【物理】2018届一轮复习苏教版第6章第2节电场能的性质教案
第2节 电场能的性质
知识点1 电场力做功与电势能
1．电场力做功
(1)特点：电场力做功和路径无关，只与初、末位置有关．
(2)计算方法
①W＝qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿电场线方向的位移．
②WAB＝qUAB，适用于任何形式的电场．
2．电势能
(1)定义：电荷在电场中某点的电势能，等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功．
(2)静电力做功与电势能变化的关系
静电力做的功等于电势能的减少量，WAB＝EpA－EpB.
(3)电势能的相对性，电势能是相对的，通常把电荷在离场源电荷无穷远处的电势能规定为零，或把电荷在地球表面的电势能规定为零．
知识点2 电势与等势面
1．电势
(1)定义式：φ＝.
(2)矢标性：电势是标量，其大小有正负之分，其正(负)表示该点电势比电势零点高(低)．
(3)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因电势零点选取的不同而不同．
2．等势面的特点
(1)等势面一定与电场线垂直，即跟场强的方向垂直．
(2)在等势面上移动电荷时电场力不做功．
(3)电场线总是从电势高的等势面指向电势低的等势面．
(4)等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小．
知识点3 电势差
1．定义式
UAB＝.
2．电势差与电势的关系
UAB＝φA－φB.
3．影响因素
电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB无关，与零势点的选取无关．
4．匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与场强的关系式：U＝Ed，其中d为电场中两点间沿电场线方向的距离．
(2)电场强度的方向和大小：电场中，场强方向是指电势降低最快的方向．在匀强电场中，场强在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势．
1．正误判断
(1)电场力做功与重力做功相似，均与路径无关．(√)
(2)电场中电场强度为零的地方电势一定为零．(×)
(3)沿电场线方向电场强度越来越小，电势逐渐降低．(×)
(4)A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功．(×)
(5)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA.(×)
(6)电场线越密集的地方，等差等势线也越密集．(√)
2．(对电势、电势能的理解)关于静电场，下列说法正确的是( )
【导学号：96622105】
A．电势等于零的物体一定不带电
B．电场强度为零的点，电势一定为零
C．同一电场线上的各点，电势一定相等
D．负电荷沿电场线方向移动时，电势能一定增加
【答案】 D
3．(电势和电场强度关系的理解)(多选)(2014·全国卷Ⅱ)关于静电场的电场强度和电势，下列说法正确的是( )
A．电场强度的方向处处与等势面垂直
B．电场强度为零的地方，电势也为零
C．随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低
D．任一点的电场强度总是指向该点电势降落最快的方向
【答案】 AD
4．(对电势差概念的理解)(多选)关于电势差的计算公式，下列说法正确的是( ) 【导学号：96622106】
A．电势差的公式UAB＝说明两点间的电势差UAB与电场力做的功WAB成正比，与移动电荷的电荷量q成反比
B．把正电荷从A点移到B点电场力做正功，则有UAB>0
C．电势差的公式UAB＝中，UAB与移动电荷的电荷量q无关
D．电场中A、B两点间的电势差UAB等于把正电荷q从A点移动到B点时电场力所做的功
【答案】 BC
5．(等势面与电场力做功) (2015·全国卷Ⅰ)如图621，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等．则( )
图621
A．直线a位于某一等势面内，φM>φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM>φN
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
【答案】 B
[核心精讲]
1．电势高低的判断
(1)依据电场线方向：沿电场线方向电势逐渐降低．
(2)依据电场力做功：根据UAB＝，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低．
(3)依据场源电荷的正负：取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低．
2．电势能大小的判断
(1)做功判断法：电场力做正功，电势能减小；电场力做负功，电势能增加．
(2)电荷电势法：正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大．
(3)公式法：由Ep＝qφp，将q、φp的大小、正负号一起代入公式，Ep的正值越大，电势能越大；Ep的负值越小，电势能越大．
