高考理数　函数概念及表示

高考理数　函数概念及表示

§2.1 　函数概念及表示 高考 理 数 ( 课标专用) 1. (2015课标Ⅱ,5,5分,0.801)设函数 f ( x )=   则 f (-2)+ f (log 2 12)=   (　　) A.3　    B.6　    C.9　    D.12 A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 答案      C 　∵-2<1,log 2 12>1,∴ f (-2)=1+log 2 [2-(-2)]=3; f (log 2 12)=   =   =6.∴ f (-2)+ f (log 2 12) =9. 思路分析 　比较出-2<1,log 2 12>1,将-2,log 2 12分别代入解析式,即可求得 f (-2), f (log 2 12)的值,从 而得出正确结果. 方法总结 　对于已知分段函数求值的问题,解题时应先判断所给自变量的值所在的范围,再代 入求解. 2. (2017课标Ⅲ,15,5分)设函数 f ( x )=   则满足 f ( x )+ f   >1的 x 的取值范围是 　　         . 答案        解析 　本题考查分段函数. 当 x >   时, f ( x )+ f   =2 x +   >2 x >   >1; 当0< x ≤   时, f ( x )+ f   =2 x +   +1=2 x + x +   >2 x >1;当 x ≤ 0时, f ( x )+ f   = x +1+   +1 =2 x +   ,∴ f ( x )+ f   >1 ⇒ 2 x +   >1 ⇒ x >-   ,即-   < x ≤ 0. 综上, x ∈   . 方法总结 　分段函数常常需要分段讨论. 考点一　函数的概念及表示 1. (2014山东,3,5分)函数 f ( x )=   的定义域为   (　　) A.   　    B.(2,+ ∞ ) C.   ∪ (2,+ ∞ )　    D.   ∪ [2,+ ∞ ) B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案      C 　要使函数 f ( x )有意义,需使(log 2 x ) 2 -1>0,即(log 2 x ) 2 >1,∴log 2 x >1或log 2 x <-1.解之得 x >2或 0< x <   . 故 f ( x )的定义域为   ∪ (2,+ ∞ ). 2. (2014江西,3,5分)已知函数 f ( x )=5 | x | , g ( x )= ax 2 - x ( a ∈R).若 f [ g (1)]=1,则 a =   (　　) A.1　    B.2　    C.3　    D.-1 答案      A 　由已知条件可知: f [ g (1)]= f ( a -1)=5 | a -1| =1,∴| a -1|=0,得 a =1.故选A. 评析 　本题主要考查函数的解析式,正确理解函数的定义是解题关键. 3. (2018江苏,5,5分)函数 f ( x )=   的定义域为 　　　     . 答案 　[2,+ ∞ ) 解析 　本题考查函数定义域的求法及对数函数. 由题意可得log 2 x -1 ≥ 0,即log 2 x ≥ 1,∴ x ≥ 2. ∴函数的定义域为[2,+ ∞ ). 易错警示 　函数的定义域是使解析式中各个部分都有意义的自变量的取值集合,函数的定义 域要写成 集合 或 区间 的形式. 考点二　分段函数及其应用 1. (2014福建,7,5分)已知函数 f ( x )=   则下列结论正确的是   (　　) A. f ( x )是偶函数　    B. f ( x )是增函数 C. f ( x )是周期函数　    D. f ( x )的值域为[-1,+ ∞ ) 答案      D 　作出 f ( x )的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.   评析 　本题考查函数的基本性质及数形结合思想,解题的关键是正确作出 f ( x )的图象. 2. (2015山东,10,5分)设函数 f ( x )=   则满足 f ( f ( a ))=2 f ( a ) 的 a 的取值范围是   (　　) A.   　    B.[0,1]　    C.   　    