【物理】2020届二轮复习专题五万有引力与天体运动作业
专题五 万有引力与天体运动
『经典特训题组』
1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律——开普
勒天体运动三定律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有
引力定律，A、C、D 错误，B 正确。
2．关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( )
A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期
B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率
C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同
D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合
答案 B
解析 分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，当圆轨道的半径等于椭圆
轨道的半长轴时，这两颗卫星具有相同的周期，A 错误；沿椭圆轨道运行的一颗
卫星，在轨道不同位置但距中心天体有相同距离时，具有相同的速率，B 正确；
在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径一定相同，C 错误；过地
心和北京的轨道平面有无限个，故沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的
轨道平面不一定会重合，D 错误。
3. 某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆轨道。每过 N 年，该行星会
运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径比为( )
A.(N＋1
N ) B.( N
N－1)
C.(N＋1
N ) D.( N
N－1)
答案 B
解析 设地球绕太阳公转的周期为 T1，轨道半径为 r1，某行星绕太阳公转
的周期为 T2，轨道半径为 r2，根据开普勒第三定律T21
r31
＝T22
r32
，由每过 N 年，该行星
会运行到日地连线的延长线上可得 NT1＝(N－1)T2，联立解得r2
r1
＝( N
N－1) ，B 正
确。
4．假定太阳系中一颗质量均匀、可看做球体的小行星，其自转可以忽略。
若该星球自转加快，角速度为 ω 时，该星球表面的“赤道”上物体对星球的压
力减为原来的2
3
。已知引力常量 G，则该星球密度 ρ 为( )
A.9ω2
8πG B.3ω2
2πG C.9ω2
4πG D. ω2
3πG
答案 C
解析 忽略行星的自转影响时，有：GMm
R2
＝mg，自转角速度为 ω 时，GMm
R2
＝2
3mg＋mω2R，行星的密度 ρ＝ M
4
3πR3
，解得 ρ＝9ω2
4πG
，故选 C。
5. (多选)宇宙飞船以周期 T 绕地球做圆周运动时，由于地球遮挡阳光，会经
历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为 R，地球质量为 M，引力常量
为 G，地球自转周期为 T0。太阳光可看作平行光，宇航员在 A 点的测量张角为
α，则( )
A．飞船绕地球运动的线速度为 2πR
Tsin
α
2
B．一天内飞船经历“日全食”的次数为 T
T0
C．飞船每次“日全食”过程的时间为αT0
2π
D．飞船周期为 T＝2πR
sin
α
2
R
GMsin
α
2
答案 AD
解析 飞船绕地球运动的线速度为 v＝ 2πr
T
。由几何关系知 sinα
2
＝R
r
，r＝
R
sin
α
2
，联立解得 v＝ 2πR
Tsin
α
2
，A 正确；一天内飞船经历“日全食”的次数为T0
T
，B
错误；由几何关系可知，飞船每次“日全食”过程的时间为飞船转过 α 角所需的
时间，即αT
2π
，C 错误；飞船绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，GmM
r2
＝m
(2π
T )2
r，解得周期 T＝2πr r
GM
＝2πR
sin
α
2
·
R
GMsin
α
2
，D 正确。
6．(多选)某人在春分那天(太阳光直射赤道)站在地球赤道上用天文望远镜观
察他正上方的一颗同步卫星，他发现在日落后连续有一段时间 t 观察不到此卫星。
已知地球表面的重力加速度为 g，地球自转周期为 T，圆周率为 π，仅根据 g、t、
T、π 可推算出( )
A．地球的质量
B．地球的半径
C．卫星距地面的高度
D．卫星与地心的连线在 t 时间内转过的角度
答案 BCD
解析 根据光的直线传播规律，日落后有 t 时间该观察者看不见此卫星，如