(4)能量守恒法：在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小；反之，动能减小，电势能增加．
[题组通关]
1．(多选)(2015·江苏高考)两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图622所示．c是两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则( )
图622
A．a点的电场强度比b点的大
B．a点的电势比b点的高
C．c点的电场强度比d点的大
D．c点的电势比d点的低
ACD 根据电场线的分布图，a、b两点中，a点的电场线较密，则a点的电场强度较大，选项A正确；沿电场线的方向电势降低，a点的电势低于b点的电势，选项B错误；由于c、d关于正电荷对称，正电荷在c、d两点产生的电场强度大小相等、方向相反；两负电荷在c点产生的电场强度为0，在d点产生的电场强度方向向下，根据电场的叠加原理，c点的电场强度比d点的大，选项C正确；c、d两点中c点离负电荷的距离更小，c点电势比d点低，选项D正确．
2．(2015·北京市东城区模拟)如图623所示，实线表示某匀强电场的电场线，虚线表示该电场的等势面．下列判断正确的是( )
【导学号：96622107】
图623
A．1、2两点的场强不相等
B．2、3两点的电势不相等
C．1、2两点间的电势差等于1、3两点间的电势差
D．电荷在1点具有的电势能一定大于其在2点具有的电势能
C 匀强电场的场强处处相同，选项A错误；2、3两点在同一等势面上，电势相等，故1、2两点间的电势差等于1、3两点间的电势差，选项B错误，C正确；沿着电场线方向，电势逐渐降低，即φ1＞φ2，正电荷在电势高处，电势能大，而负电荷在电势高处，电势能小，由于电荷的正、负未知，电荷在1点处具有的电势能不一定大于其在2点处具有的电势能，选项D错误．
[名师微博]
1．电势和电势能都是标量，具有相对性，其正、负表示大小，某点电势为零，该点的电势能也一定为零．
2．电势和电场强度是两个不同的物理量，分别从能的角度和力的角度描述电场，二者在大小上无必然联系．
[核心精讲]
1．几种常见的典型电场的等势面比较
电场
等势面(实线)图样
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
连线的中垂线上的电势为零
等量同种正点电荷的电场
连线上，中心电势最低，而在中垂线上，中点电势最高
2.此类问题的解题方法可归纳为以下几点
(1)运动粒子的曲线轨迹必定向电场力方向弯曲，即电场力方向指向曲线的内侧，且运动轨迹必定在v和F之间．先画出入射点的轨迹切线，即画出初速度的方向；再根据轨迹的弯曲方向，确定电场力方向．
(2)电场线和等势面垂直，电场线从高电势指向低电势．
(3)先根据电场线的方向以及疏密情况，确定场强及电性情况，定性判断电场力(或加速度)的大小和方向；再根据电场力方向与速度方向的关系来判断速度的变化情况以及运动性质．
(4)根据电场力方向与速度方向的关系来判断电场力做功情况及判断电势能的变化情况，另外可以通过能量的转化和守恒确定电势能及动能的变化情况．
[题组通关]
3．(2016·全国甲卷)如图624所示，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc.则( )
图6-2-4
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
D a、b、c三点到固定的点电荷P的距离rb
Ec>Ea，故带电粒子Q在这三点的加速度ab>ac>aa.由运动轨迹可知带电粒子Q所受P的电场力为斥力，从a到b电场力做负功，由动能定理－|qUab|＝mv－mv<0，则vb0，vc>vb，又|Uab|>|Ubc|，则va>vc，故va>vc>vb，选项D正确．
4．(多选)位于正方形四顶点上的四个等量点电荷的电场线分布如图625所示，ab、cd分别是正方形两条边的中垂线，O点为中垂线的交点，P、Q分别为cd、ab上的点．则下列说法正确的是( )【导学号：96622108】
图625
A．P、O两点的电势关系为φP＝φO
B．P、Q两点的电场强度的大小关系为EQ＜EP
C．若在O点放一正点电荷，则该正点电荷受到的电场力不为零
D．若将某一负电荷由P点沿着图中曲线PQ移到Q点，电场力做负功
AB 根据电场叠加，由图象可知ab、cd两中垂线上各点的电势都为零，所以P、O两点的电势相等，A正确；电场线的疏密表示场强的大小，根据图象知EP＞EQ，B正确；四个点电荷在O点产生的电场相互抵消，场强为零，故在O点放一正点电荷，则该正点电荷受到的电场力为零，C错误；P、Q电势相等，若将某一负电荷由P点沿着图中曲线PQ移到Q点，电场力做功为零，D错误．
[核心精讲]
1．公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场；
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离；
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向．
2．由E＝可推出的两个重要推论
推论1：如图626所示，匀强电场中任一线段AB的中点C的电势，等于两端点电势的等差中项，即φC＝.
