高考理数 指数函数与对数函数
§2.4
指数函数与对数函数
高考
理
数
( 课标专用)
考点一 指数与指数函数
1.(2016课标Ⅲ,6,5分)已知
a
=
,
b
=
,
c
=2
,则
( )
A.
b
<
a
<
c
B.
a
<
b
<
c
C.
b
<
c
<
a
D.
c
<
a
<
b
A组 统一命题·课标卷题组
五年高考
答案
A
因为
a
=
=
,
c
=2
=
,函数
y
=
在(0,+
∞
)上单调递增,所以
<
,即
a
<
c
,
又因为函数
y
=4
x
在R上单调递增,所以
<
,即
b
<
a
,
所以
b
<
a
<
c
,故选A.
思路分析
利用指数的运算性质得
a
=
,
c
=
,利用幂函数性质可得
a
<
c
.再利用指数函数性质
比较
a
,
b
得
b
<
a
,从而得结论.
方法总结
比较指数式的大小时,常利用相应函数的单调性来进行.
2.
(2017课标Ⅰ,11,5分)设
x
,
y
,
z
为正数,且2
x
=3
y
=5
z
,则( )
A.2
x
<3
y
<5
z
B.5
z
<2
x
<3
y
C.3
y
<5
z
<2
x
D.3
y
<2
x
<5
z
答案
D
本题考查指数、对数的运算,指数函数及其性质,考查学生的逻辑推理能力和运算
求解能力.
解法一(特值法):令
x
=1,则由已知条件可得3
y
=2,5
z
=2,所以
y
=
,
z
=
,从而3
y
=
=
<
=2,5
z
=
=
>2,则3
y
<2
x
<5
z
,故选D.
解法二(数形结合法):由2
x
=3
y
=5
z
,可设(
)
2
x
=(
)
3
y
=(
)
5
z
=
t
,因为
x
,
y
,
z
为正数,所以
t
>1,因为
=
=
,
=
=
,所以
<
;因为
=
=
,
=
,所以
>
,所以
<
<
.分别作出
y
=(
)
x
,
y
=(
)
x
,
y
=(
)
x
的图象,如图.
则3
y
<2
x
<5
z
,故选D
.
解法三(作商法):由2
x
=3
y
=5
z
,同时取自然对数,得
x
ln 2=
y
ln 3=
z
ln 5.由
=
=
>1,可得2
x
>
3
y
;由
=
=
<1,可得2
x
<5
z
,所以3
y
<2
x
<5
z
,故选D.
解法四(构造函数法):设2
x
=3
y
=5
z
=
k
,则
x
=
,
y
=
,
z
=
,从而2
x
=
,3
y
=
,5
z
=
,由
于
x
,
y
,
z
为正数,故
k
>1,从而只需比较
,
,
的大小,构造函数
f
(
x
)=
(
x
>0且
x
≠
1),则
f
'(
x
)=
,当
x
∈(0,1)
∪
(1,e)时,
f
'(
x
)<0;当
x
∈(e,+
∞
)时,
f
'(
x
)>0,所以
f
(
x
)在(0,1),(1,e)单调递减,在(e,
+
∞
)单调递增,又e<3<4<5,所以
<
<
.因为
=
,所以
<
<
,则3
y
<2
x
<5
z
,故选
D
.
方法总结
指数式比较大小.
指数式比较大小一般要先将指数式转化为同底指数式或者是同次指数式的形式.若化为同底
指数式,直接利用指数函数的单调性比较大小即可;若化为同次指数式,一般要作出不同底的指
数函数图象来比较.
考点二 对数与对数函数
(2016课标Ⅰ,8,5分)若
a
>
b
>1,0<
c
<1,则
( )
A.
a
c
<
b
c
B.
ab
c
<
ba
c
C.
a
log
b
c
<
b
log
a
c
D.log
a
c
b
>1,0<
c
<1,知
a
c
>
b
c
,A错;
∵0<
c
<1,∴-1<
c
-1<0,∴
y
=
x
c
-1
在
x
∈(0,+
∞
)上是减函数,
∴
b
c
-1
>
a
c
-1
,又
ab
>0,∴
ab
·
b
c
-1
>
ab
·
a
c
-1
,即
ab
c
>
ba
c
,B错;
易知
y
=log
c
x
是减函数,∴0>log
c
b
>log
c
a
,∴log
b
c
-log
a
c
>0,又
a
>
b
>1>0,∴-
a
log
b
c
>-
b
log
a
c
>0,∴
a
log
b
c
<
b
log
a
c
,故C正确.