D.[1,+ ∞ ) 答案      C 　①当 a <   时, f ( a )=3 a -1<1, f ( f ( a ))=3(3 a -1)-1=9 a -4,2 f ( a ) =2 3 a -1 ,显然 f ( f ( a )) ≠ 2 f ( a ) . ②当   ≤ a <1时, f ( a )=3 a -1 ≥ 1, f ( f ( a ))=2 3 a -1 ,2 f ( a ) =2 3 a -1 ,故 f ( f ( a ))=2 f ( a ) . ③当 a ≥ 1时, f ( a )=2 a >1, f ( f ( a ))=   ,2 f ( a ) =   ,故 f ( f ( a ))=2 f ( a ) .综合①②③知 a ≥   . 评析 　本题主要考查分段函数及分类讨论思想. 3. (2015湖北,6,5分)已知符号函数sgn x =   f ( x )是R上的增函数, g ( x )= f ( x )- f ( ax )( a >1),则   (　　) A.sgn[ g ( x )]=sgn x 　    B.sgn[ g ( x )]=-sgn x C.sgn[ g ( x )]=sgn[ f ( x )]　    D.sgn[ g ( x )]=-sgn[ f ( x )] 答案      B 　∵ f ( x )是R上的增函数, a >1, ∴当 x >0时, x < ax ,有 f ( x )< f ( ax ),则 g ( x )<0; 当 x =0时, g ( x )=0; 当 x <0时, x > ax ,有 f ( x )> f ( ax ),则 g ( x )>0. ∴sgn[ g ( x )]=   ∴sgn[ g ( x )]=-sgn x ,故选B. 4. (2018江苏,9,5分)函数 f ( x )满足 f ( x +4)= f ( x )( x ∈R),且在区间(-2,2]上, f ( x )=   则 f ( f (15))的值为 　　　     . 答案        解析 　本题考查分段函数及函数的周期性. ∵ f ( x +4)= f ( x ),∴函数 f ( x )的周期为4,∴ f (15)= f (-1)=   , f   =cos   =   ,∴ f ( f (15))= f   =   . 5. (2014四川,12,5分)设 f ( x )是定义在R上的周期为2的函数,当 x ∈[-1,1)时, f ( x )=   则 f   = 　　     . 答案 　1 解析      f   = f   = f   =-4 ×   +2=1. 考点一　函数的概念及表示 1. (2013江西,2,5分)函数 y =   ln(1- x )的定义域为   (　　) A.(0,1)　    B.[0,1) C.(0,1]　    D.[0,1] C组    教师专用题组 答案    B 　由   解得0 ≤ x <1,故选B. 2. (2013大纲全国,4,5分)已知函数 f ( x )的定义域为(-1,0),则函数 f (2 x +1)的定义域为   (　　) A.(-1,1)　    B.   　    C.(-1,0)　    D.   答案    B 　由已知得-1<2 x +1<0,解得-1< x <-   ,所以函数 f (2 x +1)的定义域为   ,选B. 考点二　分段函数及其应用 1. (2013课标Ⅰ,11,5分,0.561)已知函数 f ( x )=   若| f ( x )| ≥ ax ,则 a 的取值范围是   (    　) A.(- ∞ ,0]　    B.(- ∞ ,1] C.[-2,1]　    D.[-2,0] 答案    D 　由题意作出 y =| f ( x )|的图象:   由图象易知,当 a >0时, y = ax 与 y =ln( x +1)的图象在 x >0时必有交点,所以 a ≤ 0.当 x ≥ 0时,| f ( x )| ≥ ax 显然成立; 当 x <0时,要使| f ( x )|= x 2 -2 x ≥ ax 恒成立,则 a ≥ x -2恒成立, 又 x -2<-2,∴ a ≥ -2. 综上,-2 ≤ a ≤ 0,故选D. 