图所示，
同步卫星相对地心转过角度为 θ＝2α，sinα＝R
r
，结合 θ＝ωt＝2π
T t，可解得卫
星与地心的连线在 t 时间内转过的角度 θ，故 D 正确；对同步卫星根据 GMm
r2
＝m
4π2
T2 r 和 GM＝R2g，可得 4π2r3＝R2gT2，联立 sinα＝R
r
，可得出地球半径 R 和轨道
半径 r，则卫星距地面的高度 h＝r－R 可求出，故 B、C 均正确；由 M＝R2g
G
＝4π2r3
GT2
可知，由于引力常量 G 未知，故地球质量 M 无法求出，A 错误。
7．利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持
无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍。假设地球
的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最
小值约为( )
A．1 h B．4 h C．8 h D．16 h
答案 B
解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应
随之变小，由 GMm
r2
＝mr 4π2
T2
可得 T＝ 4π2r3
GM
，则卫星离地球的高度应变小，要实
现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出示意图
如图。
由几何关系得，卫星的轨道半径为 r＝ R
sin30°
＝2R，由开普勒第三定律得r31
T21
＝
r32
T22
，代入题中数据，得
(6.6R)3
242
＝r3
T22
解得 T2≈4 h。故选 B。
8. 2016 年 10 月 19 日凌晨，神舟十一号载人飞船与天宫二号对接成功。两
者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为 T，已知地球半径为
R，对接体距地面的高度为 kR，地球表面的重力加速度为 g，万有引力常量为
G。下列说法正确的是( )
A．对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天宫二号实现对接
B．对接后，飞船的线速度大小为2πkR
T
C．对接后，飞船的加速度大小为 g
(1＋k)2
D．地球的密度为3π(1＋k)2
GT2
答案 C
解析 对接前，如果飞船自身减速，飞船在原轨道上的万有引力大于所需要
的向心力，所以飞船做近心运动，轨道半径变小，不能实现对接，故 A 错误；
对接后，轨道半径 r＝R＋kR＝(1＋k)R，飞船的线速度 v＝ 2πr
T
＝2π(1＋k)R
T
＝
2πR(1＋k)
T
，故 B 错误；在地球表面附近，根据重力等于万有引力，mg＝GMm
R2
，
得 GM＝gR2，对接后，根据万有引力提供向心力，有 GMm
r2
＝ma，得 a＝GM
r2
＝
gR2
(1＋k)2R2
＝ g
(1＋k)2
，故 C 正确；根据万有引力提供向心力，有 GMm
r2
＝m4π2
T2 r，得
地球质量 M＝4π2r3
GT2
＝4π2(1＋k)3R3
GT2
，密度 ρ＝M
V
＝
4π2(1＋k)3R3
GT2
4πR3
3
＝3π(1＋k)3
GT2
，故 D
错误。
9. (多选)一探测器探测某星球表面时做了两次测量。探测器先在近星轨道上
做圆周运动测出运行周期 T；着陆后，探测器将一小球以不同的速度竖直向上抛
出，测出了小球上升的最大高度 h 与抛出速度 v 的二次方的关系，如图所示，图
中 a，b 已知，引力常量为 G，忽略空气阻力的影响，根据以上信息可求得( )
A．该星球表面的重力加速度为2b
a
B．该星球的半径为 bT2
8aπ2
C．该星球的密度为 3π
GT2
D．该星球的第一宇宙速度为4aT
πb
答案 BC
解析 小球竖直上抛，上升的最大高度 h＝v2
2g
，hv2 直线的斜率 k＝ 1
2g
＝a
b
，
得 g＝ b
2a
，故 A 错误；探测器在近星轨道上做匀速圆周运动，设星球半径为 R，
根据万有引力提供向心力，有 GMm
R2
＝m4π2
T2 R，得 T＝ 4π2R3
GM
，对星球表面任意
一个物体，有 mg＝GMm
R2
，联立可得 T＝2π R
g
，将 g＝ b
2a
代入计算得出 R＝
bT2
8aπ2
，故 B 正确；探测器先在近星轨道上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，
有 GMm
R2
＝m4π2
T2 R，计算得出 M＝4π2R3
GT2
，由密度公式有 ρ＝M
V
＝
4π2R3
GT2
4πR3
3
＝ 3π
GT2
，故 C
正确；该星球的近地卫星的运行速度即第一宇宙速度，由 GMm
R2
＝mg＝mv2
R
，得 v
＝ gR＝ b
2a × bT2
8aπ2
＝ bT
4πa
，故 D 错误。
10. (多选)某行星周围存在着环状物质，为了测定环状物质是行星的组成部
