四川省攀枝花市2020届高三上学期第二次统一考试 数学文（PDF版）

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、‘ 文科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡.tc 2.回答选择题时，选肉每小题答案后，用铅笔把答题卡上对！就题目的答案标号掠黑c如 需改动 节 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号口回答非选择题时，将答案写在答题卡上c写 在本试卷上无效口 3.考试结束后，将本试卷和答题卡 － ｝， 二交囚。 …、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是 符合题目要求的。 1.已知Ii是虚数单位，王表后复数z的）t辄复数，若z二1 + i，则三：（ (A)-2i (B)2i (:D)2 (c）一2 2.已知集合M = ( xlx 1 - 3x > 0 },iV '= { xi 1ζ：Z 运7｝，则（CnM）门N 艺（ (A）｛见13 ＜克运7} (B)f xl3ζx 髦 7} .- ( C){ :dl 运 Z运3} (D){ xH运x< 3} 3.中罔古代用算筹来进行ic数， 11 筹的摆放形式有纵横两种形式（如罔所水），表示、；个多位 数时，像间拉伯i己数 一 样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需些纵横相 间，其中个位、百位、万位……用纵式表示，十位、千位、［·JT11＇！：……用模式表示，则56846可 用算寿表示为（ （川1111-1-l 而IIHT 11. ill 111111111:Tlfτ 阳纵式 一二✍二三一L土主圭横式 q1国占代的算筹数码 (B)Jn!LL 11「雪丁 (C）三丁主IIIIT (D)Hllll_ llfllll牛 4在区间r -2, 4 1卜任取一个实数兀贝lj使得Ix- 11斗成立的概半为（ (A)f 4－5 、M、‘EEavd’’B’’b＼ ਫ਼ 叮、4· ‘飞且喃自a，J’Fiu f’L飞、 (o)k_ 5.函数f (x）二 ＿4_ 【 2 ＇ 的零点所在的区间是（X (A)( 0, I) (C)(l. I) 川 f, 2 ) (B)(f’ t ) 高二文科数学、第1页：共4页 6若tanα 主 "f1�!1J cos2 α ＋ 2si巾二（ rOPF「d1 ，2 ‘、．． E目，j’Ai－－飞 (B) 1 48 (C)-25 ω－DD 7.已知矶、日是1MJ条币阳的直线，αβ是两个不同的平ITti , ,:m mil n的充分条件是（ ） (A)m 、n与平面α所成的角相等 ( C)mJI，α ，rn Cβ，α门β＝n (B )in!lα，n//a (D)m!l1α，αnβ ＝ n 8. 已知础是同心为C的同的条弦，且E AC ＝ ；，则｜政｜＝（ (A）飞／王 (B)3 (C)2笏3 。x +h ．函数f(x ）＝ 二：...：＿＿＿＿＿＿＿＿：.的罔象如罔所示，则下列结论成立的是（(x+c)2 (A)a< O,b> O,c < 0 (B）α ＜ 0,b>O,c>O (C）。，＞O;b>O;c 0 12‘已知函数f(x）寸 的阴象「有日仅有四个不同的点关于；i1线J = 1 j'[{j对称点十F邱 i _3元、 z 运。 在）＇ ： 如十l的国象上，则实数k的取值范国是（ 、11’／ ）i －2 唱EA ’ 上1 －2 j’r4、、 ．，，th飞 、、、、EEr4、、，，，／ BD ／’’飞、／且·飞、 飞、Ef’ ） 1－2 Jl －3 11－7由 一 ，d4、、J’’飞 、、Etf，、、，，J AC JJ『E飞、 ，，，E‘飞、 高三文科数学第2页共4页 · ．、 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13.已知α＞ O,b> 0，若log，α ＝ log4 b = ＿！＿，则旦＝2 b [ 2x yζ0 14.若实数元，y满足忖＋ :Y运3，贝U2x + :r自l,j最大值为 lx注。 15.己知定义在R「－的函数f{x）满足／（元） 兰 g ( X) - g ( -x), §_f ( X ） 在 （ 一钱。）单调递增，对任宜的 X1, X2 E ( O， ＋叫，恒有 A 1 .f (x1)·f (x2)=/ (x, ＋元明使不制［川市寸）f + f(2 - m)>O 成立的m的取值范国是一－一－· 16.如图，在－ 自囚棱性A.BCD -.4. 1 B1C1 D1 l书，！前面ABCD足百．方形，E,F分 别是 RB i ,DD 1 的中点，6为AE 的tit点且PG= 2，则 6.EFι 面积的最A R 大值为 Ci 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每 个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答 3 （一）必考题：共60分.＇， 17.(12分） 巴知等差数列｛αn｝巾，S㌌ 为其前n项和， αi .α4 = 8, Ss = 15；等比数列｛brr｝的前nJI员和 T腮 二 2『. - l. (I)求数列 ｛ a�｝ ， { bn｝的通项公式； ( II）当｛αn｝各项为正时，设c,. ＝α，， . b斤，求数列｛ Cn｝的前n项和． 