高考理数　直线方程与圆的方程

高考理数　直线方程与圆的方程

§9.1 　直线方程与圆的方程 高考理数 ( 课标专用) 考点一　直线方程 (2015课标Ⅰ,20,12分,0.308)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C : y =   与直线 l : y = kx + a ( a >0)交于 M , N 两 点. (1)当 k =0时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程; (2) y 轴上是否存在点 P ,使得当 k 变动时,总有∠ OPM =∠ OPN ?说明理由. A组  统一命题·课标卷题组 五年高考 解析 　(1)由题设可得 M (2   , a ), N (-2   , a )或 M (-2   , a ), N (2   , a ). 又 y '=   ,故 y =   在 x =2   处的导数值为   , C 在点(2   , a )处的切线方程为 y - a =   ( x -2   ),即   x - y - a =0. y =   在 x =-2   处的导数值为-   , C 在点(-2   , a )处的切线方程为 y - a =-   ( x +2   ),即   x + y + a =0. 故所求切线方程为   x - y - a =0和   x + y + a =0.   (5分) (2)存在符合题意的点,证明如下: 设 P (0, b )为符合题意的点, M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ),直线 PM , PN 的斜率分别为 k 1 , k 2 . 将 y = kx + a 代入 C 的方程得 x 2 -4 kx -4 a =0. 故 x 1 + x 2 =4 k , x 1 x 2 =-4 a . 从而 k 1 + k 2 =   +   =   =   . 当 b =- a 时,有 k 1 + k 2 =0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故∠ OPM =∠ OPN ,所以点 P (0,- a )符合题意.   (12分) 疑难突破 　要使∠ OPM =∠ OPN ,只需直线 PM 与直线 PN 的斜率互为相反数. 考点二　圆的方程 1. (2016课标Ⅱ,4,5分)圆 x 2 + y 2 -2 x -8 y +13=0的圆心到直线 ax + y -1=0的距离为1,则 a =   (　　) A.-   　    B.-   　    C.   　    D.2 答案    A　 圆的方程可化为( x -1) 2 +( y -4) 2 =4,则圆心坐标为(1,4),圆心到直线 ax + y -1=0的距离为   =1,解得 a =-   .故选A. 思路分析 　将圆的方程化成标准方程,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出 关于 a 的方程,解方程即可求得 a 的值. 2 .(2015课标Ⅰ,14,5分,0.534)一个圆经过椭圆   +   =1的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上, 则该圆的标准方程为 　　　     . 答案        + y 2 =   解析 　由已知可得该圆经过椭圆的三个顶点 A (4,0)、 B (0,2)、 C (0,-2).易知线段 AB 的垂直平分 线的方程为2 x - y -3=0.令 y =0,得 x =   ,所以圆心坐标为   ,则半径 r =4-   =   .故该圆的标准方程 为   + y 2 =   . 思路分析 　由已知条件和椭圆的方程分析出圆所经过的顶点的坐标,然后求出圆心坐标,进一 步求出圆的半径,从而得到圆的标准方程. 解题关键 　利用圆的几何性质求出圆心坐标是解题的关键. 3. (2018课标Ⅱ,19,12分)设抛物线 C : y 2 =4 x 的焦点为 F ,过 F 且斜率为 k ( k >0)的直线 l 与 C 交于 A , B 两 点,| AB |=8. (1)求 l 的方程; (2)求过点 A , B 且与 C 的准线相切的圆的方程. 解析 　(1)由题意得 F (1,0), l 的方程为 y = k ( x -1)( k >0), 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 由   得 k 2 x 2 -(2 k 2 +4) x + k 2 =0. Δ =16 k 2 +16>0,故 x 1 + x 2 =   .所以| AB |=| AF |+| BF |=( x 1 +1)+( x 2 +1)=   . 由题设知   =8,解得 k =-1(舍去),或 k =1,因此 l 的方程为 y = x -1. (2)由(1)得 AB 的中点坐标为(3,2),所以 AB 的垂直平分线方程为 y -2=-( x -3),即 y =- x +5. 