图626
证明：设AC＝CB＝d，
则φA－φC＝Edcos θ，
φC－φB＝Edcos θ
所以有：φC＝.
推论2：如图627所示，若匀强电场中两线段AB＝CD且AB∥CD，
则φA－φB＝φC－φD.
图627
证明：设AB＝CD＝d，则φA－φB＝Edcos θ，φC－φD＝Edcos θ
所以有：φA－φB＝φC－φD.
[师生共研]
(多选)如图628所示，A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10 cm的正六边形的六个顶点，A、B、C三点电势分别为1 V、2 V、3 V，正六边形所在平面与电场线平行．下列说法正确的是( )
图628
A．通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线
B．匀强电场的电场强度大小为10 V/m
C．匀强电场的电场强度方向为由C指向A
D．将一个电子由E点移到D点，电子的电势能将减少1.6×10－19 J
【合作探讨】
(1)在匀强电场中，确定等势线的一般方法是什么？
提示：利用几何关系确定两个等势点，它们的连线就是等势线．
(2)由题知UBA＝1 V，问UDE为多少伏？
提示：UDE＝UBA＝1 V.
(3)该题中如何求电场强度的大小？
提示：由E＝求出，而d是沿电场线方向上的距离，电场线与等势线垂直，故先确定等势线．
ACD 因AC的中点电势为2 V，所以BE为等势线，CD、AF同为等势线，故A正确；CA为电场线方向，电场强度大小E＝＝ V/m＝ V/m，故B错误，C正确；由UED＝UBC＝－1 V，WED＝－eUED＝1.6×10－19 J.
[题组通关]
5．如图629所示，以O点为圆心，以R＝0.2 m为半径的圆与坐标轴交点分别为a、b、c、d，该圆所在平面内有一匀强电场，场强方向与x轴正方向成θ＝60°角，已知a、b、c三点的电势分别为4 V、4 V、－4 V，则下列说法正确的是( ) 【导学号：96622109】
图629
A．该匀强电场的场强E＝40 V/m
B．该匀强电场的场强E＝80 V/m
C．d点的电势为－4 V
D．d点的电势为－2 V
C 由电场公式可得E＝＝＝40(V/m)，则选项A、B错误；由对称性可得Uab＝Udc，4－4＝φd－(－4)，解得φd＝－4 V，则选项C正确．
6．(多选)如下列选项所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，则能正确表示该电场强度方向的是( )
BC 匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分．把AB等分为三段，AB间电压为3 V，则每等分电压为1 V，H点电势为4 V，F点电势为3 V，将FC相连，则FC为等势线，电场线垂直于FC，从高电势指向低电势，C正确；把AC相连，分为两份，AC电压为2 V，则G点电势为4 V，GH为等势线，电场线垂直于GH，从高电势指向低电势，B正确．
[核心精讲]
1．求电场力做功的几种方法
(1)由公式W＝Flcos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为W＝Eqlcos α.
(2)由WAB＝qUAB计算，此公式适用于任何电场．
(3)由电势能的变化计算：WAB＝EpA－EpB.
(4)由动能定理计算：W电场力＋W其他力＝ΔEk.
