2021届课标版高考理科数学一轮复习教师用书：第三章第一讲　导数的概念及运算

2021届课标版高考理科数学一轮复习教师用书：第三章第一讲　导数的概念及运算

第三章　导数及其应用第一讲　导数的概念及运算　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.下列说法正确的是(　　)(1)f'(x)与f'(x0)(x0为常数)表示的意义相同.(2)在曲线y=f(x)上某点处的切线与曲线y=f(x)过某点的切线意义相同.(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(5)(sinπ3)'=cosπ3.(6)(3x)'=3xlog3e.(7)(log2x)'=1x·ln2.A.(1)(2)(3)(5)(7)B.(4)(5)(7)C.(3)(7)D.(6)(7)2.某质点的位移s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数是s=2t3-12gt2(g=10m/s2),则当t=2s时,它的加速度是(　　)A.14m/s2B.4m/s2C.10m/s2D.-4m/s23.设正弦函数y=sinx在x=0和x=π2附近的平均变化率分别为k1,k2,则k1,k2的大小关系为(　　)A.k1>k2B.k10)上点P处的切线垂直,则P的坐标为　　　　. 考法1导数的运算1求下列函数的导数:(1)y=(x+1)(x+2)(x+3);(2)y=sinx2(1-2cos2x4)；(3)y=ln2x-12x+1(x>12).把已知函数式进行化简→利用导数公式进行求导(1)因为y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,\n所以y'=3x2+12x+11.(2)因为y=sinx2(-cosx2)=-12sinx,所以y'=(-12sinx)'=-12(sinx)'=-12cosx.(3)y'=(ln2x-12x+1)'=[ln(2x-1)-ln(2x+1)]'=[ln(2x-1)]'-[ln(2x+1)]'=12x-1·(2x-1)'-12x+1·(2x+1)'=22x-1-22x+1=44x2-1.2若函数f(x)=lnx-f'(1)x2+3x-4,则f'(3)=　　　. 先求出f'(1),得出导函数的解析式,再把x=3代入导函数的解析式得f'(3).对f(x)求导,得f'(x)=1x-2f'(1)x+3,所以f'(1)=1-2f'(1)+3,解得f'(1)=43,所以f'(x)=1x-83x+3,将x=3代入f'(x),可得f'(3)=-143.1.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则f'(0)=(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.26B.29C.212D.215考法2导数的几何意义的应用3(1)[2019全国卷Ⅱ,10,5分]曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为　　　　　　　　　　　　　　　　　A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0(2)[2019全国卷Ⅲ,6,5分][理]已知曲线y=aex+xlnx在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1D.a=e-1,b=-1(3)[2019江苏,11,5分]在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是　　　　. (1)先求得相应函数的导数,再依据导数的几何意义得出所求切线的斜率,最后由直线的点斜式方程求解.(2)先求出切线方程,然后与已知的切线方程对比得出关于参数的方程组,解之即可.(3)设出点A的坐标,先求出切线方程,然后将(-e,-1)代入求解即可.(1)依题意得y'=2cosx-sinx,y' x=π=(2cosx-sinx) x=π=2cosπ-sinπ=-2,因此所求的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y-2π+1=0.故选C.(2)因为y'=aex+lnx+1,所以y' x=1=ae+1,所以曲线在点(1,ae)处的切线方程为y-ae=(ae+1)(x-1),即y=(ae+1)x-1,所以ae+1=2,b=-1,解得a=e-1,b=-1.故选D.(3)设A(x0,lnx0),又y'=1x,则曲线y=lnx在点A处的切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0),将(-e,-1)代入得,-1-lnx0=1x0(-e-x0),化简得lnx0=ex0,解得x0=e,则点A的坐标是(e,1).\n2.(1)[2019石家庄市质检]将函数y=ex(e为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O顺时针旋转角θ后第一次与x轴相切,则角θ满足的条件是(　　)A.esinθ=cosθB.sinθ=ecosθC.esinθ=1D.ecosθ=1(2)[2016全国卷Ⅱ,16,5分][理]若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=　　　　. 274易错1混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误4若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,则a的值为A.1B.164C.1或164D.1或-164求解时易因没有对点(0,0)是否为切点进行分析,误认为是切点而出错.