湖北省宜昌市2020届高三年级4月线上统一调研考试 数学（理）（PDF版）

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宜昌市 2020 届高三年级 4 月线上统一调研测试 数学试题（理科） 本试卷共 4 页，23 题（含选考题）. 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1. 已知集合 2{ 2 3}, { 2 1, }xA x y x x B y y x R        ，则 A B  A. [1,3] B. [1, ) C. [ 1,3) D. [3, ) 2. 复数 z 满足 (1 ) 2 2i z i   ，则 z  A. 1 i B. 1 i C. 2 2i D. 2 2i 3. 设 1 31( )2x  ， 5 1log 6y  ， 1 4 log 3z  ，则 A. x y z  B. y z x  C. z x y  D. z y x  4. 运行如图所示的程序框图，则输出的结果为 A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 3 5．已知函数 ( ) sin 3 cosf x x x  ，下列命题： ① ( )f x 关于点 ( ,0)3  对称；② ( )f x 的最大值为 2 ； ③ ( )f x 的最小正周期为 2  ；④ ( )f x 在区间 (0, ) 上递增． 其中正确命题的个数是 A． 0 B．1 C． 2 D．3 6．设正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 1 1 9n n na a   ，则 6 3 S S  A. 28 27 B. 28 C. 26 27 D. 9 8 7．已知箱中装有 6 瓶消毒液，其中 4 瓶合格品，2 瓶不合格品，现从箱中每次取一瓶消毒液，每瓶消毒液 被抽到的可能性相同，不放回地抽取两次，若用 A 表示“第一次取到不合格消毒液”，用 B 表示“第 二次仍取到不合格消毒液”，则 ( | )P B A  A． 1 6 B． 1 5 C. 1 4 D． 1 3 8. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重 二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长 5 尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下 1 尺，重 4 斤，在细的一端截下 1 尺，重 2 斤. 问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等 的若干段时，其重量从粗到细构成等差数列. 若将该金杖截成长度相等的 20 段，则中间两段的重量和为 是 开始 0, 1S n  2020?n„ tan 3 nS S   1n n  结束 输出 S 否 A. 6 5 斤 B. 4 3 斤 C. 3 2 斤 D. 5 4 斤 9．四色猜想又称四色问题、四色定理，是世界近代三大数学难题之一．四色定理 的内容是“任何一张地图最多．．用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同 的颜色．”如图，一矩形地图被分割成了五块，小刚打算对该地图的五个区域涂 色，每个区域只使用一种颜色，现有 4 种颜色可供选择（4 种颜色不一定用完）， 则满足四色定理的不同的涂色种数为 A． 96 B． 72 C．108 D．144 10．已知抛物线C ： 2 8y x 的焦点为 F ，M 是抛物线C 上一点，N 是圆 2 2( 6) ( 3) 9x y    上一点， 则| | | |MN MF 的最小值为 A． 4 B． 5 C．8 D．10 11. 某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形， 1M 为正视图一边的中点， 且几何体表面上的点 M 、 A 、 B 在正视图上的对应点分别为 1M 、 1A 、 1B ， 在此几何体中，平面 过点 M 且与直线 AB 垂直．则平面 截该几何体所得 截面图形的面积为 A. 6 2 B. 6 4 C. 3 2 D. 3 4 12．定义在 R 上的偶函数 ( )f x 满足 (5 ) (3 )f x f x   ，且 22 4 , 0 1( ) 2ln ,1 4 x x xf x x x x             „ „ „ ，若关于 x 的不等式 2 ( ) ( 1) ( ) 0f x a f x a    在[ 20,20] 上有且仅有15 个整数解，则实数 a 的取值范围是 A． ( 1,2ln2 2]  B．[2ln3 3,2ln2 2)  C． (2ln3 3,2ln2 2]  D．[2 2ln2,3 2ln3)  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上. 填错位置， 书写不清，模棱两可均不得分. 13．若向量  1,2a  ，  2,b m ，且  2a b a   ，则 m ． 14．某种品牌汽车的销量 y （万辆）与投入宣传费用 x（万元）之间具有线性相关关系，样本数据如下表 所示： 经计算得回归直线方程  ˆ ˆy bx a  的斜率为 0.7 ，若投入宣传费用为 8 万元，则该品牌汽车销量的预 报值为_______万辆． 15．如图，在四棱锥 P ABCD 中，PA  平面 ABCD ，ABCD 是菱形， 3ABC   2 3PA AB  ，E 是 PD 上的一动点．