【物理】2018届二轮复习专题十一应用数学处理物理问题的能力学案（全国通用）

【物理】2018届二轮复习专题十一应用数学处理物理问题的能力学案（全国通用）

‎《考试大纲》关于物理学科要考查的“应用数学处理物理问题的能力”是这样叙述的：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论；能运用几何图形、函数图象进行表达、分析．‎ 物理学是一门精密科学，与数学有着密切的关系．从物理学的发展史看，物理学的发展是离不开数学的，有了一种适合表述物理的数学工具，不仅能有力地促进物理学的发展，还能使物理规律以更加清晰、简洁的方式表示出来．不论是在学习物理的过程中，还是应用物理知识解决问题的过程中，或多或少总要进行数学推导和数学运算．处理的问题越高深，应用的数学一般也会越多．凡是中学阶段学到的数学，如几何、三角、代数、解析几何，都可能成为解高考物理试题中的数学工具．‎ ‎(1)能根据具体的物理问题列出物理量之间的关系，能把有关的物理条件用数学方程表示出来．‎ 例1　短跑名将博尔特在北京奥运会上创造了100 m和200 m短跑项目的新世界纪录，他的成绩分别为9.69 s和19.30 s．假定他在100 m比赛时从发令到起跑的反应时间是0.15 s，起跑后做匀加速运动，达到最大速率后做匀速运动.200 m比赛时，反应时间及起跑后加速阶段的加速度和加速度时间与100 m比赛时相同，但由于弯道和体力等因素的影响，以后的平均速度只有跑100 m时最大速率的96%.求：(结果均保留两位小数)‎ ‎(1)加速所用时间和达到的最大速率；‎ ‎(2)起跑后做匀加速运动的加速度大小．‎ 答案　(1)1.29 s　11.24 m/s　(2)8.71 m/s2‎ 解析　(1)设加速所用时间为t(以s为单位)，匀速运动的速度为v(以m/s为单位)，则有：‎ vt＋(9.69 s－0.15 s－t)v＝100 m①‎ vt＋(19.30 s－0.15 s－t)×0.96v＝200 m②‎ 由①②式得t≈1.29 s，v≈11.24 m/s.‎ ‎(2)设加速度大小为a，则a＝≈8.71 m/s2‎ 说明　本题以博尔特在北京奥运会上短跑项目的运动设置情景，通过合理简化建立理想化的模型，要求考生根据每个阶段运动满足的物理规律列出相应的数学表达式．‎ ‎(2)在解决物理问题时，往往需要经过数学推导和求解，或进行数值计算；求得结果后，有时还要用图象或函数关系把它表示出来；必要时还应对数学运算的结果作出物理上的结论或进行解释．‎ 例2　两块长木板A和B，质量相等，长度都是l＝1.0 m，紧贴在一起，静置于光滑水平的地面上．另一小物块C，质量与长木板相等，可视为质点，位于木板A的左端．如图1所示，现给物块C一向右的初速度，速度的大小为v0＝2.0 m/s，已知物块与木板之间的动摩擦因数μ＝0.10，问木板A最终运动的速度为多少？‎ 图1‎ 答案　 m/s 说明　本题中木板A最终速度与物块C是停在A上还是滑离A有关，这需要经过计算后才能作出判断，另外通过求解联立方程，可求得木板A的最终速度v有两个可能值，因与v＝1.0 m/s对应的物块速度为0，这在物理上是不可能的，故可判定木板A的最终速度为v＝ m/s.‎ 经过数学处理后得到的结果，在物理上是否合理，是否合乎实际以及所得结果的物理意义是什么，都需要进行讨论和判断，这既是一种能力，也是一种习惯．‎ ‎(3)能够运用几何图形、函数图象解决物理问题，要能够对物理规律、状态和过程在理解的基础上用合适的图象表示出来，会用图象来处理物理问题．‎ 例3　(2013·新课标全国Ⅰ·24)水平桌面上有两个玩具车A和B，两者用一轻质细橡皮筋相连，在橡皮筋上有一红色标记R.在初始时橡皮筋处于拉直状态，A、B和R 分别位于直角坐标系中的(0,2l)、(0，－l)和(0,0)点．已知A从静止开始沿y轴正向做加速度大小为a的匀加速运动，B平行于x轴朝x轴正向匀速运动．在两车此后运动的过程中，标记R在某时刻通过点(l, l)．假定橡皮筋的伸长是均匀的，求B运动速度的大小．‎ 答案　 解析　设B车的速度大小为v.如图，标记R在时刻t通过K(l，l)，此时A、B的位置分别为H、G.由运动学公式，H的纵坐标yA、G的横坐标xB分别为 yA＝2l＋at2①‎ xB＝vt②‎ 在刚开始运动时，标记R到A和B的距离之比为2∶1，即 OE∶OF＝2∶1‎ 由于橡皮筋的伸长是均匀的，在以后任一时刻R到A和B的距离之比都为2∶1.因此，在时刻t有 HK∶KG＝2∶1③‎ 由于△FGH∽△IGK，有 HG∶KG＝xB∶(xB－l)④‎ HG∶KG＝(yA＋l)∶2l⑤‎ 由③④⑤式得 xB＝l⑥‎ yA＝5l⑦‎ 联立①②⑥⑦式得 v＝ 说明　试题以置于直角坐标系中的两个最简单的运动学模型作为问题情景，两玩具车A、B 的运动互相独立又用轻质细橡皮筋牵连，考生须从橡皮筋的均匀伸长分析出以后任一时刻标记R到B的距离和到A的距离之比都为2∶1，继而根据几何关系和运动学的规律求解作答，该题考查考生将抽象的文字信息转化为图象，并应用数学工具求解的能力．‎ ‎1．(多选)(2014·新课标全国Ⅰ·19)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为 “行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示．