2．电场中的功能关系
(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变．
(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变．
(3)除重力、弹簧弹力之外，其他各力对物体做的功等于物体机械能的变化．
(4)所有外力对物体所做的功等于物体动能的变化．
[师生共研]
●考向1 电场中功能关系的定性分析
(多选)(2015·四川高考)如图6210所示，半圆槽光滑、绝缘、固定，圆心是O，最低点是P，直径MN水平，a、b是两个完全相同的带正电小球(视为点电荷)，b固定在M点，a从N点静止释放，沿半圆槽运动经过P点到达某点Q(图中未画出)时速度为零，则小球a( )
图6210
A．从N到Q的过程中，重力与库仑力的合力先增大后减小
B．从N到P的过程中，速率先增大后减小
C．从N到Q的过程中，电势能一直增加
D．从P到Q的过程中，动能减少量小于电势能增加量
【合作探讨】
(1)从N到Q的过程中，库仑力的大小怎么变？
提示：由库仑定律知，库仑力变大．
(2)从P到Q的过程中，有哪些能量发生怎样的变化？
提示：动能减小，重力势能增加，电势能增加．
BC 小球a从N点释放一直到达Q点的过程中，a、b两球的距离一直减小，库仑力变大，a受重力不变，重力和库仑力的夹角从90°一直减小，故合力变大，选项A错误；小球a从N到P的过程中，速度方向与重力和库仑力的合力方向的夹角由小于90°到大于90°，故库仑力与重力的合力先做正功后做负功，a球速率先增大后减小，选项B正确；小球a由N到Q的过程中库仑力一直做负功，电势能一直增加，选项C正确；小球a从P到Q的过程中，减少的动能转化为重力势能和电势能之和，故动能的减少量大于电势能的增加量，则选项D错误．
●考向2 电场中功能关系的定量计算
(2014·全国卷Ⅰ)如图6211所示，O、A、B为同一竖直平面内的三个点，OB沿竖直方向，∠BOA＝60°，OB＝OA.将一质量为m的小球以一定的初动能自O点水平向右抛出，小球在运动过程中恰好通过A点．使此小球带电，电荷量为q(q>0)，同时加一匀强电场，场强方向与△OAB所在平面平行．现从O点以同样的初动能沿某一方向抛出此带电小球，该小球通过了A点，到达A点时的动能是初动能的3倍；若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出，恰好通过B点，且到达B点时的动能为初动能的6倍，重力加速度大小为g.求：
图6211
(1)无电场时，小球到达A点时的动能与初动能的比值；
(2)电场强度的大小和方向．
【规范解答】 (1)设小球的初速度为v0，初动能为Ek0，从O点运动到A点的时间为t，令OA＝d，则OB＝d，根据平抛运动的规律有
dsin 60°＝v0t ①
dcos 60°＝gt2 ②
又有Ek0＝mv ③
由①②③式得
Ek0＝mgd ④
设小球到达A点时的动能为EkA，则
EkA＝Ek0＋mgd ⑤
由④⑤式得＝. ⑥
(2)加电场后，小球从O点到A点和B点，高度分别降低了和，设电势能分别减小ΔEpA和ΔEpB，由能量守恒及④式得
ΔEpA＝3Ek0－Ek0－mgd＝Ek0 ⑦
ΔEpB＝6Ek0－Ek0－mgd＝Ek0 ⑧
在匀强电场中，沿任一直线，电势的降落是均匀的．设直线OB上的M点与A点等电势，M与O点的距离为x，如图，则有
＝
解得x＝d.MA为等势线，电场必与其垂线OC方向平行．设电场方向与竖直向下的方向的夹角为α，由几何关系可得α＝30°.
即电场方向与竖直向下的方向的夹角为30°
设场强的大小为E，有
qEdcos 30°＝ΔEpA ⑨
由④⑦⑨式得
E＝.
【答案】 (1) (2) 方向：与竖直向下成30°夹角向右
[题组通关]
7．(多选)如图6212所示，三根绝缘轻杆构成一个等边三角形，三个顶点上分别固定A、B、C三个带正电的小球．小球质量分别为m、2m、3m
，所带电荷量分别为q、2q、3q.CB边处于水平面上，ABC处于竖直面内，整个装置都处于方向与CB边平行向右的匀强电场中．现让该装置绕过中心O并与三角形平面垂直的轴顺时针转过120°角，则A、B、C三个球所构成的系统的( )
图6212
A．电势能不变
B．电势能减小
C．重力势能减小
D．重力势能增大
AD 设绝缘轻杆长为2d，电场强度为E，顺时针转过120°过程中，电场力对A球做功WA＝Eqd.对B球做功WB＝－E·2q·2d＝－4Eqd.对C球做功WC＝E·3q·d.电场力对三个小球做总功为零，故三个小球组成的系统电势能不变，A项正确，B项错；以BC边所在水平面为零势能面，则系统初态重力势能为mgh(h为A点到BC的距离)，转过120°后，系统重力势能为3mgh，重力势能增大，D项正确，C项错．
8．(2015·全国卷Ⅱ)如图6213所示，一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子在匀强电场中运动，A、B为其运动轨迹上的两点．已知该粒子在A点的速度大小为v0，方向与电场方向的夹角为60°；它运动到B点时速度方向与电场方向的夹角为30°.不计重力．求A、B两点间的电势差．【导学号：96622110】
图6213
【解析】 设带电粒子在B点的速度大小为vB.粒子在垂直于电场方向的速度分量不变，即
vBsin 30°＝v0sin 60° ①
由此得
vB＝v0 ②
设A、B两点间的电势差为UAB，由动能定理有
qUAB＝m(v－v) ③
联立②③式得
UAB＝.