设所求圆的圆心坐标为( x 0 , y 0 ),则   解得   或   因此所求圆的方程为( x -3) 2 +( y -2) 2 =16或( x -11) 2 +( y +6) 2 =144. 方法总结 　有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重 利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解. 4. (2017课标Ⅲ,20,12分)已知抛物线 C : y 2 =2 x ,过点(2,0)的直线 l 交 C 于 A , B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上; (2)设圆 M 过点 P (4,-2),求直线 l 与圆 M 的方程. 解析 　本题考查直线与圆锥曲线的位置关系. (1)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), l : x = my +2. 由   可得 y 2 -2 my -4=0,则 y 1 y 2 =-4. 又 x 1 =   , x 2 =   ,故 x 1 x 2 =   =4. 因此 OA 的斜率与 OB 的斜率之积为   ·   =   =-1,所以 OA ⊥ OB . 故坐标原点 O 在圆 M 上. (2)由(1)可得 y 1 + y 2 =2 m , x 1 + x 2 = m ( y 1 + y 2 )+4=2 m 2 +4. 故圆心 M 的坐标为( m 2 +2, m ),圆 M 的半径 r =   . 由于圆 M 过点 P (4,-2),因此   ·   =0,故( x 1 -4)( x 2 -4)+( y 1 +2)( y 2 +2)=0, 即 x 1 x 2 -4( x 1 + x 2 )+ y 1 y 2 +2( y 1 + y 2 )+20=0.由(1)可得 y 1 y 2 =-4, x 1 x 2 =4. 所以2 m 2 - m -1=0,解得 m =1或 m =-   . 当 m =1时,直线 l 的方程为 x - y -2=0,圆心 M 的坐标为(3,1),圆 M 的半径为   ,圆 M 的方程为( x -3) 2 +( y -1) 2 =10. 当 m =-   时,直线 l 的方程为2 x + y -4=0,圆心 M 的坐标为   ,圆 M 的半径为   ,圆 M 的方程为   +   =   . 解后反思　 直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与 系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标( x 1 , y 1 )、( x 2 , y 2 )表 示:( x - x 1 )( x - x 2 )+( y - y 1 )( y - y 2 )=0. 考点　圆的方程 1 .(2014陕西,12,5分)若圆 C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线 y = x 对称,则圆 C 的标准方程为 　　　　　　　     . B组  自主命题·省(区、市)卷题组 答案      x 2 +( y -1) 2 =1 解析 　根据题意得点(1,0)关于直线 y = x 对称的点(0,1)为圆心,又半径 r =1,所以圆 C 的标准方程 为 x 2 +( y -1) 2 =1. 2. (2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的圆 M : x 2 + y 2 -12 x -14 y +60= 0及其上一点 A (2,4). (1)设圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切,且圆心 N 在直线 x =6上,求圆 N 的标准方程; (2)设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B , C 两点,且 BC = OA ,求直线 l 的方程; (3)设点 T ( t ,0)满足:存在圆 M 上的两点 P 和 Q ,使得   +   =   ,求实数 t 的取值范围.   解析 　圆 M 的标准方程为( x -6) 2 +( y -7) 2 =25,所以圆心 M (6,7),半径为5. (1)由圆心 N 在直线 x =6上,可设 N (6, y 0 ). 因为圆 N 与 x 轴相切,与圆 M 外切, 所以0< y 0 <7, 于是圆 N 的半径为 y 0 , 从而7- y 0 =5+ y 0 ,解得 y 0 =1. 因此,圆 N 的标准方程为( x -6) 2 +( y -1) 2 =1. (2)因为直线 l ∥ OA ,所以直线 l 的斜率为   =2. 设直线 l 的方程为 y =2 x + m ,即2 x - y + m =0, 则圆心 M 到直线 l 的距离 d =   =   . 