分还是环绕该行星的卫星群，某天文学家对其做了精确的观测，发现环状物质绕
行星中心的运行速度 v 与到行星中心的距离 r 的关系如图所示。已知行星除环状
物质外的半径为 R，环状物质的宽度为 d，引力常量为 G。则下列说法正确的是
( )
A．环状物质是该行星的组成部分
B．行星表面的重力加速度 g＝v20
R
C．该行星除去环状物质部分后的质量 M＝v20R
G
D．该行星的自转周期 T＝2π(R＋d)
v1
答案 AD
解析 若环状物质为卫星群，根据GMm
r2
＝mv2
r
得 v＝ GM
r
，若环状物质为
行星的组成部分，则两者角速度相同，有 v＝ωr，结合图象可知环状物质为行星
的组成部分，故 A 正确；行星表面的物体的向心加速度 a＝v20
R
，行星表面的重力
加速度与向心加速度意义不同，故 B 错误；由于环状物质是该行星的组成部分，
故其所受合力不等于万有引力，不是万有引力提供向心力，无法求解该行星除去
环状物质后的质量，故 C 错误；环状物质为行星的组成部分，其转动周期等于
行星的自转周期 T＝2π(R＋d)
v1
，故 D 正确。
『真题调研题组』
1．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星 P，
其轨道半径约为地球半径的 16 倍；另一地球卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的
4 倍。P 与 Q 的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
答案 C
解析 设地球半径为 R，根据题述，地球卫星 P 的轨道半径为 RP＝16R，地
球卫星 Q 的轨道半径为 RQ＝4R，根据开普勒定律，T2P
T2Q
＝R3P
R3Q
＝64，所以 P 与 Q
的周期之比为 TP∶TQ＝8∶1，C 正确。
2．(2019·全国卷Ⅱ)2019 年 1 月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着
陆。在探测器“奔向”月球的过程中，用 h 表示探测器与地球表面的距离，F 表
示它所受的地球引力，能够描述 F 随 h 变化关系的图象是( )
答案 D
解析 由万有引力公式 F＝G Mm
(R＋h)2
可知，探测器与地球表面距离 h 越大，
F 越小，排除 B、C；而 F 与 h 不是一次函数关系，排除 A。故选 D。
3．(2019·全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，
它们的向心加速度大小分别为 a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为 v
金、v 地、v 火。已知它们的轨道半径 R 金
a 地>a 火 B．a 火>a 地>a 金
C．v 地>v 火>v 金 D．v 火>v 地>v 金
答案 A
解析 行星绕太阳做圆周运动时，由牛顿第二定律和圆周运动知识：GmM
R2
＝
ma，得向心加速度 a＝GM
R2
，GmM
R2
＝mv2
R
，得速度 v＝ GM
R
，由于 R 金＜R 地＜R
火，所以 a 金＞a 地＞a 火，v 金＞v 地＞v 火，A 正确。
4．(2019·江苏高考) 1970 年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地
球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远
地点的速度分别为 v1、v2，近地点到地心的距离为 r，地球质量为 M，引力常量
为 G。则( )
A．v1>v2，v1＝ GM
r B．v1>v2，v1> GM
r
C．v1 GM
r
答案 B
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的
速度，即 v1>v2。若卫星以近地点到地心的距离 r 为半径做圆周运动，则有GMm
r2
＝mv 2近
r
，得运行速度 v 近＝ GM
r
，由于卫星沿椭圆轨道运动，则 v1>v 近，即 v1>
GM
r
，B 正确。
5．(2018·全国卷Ⅱ)2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫
秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期 T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的
球体，已知万有引力常量为 6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期 T 稳定自转的星体的
密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
答案 C
