新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：6-6-2 柱、锥、台的体积 课件（82张）

新教材数学北师大版（2019）必修第二册课件：6-6-2 柱、锥、台的体积 课件（82张）

6.2柱、锥、台的体积\n\n必备知识·自主学习1.棱柱和圆柱的体积棱柱和圆柱的体积的计算公式:V柱体=___.其中S为柱体的底面积,h为柱体的高.特别地,V圆柱=πr2h(r是圆柱的底面半径,h是圆柱的高)导思1.棱柱和圆柱的体积公式是什么?2.棱锥和圆锥的体积公式是什么?3.棱台和圆台的体积公式是什么?Sh\n2.棱锥和圆锥的体积棱锥和圆锥的体积的计算公式:V锥体=____.其中S为锥体的底面积,h为锥体的高.特别地,V圆锥=πr2h(r是圆锥的底面半径,h是圆锥的高)\n3.棱台和圆台的体积棱台和圆台的体积的计算公式:V台体=___________________.S上,S下分别为棱台的上、下底面面积,h为棱台的高.特别地,V圆台=_________________(r′,r分别是上、下底面半径,h是高).\n【思考】从运动的观点看,棱柱、棱锥、棱台的体积公式有什么关系?提示:V棱柱=ShV棱台=(S′++S)hV棱锥=Sh.(其中S为下底面面积,S′为上底面面积,h为高).\n【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.()(2)棱锥的体积等于底面面积与高之积.()(3)在三棱锥P-ABC中,VP-ABC=VA-PBC=VB-PAC=VC-PAB.()(4)棱台的体积可转化为两个棱锥的体积之差.()\n提示:(1)√.(2)×.体积公式中缺少了一个.(3)√.(4)√.\n2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等于()A.πB.2πC.4πD.8π【解析】选B.设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r,由题意得S圆柱侧=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圆柱=πr2×2r=2πr3=2π.\n3.(教材二次开发:练习改编)正方体的表面积为96,则正方体的体积为()A.48B.64C.16D.96【解析】选B.设正方体的棱长为a,则6a2=96,解得a=4,故V=a3=43=64.\n关键能力·合作学习类型一　圆柱、圆锥、圆台的体积(数学运算、逻辑推理)【题组训练】1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16π,则圆锥的体积是()A.B.C.64πD.128π\n2.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为()A.5πB.6πC.20πD.10π3.已知某圆台的上、下底面面积分别是π,4π,侧面积是6π,则这个圆台的体积是________.\n【解析】1.选A.设圆锥的底面半径为r,母线长为l,因为圆锥的轴截面是等腰直角三角形,所以2r=,即l=r,由题意得侧面积S侧=πr·l=πr2=16π,所以r=4.所以l=4,高h==4.所以圆锥的体积V=Sh=π×42×4=π.\n2.选D.用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.3.设圆台的上、下底面半径分别为r和R,母线长为l,高为h,则S上=πr2=π,S下=πR2=4π,所以r=1,R=2,S侧=π(r+R)l=6π,所以l=2,所以h=,所以V=π(12+22+1×2)×=π.答案:π\n【解题策略】圆柱、圆锥、圆台的体积求法(1)直接法:根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直接求出.(2)分割法:将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积.(3)补体法:将几何体补成易求解的几何体,先求再去.\n【补偿训练】如图,在四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,C到AB与AD的距离分别为1和2,若将ABCD绕y轴旋转一周,求所得旋转体的体积.\n【解析】旋转得到一个圆锥和圆台的组合体,V圆锥=π×22×2=π,V圆台=π×1×(22+12+2×1)=π,所以V=V圆锥+V圆台=5π.\n类型二　棱柱、棱锥、棱台的体积(数学运算、逻辑推理)【典例】如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为()A.4B.C.D.3【思路导引】判断几何体的形状,利用棱锥的体积转化求解即可.\n【解析】选B.由图可知该几何体为两个全等的正四棱锥构成,四棱锥底面四边形面积为正方形面积的一半为2,高为正方体棱长的一半为1,所以V=×2×1×2=.\n【解题策略】求几何体体积的常用方法\n【跟踪训练】如图,已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,E为AA1的中点,F为CC1上一点,求三棱锥A1-D1EF的体积.\n【解析】因为EA1·A1D1=a2,又三棱锥F-A1D1E的高为CD=a,所以所以\n【拓展延伸】棱柱、棱锥、棱台的体积与数学文化的融合历史文明与数学文化的结合现在越来越密切,所以用学过的数学知识来求解历史文化中的问题也越来越普遍,特别是求解历史上有名的物体的体积.\n【拓展训练】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之,亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之,并,以高乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘,将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为()\n【解析】选B.设下底面的长宽分别为x,y,则2(x+y)=18,所以x+y=9,y=9-x,x≥9-x,即x≥,所以该“刍童”的体积为V=×3[2(6+x)+(2x+3)y]=(30+2xy+y)=(-2x2+17x+39)所以当x=时,该“刍童”的体积取最大值.Vmax=\n类型三　柱、锥、台体积的实际应用(直观想象、逻辑推理)角度1柱、锥、台体积的实际应用【典例】(2020·江苏高考)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的,已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.\n【思路导引】本题主要考查正棱柱、圆柱的体积计算,要求学生要熟记公式.【解析】记此六角螺帽毛坯的体积为V,正六棱柱的体积为V1,圆柱的体积为V2,则V1=6××2×2×sin60°×2=12(cm3),V2=π×(0.5)2×2=(cm3),所以V=V1-V2=12-(cm3).答案:\n角度2空间几何体的体积和表面积的最值问题【典例】如图,已知一个圆锥的底面半径与高均为2,且在这个圆锥中有一个高为x的圆柱.(1)求出此圆锥的侧面积;(2)用x表示此圆柱的侧面积表达式;(3)当此圆柱的侧面积最大时,求此圆柱的体积.\n【思路导引】(1)求出圆锥的母线长,计算圆锥的侧面积;(2)利用相似三角形求出圆柱的底面圆半径r,计算圆柱的侧面积;(3)利用二次函数的性质求出圆柱侧面积取最大值时x的值,再计算对应圆柱的体积.\n【解析】(1)圆锥的底面半径R与高H均为2,则圆锥的母线长为L=2,所以圆锥的侧面积为S圆锥侧=πRL=π×2×2=4π.(2)设圆柱的半径为r,则,解得r=2-x,且0

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