全国中学生物理竞赛模拟题

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2014 年高中物理竞赛复赛模拟训练卷 一． （20 分）在用质子 )( 1 1P 轰击固定锂 )( 7 3Li 靶的核反应中， （1）计算放出α粒子的反应能。 （ 2） 如果质子能量为 1 兆电子伏特，问在垂直质子束的方向观测到α粒子的能量大约有多大？ 有关原子核的质量如下： H1 1 ，1.007825； He4 2 ，4.002603； Li7 3 ，7.015999。 二．（20分）2mol初始温度为 270C，初始体积为 20L的氦气，先等压膨胀到体积加倍，然后是绝热膨 胀回到初始温度。（ 1）在 P—V图上画出过程方程；（ 2）在这一过程中系统总吸收热量等于多少？ （3）氦气对外界做的总功等于多少？其中绝热膨胀过程对外界做功是多少？ 三．（ 15 分）观测者 S 测得两个事件的空间和时间间隔分别为 600m 和 8×10-7s，而观测者 S1测得 这两个事件同时发生。试求 S1 相对 S 的速度，以及 S1 测得这两个事件的空间距离。 四．（ 20 分）神奇的自聚焦透镜：自聚焦透镜依靠折射率的恰当变化对近轴光线成像。该透镜呈圆 柱状，截面半径为 R，长为 l。其折射率在截面内延半径方向呈抛物线状连续变小，可表示为 ) 2 11( 222 0 2 rann r 式中 n0 为中心的折射率， a 为比 1 小得多的正数。 (1) 求从圆心入射与圆柱平面夹角为 0 的光线在自聚焦透镜内传播的轨迹方程。 (2) 平行于 z 轴的平行入射光经过自聚焦透镜后交汇于一点，求自聚焦透镜的焦距。 五． （20 分）如图所示，有二平行金属导轨，相距 l，位于同一水平面内（图中纸面） ，处在磁感应 强度为 B 的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里） ．质量均为 m 的两金属杆 ab 和 cd 放 o r z 在导轨上，与导轨垂直．初始时刻， 金属杆 ab 和 cd 分别位于 x = x0 和 x = 0 处。假设导轨及金属杆 的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为 L。今对金属杆 cd 施以沿导轨向右的瞬 时冲量，使它获得初速 v0．设导轨足够长， x0 也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化 远小于两金属杆的初始间距 x0，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感 系数 L 是恒定不变的。杆与导轨之间摩擦可不计。求两杆之间的距离第一次达到最大值时导轨构成 的回路中的电流 i。（由第 21 届复赛试题改编） 六．（ 20 分）两个相同质量为 M ，半径为 a 的粗糙的均质圆柱体置于粗糙的水平面上，两轴线相距 2 2a ，第三个半径为 a、质量为 2M 的粗糙均质圆柱体对称地置于上述两个圆柱体上面。 要使三圆 柱体保持平衡状态，圆柱体之间的摩擦因数 1 和圆柱体与水平面之间的摩擦因数 2 应满足什么条 件？大题典力学上 P425 x O y v0 c a b y d 七．（20 分）如图所示，两平行的电极板之间形成一均匀的电场 E ，在此电场上另加有一均匀的磁 场 B ，其方向为向内垂直于纸面，两者构成一均匀的正交电磁场。现有一质量为 m，带有正电量 q 的粒子，从左方沿着平行于两极板之间的中央平分线（即向着 +x 方向） ，且垂直于磁场的方向，以 速度 v 射入此正交电磁场内。回答下列问题： 1．若入射粒子的速度值恰好等于某一特定值 0v ，则此粒子将沿同一直线作等速度运动， 试求此 0v 值。 2．若粒子的入射速度 v，不等于 0v ，则该粒子的运动轨迹将不会是一条直线，那么粒子的入射速度 v 为何值时，有可能使该粒子在整个运动过程中，会出现逆转向左方运动的情形（即向着 -x 方向运 动）？ 3．承 2 小题，分成下列两种情况，分别导出带电粒子的运动轨迹方程式，并画出其图形： (i) 若 0v v ； (ii) 若 00 v v 。 O x y v q E B 八．（25 分）一宇宙飞船围绕质量为 M 的恒星作半径为 r0 的圆周运动，宇宙飞船的发动机可以迅速 点燃起动，使速度瞬间改变 v ，点燃的方位用飞船速度 v 和 v 之间的夹角 来说明（如图所示） 。 为了节省燃料，在连续 N 次点燃中，希望 v = 1 | | N i i v 减至最小，称 v 叫做比冲量。 （1）假设我们要利用飞船的发动机逃离这个恒星，且发动机只点燃一次，需要的最少的比冲量有多 大？在什么方位点燃？ （2）假设我们希望在半径 r1（ r1>r0）圆轨道上视察一颗行星，让发动机再次点燃，达到该行星轨道 所需要的最小比冲量多大？ （3）假如我们要使飞船撞上恒星（假定恒星的半径可忽略） ，对下列两种点火策略计算最小比冲量： A、在 =1800 一次迅速点燃； B、在 =0 0 第一次迅速点燃，然后在晚些时候在 =180 0 第二次点燃， 为使总的比冲量最小，如何选择第二次点燃的时间和每次点燃的强度（即速度的改变量） 。 2011 年高中物理竞赛复赛模拟训练卷参考答案 v v 一．解：（1）核反应方程如下： HeHePLi 4 2 4 2 1 1 7 3 静质量 0M 1M 3M 2M 动 能 0E 1E 3E 2E 由总质量和总能量守恒： 2 3 32 2 22 1 12 0 0 c EM c EM c EM c EM 由反应能 Q 的定义得： )()( 1032 EEEEQ 2 3210 )]()[( cMMMM 5.931]002603.42)007825.1015999.7[( 35.17 MeV [ 其中： 28272 )/10997925.2()1066.1(1 秒米千克cu 6105.931 MeV =931.5MeV （ 2）设锂靶是静止的，根据动量守恒，可知，反应所产生的两个相同的α粒子（ He4 2 核），应 沿入射质子的方向对称分开，如图 51-21 所示。 由动量守恒定律有 321 ppp 矢量 321 ,, ppp 合成的三角形，两底角皆为θ，又因 32 MM ，因而有 32 EE 已知反应能 Q=17.35 MeV ，且 132 EEEQ 其中 11E MeV ，可得 2p 1p 3p )( 2 1 132 EQEE )135.17( 2 1 =9.175 MeV 即反应所生成的α粒子其能量为 9.175 MeV 。 α粒子飞出方向与入射质子的方向之间的夹角为θ，因此 cos2 21 2 2 2 1 2 3 ppPPP 由于 MEP 22 ，得： cos2 2121221133 EEMMEMEMEM 代入反应能 Q 的定义式： 132 EEEQ cos 2 11 3 2121 1 3 1 2 3 2 M EEMM E M ME M M 将上式中质量数改为质量比得 cos 2 11 3 2121 1 3 1 2 3 2 A EEAA E A AE A AQ 其中 11A ， 432 AA ，代入上式： cos 4 32 2112 EEEEQ 所以 21 12 4 32 cos EE EQE 0825.0 175.91 1 4 335.17175.92 所以 6185 由此可知，在垂直于质子束的方向上观察到 He4 2 的能量近似就是 9.175 MeV 。 五解：设在任意时刻 t，ab 杆和 cd 杆的速度分别为 v1 和 v2（相对地面参考系 S），当 v1、 v2 为正时， 表示速度沿 x 轴正方向；若规定逆时针方向为回路中电流和电动势的正方向，则因两杆作切割磁力 线的运动而产生的感应电动势 21 vvBlE (1) 当回路中的电流 i 随时间的变化率为 ti 时，回路中的自感电动势 t iLLE (2) 根据欧姆定律，注意到回路没有电阻，有 0LEE (3) 金属杆在导轨上运动过程中，两杆构成的系统受到的水平方向的合外力为零，系统的质心作匀 速直线运动．设系统质心的速度为 VC，有 CmVm 20v (4) 得 2 0v CV (5) VC 方向与 v0 相同，沿 x 轴的正方向． 现取一新的参考系 S ，它与质心固连在一起，并把质心作为坐标原点 O ，取坐标轴 xO 与 x 轴 平行．设相对 S 系，金属杆 ab 的速度为 u，cd 杆的速度为 u ，则有 uVC1v (6) uVC2v (7) 因相对 S 系，两杆的总动量为零，即有 0ummu (8) 由 (1)、(2)、(3)、(5)、(6) 、(7) 、(8)各式，得 t iLBlu2 (9) 在 S 系中，在 t 时刻，金属杆 ab 坐标为 x ，在 t＋ t 时刻，它的坐标为 xx ，则由速度的 定义 t xu (10) 代入 (9) 式得 iLxBl2 (11) 若将 x 视为 i 的函数，由（ 11）式知 ix 为常数，所以 x 与 i 的关系可用一直线方程表示 bi Bl Lx 2 (12) 式中 b 为常数，其值待定．现已知在 t＝ 时刻，金属杆 ab 在 S 系中的坐标 x ＝ 0 2 1 x ，这时 i = 0， 故得 02 1 2 xi Bl Lx (13) 或 02 12 xx L Bli (14) 02 1 x 表示 t＝ 时刻金属杆 ab 的位置． x 表示在任意时刻 t，杆 ab 的位置，故 02 1 xx 就是 杆 ab 在 t 时刻相对初始位置的位移，用 X 表示， 02 1 xxX (15) 当 X>0 时， ab 杆位于其初始位置的右侧；当 X<0 时， ab 杆位于其初始位置的左侧．