（1）当点 E 满足 时，AD EC ； （2）在（1）的条件下，三棱锥 E ACD 的外接球的体积为 ． 16 ．已知双曲线 2 2: 12 yC x   的左，右焦点分别为 1F 、 2F ，点 G 位于第一象限的双曲线上，若点 H 满 足 1 2 1 2 ( )GF GFOH OG GF GF          0  ，且直线 GH 与 x 轴的交点为 3( ,0)3P ，则 G 点的坐标 为 ． 宣传费用 x 3 4 5 6 销量 y 2.5 3 4 4.5 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17 21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17.（本题满分 12 分）在 ABC 中，角 A B C、 、 的对边分别是 a b c、 、 ，且 3( cos ) sina b C c B  ． （1）求角 B 的大小； （2）若 ABC 的面积为 2 3 , 2 6b  ，求 ABC 的周长． 18．（本题满分 12 分）如图 1，直角梯形 ABCD 中， AD BC∥ ， AB AD ， E 、 F 分别是 AD 和 BC 上的点，且 AB EF∥ ， 2AE  ， 1 32AB DE CF   ，沿 EF 将四边形 ABFE 折起，如图 2，使 AE 与 FC 所成的角为 60 ． （1）求证： BC∥ 平面 AED ； （2） M 为 CF 上的点， FM FC (0 1)  ，若二面角 B MD E  的余弦值为 7 7 ，求  的值． 19．（本题满分 12 分）已知 1A 、 2A 分别是离心率 2 2e  的椭圆 E ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左右顶点， P 是椭圆 E 的上顶点，且 1 2 1PA PA    ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）若动直线l 过点 (0, 4) ，且与椭圆 E 交于 A 、 B 两点，点 M 与点 B 关于 y 轴对称，求证：直线 AM 恒过定点． 20. （本题满分 12 分）目前，新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐，为了解新冠肺炎传播途径，采取有效 防控措施，某医院组织专家统计了该地区 500 名患者新冠病毒潜伏期的相关信息，数据经过汇总整理 得到如下图所示的频率分布直方图（用频率作为概率）. 潜伏期不高于平均数的患者，称为“短潜伏者”， 潜伏期高于平均数的患者，称为“长潜伏者”． （1）求这 500 名患者潜伏期的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），并计算出这 500 名患者中“长潜伏者”的人数； （2）为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样，从上述 500 名 患者中抽取 300 人，得到如下列联表，请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握 认为潜伏期长短与患者年龄有关； 短潜伏者 长潜伏者 合计 60 岁及以上 90 60 岁以下 140 合计 300 （3）研究发现，有 5 种药物对新冠病毒有一定的抑制作用，其中有 2 种特别有效，现在要通过逐一试 验直到把这 2 种特别有效的药物找出来为止，每一次试验花费的费用是 500 元，设所需要的试验费用 为 X ，求 X 的分布列与数学期望 X ． 附表及公式： 2 0( )P K k… 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21．（本题满分 12 分）已知函数 ( )f x lnx ax b   ． （1）求函数 ( )f x 的极值； （2）若不等式 ( )f x ex„ 恒成立，求 b a e 的最小值（其中 e 为自然对数的底数）． （二）选考题．共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程]（本题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 22 2 24 2 x t y t         ( t 为参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴 的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2sin 2cos   ． （1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知定点 ( 2, 4)M   ，直线 l 与曲线 C 分别交于 P Q、 两点，求 MQ MP MP MQ  的值． 23. [选修 4-5：不等式选讲]（本题满分 10 分） 已知正实数 a 、 b 、 c 满足 9a b c   ，且 2 2 2 a b c   的最小值为 t ． （1）求t 的值； （2）设 ( ) 2 3f x x t x    ，若存在实数 x ，使得不等式 2( ) 2 3f x m m   成立，求实数 m 的取 值范围．        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      宜昌市 2020 届高三年级四月线上统一调研测试 数学（理科）参考答案 命题：（当阳一中） 审题：（夷陵中学） （三峡高中） （五峰高中） 一、选择题(每小题 5 分，共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D B C C A B C D B A B 二、填空题(每小题 5 分，共 20 分) 13. 