重庆市2020届高三5月调研（二诊）数学（理）试题 Word版含解析

重庆市2020届高三5月调研（二诊）数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com2020年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由对数函数的性质可得，再由集合交集的概念即可得解.【详解】由题意，所以.故选：B.【点睛】本题考查了对数不等式的求解及集合的运算，属于基础题.2.若复数满足，则（）A.B.2C.D.10【答案】C【解析】【分析】由题意，再由复数模的概念即可得解.-23-\n【详解】由题意，所以.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算与模的求解，属于基础题.3.下列说法正确的是（）A.“若，则”的否命题为“若，则”B.命题与至少有一个为真命题C.“，”的否定为“，”D.“这次数学考试的题目真难”是一个命题【答案】B【解析】【分析】由否命题的概念即可判断A，由命题及其否定的关系可判断B，由全称命题的否定方法可判断C，由命题的概念可判断D，即可得解.【详解】对于A，“若，则”的否命题为“若，则”，故A错误；对于B，命题的否定为，故命题与有一个命题为真，故B正确；对于C，“，”的否定为“，”，故C错误；对于D，“这次数学考试的题目真难”不能判断真假，故“这次数学考试的题目真难”不是一个命题，故D错误.故选：B.【点睛】本题考查了命题、命题的否定及否命题的概念，属于基础题.4.为了判断英语词汇量与阅读水平是否相互独立，某语言培训机构随机抽取了100位英语学习者进行调查，经过计算的观测值为7，根据这一数据分析，下列说法正确的是（）附：0.0500.0100.0050.001-23-\n3.8416.6357.87910.828A.有99%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平无关B.有99.5%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关C.有99.9%以上的把握认为英语词汇量与阅读水平有关D.在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关【答案】D【解析】【分析】由题意，由独立性检验的原理即可得解.【详解】由题意，，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为英语词汇量与阅读水平有关，有99%的把握认为英语词汇量与阅读水平有关.故选：D.【点睛】本题考查了独立性检验的应用，属于基础题.5.斐波那契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波那契数列定义如下：，.随着n的增大，越来越逼近黄金分割，故此数列也称黄金分割数列，而以、为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为336平方分米，则该长方形的长应该是（）A.144厘米B.233厘米C.250厘米D.377厘米【答案】B【解析】【分析】-23-\n由题意可得且，即可得解.【详解】由题意可得且，解得.故选：B.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.6.在的展开式中，常数项为（）A.-252B.-45C.45D.252【答案】C【解析】【分析】由题意写出的展开式的通项公式，令即可得解.【详解】由题意，的展开式的通项公式为：，令即，，所以的展开式中，常数项为45.故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，属于基础题.7.已知，，则取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】-23-\n【分析】由题意，利用基本不等式即可得解.【详解】由题意得，，当且仅当，即，时等号成立.故选：C.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，关键是对于条件做适当的变形，属于基础题.8.函数的部分图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】对比函数的性质与图象的特征，逐项排除即可得解.【详解】令，则，所以为奇函数，可排除C选项；当时，，故在上单调递增，上单调递减，故排除B、D.故选：A.【点睛】本题考查了函数图象的识别及利用导数判断函数单调性的应用，属于基础题.-23-\n9.定义在R上的奇函数满足：，且当时，，若，则实数m的值为（）A.2B.1C.0D.-1【答案】B【解析】【分析】由题意结合奇函数的性质可得，结合函数周期的概念可得是周期为3的周期函数，进而可得，即可得解.【详解】由为奇函数知，∴，即，∴，∴是周期为3的周期函数，故，即，∴.故选：B.【点睛】本题考查了函数周期性、奇偶性的综合应用，考查了对数运算及运算求解能力，属于中档题.10.已知抛物线的焦点为F，以F为圆心、为半径的圆交抛物线E于P，Q两点，以线段为直径的圆经过点，则点F到直线的距离为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】-23-\n由题意结合抛物线的性质得，，由以线段为直径的圆经过点可得，求得即可得解.【详解】由题意点，设点，，，∴，，以线段为直径的圆经过点，∴，即，∴，由轴可得所求距离为.故选：C.【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力和转化化归思想，属于基础题.11.已知的面积为1，角的对边分别为，若，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合正弦定理得，由余弦定理得即，再由-23-\n可得，根据正弦定理得，，则即可得解.【详解】由得，则，由可得，由得，由正弦定理知，即，，∴，所以.故选：D.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用，考查了运算能力与转化化归思想，属于中档题.12.已知四点均在球O的球面上，是边长为6的等边三角形，点D在平面上的射影为的中心，E为线段的中点，若，则球O的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设的中心为G，连接并延长交于F，则F为中点，连接、，由题意可得，进而可得平面，即可得，，两两垂直，可把原三棱锥的外接球转化为以，，为棱的正方体的外接球，即可得解.【详解】设的中心为G，连接并延长交于F，则F为中点，连接、，-23-\n由题知平面，所以，又，，所以平面，所以，又，，∴平面，∴，，又为正三棱锥，∴，，两两垂直，故三棱锥可看作以，，为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球，由得，故正方体外接球直径，所以球O的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解，考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，，若，则实数______________.【答案】4【解析】【分析】由题意可得，进而可得，再由平面向量共线的特征即可得解.【详解】，，，，-23-\n又，，解得.故答案为：4.【点睛】本题考查了平面向量线性运算的坐标表示及共线的特征，属于基础题.14.已知某几何体的三视图如图所示，网格中的每个小方格是边长为1的正方形，则该几何体的体积为_______________.【答案】【解析】【分析】由三视图还原该几何体为一个长方体中挖去一个球，利用体积公式即可得解.【详解】由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个球，如图所示，∴.故答案为：.【点睛】本题考查了三视图识别与立体图形体积的求解，属于基础题.15.已知公差不为0的等差数列中，，，依次成等比数列，若，，，，…，，…成等比数列，则_____________.