18. (12分） 如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD .lJ底面 .4BCD，底雨ABCD AB 为梯形，AB/!CI) t LABC = LBCD 巳 90° , BC= CD. 二 7 二 2. (I)irEI归： BIJ ..l PD; (JI)若 b.PAD 为正三角形，求 Cli;到平面PBD 的距离． 19.(12分） 为了了解届民的家庭收入情况，某社区组织工 作人员从该社区的居民中随机抽取了 η，户家庭进行 fnJ卷调查，经调查发现，这些家庭的月收九在5000 元到8000元之间，根据统计数据作出如图所示的频 率分布直方阁．已知阁中从左至右第一 、二、四小组 的频率之比为1 :3 :6，且第 vq小组的频数为18. 频率／制距 0.04• 0.02… 家庭）』收入 0 50 55 60 65 70 75 80 . （百元） 高三文科数学绵3页共4页 。）求 n; (II）求这n户家庭月收入的众数与中位数（结果精确至lj 0.1); (III）这n户家庭月收人在第一 、二、三小组的家庭中，用分层抽样的方法任意抽取6户家庭，并从 这6户家庭中随机抽取2户家庭进行慰问，求这2户家庭月收入相差不跑过1000元的概率． 20. (12分） 已知椭圆 C ；�. ＋ 妥＝ 1 （α＞ b > 0）的短 轴顶点分别为A 飞 B，日短轴长为 2,T 为椭圆上异a o 于A�B 的任意一点，直线凹，凹的斜率之积为 － t (0求椭阴C的方程； 3 (II）设。为坐标原点，匮l O : x2 + J2 ＝ 一 的切续l与椭圆C相交于P,Q两点，求牛POQ而积的最4 大值． 21.(12分） 已知函数f (x ）＝ 子＋灿川 （ x ） 二叫 2 + 2ax. (I）若α，注0，讨itf {x）的单调性：； (II）当α＞0时，若函数f (x）与g （川的图象有且仅有一个交点（兀o，⟶，求［均］的值（其中 ［ x］ 表 示不超过元的最大整数，如［0.37 l=O,[ -0.37] = -1.[ 2.9] = 2). 参考数据：ln 2 = 0.693, In 3:::; 1 .. 099, ln5 ;:;;: l.609, ln7 = 1.946 （二）选考题：共10分口请考生在第22、23题中任选一题作答口如呆多做，则按所做的第一 题记分 D 22. ［选修4-4：坐标系与参数方程J( 10分） [ X = 1 + 2COSα 平面豆角坐标系 xOy 中，曲线C1的臭数方程为｛ （α为参数），以坐标原点。扩 h ＝叮半2sina :;. 为极点，以z轴正半轴为极轴，建古极坐标系，曲线C2的极坐际方程为p cos"()= 4 sin 0. (I）写出曲线C1的极坐标方程和曲线 c�的直角坐标方程； (II）若射线 OM : (J ＝α。（ρ注。）平分曲线C, ，且与曲线C2交于点A，曲线C2上的点B满足 L40B = "i°，求IABI. 23.［选修4-5：不等式选讲］（ 10分） 已知α＞ O,b > o， 匿a2 + bz = 1. (I)证明：（ _!_ ＋丰）（α5 ＋扩）注1 ;α 。 (II）若毛＋丢注12x-ll-lx-I!恒成立，求元的取值范围αE o- 高三文科数学第4页共4页 高三第二次统考数学（文）参答 第 1 页 共 4 页 参考答案 一、选择题：（每小题 5 分，共 60 分） （1~5）ACBDC （6~10）DCBAA （11~12）DB 二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分） 13、 3 2 14、 4 15、 [0,9) 16、 4 3 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17、（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设等差数列{ }na 的首项为 1a ， 公差为 d ， 则 11 2 11 ( )( 3 ) 8 (3 )(3 ) 8 11 1325 10 15 a da d dd d ddadad + += − += ⇒ ⇒ =⇒= =−= −+=  或 ．……………………3 分 11, 1 nd a an∴= = ∴ =． 11, 5 6nda a n∴=− = ∴ =−．……………………5 分 当 2n ≥ 时， 1 1 2n n nnbTT − −=−= 当 1n = 时， 111bT= = 也满足上式 所以 12n nb −= ．…………………………7 分 （Ⅱ）由题可知， nan= ， 12 −⋅=⋅= n nnn nbac ．……………………8 分 012 2 1 123 1 1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2 2 1 2 2 2 3 2 ( 1) 2 2 nn n nn n T nn T nn −− − = ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ − ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ − ⋅ + ⋅ 111 2 2 2 (1 ) 2 1nn n nT nn−− = + +⋅⋅⋅+ − ⋅ = − ⋅ − ． 