1 4 14. 5.95 15. PE ED （ AE PD ， BC EC ， 2 2 2BC CE BE等其它填法若正确也给分）， 32 3  16. ( 3,2) 三、解答题（本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（1）由 3( cos ) sina b C c B， 可得 3sin 3sin cos sin sinA B C B C， 即 3sin( ) sin sin 3sin cosB C B C B C   ， （2 分） 展开化简得 3cos sin sin sinB C B C ， （4 分） 又在 ABC 中，sin 0C  ，所以 tan 3B  ， （5 分） 又 0 B ，所以 3B  ． （6 分） （2）因为 ABC 的面积 1 sin 2 32S ac B，所以 8ac  ， （7 分） 由余弦定理得 2 2 2 2 22 cos ( ) 2 ( ) 3b a c ac B a c ac ac a c ac          ， （9 分） 因为 26b  ，可得 2( ) 48ac，所以 43ac ， （11 分） 所以 2 6 4 3abc    ，即 ABC 的周长为 2 6 4 3 ． （12 分） 18．（ 1）证明：在图 1 中， AD BC∥ ， AB AD ，又 AB EF∥ ，所以 ABFE 是矩形， 所以在图 2 中， BF AE∥ ，又 AE  平面 AED ，所以 BF∥平面 ， （2 分） 因为 ED FC∥ ，又 ED  平面 ，所以 FC∥平面 ， （3 分） 又因为 BF FC F ，所以平面 BFC∥平面 AED ， （4 分） 而 BC 平面 BFC ，所以 BC∥平面 ． （5 分） （2）解：因为 ED FC∥ ，所以 AED 是 AE 与 FC 所成的角， 所以 60AED ，因为 EF  平面 ，故平面CDEF  平 面 ，作 AO ED 于点O ，则 AO  平面CDEF ，以O 为 原点，平行于 EF 的直线为 x 轴， OD 所在直线为 y 轴，OA 所在 直线为 z 轴建立空间直角坐标系O xyz ， 则 (0,0, 3)A ， (3,0, 3)B ， (3,5,0)C ， (0,2,0)D ， (0, 1,0)E  ， (3, 1,0)F  ． （7 分） ( 3,2, 3)BD     ， (0,6,0)FC   ， (0,6 ,0)FCFM    ， (0,6 1, 3)BM BF FM         ， 设平面 BMD 的法向量为 ( , , )m x y z  ， 则 3 2 3 0 (6 1) 3 0 m x y z my B BM z D                  ，取 3y  ，得 ( 3 2 3 , 3,6 1)m     ． （9 分） 平面 EMD 的一个法向量为 (0,0,1)n   ， （10 分） 设二面角 B MD E的平面角为 ， 所以 222 | | | 6 1| | 6 1|| cos | | || | 48 24 7( 3 2 3 ) 3 (6 1) 1 7 7 mn mn                  ， 平方整理得 217 5 0，因为 01，所以 5 17  ． （12 分） 19．解：（1）由题意得 1( ,0)Aa ， 2 ( ,0)Aa ， (0, )Pb， 则 2 2 2 12( , ) ( , ) 1PA PA a b a b a b c               ，所以 1c  ， （2 分） 又 2 2 2 , , 2 2 ab c c e a      所以 2a  ， 1b  ，所以椭圆 E 的方程为 2 2 12 x y． （4 分） （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l ： 4y kx， 11( , )A x y ， 22( , )B x y ，则 22( , )M x y ， 由 2 2 4 1,2 , y yx x k    消去 y 得 22(1 2 ) 16 30 0k x kx    ．由 22( 16 ) 120(1 2 ) 0kk      ， 得 2 15 2k  ，所以 12 2 16 12 kxx k ， 12 2 30 12xx k  ． （6 分） 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 ( ) AM y y kx kx k x xk x x x x x x          ， O B A F E D CMx y z 直线 AM 的方程为 12 11 12 ()()k x xy y x xxx    ， （7 分） 即 12 11 12 ()()k x xy y x xxx    12 11 12 ()4 ( )k x xkx x xxx     1 1 2 1 2 1 12 ( 4)( ) ( )( )kx x x k x x x x xx       1 2 1 2 1 2 12 2 4( ) ( )kx x x x kx x x xx      1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 4k x x kx xxx x x x    ， （9 分） 因为 12 2 16 12 kxx k ， 12 2 30 12xx k  ，所以 212 12 2 3022 1124416 4 12 kkx x k kxx k       ， 直线 AM 的方程为可化为 12 12 ()1 4 k x xyxxx  ，则直线 AM 恒过定点 1(0, )4 ． （11 分） 当直线l 的斜率不存在时，直线 AM 也过点 ，综上知直线 AM 恒过定点 ． （12 分） 20．