．‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举出反例a=-2，b=1，可判断A，B，C均不成立，进而得到答案．‎ ‎【详解】‎ 对于A，取a=-2，b=1，显然不成立；‎ 对于B，取a=-2，b=1，显然不成立；‎ 对于C, 取a=-2，b=1,显然不成立；‎ 对于D，函数y=x3在R上单调递增，时有 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎9． 如果直线(‎2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则a的值等于（ ）‎ A． 2 B．－‎2 ‎ C．2,－2 D．2,0,－2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：设直线（2a+5)x+(a-2)y+4=0为直线M; 直线（2-a)x+(a+3)y-1=0为直线N ‎1. 当直线M斜率不存在时，即直线M的倾斜角为90°，即a-2=0, a=2时，直线N的斜率为0，即直线M的倾斜角为0°。 故：直线M与直线N互相垂直，所以a=2时两直线互相垂直 ‎2.当直线M和N的斜率都存在时，Km=(‎2a+5)/(a-2) , Kn=(2-a)/(a+3) 要使两直线互相垂直，即让两直线的斜率相乘为-1。 故：a=-2‎ ‎3.当直线N斜率不存在时，显然两直线不垂直。‎ 综上所述：a=2或a=-2‎ 故选C。‎ ‎10．点在直线上，为原点，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：直线上的点到原点的距离的最小值，即原点到直线的距离，根据点到直线的距离公式得：，故答案为A.‎ 考点：1.定点到直线上的点的距离的最小值；2.点到直线的距离公式.‎ ‎11．关于函数f(x)＝2(sinx－cos x)cos x的四个结论：‎ P1：最大值为；‎ P2：把函数f(x)＝sin 2x－1的图象向右平移个单位后可得到函数f(x)＝2(sin x－cos x)cos x的图象；‎ P3：单调递增区间为 (k∈Z)；‎ P4：图象的对称中心为 (k∈Z)．其中正确的结论有 (　　)．‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简函数的解析式，求出函数的最值判断①的正误；利用三角函数的图象的平移判断②的正误；求出函数的单调增区间判断③的正误；求出函数的对称中心判断④的正误．‎ ‎【详解】‎ 对于①，因为f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x=sin（2x﹣）﹣1，所以最大值为﹣1，故①错误．‎ 对于②，将f（x）=sin2x﹣1的图象向右平移个单位后得到f（x）=sin（2x﹣）﹣1的图象，而函数f（x）=2（sinx﹣cosx）cosx=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．故②错误．‎ 对于③，由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，即增区间为[kπ+，kπ+（k∈Z），故③正确．‎ 对于④，由2x﹣=kπ，k∈Z，得x=+，k∈Z，所以函数的对称中心为（π+，﹣1）（k∈Z）．故④正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，函数的单调性以及函数的图象的平移，三角函数的对称中心，是中档题．‎ ‎12．不等式对于恒成立，那么的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，‎ 当a﹣2=0，即a=2时，﹣4＜0恒成立，满足题意；‎ 当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，‎ 需，即有，‎ 即，‎ 解得﹣2＜a＜2．‎ 综上可得，a的取值范围为（﹣2，2]．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式恒成立问题，主要考查的是二次函数的图象和性质，注意讨论二次项系数是否为0，是易错题．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．角 的终边经过点 且 ,则 =_____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由角α的终边经过点P（x，4），根据cosα的值求出x的值，确定出P的坐标，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值.‎ ‎【详解】‎ ‎∵角α的终边经过点P（x，4），且，‎ ‎∴cosα==，即x=0,x=3或x=﹣3，‎ ‎∴P（±3，4），‎ ‎∴sinα=，‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】‎ 此题考查三角函数的定义，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．