解法二:依题意,不妨取
a
=4,
b
=2,
c
=
.易验证A、B、D均是错误的,只有C正确.
方法指导
本题利用特值法比较简单,注意取值时不能盲目,要选取易于比较的值.
考点一 指数与指数函数
1.
(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数
f
(
x
)=2
|
x
-
m
|
-1(
m
为实数)为偶函数.记
a
=
f
(log
0.5
3),
b
=
f
(log
2
5),
c
=
f
(2
m
),则
a
,
b
,
c
的大小关系为
( )
A.
a
<
b
<
c
B.
a
<
c
<
b
C.
c
<
a
<
b
D.
c
<
b
<
a
B组 自主命题·省(区、市)卷题组
答案
C
∵
f
(
x
)=2
|
x
-
m
|
-1为偶函数,∴
m
=0.
∵
a
=
f
(lo
3)=
f
(log
2
3),
b
=
f
(log
2
5),
c
=
f
(0),log
2
5>log
2
3>0,函数
f
(
x
)=2
|
x
|
-1在(0,+
∞
)上为增函数,
∴
f
(log
2
5)>
f
(log
2
3)>
f
(0),即
b
>
a
>
c
,故选C.
2.
(2015山东,14,5分)已知函数
f
(
x
)=
a
x
+
b
(
a
>0,
a
≠
1)的定义域和值域都是[-1,0],则
a
+
b
=
.
答案
-
解析
①当
a
>1时,
f
(
x
)在[-1,0]上单调递增,则
无解.
②当0<
a
<1时,
f
(
x
)在[-1,0]上单调递减,则
解得
∴
a
+
b
=-
.
3
.(2018上海,11,5分)已知常数
a
>0,函数
f
(
x
)=
的图象经过点
P
、
Q
.若2
p
+
q
=36
pq
,则
a
=
.
答案
6
解析
本题主要考查指数式的运算.由已知条件知
f
(
p
)=
,
f
(
q
)=-
,所以
①+②,
得
=1,整理得2
p
+
q
=
a
2
pq
,又2
p
+
q
=36
pq
,
∴36
pq
=
a
2
pq
,又
pq
≠
0,
∴
a
2
=36,∴
a
=6或
a
=-6,又
a
>0,得
a
=6.
考点二 对数与对数函数
1.
(2018天津,5,5分)已知
a
=log
2
e,
b
=ln 2,
c
=lo
,则
a
,
b
,
c
的大小关系为
( )
A.
a
>
b
>
c
B.
b
>
a
>
c
C.
c
>
b
>
a
D.
c
>
a
>
b
答案
D
本题主要考查对数的大小比较.
由已知得
c
=log
2
3,∵log
2
3>log
2
e>1,
b
=ln 2<1,∴
c
>
a
>
b
,故选D.
方法总结
比较对数的大小
①若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数
进行分类讨论;②若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较;③若底
数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.
2.
(2014辽宁,3,5分)已知
a
=
,
b
=log
2
,
c
=lo
,则
( )
A.
a
>
b
>
c
B.
a
>
c
>
b
C.
c
>
a
>
b
D.
c
>
b
>
a
答案
C
由指数函数及对数函数的单调性易知0<
<1,log
2
lo
=1,故
c
>
a
>
b
.
3.
(2014福建,4,5分)若函数
y
=log
a
x
(
a
>0,且
a
≠
1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是
( )
答案 B
由题图可知
y
=log
a
x
的图象过点(3,1),
∴log
a
3=1,即
a
=3.
A项,
y
=
在R上为减函数,错误;
B项,
y
=
x
3
符合;
C项,
y
=(-
x
)
3
=-
x
3
在R上为减函数,错误;
D项,
y
=log
3
(-
x
)在(-
∞
,0)上为减函数,错误.
4.