故 ( 1) 2 1n nTn= −⋅ +．……………………12 分 18、（本小题满分 12 分） （Ⅰ）证明：因为 2BC CD= = ， 4=AB ，又底面 ABCD 为直角梯形， ∴ 222,22,22 ABBDADBDAD =+== ，∴ ADBD ⊥ ……………………3 分 ∵面 PAD ⊥ 底面 ABCD ，∴ PADBD 平面⊥ .……………………5 分 ∴ PDBD ⊥ ．……………………6 分 （Ⅱ）因为侧面 PAD ⊥ 底面 ABCD , PAD∆ 为正三角形,取 AD 中点 M ,连接 PM ∴ ABCDPM 底面⊥ , 6=PM ,……………………8 分 3 62222 163 1 3 1 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ∆− BCDBCDP SPMV ，……………………9 分 设 面的距离点到PBDC 为 cd ， 3 6222222 1 3 1 3 1 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= ∆− cPBDcBCDP dSdV ， ∴ 2 6=cd ．……………………12 分 高三第二次统考数学（文）参答 第 2 页 共 4 页 19、（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设从左至右第一、三、四小组的频率分别为 1p 、 2p 、 3p ，则由题意可知： 21 31 123 3 6 (0.02 0.04 0.04) 5 1 pp pp ppp =  =  + + + + + ×= ，解得 1 2 3 0.05 0.15 0.3 p p p =  =  = ．……………………3 分 从而 18 600.3n = = ．……………………4 分 （Ⅱ）由于第四小组频率最大，故这 n 户家庭月收入的众数为 65 70 67.52 + = ．……………………5 分 由于前四小组的频率之和为 0.05 0.1 0.15 0.3 0.6 0.5++ += >， 故这 n 户家庭月收入的中位数应落在第四小组，设中位数为 x 则 650.05 0.1 0.15 0.3 0.52 x −++ + ×= ，解得 66.3x = ．……………………7 分 （Ⅲ）因为家庭月收入在第一、二、三小组的家庭分别有 3、6、9 户，按照分层抽样的方法易知分别抽取 1、2、 3 户家庭，记为 a ； ,bc； ,,def．……………………9 分 从中随机抽取 2 户家庭的方法共有( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )ab ac ad ae a f bc bd be b f ，(, ),(,)cd ce ， ( , ),( , ),( , ),( , )cf de d f ef 15 种； 其中，这 2 户家庭月收入相差不超过 1000 元的选法有 (,),(,)ab ac ，(,),(,),(,),(,)bc bd be b f ，(, ),(,)cd ce ， ( , ),( , ),( , ),( , )cf de d f ef 共 12 种； 所以这 2 户家庭月收入相差不超过 1000 元的概率为 12 4 15 5P = = ．……………………12 分 20、（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ）设 (, )Txy，由题意知 (0, 1), (0,1)AB− ，设直线TA 的斜率为 1k ，直线TB 的斜率为 2k ，………1 分 则 1 1yk x += ， 2 1yk x −= . 由 12 1 3kk⋅=−，得 1 11 3 yy xx +−⋅=−，……………………3 分 整理得椭圆C 的方程为 2 2 3 1x y+=.……………………4 分 （Ⅱ）当切线l 垂直 x 轴时 3PQ = .……………………5 分 当切线l 不垂直 x 轴时，设切线方程为 y kx m= + . 由已知 2 3 21 m k = + ，得 223 ( 1)4mk= + .……………………6 分 把 y kx m= + 代入椭圆方程 2 2 3 1x y+=，整理得： 22 2(3 1) 6 3 3 0k x kmx m++ +−= 设 11 2 2( , ), ( , )Px y Qx y 则 12 2 6 31 kmxx k −+= + ， 2 12 2 33 31 mxx k −= + ……………………7 分 22 2 22 2 1 2 12 22 2 36 4(3 3)1 ( )4 1 (31)31 km mPQ k x x x x k kk −=+ +− =+ −++ 222 22 12(1 )(3 1) (3 1) k km k + −+= + 22 22 3(1 )(9 1) (3 1) kk k ++= + 2 42 123 961 k kk = + ++ 2 2 123 196k k = + ++ 1232236 ≤+ =×+ ( 0)k ≠ ……………………10 分 高三第二次统考数学（文）参答 第 3 页 共 4 页 当且仅当 2 2 19k k = ，即 3 3k = ± 时等号成立，当 0k = 时， 3PQ = . 