‎ ‎14．数列 ， ， ，，…的第5项是____________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分子、分母及各项符号的变化情况得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由数列：数列 ， ， ，，…可知：奇数项的符号为“+”，偶数项的符号为“-”，每项的绝对值为 ‎∴数列： ， ， ，，…的一个通项公式是an=(−1)n+1‎ ‎∴第5项是 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了通过观察求数列的通项公式，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎15．已知△中，，，，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意，由余弦定理知.‎ 考点：1.余弦定理.‎ ‎16．已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解法一：先求得直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），由﹣≤0可得点M在射线OA上．求出直线和BC的交点N的坐标，①若点M和点A重合，求得b=；②‎ 若点M在点O和点A之间，求得＜b＜； ③若点M在点A的左侧，求得＞b＞1﹣．再把以上得到的三个b的范围取并集，可得结果．‎ 解法二：考查临界位置时对应的b值，综合可得结论．‎ ‎【详解】‎ 解法一：由题意可得，三角形ABC的面积为 =1，‎ 由于直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M（﹣，0），‎ 由直线y=ax+b（a＞0）将△ABC分割为面积相等的两部分，可得b＞0，‎ 故﹣≤0，故点M在射线OA上．‎ 设直线y=ax+b和BC的交点为N，则由可得点N的坐标为（，）．‎ ‎①若点M和点A重合，则点N为线段BC的中点，故N（，），‎ 把A、N两点的坐标代入直线y=ax+b，求得a=b=．‎ ‎②若点M在点O和点A之间，此时b＞，点N在点B和点C之间，‎ 由题意可得三角形NMB的面积等于，‎ 即=，即 =，可得a=＞0，求得 b＜，‎ 故有＜b＜．‎ ‎③若点M在点A的左侧，则b＜，由点M的横坐标﹣＜﹣1，求得b＞a．‎ 设直线y=ax+b和AC的交点为P，则由 求得点P的坐标为（，），‎ 此时，由题意可得，三角形CPN的面积等于，即 •（1﹣b）•|xN﹣xP|=，‎ 即（1﹣b）•|﹣|=，化简可得2（1﹣b）2=|a2﹣1|．‎ 由于此时 b＞a＞0，0＜a＜1，∴2（1﹣b）2=|a2﹣1|=1﹣a2 ．‎ 两边开方可得 （1﹣b）=＜1，∴1﹣b＜，化简可得 b＞1﹣，‎ 故有1﹣＜b＜．‎ 再把以上得到的三个b的范围取并集，可得b的取值范围应是 ，‎ 解法二：当a=0时，直线y=ax+b（a＞0）平行于AB边，‎ 由题意根据三角形相似且面积比等于相似比的平方可得=，b=1﹣，趋于最小．‎ 由于a＞0，∴b＞1﹣．‎ 当a逐渐变大时，b也逐渐变大，‎ 当b=时，直线经过点（0，），再根据直线平分△ABC的面积，故a不存在，故b＜．‎ 综上可得，1﹣＜b＜，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查确定直线的要素，点到直线的距离公式以及三角形的面积公式的应用，还考察运算能力以及综合分析能力，分类讨论思想，属于难题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．解下列不等式 ‎（）．‎ ‎（）．‎ ‎【答案】(1) ;(2)见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先将二次项系数化正，求出对应方程的根，直接写出解集即可；‎ ‎（2）按照a的正负、两根的大小关系讨论求解即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（）∵ ∴， ∴，‎ 解得或，‎ ‎∴不等式的解集是或．‎ ‎（）当， 的图像开口向下，与轴交点为， ，且，‎ ‎∴的解集为： ，‎ 当时， ，‎ ‎∴无解，‎ 当时，抛物线的图像开口向上，与轴交点为， ，‎ 当时，不等式可化为，解得，‎ 当时，解得或，‎ 当时，解得或，‎ 综上，当时，不等式的解集是，‎ 当时，不等式的解集是，‎ 当时，不等式的解集是或，‎ 当时，不等式的解集是，‎ 当时，不等式的解集是或．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函 数的图象写出不等式的解集．‎ ‎（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．‎ ‎18．已知．‎ ‎(1)若，求的值．‎ ‎(2)若，且，求的值．