则下列判断正确的是(　　)‎ 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 轨道半径(AU)‎ ‎1.0‎ ‎1.5‎ ‎5.2‎ ‎9.5‎ ‎19‎ ‎30‎ A.各地外行星每年都会出现冲日现象 B．在2015年内一定会出现木星冲日 C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半 D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短 答案　BD 解析　由开普勒第三定律＝k可知T行＝·T地＝年，根据相遇时转过的角度之差Δθ＝2nπ及ω＝可知相邻冲日时间间隔为t，则t＝2π，即t＝＝，又T火＝年，T木＝年，T土＝年，T天＝年，T海＝年，代入上式得t>1年，故选项A错误；木星冲日时间间隔t木＝年<2年，所以选项B正确；由以上公式计算t土≠2t天，t海最小，选项C错误，选项D正确．‎ ‎2．(多选)由光滑细管组成的轨道如图2所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是(　　)‎ 图2‎ A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2 B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2 C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R 答案　BC 解析　要使小球从A点水平抛出，则小球到达A点时的速度v>0，根据机械能守恒定律，有mgH－mg·2R＝mv2，所以H>2R，故选项C正确，选项D错误；小球从A点水平抛出时的速度v＝，小球离开A点后做平抛运动，则有2R＝gt2，水平位移x＝vt，联立以上各式可得水平位移x＝2，选项A错误，选项B正确．‎ ‎3．卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km，运行周期约为27天，地球半径约为6 400 km，无线电信号的传播速度为3×108 m/s.)(　　)‎ A．0.1 s B．0.25 s C．0.5 s D．1 s 答案　B 解析　根据＝m同(R＋h)，＝m月r，结合已知数据，解得地球同步卫星距地面的高度h≈3.6×107 m，再根据电磁波的反射及直线传播得：2h＝ct，得t＝0.24 s，故选项B正确，选项A、C、D错误．‎ ‎4．匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点，AB的长度为1 m，D为AB的中点，如图3所示．已知电场线的方向平行于△ABC所在平面，A、B、C三点的电势分别为14‎ ‎ V、6 V和2 V．设场强大小为E，一电量为1×10－6 C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W，则(　　)‎ 图3‎ A．W＝8×10－6 J，E>8 V/m B．W＝6×10－6 J，E>6 V/m C．W＝8×10－6 J，E≤8 V/m D．W＝6×10－6 J，E≤6 V/m 答案　A 解析　在匀强电场中，沿AB方向电动势是均匀降落的，所以φA－φD＝φD－φB，则φD＝＝ V＝10 V，UDC＝φD－φC＝8 V，电荷从D移到C电场力做功为W＝qUDC＝1×10－6×8 J＝8×10－6 J，由图及各点电势可知，电场方向不沿AB方向，所以E>＝8 V/m.‎ ‎5.空间有一匀强电场，在电场中建立如图4所示的直角坐标系O－xyz，M、N、P为电场中的三个点，M点的坐标(0，a,0)，N点的坐标为(a,0,0)，P点的坐标为(a，，)．已知电场方向平行于直线MN，M点电势为0，N点电势为1 V，则P点的电势为(　　)‎ 图4‎ A. V B. V C. V D. V 答案　D 解析　由题意可知匀强电场方向沿MN直线且由N指向M.过P点作直线MN的垂面，交点为Q，则Q与P点等电势．所以Q点电势φ＝1 V－E·NQ＝1 V－· V＝ V，D正确．‎ ‎6．(2013·新课标全国Ⅰ·18)如图5，半径为R的圆是一圆柱形匀强磁场区域的横截面(纸面)，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一电荷量为q(q>0)、质量为m的粒子沿平行于直径ab的方向射入磁场区域，射入点与ab的距离为.已知粒子射出磁场与射入磁场时运动方向间的夹角为60°，则粒子的速率为(不计重力)(　　)‎ 图5‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　由圆周运动有qvB＝①‎ 由几何关系知，在△ecO和△eO′O中，有 tan 30°＝，‎ 解得r＝R②‎ 解①②式得v＝，故选B.‎ ‎7．如图6所示，两个端面半径同为R的圆柱形铁芯同轴水平放置，相对的端面之间有一缝隙，铁芯上绕导线并与电源连接，在缝隙中形成一匀强磁场．一铜质细直棒ab水平置于缝隙中，且与圆柱轴线等高、垂直．让铜棒从静止开始自由下落，铜棒下落距离为0.2R时铜棒中电动势大小为E1，下落距离为0.8R时电动势大小为E2.忽略涡流损耗和边缘效应．关于E1、E2的大小和铜棒离开磁场前两端的极性，下列判断正确的是(　　)‎ 图6‎ A．E1>E2，a端为正 B．E1>E2，b端为正 C．E1

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