2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学（理）试题

2019-2020学年江西省南昌市第二中学高二上学期期末考试数学（理）试题

南昌二中2019—2020学年度上学期期末考试 高二数学（理）试卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数的虚部为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是（ ）‎ A．都不能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．能被5整除 ‎3．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎4．下列命题中错误的是（ ）‎ A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题 B．命题“若，则或”为真命题 C．命题“若函数的导函数满足，则是函数的极值点”的逆否命题是真命题 D．命题p：，则p为 ‎ ‎5.直线的倾斜角的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7．函数在区间上的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若，，，则的大小关系为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩 ‎10.下列命题为真命题的个数是（ ）‎ ‎① ② ③ ‎ A．0 B．‎1 ‎‎ ‎ C．2 D．3‎ ‎11.双曲线的左,右顶点分别是，是上任意一点，直线分别与直线交于，则的最小值是（ ）‎ A． B． C．2 D．3 ‎ ‎12．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知函数，则等于____________.‎ ‎14. __________. ‎ ‎15．已知点P（x，y）是抛物线y2＝4x上任意一点，Q是圆（x+2）2+（y―4）2＝1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为_____．‎ ‎16.已知函数.下列说法正确的是___________.‎ ‎①有且仅有一个极值点；‎ ‎②有零点；‎ ‎③若极小值点为，则；‎ ‎④若极小值点为，则.‎ 三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 命题，命题方程表示焦点在轴上的椭圆．‎ ‎（1）若“或”为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“非”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线为（为参数）.在以为原点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线与除极点外的一个交点为，设直线经过点，且倾斜角为，直线与曲线的两个交点为.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 数列的前项和为，且满足．‎ ‎(1)求，，，的值；‎ ‎(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ ‎ 设函数．‎ ‎（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）方程有唯一实数解，求正数的值．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(，0)，B(－，0)，直线PA与PB的斜率之积为－．‎ ‎(1)求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过定点．‎ ‎ ‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：．‎ 高二数学（理）期末考试参考答案 ‎1．复数的虚部为（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎2．用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除．”时，假设的内容应该是（ ）‎ A．都不能被5整除 B．都能被5整除 C．不都能被5整除 D．能被5整除 ‎【答案】A ‎3．函数的图象在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A．0 B． C．1 D．‎ ‎【答案】B 试题分析：，令，则倾斜角为.‎ ‎4．下列命题中错误的是（ ）‎ A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题 B．命题“若，则或”为真命题 C．命题“若函数的导函数满足，则是函数的极值点”的逆否命题是真命题 D．命题p：，则p为 ‎ ‎【答案】C ‎5.直线的倾斜角的取值范围是（　D　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6．若，则“复数在复平面内对应的点在第三象限”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎7．函数在区间上的最大值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ ‎8．若，，，则的大小关系为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 依题意，，故，所以选B.‎ ‎9．