思路分析 　根据解析式作出 y =| f ( x )|的图象,由图象得出 a ≤ 0,此时分析出当 x ≥ 0时,| f ( x )| ≥ ax 恒 成立,当 x <0时,可将| f ( x )| ≥ ax 恒成立转化为 a ≥ x -2恒成立,求出 x -2的范围即可得 a 的范围. 方法总结 　对于不等式恒成立问题,常采用数形结合或分离参变量构造函数求最值的方法解 决. 一题多解 　由题意作出函数 y =| f ( x )|的图象和函数 y = ax 的图象,由图象可知:函数 y = ax 的图象为 过原点的直线,旋转该直线可知:当直线介于 l 和 x 轴之间时符合题意,下面求 l 的斜率:函数 y =| f ( x ) |的图象在第二象限的部分对应的解析式为 y = x 2 -2 x ,求其导数可得 y '=2 x -2,因为 x ≤ 0,故 y ' ≤ -2,故 直线 l 的斜率为-2,故只需直线 y = ax 的斜率 a 介于-2与0之间即可,即 a ∈[-2,0].故选D.   2. (2015浙江,10,6分)已知函数 f ( x )=   则 f ( f (-3))= 　　　     , f ( x )的最小值是 　　         . 答案 　0;2   -3 解析 　∵-3<1,∴ f (-3)=lg[(-3) 2 +1]=lg 10=1, ∴ f ( f (-3))= f (1)=1+   -3=0. 当 x ≥ 1时, f ( x )= x +   -3 ≥ 2   -3(当且仅当 x =   时,取“=”);当 x <1时, x 2 +1 ≥ 1,∴ f ( x )=lg( x 2 +1) ≥ 0.又∵2   -3<0,∴ f ( x ) min =2   -3. 3. (2014浙江,15,4分)设函数 f ( x )=   若 f ( f ( a )) ≤ 2,则实数 a 的取值范围是 　　         . 答案　 (- ∞ ,   ] 解析 　解法一:当 a ≥ 0时, f ( a )=- a 2 ≤ 0,又 f (0)=0,故由 f ( f ( a ))= f (- a 2 )= a 4 - a 2 ≤ 2,得0 ≤ a ≤   .当-1< a < 0时, f ( a )= a 2 + a = a ( a +1)<0,则由 f ( f ( a ))= f ( a 2 + a )=( a 2 + a ) 2 +( a 2 + a ) ≤ 2,得-   ≤ a ≤   ,则有-1< a <0.当 a ≤ -1时, f ( a )= a 2 + a = a ( a +1) ≥ 0,则由 f ( f ( a ))= f ( a 2 + a )=-( a 2 + a ) 2 ≤ 2,得 a ∈R,故 a ≤ -1. 综上, a 的取值范围为(- ∞ ,   ]. 解法二:画出函数 f ( x )的图象,如图,   令 b = f ( a ),则不等式 f ( f ( a )) ≤ 2可化为 f ( b ) ≤ 2,仅当 b =-2时, f ( b )=2,由图象知要满足 f ( b ) ≤ 2,只需 b ≥ -2,即 f ( a ) ≥ -2. 仅当 a =   时, f ( a )=-2,由图象知要满足 f ( a ) ≥ -2,只需 a ≤   ,即实数 a 的取值范围是(- ∞ ,   ]. 三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 考点一　函数的概念及表示 1. (2018广东肇庆模拟,5)已知定义在R上的奇函数 f ( x )满足 f ( x +3)= f ( x ),且当 x ∈   时, f ( x )=- x 3 , 则 f   =   (　　) A.-   　    B.   　    C.-   　    D.   答案      B 　∵ f ( x +3)= f ( x ),∴函数 f ( x )是周期为3的函数,又当 x ∈   时, f ( x )=- x 3 ,且 f ( x )为奇函数, ∴ f   = f   = f   =- f   =   ,故选B. 2. (2018安徽黄山一模,5)已知图①中的图象对应函数 y = f ( x ),则图②中的图象对应的函数是   (　　)   A. y = f (| x |)　    B. y =| f ( x )| C. y = f (-| x |)　    D. y =- f (| x |) 答案      C 　设所求函数为 g ( x ),则 g ( x )=   = f (-| x |),C选项符合题意.