因为 BC = OA =   =2   ,而 MC 2 = d 2 +   , 所以25=   +5, 解得 m =5或 m =-15. 故直线 l 的方程为2 x - y +5=0或2 x - y -15=0.   (3)设 P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ). 因为 A (2,4), T ( t ,0),   +   =   , 所以     ① 因为点 Q 在圆 M 上,所以( x 2 -6) 2 +( y 2 -7) 2 =25.   ② 将①代入②,得( x 1 - t -4) 2 +( y 1 -3) 2 =25.于是点 P ( x 1 , y 1 )既在圆 M 上,又在圆[ x -( t +4)] 2 +( y -3) 2 =25上, 从而圆( x -6) 2 +( y -7) 2 =25与圆[ x -( t +4)] 2 +( y -3) 2 =25有公共点, 所以5-5 ≤   ≤ 5+5, 解得2-2   ≤ t ≤ 2+2   . 因此,实数 t 的取值范围是[2-2   ,2+2   ]. 考点一　直线方程 1. (2018湖北四地七校联考,6)已知函数 f ( x )= a sin x - b cos x ( a ≠ 0, b ≠ 0),若 f   = f   ,则直 线 ax - by + c =0的倾斜角为   (　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   三年模拟 A组 201 6 —201 8 年 高考模拟·基础题 组 答案    D　 由 f   = f   知函数 f ( x )的图象关于 x =   对称,所以 f (0)= f   ,所以 a =- b ,由直 线 ax - by + c =0知其斜率 k =   =-1,所以直线的倾斜角为   ,故选D. 2. (2017河北五校联考,5)直线 ax + y +3 a -1=0恒过定点 M ,则直线2 x +3 y -6=0关于 M 点对称的直线方 程为   (　　) A.2 x +3 y -12=0　    B.2 x -3 y -12=0 C.2 x -3 y +12=0　    D.2 x +3 y +12=0 答案    D　 由 ax + y +3 a -1=0,可得 a ( x +3)+( y -1)=0,令   可得 x =-3, y =1,∴ M (-3,1), M 不在直线 2 x +3 y -6=0上,设直线2 x +3 y -6=0关于 M 点对称的直线方程为2 x +3 y + c =0( c ≠ -6),则   =   ,解得 c =12或 c =-6(舍去),∴所求方程为2 x +3 y +12=0,故选D. 3. (2018河南八市质检,14)已知直线 l 1 与直线 l 2 :4 x -3 y +1=0垂直且与圆 C : x 2 + y 2 =-2 y +3相切,则直线 l 1 的方程是 　　　　　　　     . 答案　 3 x +4 y +14=0或3 x +4 y -6=0 解析 　圆 C 的方程为 x 2 +( y +1) 2 =4,圆心为(0,-1),半径 r =2.由已知可设直线 l 1 的方程为3 x +4 y + c =0, 则   =2,解得 c =14或 c =-6, 即直线 l 1 的方程为3 x +4 y +14=0或3 x +4 y -6=0. 4. (2017豫北重点中学4月联考,14)已知直线 l 在两坐标轴上的截距相等,且点 A (1,3)到直线 l 的距 离为   ,则直线 l 的方程为 　　　　　　　　　　　　　　     . 答案      y =-7 x 或 y = x 或 x + y -2=0或 x + y -6=0 解析 　当直线过原点时,设直线方程为 y = kx ,由点 A (1,3)到直线 l 的距离为   ,得   =   ,解 得 k =-7或 k =1,此时直线 l 的方程为 y =-7 x 或 y = x ;当直线不过原点时,设直线方程为 x + y = a ,由点 A (1, 3)到直线 l 的距离为   ,得   =   ,解得 a =2或 a =6,此时直线 l 的方程为 x + y -2=0或 x + y -6=0.综 上所述,直线 l 的方程为 y =-7 x 或 y = x 或 x + y -2=0或 x + y -6=0. 考点二　圆的方程 1. (2018广东珠海四校4月联考,8)已知圆 C 与直线 x - y =0及 x - y -4=0都相切,圆心在直线 x + y =0上,则 圆 C 的标准方程为(　　) A.( x +1) 2 +( y -1) 2 =2　    B.( x -1) 2 +( y +1) 2 =2 C.( x -1) 2 +( y -1) 2 =2　    D.( x +1) 2 +( y +1) 2 =2 答案    B 　由题意设圆心坐标为( a ,- a ),则有   =   ,即| a |=| a -2|,解得 a =1.