解：（1）平均数 (0.02 1 0.08 3 0.15 5 0.18 7 0.03 9x           0.03 11 0.01 13) 2 6      ，（2 分） 这 500 名患者中“长潜伏者”的频率为 (0.18 0.03 0.03 0.01) 2 0.5     ，所以“长潜伏者”的人数为 500 0.5 250 人． （3 分） （2）由题意补充后的列联表如下， 则 2k 的观测值为  2300 90 80 60 70 5.357 5.024150 150 75 1160 140 4k        ， （6 分） 经查表，得 2( 5.024) 0.025Pk ，所以有97.5%的把握认为潜伏期长短与年龄有关． （7 分） （3）由题意知所需要的试验费用 X 所有可能的取值 为 1000，1500，2000，因为   2 2 5 2A 1 A11000 0PX   ，   211 2 3 2 3 3 5 3CA1 + 000 A 35 A1 CPX   ，   1 1 1 2 3 3 2 2 4 5 CA200 C 3 A0 5 APX   （或 1 1 2 2 3 3 3 5 36 3( 2000) 60 5 C C APX A    ） （10 分） 所以 X 的分布列为 X 1000 1500 2000 P 1 10 3 10 3 5   11000 1500 2000 17501 3 0 3 10 5EX       （元）． （12 分） 21．（1）解： 11( ) ( 0)axf x a xxx      ， （1 分） 当 0a 时， ( ) 0fx  恒成立，函数 ()fx在 (0, ) 上单调递增，无极值． （2 分） 当 0a  时，由 ，得 10 x a，函数 在 1(0, )a 上单调递增，由 ( ) 0fx  ，得 1x a ， 函数 在 1( , )a  上单调递减， 极大值为 11( ) ln 1 ln 1f b a baa       ，无极小值． （4 分） 综上所述，当 时， 无极值； 当 时， 极大值为 ln 1ab   ，无极小值． （5 分） （2）由 ()f x ex 可得 ()f x lnx ax b ex    ， 设 ( ) ( )h x lnx e a x b    ，所以 1()h x e ax    ， 0x  ， 当 ae 时， ( ) 0hx， ()hx 在 (0, ) 上是增函数，所以 ( ) 0hx 不可能恒成立， 当 ae 时，由 1( ) 0h x e ax     ，得 1x ae  ， （7 分） 当 1(0, )x ae  时， ( ) 0hx， ()hx 单调递增，当 1(x ae  ， ) 时， ( ) 0hx， ()hx 单调递减， 所以当 1x ae  时， ()hx 取最大值， 1( ) ( ) 1 0h ln a e bae      ， （8 分） 所以 ( ) 1 0ln a e b    ，即 1 ( )b ln a e   ，所以 1 ( ) ()b ln a e aea e a e  ， （9 分） 令 1 ( )( ) ( )ln x eF x x exe    ， 22 1 ( ) 1 ( ) ()() ( ) ( ) x e ln x e ln x exeFx x e x e         ， 当 (1xe， 时， ( ) 0Fx， ()Fx单调递增， 当 ( , 1)x e e时， ( ) 0Fx， ()Fx单调递减， 所以当 1xe时， ()Fx取最小值，即 ( ) ( 1) 1F x F e    ，所以 b ae 的最小值为 1 ． （12 分） 22．解：（1）由 22 2 24 2 xt yt         消去参数t 得直线l 的普通方程为 .02  yx （2 分） 由 2sin 2cos   得曲线C 的直角坐标方程为 .22 xy  （5 分） （2）将 22 2 24 2 xt yt         代入 xy 22  得 .020252 2  tt （6 分） 设方程的两根为 21,tt ，则 ,40,210,0 2121  tttt （7 分） 故 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 (10 2) 2 40| | | | 340 MQ MP t t t t t t MP MQ t t t t         . （10 分） 23．解：（1）因为 9abc   ， 所以 2 2 2 1 2 2 2( )( )9 abca b c a b c       1 2 2 2 2 2 2(6 )9 b a c a c b a b a c b c       （3 分） 1 2 2 2 2 2 2(6 2 2 2 ) 29 b a c a c b a b a c b c       ， 即 2 2 2 2a b c ，所以 2 2 2 a b c的最小值 2t  ． （5 分） （2）当 2t  时， 8( 3) ( ) | 2 | 2 | 3| 3 4( 3 2) 8( 2) xx f x x x x x xx                 ，可得 ( ) 5fx ， （7 分） 存在实数 x ，使不等式 2( ) 2 3f x m m   有解，则 2 max( ) 2 3f x m m   ， 从而 25 2 3mm   ，即 2 2 8 0mm   ，解得 2 4.m   所以实数 m 的取值范围是 2 4.m   （10 分）