(2015湖南,5,5分)设函数
f
(
x
)=ln(1+
x
)-ln(1-
x
),则
f
(
x
)是
( )
A.奇函数,且在(0,1)上是增函数
B.奇函数,且在(0,1)上是减函数
C.偶函数,且在(0,1)上是增函数
D.偶函数,且在(0,1)上是减函数
答案
A
解法一:函数
f
(
x
)的定义域为(-1,1),任取
x
∈(-1,1),
f
(-
x
)=ln(1-
x
)-ln(1+
x
)=-
f
(
x
),则
f
(
x
)是
奇函数.∵当
x
∈(0,1)时,
f
'(
x
)=
+
=
>0,∴
f
(
x
)在(0,1)上是增函数.综上,选A.
解法二:同解法一知
f
(
x
)是奇函数.
当
x
∈(0,1)时,
f
(
x
)=ln
=ln
=ln
.
∵
y
=
(
x
∈(0,1))是增函数,
y
=ln
x
也是增函数,∴
f
(
x
)在(0,1)上是增函数.综上,选A.
解法三:同解法一知
f
(
x
)是奇函数.
任取
x
1
,
x
2
∈(0,1),且
x
1
<
x
2
,
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)=ln(1+
x
1
)-ln(1-
x
1
)-ln(1+
x
2
)+ln(1-
x
2
)=ln
=ln
.
∵(1-
x
1
x
2
+
x
1
-
x
2
)-(1-
x
1
x
2
+
x
2
-
x
1
)=2(
x
1
-
x
2
)<0,且(1+
x
1
)·(1-
x
2
)>0,(1+
x
2
)(1-
x
1
)>0,∴0<
<1,
∴
f
(
x
1
)-
f
(
x
2
)<0,
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
),∴
f
(
x
)在(0,1)上是增函数.综上,选A.
5.
(2017北京,8,5分)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限
M
约为3
361
,而可观测宇宙中普通
物质的原子总数
N
约为10
80
.则下列各数中与
最接近的是(参考数据:lg 3
≈
0.48)
( )
A.10
33
B.10
53
C.10
73
D.10
93
答案
D
设
=
=
t
(
t
>0),∴3
361
=
t
·10
80
,∴361lg 3=lg
t
+80,
∴361
×
0.48=lg
t
+80,∴lg
t
=173.28-80=93.28,∴
t
=10
93.28
.故选D.
6.
(2014重庆,12,5分)函数
f
(
x
)=log
2
·log
(2
x
)的最小值为
.
答案
-
解析
显然
x
>0,∴
f
(
x
)=log
2
·lo
(2
x
)=
log
2
x
·log
2
(4
x
2
)=
log
2
x
·(log
2
4+2log
2
x
)=log
2
x
+(log
2
x
)
2
=
-
≥
-
,当且仅当
x
=
时,取“=”,故
f
(
x
)
min
=-
.
7.
(2015福建,14,4分)若函数
f
(
x
)=
(
a
>0,且
a
≠
1)的值域是[4,+
∞
),则实数
a
的取值
范围是
.
答案
(1,2]
解析
当
x
≤
2时,
f
(
x
)=-
x
+6,
f
(
x
)在(-
∞
,2]上为减函数,∴
f
(
x
)∈[4,+
∞
).当
x
>2时,若
a
∈(0,1),则
f
(
x
)
=3+log
a
x
在(2,+
∞
)上为减函数,
f
(
x
)∈(-
∞
,3+log
a
2),显然不满足题意,∴
a
>1,此时
f
(
x
)在(2,+
∞
)上
为增函数,
f
(
x
)∈(3+log
a
2,+
∞
),由题意可知(3+log
a
2,+
∞
)
⊆
[4,+
∞
),则3+log
a
2
≥
4,即log
a
2
≥
1,∴1
<
a
≤
2.
考点一 指数与指数函数
(2015江苏,7,5分)不等式
<4的解集为
.
C组 教师专用题组
答案
{
x
|-1<
x
<2}
解析
不等式
<4可转化为
<2
2
,利用指数函数
y
=2
x
的性质可得,
x
2
-
x
<2,解得-1<
x
<2,故所
求解集为{
x
|-1<
x
<2}.
考点二 对数与对数函数
1.