【答案】
[典题示例]
如图6214所示，空间中存在沿x轴的静电场，其电势φ沿x轴的分布如图所示．x1、x2、x3、x4是x轴上的四个点，质量为m、带电量为－q的粒子(不计重力)，以初速度v0从O点沿x轴正方向进入电场，在粒子沿x轴运动的过程中，下列说法正确的是( )
图6214
A．粒子在x2点的速度为0
B．从x1到x3点的过程中，粒子的电势能先减小后增大
C．若粒子能到达x4处，则v0的大小至少应为
D．若v0＝，则粒子在运动过程中的最大动能为3qφ0
C 根据沿着电场线方向电势逐渐降低，由φt图象，画出沿x轴方向的场强方向(图中箭头指向)及各点电势分布如图所示．由图示知，O和x2两点电势相等，O到x2过程，电场力做功为0，动能不变，故粒子在x2点的速度为v0，选项A错误；从x1到x3过程中，电场力对负电荷一直做负功，粒子的电势能一直增加，选项B错误；从x3到x4
过程中，电场力对负电荷做正功，故粒子若能到达x4点，需能到达x3点．粒子恰好到达x3，由动能定理得W＝qφ0＝mv，故v0大小至少为，选项C正确；粒子运动过程中，电场力所做正功的最大值为qφ0，若v0＝，则动能最大值为2qφ0，选项D错误．
φ x的图象的特点
1．电场强度的大小等于φ x图线的斜率大小，电场强度为零处，φx图线存在极值，其切线的斜率为零；
2．在φ x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向；
3．在φ x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断．
[题组通关]
9．(2017·徐州模拟)一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动．取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，其电势能Ep与位移x的关系如图6215所示．下列图象中合理的是( )
图6215
D 由于粒子只受电场力作用，因此由F电＝||可知，Epx
图象的斜率大小即为粒子所受电场力大小，从图象可知，图象的斜率随位移的增大而越来越小，因此粒子运动后所受的电场力随位移的增大而越来越小，因此电场强度越来越小，A项错误；由于只受电场力作用，因此动能与电势能的和是定值，但从B项和题图可以看出，不同位置的电势能与动能的和不是定值，B项错误；粒子受到的电场力随位移的增大而越来越小，因此加速度随位移的增大而越来越小，D项正确；若粒子的速度随位移的增大而均匀增大，则粒子的动能Ek∝x2，结合题图和B项分析可知C错误．
10．一带电粒子在电场中仅受静电力作用，做初速度为零的直线运动．取该直线为x轴，起始点O为坐标原点，电场强度E的大小与位移x的关系如图6216所示．下列选项中关系合理的是( ) 【导学号：96622111】
图6216
B 粒子仅受电场力作用，做初速度为零的加速直线运动，电场强度越来越小，故粒子做加速度减小的加速运动，根据U＝Ed，Uab＝φa－φb，因为电场强度越来越小，故电势降低得越来越慢，应该是曲线，选项A错误；Ekx图象上某点的切线的斜率表示电场力，电场强度越来越弱，由F＝Eq知电场力越来越小，斜率越来越小，选项B正确；C项图象中速度随着位移均匀增加，而在电场中运动相同位移所用的时间逐渐减小，电场力减小导致加速度减小，故相同位移速度的变化量变小，与C项矛盾，选项C错误；粒子做加速度减小的加速运动，a＝＝，故加速度的图象应该与Ex图象相似，选项D错误．