故圆心 坐标为(1,-1),半径 r =   =   ,所以圆 C 的标准方程为( x -1) 2 +( y +1) 2 =2.故选B. 2. (2017豫北名校4月联考,4)圆( x -2) 2 + y 2 =4关于直线 y =   x 对称的圆的方程是   (　　) A.( x -   ) 2 +( y -1) 2 =4　    B.( x -   ) 2 +( y -   ) 2 =4 C. x 2 +( y -2) 2 =4　    D.( x -1) 2 +( y -   ) 2 =4 答案    D　 设圆( x -2) 2 + y 2 =4的圆心(2,0)关于直线 y =   x 对称的点的坐标为( a , b ),则有   解得 a =1, b =   ,从而所求圆的方程为( x -1) 2 +( y -   ) 2 =4.故选D. 3. (2017广东七校联考,6)圆 x 2 + y 2 +2 x -6 y +1=0关于直线 ax - by +3=0( a >0, b >0)对称,则   +   的最小 值是   (　　) A.2   　    B.   　    C.4　    D.   答案    D　 由圆 x 2 + y 2 +2 x -6 y +1=0知其标准方程为( x +1) 2 +( y -3) 2 =9,∵圆 x 2 + y 2 +2 x -6 y +1=0关于直 线 ax - by +3=0( a >0, b >0)对称,∴该直线经过圆心(-1,3),即- a -3 b +3=0,∴ a +3 b =3( a >0, b >0).∴   +   =   ( a +3 b )   =     ≥     =   ,当且仅当   =   ,即 a = b 时取等号,故 选D. 4. (2018河南新乡二模,15)若圆 C : x 2 +   = n 的圆心为椭圆 M : x 2 + my 2 =1的一个焦点,且圆 C 经 过 M 的另一个焦点,则圆 C 的标准方程为 　　　　　　　     . 答案      x 2 +( y +1) 2 =4 解析 　∵圆 C 的圆心为   ,∴   =   , m =   .又圆 C 经过 M 的另一个焦点,则圆 C 经过点 (0,1),从而 n =4.故圆 C 的标准方程为 x 2 +( y +1) 2 =4. 1. (2018河南豫西五校联考,7)在平面直角坐标系 xOy 中,以点(0,1)为圆心且与直线 x - by +2 b +1=0 相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为   (　　) A. x 2 +( y -1) 2 =4　    B. x 2 +( y -1) 2 =2 C. x 2 +( y -1) 2 =8　    D. x 2 +( y -1) 2 =16 B组  2016—2018年高考模拟·综合题组 (时间:35分钟　　分值:55分) 一、选择题(每题5分,共15分) 答案    B　 由题意可得圆心(0,1)到直线 x - by +2 b +1=0的距离 d =   =   =   ≤   ≤   ,当且仅当 b =1时取等号,所以半径最大的圆的半径 r =   ,此时圆的标准方程为 x 2 +( y -1) 2 =2.选B. 思路分析　 利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离 d ,利用基本不等式求距离的最 大值,即为最大圆的半径,进而得其标准方程. 一题多解 　直线 x - by +2 b +1=0过定点 P (-1,2),如图.   ∴圆与直线 x - by +2 b +1=0相切于点 P 时,圆的半径最大,为   ,此时圆的标准方程为 x 2 +( y -1) 2 =2, 故选B. 2. (2018江西新余五校4月联考,8)已知圆 O : x 2 + y 2 =9,过点 C (2,1)的直线 l 与圆 O 交于 P , Q 两点,当△ OPQ 的面积最大时,直线 l 的方程为   (　　) A. x - y -3=0或7 x - y -15=0　    B. x + y +3=0或7 x + y -15=0 C. x + y -3=0或7 x - y +15=0　    D. x + y -3=0或7 x + y -15=0 答案    D 　当直线 l 的斜率不存在时, l 的方程为 x =2,则 P , Q 的坐标为(2,   ),(2,-   ),所以 S △ OPQ =   × 2 × 2   =2   .当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y -1= k ( x -2)   ,则圆心到直线 PQ 的距离 d =   ,由平面几何知识得| PQ |=2   , S △ OPQ =   ·| PQ |· d =   ·2   · d =   ≤   =   ,当且仅当9- d 2 = d 2 ,即 d 2 =   时, S △ OPQ 取得最大值   .因为2   <   ,所以 S △ OPQ 的最大 值为   ,此时   =   ,解得 k =-1或 k =-7,此时直线 l 的方程为 x + y -3=0或7 x + y -15=0.