(2015陕西,9,5分)设
f
(
x
)=ln
x
,0<
a
<
b
,若
p
=
f
(
),
q
=
f
,
r
=
(
f
(
a
)+
f
(
b
)),则下列关系式中正
确的是
( )
A.
q
=
r
<
p
B.
q
=
r
>
p
C.
p
=
r
<
q
D.
p
=
r
>
q
答案
C
由题意得
p
=ln
,
q
=ln
,
r
=
(ln
a
+ln
b
)=ln
=
p
,∵0<
a
<
b
,∴
>
,∴ln
>ln
,∴
p
=
r
<
q
.
2.
(2014四川,9,5分)已知
f
(
x
)=ln(1+
x
)-ln(1-
x
),
x
∈(-1,1).现有下列命题:
①
f
(-
x
)=-
f
(
x
);②
f
=2
f
(
x
);③|
f
(
x
)|
≥
2|
x
|.
其中的所有正确命题的序号是
( )
A.①②③ B.②③ C.①③ D.①②
答案
A
f
(-
x
)=ln(1-
x
)-ln(1+
x
)=-[ln(1+
x
)-ln(1-
x
)]=-
f
(
x
),①正确.
f
=ln
-ln
=ln
-ln
,∵
x
∈(-1,1),∴
f
=2ln(1+
x
)-2ln(1-
x
)=2[ln(1+
x
)-ln(1-
x
)]=2
f
(
x
),②正确.当
x
∈[0,1)时,|
f
(
x
)|=ln(1+
x
)-ln(1-
x
)=ln
,2|
x
|=2
x
,令
g
(
x
)=ln
-2
x
,则
g
'(
x
)=
≥
0,∴
g
(
x
)在[0,1)上为增函数,∴
g
(
x
)
≥
g
(0)=0,即|
f
(
x
)|
≥
2|
x
|;当
x
∈(-1,0)时,|
f
(
x
)|=ln(1-
x
)-ln(1+
x
)=-ln
,2|
x
|=-2
x
,令
h
(
x
)=2
x
-ln
,则
h
'(
x
)=
<0,∴
h
(
x
)在(-1,0)上为减函数,∴
h
(
x
)>0,即|
f
(
x
)|>2|
x
|.∴当
x
∈(-1,1)时,|
f
(
x
)|
≥
2|
x
|,③正确.
3.
(2013课标Ⅱ,8,5分,0.678)设
a
=log
3
6,
b
=log
5
10,
c
=log
7
14,则( )
A.
c
>
b
>
a
B.
b
>
c
>
a
C.
a
>
c
>
b
D.
a
>
b
>
c
答案
D
由对数运算法则得
a
=log
3
6=1+log
3
2,
b
=1+log
5
2,
c
=1+log
7
2,由对数函数图象得log
3
2>
log
5
2>log
7
2,所以
a
>
b
>
c
,故选D.
一题多解
由对数运算法则得
a
=1+log
3
2,
b
=1+log
5
2,
c
=1+log
7
2,∵log
2
7>log
2
5>log
2
3>0,∴
<
<
,即log
7
2
b
>
c
.选D.
4.
(2016浙江,12,6分)已知
a
>
b
>1.若log
a
b
+log
b
a
=
,
a
b
=
b
a
,则
a
=
,
b
=
.
答案
4;2
解析
令log
a
b
=
t
,∵
a
>
b
>1,∴0<
t
<1,由log
a
b
+log
b
a
=
得,
t
+
=
,解得
t
=
或
t
=2(舍去),即log
a
b
=
,
∴
b
=
,又
a
b
=
b
a
,∴
=(
)
a
,即
=
,亦即
=
,解得
a
=4,∴
b
=2.
5.
(2015浙江,12,4分)若
a
=log
4
3,则2
a
+2
-
a
=
.
答案
解析
∵
a
=log
4
3=log
2
,∴2
a
+2
-
a
=
+
=
+
=
.
考点一 指数与指数函数
1.
(2018湖南永州第三次模拟,4)下列函数中,与函数
y
=2
x
-2
-
x
的定义域、单调性与奇偶性均一致
的是
( )
A.
y
=sin
x
B.
y
=
x
3
C.
y
=
D.
y
=log
2
x
三年模拟
A组
201
6
—201
8
年
高考模拟·基础题
组
答案
B
y
=2
x
-2
-
x
是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数.