综上所述 max 2PQ = .所以当 PQ 取最大值时， POQ 面积 max 1 33 2 22S PQ=× ×=．……………………12 分 法二： PQ 22 22 3(1 )(9 1) (3 1) kk k ++= + .设 231kt+= PQ 22 2 22 2 2 3(1 )(9 1) (3 2)( 2) 3 4 4 (3 1) kk t t t t k tt + + − + +−= = =+ 2 443tt −= ++ 2114( ) 42t =−−+ 当 1102t −=即 2t = 即 3 3k = ± 时 max 2PQ = .其它步骤相同． 21、（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） 2 22 2 12 2'( ) 2a ax x afx ax xx −−=−+ −= ，……………………2 分 对于函数 2() 2 2h x ax x a= −− ， 21 16 0a∆= + > 当 0a = 时， 1'( )fx x = − ，∴ ()fx在 (0, )+∞ 单调递减 当 0a > 时， ()fx在 21 1 16(0, )4 a a ++ 单调递减，在 21 1 16( ,)4 a a ++ +∞ 单调递增．……………………4 分 （Ⅱ） 0a > 且两函数有且仅有一个交点 00(, )xy，则方程 22 2 ln 2a ax x ax axx +−=−+ 即方程 2 2 ln 0aax xx +− =在(0, )+∞ 只有一个根. ……………………5 分 令 2 2( ) lnaF x ax xx = +− ，则 3 2 22'( ) ax x aFx x −−= 令 3() 2 2x ax x aϕ = −− ， [0, )x∈ +∞ ，则 2'( ) 6 1x axϕ = −  0a > ，∴ ()xϕ 在 1(0, )6a 单调递减，在 1( ,)6a +∞ 上单调递增，故 min 1() ( )6x a ϕϕ= 注意到 (0) 2 0aϕ =−<，∴ ()xϕ 在 1(0, )6a 无零点，在 1( ,)6a +∞ 仅有一个变号的零点 m ∴ ()Fx在 (0, )m 单调递减，在(, )m +∞ 单调递增，注意到 (1) 3 0Fa= > 根据题意 m 为 ()Fx的唯一零点即 0mx= ……………………8 分 ∴ 2 00 0 3 0 2 ln 0 2 20 aax xx ax x a  +− =  −− = ，消去 a ，得： 3 0 0 33 00 2 32ln 111 xx xx += = +−− ……………………10 分 令 3 3( ) 2ln 1 1Hx x x = −− − ，可知函数 ()Hx在 (1, )+∞ 上单调递增 10(2) 2ln 2 7H = − 102 0.693 07 =× −<， 29 29(3) 2ln 3 2 1.099 026 26H = −=× −> ∴ 0 2 3)x ∈（， ，∴ 0[]2x = ．……………………12 分 高三第二次统考数学（文）参答 第 4 页 共 4 页 请考生在 22~23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所 选题目对应题号右侧的方框涂黑． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）曲线 1C 的直角坐标方程是 22( 1) ( 3) 4xy− +− =，即 222 23 0x xy y−+− = 化成极坐标方程为 2cos 2 3 sinρθ θ= + ；……………………3 分 曲线 2C 的直角坐标方程是 2 4xy= .……………………5 分 （Ⅱ）曲线 1C 是圆，射线OM 过圆心(1, 3 ) ，所以方程是 ( 0)3 πθρ= ≥ ， 代入 2cos 4sinρθ θ= ，得 83Aρ = ，……………………7 分 又 2AOB π∠=，将 5 6 πθ = 代入 2cos 4sinρθ θ= ，得 42Bρ = ，……………………9 分 因此 224 14ABAB ρρ= += .……………………10 分 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解： 解：（Ⅰ） 55 55 4411( )( ) baab abab a b + + =++ + 44 44 2222 ( )1ab abab≥++ = + =．……………………4 分 （Ⅱ）由 221ab+=，得 22 22 22 22 2 2 14 14 4( )( ) 1 4 baabab ab a b + = + + =++ + 5 24 9≥+ =， 所以9 |2 1| | 1|xx≥ −− −恒成立．……………………6 分 当 1x ≥ 时，|2 1| | 1| 9x xx− − −=≤，故19x≤≤； 当 1 12 x≤<时，|2 1| | 1| 3 2 9xxx− − −= −≤，解得 11 3x ≤ ，故 1 12 x≤<； 当 1 2x < 时，|2 1| | 1| 9xxx− − −=−≤ ，解得 9x ≥− ，故 19 2x−≤ < ． 综上可知， 99x−≤ ≤ ．……………………10 分