故选D. 思路分析 　首先对直线的斜率是否存在进行讨论.当直线的斜率存在时,求出点到直线的距离 以及弦长,表示出△ OPQ 的面积,利用基本不等式求面积的最大值以及对应的直线斜率,进而得 到直线 l 的方程. 方法点拨 　在解决有关圆的问题时,利用圆的有关性质会大大简化题目的运算,另外,应注意分 类讨论思想在此类题目中的应用. 3 .(2017福建厦门4月联考,5)若 a ∈   ,则方程 x 2 + y 2 + ax +2 ay +2 a 2 + a -1=0表示的圆的个数 为   (　　) A.0　    B.1　    C.2　    D.3 答案    B 　方程 x 2 + y 2 + ax +2 ay +2 a 2 + a -1=0表示圆的条件为 a 2 +4 a 2 -4(2 a 2 + a -1)>0,即3 a 2 +4 a -4<0,解 得-2< a <   .又 a ∈   ,∴仅当 a =0时,方程 x 2 + y 2 + ax +2 ay +2 a 2 + a -1=0表示圆,故选B. 知识拓展 　方程 Ax 2 + By 2 + Cxy + Dx + Ey + F =0表示圆的条件为   二、填空题(每题5分,共15分) 4. (2018豫南豫北精英对抗赛,13)过点(-2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 　　     　　　　     . 答案      x + y -1=0或3 x +2 y =0 解析 　①当直线经过原点时,在两坐标轴上的截距均为0,符合题意,此时直线方程为3 x +2 y =0. ②当直线不经过原点时,设直线的方程为 x + y + c =0,将点(-2,3)代入得 c =-1,此时直线的方程为 x + y -1=0. 综上,符合题意的直线方程为 x + y -1=0或3 x +2 y =0. 思路分析 　由题意知,所求直线为经过原点和(-2,3)的直线或是过点(-2,3)且斜率为1的直线.由 此设出直线方程并求出参数的值,即可得到所求直线的方程. 易错警示　 忽视直线过原点的情形,从而导致漏解. 5. (2017山西运城二模,15)已知圆 C 截 y 轴所得的弦长为2,圆心 C 到直线 l : x -2 y =0的距离为   ,且 圆 C 被 x 轴分成的两段弧长之比为3∶1,则圆 C 的方程为 　　　　　　　　　     . 答案 　( x +1) 2 +( y +1) 2 =2或( x -1) 2 +( y -1) 2 =2 解析　 设圆 C 的方程为( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ,则点 C 到 x 轴, y 轴的距离分别为| b |,| a |.由题意可知   ∴   或   故所求圆 C 的方程为( x +1) 2 +( y +1) 2 =2或( x -1) 2 +( y -1) 2 =2. 思路分析 　设圆 C 的方程为( x - a ) 2 +( y - b ) 2 = r 2 ,根据已知条件构建关于 a 、 b 、 r 的方程组,解方程组 求出圆 C 的方程. 6. (2016湖南衡阳八中一模,16)在平面直角坐标系 xOy 中,将直线 l 沿 x 轴正方向平移3个单位,沿 y 轴正方向平移5个单位,得到直线 l 1 .再将直线 l 1 沿 x 轴正方向平移1个单位,沿 y 轴负方向平移2个 单位,又与直线 l 重合.若直线 l 与直线 l 1 关于点(2,3)对称,则直线 l 的方程是 　　　　　　　     . 答案　 6 x -8 y +1=0 解析　 由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y = kx + b ,将直线 l 沿 x 轴正方向平移3个单位, 沿 y 轴正方向平移5个单位,得到直线 l 1 : y = k ( x -3)+5+ b ,将直线 l 1 沿 x 轴正方向平移1个单位,沿 y 轴 负方向平移2个单位,则平移后的直线方程为 y = k ( x -3-1)+ b +5-2,即 y = kx +3-4 k + b .∴ b =3-4 k + b ,解 得 k =   .∴直线 l 的方程为 y =   x + b ,直线 l 1 为 y =   x +   + b ,取直线 l 上的一点 P   ,则点 P 关 于点(2,3)的对称点为   ,∴6- b -   m =   (4- m )+ b +   ,解得 b =   .∴直线 l 的方程是 y =   x +   ,即6 x -8 y +1=0. 思路分析 　设直线 l 的方程为 y = kx + b ,利用平移知识得出 l 1 的方程,进而可得 l 1 平移后的直线方 程,结合题意可求得 k 的值,再利用直线关于点对称的解题方法列方程求得 b 的值,从而得到直线 l 的方程. 