解析 设脉冲星质量为 M，密度为 ρ，星体表面一物块质量为 m，根据天体
运动规律知：GMm
R2
≥m(2π
T )2R，ρ＝M
V
＝ M
4
3πR3
，代入可得：ρ≥3π
GT2
≈5×1015 kg/m3，
故 C 正确。
6．(2019·全国卷Ⅰ) (多选)在星球 M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，
把物体 P 轻放在弹簧上端，P 由静止向下运动，物体的加速度 a 与弹簧的压缩量
x 间的关系如图中实线所示。在另一星球 N 上用完全相同的弹簧，改用物体 Q 完
成同样的过程，其 ax 关系如图中虚线所示。假设两星球均为质量均匀分布的球
体。已知星球 M 的半径是星球 N 的 3 倍，则( )
A．M 与 N 的密度相等
B．Q 的质量是 P 的 3 倍
C．Q 下落过程中的最大动能是 P 的 4 倍
D．Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是 P 的 4 倍
答案 AC
解析 如图，当 x＝0 时，对 P：mPgM＝mP·3a0，即星球 M 表面的重力加速
度 gM＝3a0；对 Q：mQgN＝mQa0，即星球 N 表面的重力加速度 gN＝a0。
当 P、Q 的加速度 a＝0 时，对 P 有 mPgM＝kx0，则 mP＝kx0
3a0
；对 Q 有 mQgN＝
k·2x0，则 mQ＝2kx0
a0
，即 mQ＝6mP，B 错误；根据 mg＝G Mm
R2
得，星球质量 M＝
gR2
G
，则星球的密度 ρ＝ M
4
3πR3
＝ 3g
4πGR
，所以 M、N 的密度之比ρM
ρN
＝gM
gN·RN
RM
＝3
1
×1
3
＝
1，A 正确；当 P、Q 的加速度为零时，P、Q 的动能最大，系统的机械能守恒，
对 P 有：mPgMx0＝Ep 弹＋EkP，即 EkP＝3mPa0x0－Ep 弹；对 Q 有：mQgN·2x0＝4Ep 弹＋
EkQ，即 EkQ＝2mQa0x0－4Ep 弹＝12mPa0x0－4Ep 弹＝4×(3mPa0x0－Ep 弹)＝4EkP，C
正确；P、Q 在弹簧压缩到最短时，其位置关于加速度 a＝0 时的位置对称，故 P
下落过程中的最大压缩量为 2x0，Q 为 4x0，D 错误。
7．(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017 年，人类第一次直接探测到来自双中子星合
并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约 100 s 时，它们
相距约 400 km，绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈。将两颗中子星都看作是质
量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算
出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
答案 BC
解析 依题意已知两颗中子星的周期 T、距离 L，各自的自转角速度不可求，
D 错误；对 m1：Gm1m2
L2
＝m1ω2r1，对 m2：Gm1m2
L2
＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2
＝L，ω＝ 2π
T
，联立以上各式可解得：r1＝ m2
m1＋m2L，r 2＝ m1
m1＋m2L，m 1＋m2＝
4π2L3
GT2
，B 正确；速率之和 v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝2πL
T
，C 正确；质量之
积 m1m2＝ω2L2r2
G ·ω2L2r1
G
＝
(2πL
T )4
G2 ·r1r2，r1r2 不可求，故 m1m2 不可求，A 错误。
『模拟冲刺题组』
1．(2019·江西南昌二模)(多选)用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电
梯”的梦想有望在本世纪实现。科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下
一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行实现外太空和地球之间便捷的物
资交换。下列有关电梯仓的说法正确的是( )
A．电梯仓停在地球同步轨道站，缆绳对它有作用力
B．电梯仓停在地球同步轨道站，缆绳对它无作用力
C．电梯仓停在中间位置，缆绳对它有沿绳指向地心的作用力
D．电梯仓停在中间位置，缆绳对它有沿绳背向地心的作用力
答案 BD
解析 电梯仓停在地球同步轨道站时，万有引力全部提供向心力，所以缆绳
对它无作用力，A 错误，B 正确；电梯仓停在中间位置，由于电梯仓的角速度与
地球自转角速度相等，电梯仓做圆周运动的半径减小，所需的向心力减小，但万