而
y
=sin
x
不是单调递增函数,不符合题意;
y
=
是非奇非偶函数,不符合题意;
y
=log
2
x
的定义域是(0,+
∞
),不符合题意;
y
=
x
3
是定义域为R的单调递增函数,且是奇函数符合题意.故选B.
2.
(2018福建厦门一模,5)已知
a
=
,
b
=lo
0.3,
c
=
a
b
,则
a
,
b
,
c
的大小关系是
( )
A.
a
<
b
<
c
B.
c
<
a
<
b
C.
a
<
c
<
b
D.
b
<
c
<
a
答案
B
b
=lo
0.3>lo
=1>
a
=
,
c
=
a
b
<
a
.∴
c
<
a
<
b
.故选B.
3.
(2018河南八市学评第一次测评,10)设函数
f
(
x
)=
x
2-
a
与
g
(
x
)=
a
x
(
a
>1且
a
≠
2)在区间(0,+
∞
)上具
有不同的单调性,则
M
=(
a
-1)
0.2
与
N
=
的大小关系是
( )
A.
M
=
N
B.
M
≤
N
C.
M
<
N
D.
M
>
N
答案
D
因为
f
(
x
)=
x
2-
a
与
g
(
x
)=
a
x
(
a
>1且
a
≠
2)在区间(0,+
∞
)上具有不同的单调性,所以
a
>2,所
以
M
=(
a
-1)
0.2
>1,
N
=
<1,所以
M
>
N
,故选D.
4.
(2017河南南阳、信阳等六市一模,5)已知
a
、
b
∈(0,1)
∪
(1,+
∞
),当
x
>0时,1<
b
x
<
a
x
,则
( )
A.0<
b
<
a
<1 B.0<
a
<
b
<1 C.1<
b
<
a
D.1<
a
<
b
答案
C
∵
x
>0时,1<
b
x
,∴
b
>1.∵
x
>0时,
b
x
<
a
x
,∴
x
>0时,
>1.∴
>1,∴
a
>
b
.∴1<
b
<
a
,故选C.
5.
(2016广东潮州期末,6)在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,
专家预测经过
x
年可能增长到原来的
y
倍,则函数
y
=
f
(
x
)的图象大致为
( )
答案 D
设原有荒漠化土地面积为
b
,经过
x
年后荒漠化面积为
z
,∴
z
=
b
(1+10.4%)
x
,故
y
=
=(1+
10.4%)
x
,其是底数大于1的指数函数.故选D.
6.
(2018湖南益阳4月调研,13)已知函数
f
(
x
)=
(
a
∈R)的图象关于点
对称,则
a
=
.
答案
1
解析
由已知,得
f
(
x
)+
f
(-
x
)=1,即
+
=1,
整理得(
a
-1)[2
2
x
+(
a
-1)·2
x
+1]=0,所以当
a
-1=0,即
a
=1时,等式成立.
考点二 对数与对数函数
1.
(2018湖南湘潭三模,7)已知
a
=
,
b
=lo
,
c
=log
3
,则
( )
A.
b
>
c
>
a
B.
a
>
b
>
c
C.
c
>
b
>
a
D.
b
>
a
>
c
答案
D
∵
a
=
,
b
=lo
,
c
=log
3
,∴0<
a
=
<2
0
=1,
b
=lo
>lo
=1,
c
=log
3
a
>
c
.故选D.
2.
(2018广东肇庆二模,8)已知
f
(
x
)=lg(10+
x
)+lg(10-
x
),则
( )
A.
f
(
x
)是奇函数,且在(0,10)上是增函数
B.
f
(
x
)是偶函数,且在(0,10)上是增函数
C.
f
(
x
)是奇函数,且在(0,10)上是减函数
D.
f
(
x
)是偶函数,且在(0,10)上是减函数
答案
D
由
得
x
∈(-10,10),故函数
f
(
x
)的定义域为(-10,10),关于原点对称,又
f
(-
x
)=lg
(10-
x
)+lg(10+
x
)=
f
(
x
),故函数
f
(
x
)为偶函数,而
f
(
x
)=lg(10+
x
)+lg(10-
x
)=lg(100-
x
2
),
y
=100-
x
2
在(0,10)
上递减,
y
=lg
x
在(0,+
∞
)上递增,故函数
f
(
x
)在(0,10)上递减,故选D.