代入 (14)式，得 X L Bli 2 ( 16) 这 时作用于 ab 杆的安培力 X L lBiBlF 222 (17) ab 杆在初始位置右侧时，安培力的方向指向左侧； ab 杆在初始位置左侧时，安培力的方向指向 右侧，可知该安培力具有弹性力的性质．金属杆 ab 的运动是简谐振动，振动的周期 LlB mT 222 π2 (18) 在任意时刻 t， ab 杆离开其初始位置的位移 t T AX π2cos (19) A 为简谐振动的振幅， 为初相位，都是待定的常量．通过参考圆可求得 ab 杆的振动速度 t TT Au π2sinπ2 (20) (19)、(20)式分别表示任意时刻 ab 杆离开初始位置的位移和运动速度．现已知在 t＝0 时刻， ab 杆 位于初始位置，即 X = 0 速度 0000 2 1 2 1 vvvv CVu 故有 cos0 A sinπ2 2 0 T Av 解这两式，并注意到 (18)式得 2π3 (21) 224 00 mL Bl TA vv (22) 由此得 ab 杆的位移 t T mL Bl t T mL Bl X π2sin 222 π3π2cos 22 00 vv （23） 由参考圆可以知道，经过 t=3T/4 时间，两杆距离第一次达到最大值。回路中的电流由 (16) 式得 L m v)T T π(sin mL Bl v L Bl X L Bl i 0 24 32 22 22 0 =×== 七．解：带电粒子在电磁场中所受的电力 EF qEv v ；所受的磁力 MF qv Bv vv ，故粒子所受的合力为 E MF F F q E v B v v v v vv 若该粒子沿直线作等速度运动，则 0Fv ，其速度 0v 必须满足下列条件： 0 0E v B v vv 0 00 EE v B v B (1) 若 0vv ，则入射粒子的速度可写为 )( 00 vvvv ，即可分成两个速度分量 0v 和 0vv ， 前者使粒子沿直线作等速度运动，后者使粒子受到磁力的作用，而作等速率圆周运动。粒子 的运动方程式可写为 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) F qE q v v v B q E v B q v v B q v v B v v vv v v v v vv v v vv v 粒子的运动轨迹为上述等速度直线运动和等速率圆周运动的合成。单就等速率圆周运动而言， 上式中的速度分量 0vv 所引起的磁力， 提供粒子作圆周运动所需的向心力， 设其圆轨迹的半 径为 R，若 0vv ，则圆心位在 x 轴的上方，得 2 0 0 ( ) ( )m v v q v v B R 0( )m v vR qB 圆周运动的角频率为 0v v qB R m 。 粒子在 x 方向的速度分量是由等速度直线运动的 ov 和等速率圆周运动的 x 轴速度分量共同 决定，即 0 0( )x xv v v vv v 。等速率圆周运动的 x 轴速度分量，向 -x 方 向 的 最 大 速 度 值 为 ov v ， 故 vx 的 最 小 值 为 min 0 0 0( ) ( ) 2xv v v v v v 。因此若欲使粒子的运动转向 -x 方 向，则需满足下列的条件： min 0 0 2( ) 2 0 2x Ev v v v v B (2) 由于粒子的运动轨迹为等速度直线运动和等速率圆周运动的合成，因此可先分别求出这两个 运动在 x 和 y 方向的位移，再求其合位移。 (i) 若 0vv 等速度直线运动： 1 0 1 0 x v t y 等速率圆周运动： 由于 0 0v v ，故粒子沿逆时钟方向作圆运动，圆心位在 x 轴的上方。参考上图，由图上 的几何关系可得 2 2 sin cos x R t y R R t 粒子轨迹的参数方程式为 1 2 0 1 2 sin cos x x x v t R t y y y R R t 上式为摆线方程式。粒子的轨迹图形可分成三种情况，如下所述： (1) 02v v （粒子会出现向 -x 方向的运动）下左图 O R t ),( 22 yx x y 0vvC (2) 02v v （粒子的运动方向恒朝向 +x 方向）下右图 (3) 0 02v v v （粒子的运动方向恒朝向 +x 方向） (ii) 若 0v v 等速度直线运动： 1 0 1 0 x v t y 等速率圆周运动： 由于 00vv ，故粒子沿逆时钟方向作圆运动，圆心位在 x 轴的下方。参考下图，可得 2 2 sin ( cos ) x R t y R R t 粒子轨迹的参数方程式为 1 2 0 1 2 sin cos x x x v t R t y y y R R t 式中 0( )m v vR qB 。粒子在 x 轴的速度分量的最小值为 min 0 0( ) ( ) 0xv v v v v O x y O x y y O x O ),( 22 yx x y 0vv C R 故粒子的运动方向恒朝向 +x 方向，其轨迹图形如下所示： O x y