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）‎ A．乙、丁可以知道自己的成绩 B．乙可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．丁可以知道四人的成绩 ‎【答案】A ‎10.下列命题为真命题的个数是（ C ）‎ ‎① ② ③ ‎ A．0 B．‎1 ‎ C．2 D．3‎ ‎11.双曲线的左,右顶点分别是，是上任意一点，直线 分别与直线交于，则的最小值是（ B ）‎ A． B． C．2 D．3 ‎ ‎12．若函数与函数的图象存在公切线，则正实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎13．已知函数，则等于____________.‎ 详解：函数 ‎，‎ 将代入，得 ‎14.__________. ‎ ‎15．已知点P（x，y）是抛物线y2＝4x上任意一点，Q是圆（x+2）2+（y﹣4）2＝1上任意一点，则|PQ|+x的最小值为_____．‎ ‎【答案】3‎ 画出图像,设焦点为,由抛物线的定义有,故.‎ 又当且仅当共线且为与圆的交点时取最小值为 .故的最小值为.‎ 又当为线段与抛物线的交点时取最小值,‎ 此时 ‎16.已知函数.下列说法正确的是___________.‎ ‎①有且仅有一个极值点；‎ ‎②有零点；‎ ‎③若极小值点为，则 ‎④若极小值点为，则 ‎①③‎ ‎17．命题，命题方程表示焦点在轴上的椭圆．‎ ‎（1）若“或”为假命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若“非”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．‎ 试题解析：（1）关于命题，‎ 时，显然不成立，时成立，恒成立 ‎ 时，只需即可，解得：，故为真时：； ‎ 关于命题，解得： ， ‎ 命题“或”为假命题，即均为假命题，则；． ‎ ‎（2）非，所以 ‎ ‎18．在平面直角坐标系中，曲线为（为参数）.在以为原点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，射线与除极点外的一个交点为，设直线经过点，且倾斜角为，直线与曲线 的两个交点为.‎ ‎（1）求普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎18.试题分析：（1）的普通方程是. ‎ 由得，所以的直角坐标方程是 ‎（2）联立与得或，不是极点，. ‎ 依题意，直线的参数方程可以表示为 （为参数），‎ 代入得,设点的参数是，则 ‎， ‎ ‎19．数列的前项和为，且满足．‎ ‎(1)求，，，的值；‎ ‎(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ 解：（1）当时，∵，∴， ‎ 又，∴，‎ 同理，；‎ ‎（2）猜想 ‎ 下面用数学归纳法证明这个结论.‎ ‎①当时，结论成立.‎ ‎②假设时结论成立，即，‎ 当时，，‎ ‎∴，∴‎ 即当时结论成立.‎ 由①②知对任意的正整数n都成立.‎ ‎20．(本小题满分12分) 设函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，恒成立，求范围；‎ ‎（Ⅱ）方程有唯一实数解，求正数的值．‎ ‎20．【解析】（Ⅰ）当时， ． ‎ 解得或（舍去）．当时，，单调递增，当时，，单调递减 ． 所以的最大值为．故． ‎ ‎（Ⅱ）方程即 解法1：设，解 得(<0舍去)，‎ 在单调递减，在单调递增，最小值为 ‎ ‎ 因为有唯一实数解，有唯一零点，所以 ‎ 由得，因为单调递增，且，所以 . 从而 ‎ 解法2：分离变量 ‎ ‎21. 在平面直角坐标系中，点P(x，y)为动点，已知点A(，0)，B(－，0)，直线PA与PB 的斜率之积为－.‎ ‎(1)求动点P的轨迹E的方程；‎ ‎(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过定点．‎ 解：(1)由题知：·＝－.‎ 化简得＋y2＝1(y≠0)．(4分)‎ ‎(2)方法1：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，－y2)，l：x＝my＋1，‎ 代入＋y2＝1(y≠0)整理得(m2＋2)y2＋2my－1＝0.(7分)‎ y1＋y2＝，y1y2＝，‎ MQ的方程为y－y1＝(x－x1)，(10分)‎ 令y＝0，‎ 得x＝x1＋＝my1＋1＋＝＋1＝2，‎ ‎∴直线MQ过定点(2,0)．(12分)‎ 方法2：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(x2，－y2)，l：y＝k(x－1)，‎ 代入＋y2＝1(y≠0)整理得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0，(7分)‎ x1＋x2＝，x1x2＝，‎ MQ的方程为y－y1＝(x－x1)，(10分)‎ 令y＝0，‎ 得x＝x1＋＝x1＋＝＝2.‎ ‎∴直线MQ过定点(2,0)．(12分)‎ ‎ ‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明：．‎ 解：（1）由得.‎ 当即时，，所以在上单调递增．‎ 当即时，由得；由得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ ‎（2）要证成立，‎ 只需证成立，即证.‎ 现证：.‎ 设．则，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以.‎ 因为，所以，则，‎ 即，当且仅当，时取等号．‎ 再证：.设，则.‎ 所以在上单调递增，则，即.‎ 因为，所以．当且仅当时取等号，‎ 又与两个不等式的等号不能同时取到，‎ 即，所以．‎