3.
(2018河南商丘二模,8)已知
a
>0且
a
≠
1,函数
f
(
x
)=log
a
(
x
+
)在区间(-
∞
,+
∞
)上既是奇函
数又是增函数,则函数
g
(
x
)=log
a
||
x
|-
b
|的图象是
( )
答案
A
∵函数
f
(
x
)=log
a
(
x
+
)在区间(-
∞
,+
∞
)上是奇函数,∴
f
(0)=0,∴
b
=1,又函数
f
(
x
)=
log
a
(
x
+
)在区间(-
∞
,+
∞
)上是增函数,所以
a
>1,所以
g
(
x
)=log
a
||
x
|-1|的定义域为{
x
|
x
≠
±
1},
且在(1,+
∞
)上递增,在(0,1)上递减,故选A.
4.
(2018山东淄博模拟,10)已知函数
f
(
x
)=e
x
,
g
(
x
)=ln
+
,对任意
a
∈R,存在
b
∈(0,+
∞
),使
f
(
a
)=
g
(
b
),则
b
-
a
的最小值为
( )
A.2
-1 B.e
2
-
C.2-ln 2 D.2+ln 2
答案 D
令
y
=e
a
,则
a
=ln
y
,令
y
=ln
+
,可得
b
=2
,令
h
(
y
)=
b
-
a
,则
h
(
y
)=2
-ln
y
,∴
h
'(
y
)=2
-
.显然,
h
'(
y
)是增函数,观察可得当
y
=
时,
h
'(
y
)=0,故
h
'(
y
)有唯一零点.故当
y
=
时,
h
(
y
)取得最小
值,为2
-ln
=2+ln 2,故选D.
5.
(2016河南焦作一模,6)若函数
y
=
a
|
x
|
(
a
>0,且
a
≠
1)的值域为{
y
|0<
y
≤
1},则函数
y
=log
a
|
x
|的图象大
致是
( )
答案
A
函数
y
=
a
|
x
|
(
a
>0,且
a
≠
1)的值域为{
y
|0<
y
≤
1},则0<
a
<1,由此可知
y
=log
a
|
x
|的图象大致
是A.
6.
(2017福建永定月考,5)函数
f
(
x
)=1+log
2
x
与
g
(
x
)=2
-
x
+1
在同一直角坐标系下的图象大致是
( )
答案
C
g
(
x
)=2·
,∴
g
(
x
)为减函数,且经过点(0,2),排除B,D;
f
(
x
)=1+log
2
x
为增函数,且经过
点
,排除A.故选C.
7.
(2017江西一模,15)若函数
f
(
x
)=log
a
(
a
>0且
a
≠
1)的值域为R,则实数
a
的取值范围是
.
答案
(0,1)
∪
(1,4]
解析
∵函数
f
(
x
)=log
a
(
a
>0且
a
≠
1)的值域为R,∴
x
+
-4能取遍所有的正数,
又当
x
>0时,
x
+
-4
≥
2
-4,当
x
<0时,
x
+
-4
≤
-2
-4,
∴要满足题意,需2
-4
≤
0,解得
a
≤
4.
故实数
a
的取值范围是(0,1)
∪
(1,4].
一、选择题(每题5分,共25分)
1.
(2018福建漳州二模,7)已知函数
y
=
x
a
,
y
=
x
b
,
y
=
c
x
的图象如图所示,则
a
、
b
、
c
的大小关系为
( )
A.
a
<
b
<
c
B.
c
<
b
<
a
C.
c
<
a
<
b
D.
b
<
a
<
c
B
组
201
6
—201
8
年
高考模拟·综合题组
(时间:
25
分钟 分值:
35
分)
答案
B
由题中图象可知
a
>1,
b
=
,
c
<
,故选B.
思路分析
由图象得出
a
、
b
、
c
的具体范围,问题即可解决.
2.