故选C. 3. (2017山西名校联考,5)设函数 f ( x )=lg(1- x ),则函数 f [ f ( x )]的定义域为   (　　) A.(-9,+ ∞ )　    B.(-9,1)　    C.[-9,+ ∞ )　    D.[-9,1) 答案    B      f [ f ( x )]= f [lg(1- x )]=lg[1-lg(1- x )],则   ⇒ -9< x <1.故选B. 4. (2017广东七校联考,13)已知 f (2 x )= x +3,若 f ( a )=5,则 a = 　　　     . 答案　 4 解析　 设 a =2 x ,则 f ( a )= f (2 x )= x +3=5.∴ x =2,∴ a =2 2 =4. 考点二　分段函数及其应用 1. (2018安徽合肥一模,3)已知函数 f ( x )=   则 f [ f (1)]=   (　　) A.-   　    B.2　    C.4　    D.11 答案      C 　∵函数 f ( x )=   ∴ f (1)=1 2 +2=3, ∴ f [ f (1)]= f (3)=3+   =4.故选C. 2. (2018河南濮阳二模,5)若 f ( x )=   是奇函数,则 f ( g (-2))的值为   (　　) A.   　    B.-   　    C.1　    D.-1 答案      C 　∵ f ( x )=   是奇函数,∴ x <0时, g ( x )=-   +3,∴ g (-2)=-   +3=-1, f ( g (-2))= f (- 1)= g (-1)=-   +3=1.故选C. 3. (2018福建福州模拟,6)设函数 f ( x )=   则满足 f ( x 2 -2)> f ( x )的 x 的取值范围是   (　　) A.(- ∞ ,-1) ∪ (2,+ ∞ )　    B.(- ∞ ,-   ) ∪ (   ,+ ∞ ) C.(- ∞ ,-   ) ∪ (2,+ ∞ )　    D.(- ∞ ,-1) ∪ (   ,+ ∞ ) 答案      C 　由题意, x >0时, f ( x )递增,故 f ( x )> f (0)=0,又 x ≤ 0时, x =0,故若 f ( x 2 -2)> f ( x ),则 x 2 -2> x ,且 x 2 -2> 0,解得 x >2或 x <-   ,故选C. 4. (2018江西南昌一模,8)设函数 f ( x )=   若 f (1)是 f ( x )的最小值,则实数 a 的取值范围为   (　　) A.[-1,2)　    B.[-1,0]　    C.[1,2]　    D.[1,+ ∞ ) 答案      C 　函数 f ( x )=   若 x >1,则 f ( x )= x +1>2,易知 y =2 | x - a | 在( a ,+ ∞ )上递增,在(- ∞ , a )上递减, 若 a <1,则 f ( x )在 x = a 处取得最小值,不符合题意; 若 a ≥ 1,则要使 f ( x )在 x =1处取得最小值,只需2 a -1 ≤ 2, 解得 a ≤ 2,∴1 ≤ a ≤ 2. 综上可得 a 的取值范围是[1,2].故选C. 5. (2017河北成安期中,8)定义新运算⊕:当 a ≥ b 时, a ⊕ b = a ;当 a < b 时, a ⊕ b = b 2 ,则函数 f ( x )=(1⊕ x ) x - (2⊕ x ), x ∈[-2,2]的最大值等于   (　　) A.-1　    B.1　    C.6　    D.12 答案      C 　由题意知,当-2 ≤ x ≤ 1时, f ( x )= x -2;当1< x ≤ 2时, f ( x )= x 3 -2,又∵ y = x -2, y = x 3 -2在R上都 为增函数,且 f ( x )在 x =1处连续,∴ f ( x )的最大值为 f (2)=2 3 -2=6. 6. (2017广东汕头潮南模拟,15)已知函数 f ( x )=   有3个零点,则实数 a 的取值 范围是 　　　     . 