有引力增大，所以缆绳对它有沿绳背向地心的作用力，C 错误，D 正确。
2．(2019·江西高三九校 3 月联考)“月亮正加速远离地球，后代没月亮看
了。”一项新的研究表明，月球的引力在地球上产生了周期性的潮汐现象，潮汐
力耗散地球的自转能量，降低地球的旋转速度，同时也导致月球正在以每年 3.8
cm 的速度远离地球。不考虑其他变化，则很多年后与现在相比，下列说法正确
的是( )
A．月球绕地球做圆周运动的周期将减小
B．月球绕地球做圆周运动的线速度增大
C．地球同步定点卫星的高度增大
D．地球同步定点卫星的角速度增大
答案 C
解析 月球绕着地球做匀速圆周运动，故 GMm
r2
＝m4π2
T2 r，解得 T＝2π
r3
GM
，随着地月间距增加，月球绕地球做圆周运动的周期将变大，A 错误；月
球绕着地球做匀速圆周运动，故 GMm
r2
＝mv2
r
，解得 v＝ GM
r
，随着地月间距增
加，月球绕地球做圆周运动的线速度变小，B 错误；潮汐力消耗地球的自转能量，
降低地球的旋转速度，使地球自转角速度变小，故同步卫星的角速度变小，同步
卫星的周期变大，根据 T＝2π r3
GM
，轨道半径变大，故高度增大，C 正确，D
错误。
3．(2019·郑州二模)2018 年 12 月 8 日 2 时 23 分，嫦娥四号探测器搭乘长征
三号乙运载火箭，开始了奔月之旅，首次实现人类探测器在月球背面软着陆。12
月 12 日 16 时 45 分，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹
车”，被月球捕获，进入了近月点约 100 km 的环月轨道，如图所示，则下列说法
正确的是( )
A．嫦娥四号的发射速度大于第二宇宙速度
B．嫦娥四号在 100 km 环月轨道运行通过 P 点时的加速度和在椭圆环月轨
道运行通过 P 点时加速度相同
C．嫦娥四号在 100 km 环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动周期
D．嫦娥四号在地月转移轨道经过 P 点时和在 100 km 环月轨道经过 P 点时
的速度相同
答案 B
解析 第二宇宙速度是飞行器能够脱离地球引力束缚的最小发射速度，而嫦
娥四号还没有脱离地球的引力束缚，所以发射速度小于第二宇宙速度，A 错误；
嫦娥四号卫星在不同轨道经过 P 点，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律，
知加速度相同，B 正确；根据开普勒第三定律r3
T2
＝k 知，100 公里的圆轨道半径
大于椭圆轨道的半长轴，则嫦娥四号在 100 公里的圆轨道上运动的周期大于其在
近月点为 15 公里的椭圆轨道上运动的周期，故 C 错误；嫦娥四号在椭圆轨道的
P 点是远月点，速度比较小，要进入 100 公里的圆轨道，需要加速，做离心运动，
所以嫦娥四号在椭圆轨道 P 点的速度小于在 100 公里的圆轨道 P 点的速度，故
D 错误。
4．(2019·四川成都二诊)(多选)2019 年 1 月 3 日，“嫦娥四号”成为了全人
类第一个在月球背面成功实施软着陆的探测器。为了减小凹凸不平的月面可能造
成的不利影响，“嫦娥四号”采取了近乎垂直的着陆方式。已知：月球半径为
R，表面重力加速度大小为 g，万有引力常量为 G，下列说法正确的是( )
A．为了减小与地面的撞击力，“嫦娥四号”着陆前的一小段时间内处于失
重状态
B．“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动的过程中处于超重状态
C．“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动的周期约为 T＝2π R
g
D．月球的密度为 ρ＝ 3g
4πRG
答案 CD
解析 为了减小与地面的撞击力，“嫦娥四号”着陆前的一小段时间内应向
下减速运动，加速度方向向上，处于超重状态，故 A 错误；“嫦娥四号”着陆
前近月环绕月球做圆周运动，万有引力提供向心力，所以“嫦娥四号”处于失重
状态，故 B 错误；“嫦娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动，万有引力提
供向心力，有：GMm
R2
＝m4π2
T2 R，GMm
R2
＝mg，解得：T＝2π R
g
，故 C 正确；“嫦
娥四号”着陆前近月环绕月球做圆周运动，由万有引力提供向心力，有：GMm
R2
＝
mg，解得：M＝gR2
G
，地球的体积为：V＝4
3πR3，地球的密度为：ρ＝M
V
＝ 3g
4πRG
，
故 D 正确。
5．(2019·福建宁德二模)2019 年 4 月 10 日 21 时，人类首张黑洞照片在全球
六地的视界面望远镜发布会上同步发布。该黑洞半径为 R，质量 M 和半径 R 的
关系满足：M
R
＝ c2
2G(其中 c 为光速，G 为引力常量)。若天文学家观测到距黑洞中
心距离为 r 的天体以速度 v 绕该黑洞做匀速圆周运动，则( )