(2018山东潍坊一模,6)若函数
f
(
x
)=
a
x
-
a
-
x
(
a
>0且
a
≠
1)在R上为减函数,则函数
y
=log
a
(|
x
|-1)的图
象可以是
( )
答案
C
因函数
f
(
x
)=
a
x
-
a
-
x
(
a
>0且
a
≠
1)在R上为减函数,故0<
a
<1.
易知函数
y
=log
a
(|
x
|-1)是偶函数,定义域为{
x
|
x
>1或
x
<-1},
x
>1时函数
y
=log
a
(|
x
|-1)的图象可以通过
函数
y
=log
a
x
的图象向右平移1个单位得到,故选C.
思路分析
由函数
f
(
x
)=
a
x
-
a
-
x
(
a
>0且
a
≠
1)在R上为减函数求得
a
的范围,结合所求函数的解析式,
再根据对数函数的图象特征得出结论.
方法点拨
要掌握函数的奇偶性和单调性,对数函数的图象特征以及图象平移的规律.
3.
(2018广东汕头一模,10)函数
f
(
x
)=ln
x
+
a
的导数为
f
'(
x
),若方程
f
'(
x
)=
f
(
x
)的根
x
0
小于1,则实数
a
的取值范围为
( )
A.(1,+
∞
) B.(0,1) C.(1,
) D.(1,
)
答案
A
由函数
f
(
x
)=ln
x
+
a
可得
f
'(
x
)=
,∵
x
0
使
f
'(
x
)=
f
(
x
)成立,∴
=ln
x
0
+
a
,又0<
x
0
<1,∴
>1,
ln
x
0
<0,∴
a
=
-ln
x
0
>1,故选A.
思路分析
将
a
用含
x
0
的式子表示出来,进而由
x
0
的范围得
a
的范围.
4.
(2017河南平顶山一模,12)已知
f
(
x
)是定义在(0,+
∞
)上的函数.对任意两个不相等的正数
x
1
,
x
2
,
都有
>0,记
a
=
,
b
=
,
c
=
,则
( )
A.
a
<
b
<
c
B.
b
<
a
<
c
C.
c
<
a
<
b
D.
c
<
b
<
a
答案
B
已知
f
(
x
)是定义在(0,+
∞
)上的函数,对任意两个不相等的正数
x
1
,
x
2
,都有
>0,
故
x
1
-
x
2
与
x
2
f
(
x
1
)-
x
1
f
(
x
2
)同号,则
x
1
-
x
2
与
同号,∴函数
y
=
是(0,+
∞
)上的增函数,∵1<3
0.2
<2,0<0.3
2
<1,log
2
5>2,∴0.3
2
<3
0.2
0,
a
≠
1)且
f
(0)=0.
(1)求
a
的值;
(2)若函数
g
(
x
)=(2
x
+1)·
f
(
x
)+
k
有零点,求实数
k
的取值范围;
(3)当
x
∈(0,1)时,
f
(
x
)>
m
·2
x
-2恒成立,求实数
m
的取值范围.
解析
(1)对于函数
f
(
x
)=1-
(
a
>0,
a
≠
1),由
f
(0)=1-
=0,得
a
=2.
(2)由(1)知
f
(
x
)=1-
=1-
.
因为函数
g
(
x
)=(2
x
+1)·
f
(
x
)+
k
=2
x
+1-2+
k
=2
x
-1+
k
有零点,所以函数
y
=2
x
的图象和直线
y
=1-
k
有交点,
∴1-
k
>0,即
k
<1.
(3)∵当
x
∈(0,1)时,
f
(
x
)>
m
·2
x
-2恒成立,即1-
>
m
·2
x
-2恒成立,亦即
m
<
-
恒成立,
令
t
=2
x
,则
t
∈(1,2),且
m
<
-
=
=
+
.
由于
y
=
+
在
t
∈(1,2)上单调递减,
∴
+
>
+
=
,∴
m
≤
.
思路分析
(1)由
f
(0)=0求出
a
;
(2)转化为2
x
-1+
k
=0有根,分离参数,转化为
y
=2
x
与
y
=1-
k
的图象有交点;
(3)转化为
m
<
-
,换元,转化为最值问题.