易知点O(0,0)在曲线y=x3-3x2+2x上.(1)当O(0,0)是切点时,由y'=3x2-6x+2,得y'|x=0=2,即直线l的斜率为2,故直线l的方程为y=2x.由y=2x,y=x2+a,得x2-2x+a=0,依题意知Δ=4-4a=0,得a=1.(2)当O(0,0)不是切点时,设直线l与曲线y=x3-3x2+2x相切于点P(x0,y0),则y0=x03-3x02+2x0,k=y'|x=x0=3x02-6x0+2　①,又k=y0x0=x02-3x0+2　②,所以联立①②,得x0=32(x0=0舍去),所以k=-14,故直线l的方程为y=-14x.由y=-14x,y=x2+a,得x2+14x+a=0,依题意知Δ=116-4a=0,得a=164.综上,a=1或a=164.C素养探源　核心素养考查途径素养水平数学运算导数运算、解方程.二逻辑推理按点O是否为曲线切点进行分类讨论,命题的等价转换.一\n易错警示　1.求解曲线的切线方程问题,关键是对曲线的函数的求导,因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点,应先确定其是不是曲线的切点.(1)“过点A的曲线的切线方程”与“曲线在点A处的切线的方程”是不相同的,后者A必为切点,前者A未必是切点;(2)曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的切线往往不止一条;(3)曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个.而直线与二次函数对应的曲线相切只有一个公共点.易错2　复合函数的求导中错用法则致误5设函数f(x)=cos(3x+φ),其中常数φ满足-π<φ<0.若函数g(x)=f(x)+f'(x)(其中f'(x)是函数f(x)的导数)是偶函数,则φ等于A.-π3B.-5π6C.-π6D.-2π3由题意得g(x)=f(x)+f'(x)=cos(3x+φ)-3sin(3x+φ)=2cos(3x+φ+π3).(注意两角和的余弦公式的应用)因为函数g(x)为偶函数,所以φ+π3=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-π3,k∈Z.又-π<φ<0,所以φ=-π3.A素养探源　核心素养考查途径素养水平数学运算导数运算、解方程.一逻辑推理命题间的等价转换.一易错警示　本题在对复合函数求导时,易错用导数的运算法则而致误,避开易错点的关键是选择中间变量,复合函数f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'=yu'·ux'=f'(u)·g'(x),即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.求导时需要记住中间变量,注意从外层开始由外及里逐层求导.322\n1.C　由导数的概念、几何意义及导数公式可得(3)(7)正确.2.A　由质点在时刻t的速度v(t)=s'(t)=6t2-gt,加速度a(t)=v'(t)=12t-g,得当t=2s时,a(2)=v'(2)=12×2-10=14(m/s2).3.A　∵y=sinx,∴y'=(sinx)'=cosx.k1=cos0=1,k2=cosπ2=0,∴k1>k2.4.y=3x　因为y'=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3(x2+3x+1)ex,所以曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线的斜率k=',所以所求的切线方程为y=3x.5.-3　y'=(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为-2,得y'|x=0=(ax+1+a)ex|x=0=1+a=-2,所以a=-3.6.e　由题意得f'(x)=exlnx+ex·1x,则f'(1)=e.7.(1,1)　y'=ex,则曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k切=1,又曲线y=1x(x>0)上点P处的切线与曲线y=ex在点(0,1)处的切线垂直,所以曲线y=1x(x>0)在点P处的切线的斜率为-1,设P(a,b)(a,b>0),则曲线y=1x(x>0)上点P处的切线的斜率为'=-a-2=-1,可得a=1,又P(a,b)在曲线y=1x上,所以b=1,故P(1,1).1.C　因为f'(x)=x'[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]+[(x-a1)·(x-a2)…(x-a8)]'x=(x-a1)(x-a2)…(x-a8)+[(x-a1)(x-a2)…(x-a8)]'x,所以f'(0)=(0-a1)(0-a2)…(0-a8)+0=a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列,所以a2a7=a3a6=a4a5=a1a8=8,所以f'(0)=84=212.故选C.2.(1)B　由题意得x轴绕坐标原点O逆时针旋转角θ后第一次与y=ex的图象相切,设切点为(x0,ex0),∵y'=ex,∴ex0x0=ex0,∴x0=1,∴tanθ=e,∴sinθ=ecosθ,故选B.(2)1-ln2　设直线y=kx+b与曲线y=lnx+2的切点为(x1,lnx1+2),与曲线y=ln(x+1)的切点为(x2,ln(x2+1)).则切线方程分别为y-lnx1-2=1x1(x-x1),y-ln(x2+1)=1x2+1(x-x2),化简得y=1x1x+lnx1+1,y=1x2+1x-x2x2+1+ln(x2+1),依题意,得1x1=1x2+1,lnx1+1=-x2x2+1+ln(x2+1),解得x1=12,从而b=lnx1+1=1-ln2.