A．该黑洞的质量为v2r
2G B．该黑洞的质量为2v2r
G
C．该黑洞的半径为2v2r
c2 D．该黑洞的半径为v2r
2c2
答案 C
解析 黑洞对天体的万有引力提供天体做圆周运动所需向心力，则：GMm
r2
＝
mv2
r
，即有 M＝v2r
G
，故 A、B 错误；该黑洞的半径为 R，质量 M 和半径 R 的关系
满足：M
R
＝ c2
2G
，即有 R＝2v2r
c2
，故 C 正确，D 错误。
6．(2019·陕西汉中二模)(多选)图甲所示的“轨道康复者”航天器可在太空
中给“垃圾”卫星补充能源，延长卫星的使用寿命。图乙是“轨道康复者”在某
次拯救一颗地球同步卫星前，二者在同一平面内沿相同绕行方向绕地球做匀速圆
周运动的示意图，此时二者的连线通过地心、轨道半径之比为 1∶4。若不考虑
卫星与“轨道康复者”之间的引力，则下列说法正确的是( )
A．站在赤道上的人观察到“轨道康复者”向西运动
B．在图示轨道上，“轨道康复者”的加速度大小是地球同步卫星的 16 倍
C．在图示轨道上，地球同步卫星的机械能大于“轨道康复者”的机械能
D．若要对该同步卫星实施拯救，“轨道康复者”应从图示轨道上加速，然
后与同步卫星对接
答案 BD
解析 因“轨道康复者”的高度低于同步卫星的高度，可知其角速度大于同
步卫星的角速度，也大于站在赤道上的观察者的角速度，则站在赤道上的人观察
到“轨道康复者”向东运动，A 错误；由 GMm
r2
＝ma 得：a＝GM
r2
，在图示轨道上，
“轨道康复者”与地球同步卫星加速度之比为a1
a2
＝r22
r21
＝42
12
＝16，B 正确；因“轨
道康复者”与地球同步卫星的质量关系不确定，故不能比较机械能的关系，C 错
误；“轨道康复者”应从图示轨道上加速，做离心运动，轨道半径增大，与同步
卫星轨道相交，才可与同步卫星对接，D 正确。
『热门预测题组』
1．(2019·湖南郴州质检一)假设宇宙中有两颗相距无限远的行星 A 和 B，半
径分别为 RA 和 RB。这两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方(r3)与运行周期的平
方(T2)的关系如图所示，T0 为卫星环绕行星表面运行的周期。则( )
A．行星 A 的质量大于行星 B 的质量
B．行星 A 的密度小于行星 B 的密度
C．行星 A 的第一宇宙速度小于行星 B 的第一宇宙速度
D．当两行星的卫星轨道半径相同时，行星 A 的向心加速度小于行星 B 的向
心加速度
答案 A
解析 根据万有引力提供向心力，有 GMm
r2
＝m4π2r
T2
，得 M＝4π2
G · r3
T2
，根据图
象可以知道，A 图线的斜率比 B 图线的斜率大，所以行星 A 的质量大于行星 B
的质量，A 正确；根据图象可以知道，卫星在两颗行星表面做匀速圆周运动的周
期相同，密度 ρ＝M
V
＝ M
4
3πR3
＝
4π2
G ·
R3
T20
4
3πR3
＝ 3π
GT20
，所以行星 A 的密度等于行星 B 的密度，
B 错误；第一宇宙速度 v＝2πR
T0
，A 的半径大于 B 的半径，卫星环绕行星表面运
行的周期相同，则 A 的第一宇宙速度大于 B 的第一宇宙速度，故 C 错误；根据 G
Mm
r2
＝ma 得 a＝GM
r2
，当两行星的卫星轨道半径相同时，A 的质量大于 B 的质量，
则行星 A 的向心加速度大于行星 B 的向心加速度，故 D 错误。
2．(2019·湖南衡阳二模)2019 年 1 月 3 日，“嫦娥四号”探测器登陆月球，
实现人类探测器首次在月球背面软着陆，为给“嫦娥四号”探测器提供通信支持，
我国早在 2018 年 5 月 21 日就成功发射“嫦娥四号”中继星“鹊桥号”，如图所
示，“鹊桥号”中继星一边绕拉格朗日 L2 点做圆周运动，一边随月球同步绕地
球做圆周运动，且其绕 L2 点的半径远小于 L2 点与地球间的距离。(已知位于地、
月拉格朗日 L1、L2 点处的小物体能够在地、月的引力作用下，几乎不消耗燃料，
便可与月球同步绕地球做圆周运动)则下列说法正确的是( )
A．“鹊桥号”的发射速度大于 11.2 km/s
B．“鹊桥号”绕地球运动的周期约等于月球绕地球运动的周期
C．同一卫星在 L2 点受地、月引力的合力与其在 L1 点受地、月引力的合力
相等
D．若技术允许，使“鹊桥号”刚好位于拉格朗日 L2 点，能够更好地为“嫦
娥四号”探测器提供通信支持
答案 B
解析 11.2 km/s 是卫星脱离地球引力的最小发射速度，“鹊桥号”没有脱
离地球的束缚，所以“鹊桥号”的发射速度应小于 11.2 km/s，故 A 错误；根据
题意可知，“鹊桥号”绕地球转动的周期与月球绕地球转动的周期相同，故 B
正确；由 Fn＝mrω2 可知，同一卫星在 L2 点受月球和地球引力的合力比在 L1 点
要大，故 C 错误；“鹊桥号”若刚好位于 L2 点，由几何关系可知，通讯范围较
小，并不能更好地为“嫦娥四号”探测器提供通信支持，故 D 错误。