-23-\n【答案】【解析】【分析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得，进而可得，即可得解.【详解】设数列公差为d，由题知，即，故，∴，，，故新等比数列首项为、公比为2，因此，故.故答案为：.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题.16.若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】求导得，转化条件得存在使得，进而可得，即可得解.【详解】求导得，曲线上存在两条切线相互垂直，存在使得，不妨设，，，即.-23-\n故答案为：.【点睛】本题考查了导数几何意义的应用及导数的计算，考查了转化化归思想，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知函数.（1）求函数的单调性；（2）在中，角的对边分别为，且，，，求的面积.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减，；（2）【解析】【分析】（1）由三角恒等变换得，分别令、即可得解；（2）由题意可得，由正弦定理得，进而可得，再利用即可得解.【详解】（1）由题意，由得，-23-\n由得，故在上单调递增，在上单调递减；（2）由题意，则，∵，∴，即，由正弦定理得即，，由可得，∴，∴.【点睛】本题考查了三角函数性质、三角恒等变换及解三角形的综合应用，属于中档题.18.国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线，每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队，筛选标准非常严格，例如要求女兵身高（单位：cm）在区间内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人，对她们的身高进行统计，将所得数据分为，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中第三组的频数为75，最后三组的频率之和为0.7.（1）请根据频率分布直方图估计样本的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；-23-\n（2）根据样本数据，可认为受阅女兵的身高X（cm）近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）求；（ii）若从全体受阅女兵中随机抽取10人，求这10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率.参考数据：若，则，，，，，.【答案】（1），；（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由题意求出各组频率，由平均数公式及方差公式即可得解；（2）（i）由题意结合正态分布的性质即可得解；（ii）由题意结合正态分布的性质可得，再由即可得解.【详解】（1）由题知第三组的频率为，则第五组的频率为，第二组的频率为，所以五组频率依次为0.1，0.2，0.375，0.25，0.075，故，；（2）由题知，，（i）-23-\n；（ii），故10人中至少有1人的身高在174.28cm以上的概率：.【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，考查了正态分布的应用，属于中档题.19.如图，在四棱锥中，，，，，，.过直线的平面分别交棱，于E，F两点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，且，，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由线面平行的性质可得，取中点G，连接，则为平行四边形，由平面几何知识即，由线面平行的判定可得平面，再由线面垂直的性质即可得证；（2）由题意，E、F分别为、的中点，建立空间直角坐标系，求出各点坐标后，进而可得平面的一个法向量为、平面的一个法向量，由即可得解.【详解】（1）证明：∵，平面，∴平面，-23-\n又面面，∴，取中点G，连接，如图：则为平行四边形，∴，又，，故，∴，∴，又，，∴平面，∴平面，又平面，∴；（2）由（1）知平面，∴即为直线与平面所成角，∴，∴，解得，又，∴E，F分别为，的中点，取中点O，连接，则，，由平面可得，，故平面，以O为原点，，，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，-23-\n故，，，设平面的一个法向量为，则，令得，显然是平面的一个法向量，∴，由题知二面角的余弦值为.【点睛】本题考查了线面平行、垂直的判定及利用空间向量求二面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.已知椭圆的离心率为，且点在椭圆C上.（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F作斜率为的直线与椭圆C交于M，N两点，点P满足（O为坐标原点），直线与椭圆C的另一个交点为Q，若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得、，解出，后即可得解；（2）设，，转化条件得，联立方程可得，，即可得解.-23-\n【详解】（1）由题知，故，又，∴，，所以椭圆C的方程为；（2）设，，由得，由得，∴，，又点Q椭圆C上，故，即，∴，由题知直线，与椭圆C的方程联立得，，则，，∴，∴，解得或0，又N，Q不重合，∴，故.【点睛】本题考查了椭圆方程的确定及直线、平面向量与椭圆的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题.21.已知函数，（1）讨论的单调性；（2）若不等式对恒成立，求a的取值范围.-23-\n【答案】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）【解析】【分析】（1）求导后，按照、分类讨论，求出、的解集即可得解；（2）转换条件得在上恒成立，令，求导后结合，按照、分类讨论，即可得解.【详解】（1）求导得，当时，，在上单调递增；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减；（2），令，，则，若，即，则存在，使得当时，单调递减，∴，与题意矛盾；当时，令，，∴，∴即单调递增，-23-\n∴，∴单调递增，∴，符合题意；综上所述，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，且直线与曲线C有两个不同的交点.（1）求实数a的取值范围；（2）已知M为曲线C上一点，且曲线C在点M处的切线与直线垂直，求点M的直角坐标.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）分别求出曲线C与直线的直角坐标方程，由点到直线的距离公式即可得解；（2）设点，由题意可得即，结合同角三角函数的平方关系求得或后即可得解.【详解】（1）消参可得曲线C的普通方程为，可得曲线C是圆心为，半径为的圆，直线的直角坐标方程为，由直线与圆C有两个交点知，解得；（2）设圆C的圆心为，由圆C的参数方程可设点-23-\n，由题知，∴，又，解得，或，故点M的直角坐标为或.【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程、直角坐标方程之间的互相转化，考查了参数方程的应用，属于中档题.23.已知函数的最小值为m.（1）求m的值；（2）若实数a，b满足，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由绝对值三角不等式可得，即可得解；（2）由柯西不等式可得，结合即可得解.【详解】（1）由题意，当且仅当时等号成立，故；（2）由题意，由柯西不等式得，当且仅当，时，等号成立，-23-\n∴，故的最小值为.【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.-23-\n-23-