三、解答题(共25分) 7. (2018广东深圳3月联考,19)如图,直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(-2,0),直角顶点 B 的坐标 为(0,-2   ),顶点 C 在 x 轴上,点 P 为线段 OA 的中点. (1)求 BC 边所在直线方程; (2)若 M 为直角三角形 ABC 外接圆的圆心,求圆 M 的方程; (3)在(2)的条件下,若动圆 N 过点 P 且与圆 M 内切,求动圆 N 的圆心的轨迹方程.   解析 　(1)易知 k AB =-   , AB ⊥ BC , ∴ k CB =   , ∴ BC 边所在直线方程为 y =   x -2   . (2)由(1)及题意得 C (4,0), ∴ M (1,0), 又∵ AM =3, ∴外接圆 M 的方程为( x -1) 2 + y 2 =9. (3)∵圆 N 过点 P (-1,0),∴ PN 是动圆的半径, 又∵动圆 N 与圆 M 内切, ∴ MN =3- PN ,即 MN + PN =3, ∴点 N 的轨迹是以 M , P 为焦点,长轴长为3的椭圆. ∵ P (-1,0), M (1,0), ∴ a =   , c =1, b =   =   , ∴所求轨迹方程为   +   =1,即   +   =1. 思路分析 　(1)由 k AB =-   , AB ⊥ BC ,知 k BC =   ,由此求 BC 边所在直线的方程;(2)由(1)中的方程, 令 y =0,得 C (4,0),从而得圆心与半径,进而得出圆 M 的方程;(3)利用两圆内切得 MN + PN =3,利用椭 圆定义得点 N 的轨迹,从而得轨迹方程. 方法点拨 　求解直线方程或圆的方程,常用方法为待定系数法和定义法,但应注意方程的选择. 同时涉及直线的斜率时,要注意是否存在的讨论. 8. (2018山西长治二中等六校3月联考,20)已知圆 C 经过点 A   , B   ,直线 x =0平分 圆 C ,直线 l 与圆 C 相切,与圆 C 1 : x 2 + y 2 =1相交于 P , Q 两点,且满足 OP ⊥ OQ . (1)求圆 C 的方程; (2)求直线 l 的方程. 解析　 (1)依题意知圆心 C 在 y 轴上,可设圆心 C 的坐标为(0, b ),圆 C 的方程为 x 2 +( y - b ) 2 = r 2 ( r >0).   (2分) 因为圆 C 经过 A , B 两点, 所以   +   =   +   , 即   +   -   b + b 2 =   +   -   b + b 2 ,解得 b =4.   (4分) 又易知 r 2 =   +   =   , 所以圆 C 的方程为 x 2 +( y -4) 2 =   .   (5分) (2)当直线 l 的斜率不存在时,由 l 与 C 相切得 l 的方程为 x = ±   ,此时直线 l 与 C 1 交于 P , Q 两点,不妨 设 P 点在 Q 点的上方,则 P   , Q   或 P   , Q   ,则   ·   =0,所 以 OP ⊥ OQ ,满足题意. 当直线 l 的斜率存在时,易知其斜率不为0,设直线 l 的方程为 y = kx + m ( k ≠ 0, m ≠ 0), P ( x 1 , y 1 ), Q ( x 2 , y 2 ), 将直线 l 的方程与圆 C 1 的方程联立,得   消去 y ,整理得(1+ k 2 ) x 2 +2 kmx + m 2 -1=0,   (6分) 则 Δ =4 k 2 m 2 -4(1+ k 2 )( m 2 -1)=4( k 2 - m 2 +1)>0, 即1+ k 2 > m 2 ,则 x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =   ,   (7分) ∴ y 1 y 2 =( kx 1 + m )( kx 2 + m )= k 2 x 1 x 2 + km ( x 1 + x 2 )+ m 2 =   -   + m 2 =   , 又 OP ⊥ OQ ,所以   ·   =0,即 x 1 x 2 + y 1 y 2 =   +   =0,故2 m 2 =1+ k 2 ,满足 Δ >0,符合题意.   (9分) 因为直线 l : y = kx + m 与圆 C : x 2 +( y -4) 2 =   相切,所以圆心 C (0,4)到直线 l 的距离 d =   =   ,即 m 2 -8 m +16=   ,   (10分) 故 m 2 -8 m +16= m 2 ,得 m =2,故1+ k 2 =2 × 2 2 ,得 k = ±   . 故直线 l 的方程为 y = ±   x +2.综上,直线 l 的方程为 x = ±   或 y = ±   x +2.   (12分) 思路分析 　(1)由题意可知圆心 C 在 y 轴上,设出圆 C 的方程,再利用待定系数法求解即可.(2)首 先求出直线 l 的斜率不存在时满足题意的直线 l 的方程,当直线 l 的斜率存在时,设出直线 l 的方 程,与圆 C 1 的方程联立,根据根与系数的关系与 OP ⊥ OQ 得2 m 2 =1+ k 2 ,最后根据直线 l 与圆 C 相切, 利用点到直线的距离公式进行求解.