答案        解析 　如图, ∵函数 f ( x )=   有3个零点, ∴ a >0且函数 y = ax 2 +2 x +1在(-2,0)上有2个零点, ∴   解得   < a <1. B 组 201 6 —201 8 年 高考模拟·综合题组 (时间: 1 0分钟　分值: 2 5分) 一、选择题(每题5分,共15分) 1. (2018江西南昌一模,10)设函数 f ( x )=   若 f ( x )的最大值不超过1,则实数 a 的取 值范围为   (　　) A.   　    B.   C.   　    D.   答案      A 　当 x < a +1时, f ( x )=   在(- ∞ , a )上递增,在[ a , a +1)上递减,可得此时 f ( x )在 x = a 处取得 最大值,且为1;当 x ≥ a +1时, f ( x )=- a -| x +1|,当 a +1 ≥ -1,即 a ≥ -2时, f ( x )递减,由题意得- a -| a +2| ≤ 1,解 得 a ≥ -   ;当 a +1<-1,即 a <-2时, f ( x )在 x =-1处取得最大值,且为- a ,由题意得- a ≤ 1,则 a ∈∅.综上可 得 a 的取值范围是   .故选A. 思路分析 　分别讨论 x < a +1时, x ≥ a +1时的函数的最大值,然后列不等式求解. 方法点拨 　含参函数最值的求解,要注意分类讨论的运用,应做到不重不漏. 2. (2017广东深圳一模,3)函数 y =   的定义域为   (　　) A.(-2,1)　    B.[-2,1]　    C.(0,1)　    D.(0,1] 答案    C 　由题意得   解得0< x <1,故选C. 思路分析 　根据二次根式、分式、对数式有意义的条件得到关于 x 的不等式组,解出即可. 3. (2017江西鄱阳校级期中,7)已知函数 f ( x )=1-log 2 x 的定义域为[1,4],则函数 y = f ( x )· f ( x 2 )的值域是   (　　) A.[0,1]　    B.[0,3]　    C.   　    D.   答案      C 　对于 y = f ( x )· f ( x 2 ),由函数 f ( x )的定义域是[1,4],得1 ≤ x ≤ 4,且1 ≤ x 2 ≤ 4,解得1 ≤ x ≤ 2,故 函数 y = f ( x )· f ( x 2 )的定义域是[1,2],易得 y = f ( x )· f ( x 2 )=1-3log 2 x +2lo   x ,令 t =log 2 x ,则 t ∈[0,1], y =1-3 t +2 t 2 =2   -   , 故 t =   时, y 取最小值-   ; t =0时, y 取最大值1, 故所求函数的值域是   ,故选C. 二、填空题(每题5分,共10分) 4. (2018福建永定4月模拟,13)函数 y =   +log 2 (tan x -1)的定义域为 　　　     . 答案        解析 　要使函数 y =   +log 2 (tan x -1)有意义,则1- x 2 ≥ 0,tan x -1>0,且 x ≠ k π+   ( k ∈Z),∴-1 ≤ x ≤ 1且   + k π< x < k π+   , k ∈Z,可得   < x ≤ 1,则函数的定义域为   ,故答案为   . 方法规律 　1.简单函数定义域的求法 求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然 后求出它们的解集即可. 2 .抽象函数的定义域 (1)若已知函数 f ( x )的定义域为[ a , b ],则复合函数 f ( g ( x ))的定义域由不等式 a ≤ g ( x ) ≤ b 求出. (2)若已知函数 f ( g ( x ))的定义域为[ a , b ],则 f ( x )的定义域为 g ( x )在 x ∈[ a , b ]时的值域. 5. (2016福建厦门一模,12)已知函数 f ( x )=   的值域为R,则实数 a 的取值范围是 　　　     . 答案        解析 　当 x ≥ 1时, f ( x )=2 x -1 ≥ 1, ∵函数 f ( x )=   的值域为R, ∴当 x <1时,(1-2 a ) x +3 a 必须取遍(- ∞ ,1)内的所有实数,则   解得0 ≤ a <   . 解题关键 　对于分段函数,取各段值域的并集即得整个分段函数的值域.确定出 x <1时, f ( x )必 须取遍(- ∞ ,1)内的所有实数是解题的关键.