‎ ‎【答案】(1) ; (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用诱导公式化简，然后结合同角基本关系式即可得到结果；‎ ‎（2）根据f（α）=sinαcosα=，两边加上1，利用同角三角函数间的基本关系化简，根据α的范围判断cosα﹣sinα为负数，开方即可求出值．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ‎ ‎ (2) 由．可知：‎ 又因为，所以，即． ‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．‎ ‎19．设△的内角所对边的长分别为，且有。‎ ‎（Ⅰ）求角A的大小；‎ ‎（Ⅱ) 若，，为的中点，求的长。‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据，可得，从而由三角形内角和定理可得，注意，由此可求求角A的大小；‎ ‎（2）利用b=2，c=1，，可求a的值，进而可求B角，利用D为BC的中点，可求AD的长．‎ 试题解析：（1）‎ ‎（2）‎ 在中，‎ 考点：1、余弦定理；2、三角函数的恒等变换及化简求值．‎ ‎20．已知函数为二次函数，不等式的解集，且在区间上的最大值为12.‎ ‎（1）求函数的解析式； ‎ ‎（2）设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值.‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎（2） ‎ ‎ . ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）不等式的解集，得出f（x）=m（x﹣5）x，m＞0，f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值为12．f（﹣1）=12，即可求出解析式．‎ ‎（2）根据二次函数的对称轴和单调性判断．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集为（0，5），‎ ‎∴f（x）=m（x﹣5）x，m＞0，对称轴x=，‎ ‎∵f（x）在区间[﹣1，3]上的最大值为12，‎ ‎∴f（﹣1）=12，‎ ‎∴m=2，‎ ‎∴f（x）=2x2﹣10x，‎ ‎（2）由（1）知，f（x）=2x2﹣10x，‎ 对称轴是x=，t≥时，f（x）在[t，t+1]递增，‎ 故f（x）min=f（t）=2t2﹣10t，‎ t＜＜t+1即＜t＜时，f（x）min=f（）=﹣，‎ t+1≤即t≤时，f（x）min=f（t+1）=2t2﹣6t﹣8，‎ 综上，，‎ 则．‎ ‎【点睛】‎ 二次函数在闭区间上必有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取到；常见题型有：（1）轴固定区间也固定；（2）轴动（轴含参数），区间固定；（3）轴固定，区间动（区间含参数）. 找最值的关键是：（1）图象的开口方向；（2）对称轴与区间的位置关系；（3）结合图象及单调性确定函数最值.‎ ‎21．已知的三个顶点．‎ ‎（1）求边所在直线方程；‎ ‎（2）边上中线的方程为，且，求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;（Ⅱ）或 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）根据两点间的斜率公式可知， ……2分 根据直线的点斜式方程有，‎ ‎∴边所在直线方程为. ……4分 ‎（Ⅱ）， ……5分 ‎，， ……6分 ‎∴，或， ……8分 所以或， ……10分 解得或. ……12分 考点：本小题主要考查直线方程的求解和应用.‎ 点评：求解直线方程时，要灵活运用直线方程的五种形式，更要注意各自的适用范围和限制条件；另外，点到直线的距离公式在解题时经常用到，要灵活应用.‎ ‎22．已知曲线 ‎(1)若，过点的直线交曲线于两点，且，求直线的方程；‎ ‎(2)若曲线表示圆时，已知圆与圆交于两点，若弦所在的直线方程为， 为圆的直径，且圆过原点，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）或 (即) ；(2) ．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由已知条件推导出圆心C（1，2），2为半径，由此利用点到直线的距离公式结合已知条件能求出m=1． （2）求出圆的方程，两圆相减得公共弦方程，即得m.‎ 试题解析：‎ ‎（1） 当时, 曲线C是以为圆心,2为半径的圆,‎ 若直线的斜率不存在,显然不符，‎ 故可直线为:，即．‎ 由题意知，圆心到直线的距离等于，‎ 即:‎ 解得或．故的方程或(即) ‎ ‎(2)由曲线C表示圆，即，‎ 所以圆心C（1,2），半径，则必有．‎ 设过圆心且与垂直的直线为：，解得；‎ ‎，所以，圆心 又因为圆过原点，则；‎ 所以圆的方程为，整理得：；‎ 因为为两圆的公共弦，两圆方程相减得：；‎ 所以为直线的方程；又因为；所以．‎