专题04+曲线运动-2018年高考物理备考中等生百日捷进提升系列
第一部分 特点描述
近几年来，曲线运动已成为高考的热点内容之一，有时为选择题，有时以计算题形式出现，重点考查的内容有：平抛运动的规律及其研究方法，圆周运动的角度、线速度、向心加速度，做圆周运动的物体的受力与运动的关系，同时，还可以与带电粒子的电磁场的运动等知识进行综合考查；重点考查的方法有运动的合成与分解，竖直平面内的圆周运动应掌握最高点和最低点的处理方法．本部分内容是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，而万有引力定律是力学中一个重要独立的基本定律，运动的合成与分解是研究复杂运动的基本方法，复习本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解；加深对牛顿第二定律的理解，提高解题实际的能力。
第二部分 知识背一背
一、平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动.
2.性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
3.基本规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx= v0, 位移x= v0t .
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度vy= gt,位移y=.
二、 斜抛运动
1.定义：将物体以速度v斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.
2.性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。
三、离心运动和近心运动
1.离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动.
(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向.
(3)受力特点.
①当F=mω2r时，物体做匀速圆周运动；
②当F=0时，物体沿切线方向飞出;
③当F
mω2r,物体将逐渐靠近圆心，做近心运动.
第三部分 技能+方法
一、小船渡河问题的规范求解
1.总结
(1)不论水流速度多大，船身垂直于河岸渡河，时间最短.[
(2)当船速大于水速时，船可以垂直于河岸航行.
(3)当船速小于水速时，船不能垂直于河岸航行，但仍存在最短航程.
2.求解小船渡河问题的方法
求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移.无论哪类都必须明确以下四点：
(1)解决这类问题的关键是:正确区分分运动和合运动,船的航行方向也就是船头指向，是分运动.船的运动方向也就是船的实际运动方向，是合运动,一般情况下与船头指向不一致.
(2)运动分解的基本方法,按实际效果分解,一般用平行四边形定则按水流方向和船头指向分解.
(3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关.
(4)求最短渡河位移时,根据船速v船与水流速度v水的情况用三角形法则求极限的方法处理.
【例1】如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别与水流方向平行和垂直，且OA＝OB。若水流速度不变，两人在靜水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为 （ ）
A. B. C. D.无法确定
【答案】 C
【例2】如图所示，从光滑的1/ 4圆弧槽的最高点滑下的小滑块，滑出槽口时速度方向为水平方向，槽口与一个半球顶点相切，半球底面为水平，若要使小物块滑出槽口后不沿半球面下滑，已知圆弧轨道的半径为R1，半球的半径为R2，则R1和R2应满足的关系是 （ ）
A．R1≤R2/2
B．R1≥R2/2
C．R1≤R2
D．R1≥R2
【答案】 B
二、斜面上的平抛问题
斜面平抛问题的求解方法
(1)物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题与实际联系密切，如滑雪运动等，因而此类问题是高考命题的热点.有两种分解方法：一是沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；二是沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的类竖直上抛运动.
(2)此类问题中，斜面的倾角即为位移与水平方向的夹角；可以根据斜面的倾角和平抛运动的推论确定物体落在斜面上时的速度方向.
【例3】如图所示，从倾角为θ的斜面上的某点先后将同一小球以不同初速度水平抛出，小球均落到斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面的速度方向与斜面的夹角为α1，当抛出的速度为v2时，小球到达斜面的速度方向与斜面的夹角为α2，则 （ ）
A．当v1＞v2时，α1＞α2 B．当α1＜α2，v1＞v2时
C．无论v1、v2大小如何，均有α1=α2 D．2θ=α1+θ
【答案】 C
【解析】
如图所示，由平抛运动的规律知，解得：，由图知
，所以与抛出速度无关，故，故C正确。
【例4】工厂里有一种运货的过程可以简化为如图所示，货物以的初速度滑上静止的货车的左端，已知货物质量m=20kg，货车质量M=30kg，货车高h=0.8m。在光滑轨道OB上的A点设置一固定的障碍物，当货车撞到障碍物时会被粘住不动，而货物就被抛出，恰好会沿BC方向落在B点。已知货车上表面的动摩擦因数，货物可简化为质点，斜面的倾角为。
(1)求货物从A点到B点的时间；
(2)求AB之间的水平距离；
(3)若已知OA段距离足够长，导致货物在碰到A之前已经与货车达到共同速度，则货车的长度是多少?
【答案】 （1）0.4s；（2）1.2m；（3）6.7m
（3）在小车碰撞到障碍物前，车与货物已经到达共同速度，根据牛顿第二定律：
对m：1
对M：
当 时，m、M具有共同速度：
三、水平面内的匀速圆周运动的分析方法
1.运动实例：圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等.
2.这类问题的特点是:(1)运动轨迹是圆且在水平面内；(2)向心力的方向水平，竖直方向的合力为零.
3.解答此类问题的方法：
(1)对研究对象受力分析，确定向心力的来源；
(2)确定圆周运动的圆心和半径；
(3)应用相关力学规律列方程求解.
四、竖直平面内的圆周运动的求解思路
（1）定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型过最高点的临界条件不同，其原因主要是：“绳”不能支持物体，而“杆”既能支持物体，也能拉物体.
（2）确定临界点：v临=，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是FN表现为支持力还是拉力的临界点.
（3）研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况.
（4）受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程，F合=F向.
（5）过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程.
【例5】某同学利用如图实验装置研究摆球的运动情况，摆球由A点由静止释放，经过最低点C到达与A等高的B点，D、E、F是OC连线上的点，OE＝DE，DF＝FC，OC连线上各点均可钉钉子。每次均将摆球从A点由静止释放，不计绳与钉子碰撞时机械能的损失。下列说法正确的是 （ ）
A．若只在E点钉钉子，摆球最高可能摆到AB连线以上的某点
B．若只在D点钉钉子，摆球最高可能摆到AB连线以下的某点
C．若只在F点钉钉子，摆球最高可能摆到D点
D．若只在F点以下某点钉钉子，摆球可能做完整的圆周运动
【答案】 D
【例6】如图所示，倾角为的粗糙斜面AB底端与半径的光滑半圆轨道BC平滑相连，O为轨道圆心，BC为圆轨道直径且处于竖直方向，A.C两点等高。质量的滑块从A点由静止开始下滑，恰能滑到与O等高的D点，（g取， ， ）；
（1）求滑块与斜面间的动摩擦因数；
（2）若使滑块能到达C点，求滑块从A点沿斜面滑下时的初速度的最小值；
（3）若滑块离开A处的速度大小为，求滑块从C点飞出至落到斜面上的时间。
【答案】 （1）（2）（3）
【解析】（1）A到D过程，据动能定理：
解得：
（2）要使滑块能到达C点，则在圆周最高点C处，
A到C过程，据动能定理：
解得：
第四部分 基础练+测
一、选择题
1．如图所示是磁带录音机的磁带盒的示意图，A、B为缠绕磁带的两个轮子，其半径均为r。在放音结束时，磁带全部绕到了B轮上，磁带的外缘半径为R，且R=3r。现在进行倒带，使磁带绕到A轮上。倒带时A轮是主动轮，其角速度是恒定的，B轮是从动轮。经测定磁带全部绕到A轮上需要的时间为t。则从开始倒带到A、B两轮的角速度相等所需要的时间 （ ）
A． B． C． D．
【答案】 B
【解析】
A和B两个转动轮通过磁带连在一起，线速度相等，A轮是主动轮，其角速度是恒定的，随着磁带逐渐绕在A轮上，A轮的半径逐渐变大，线速度vA=ωArA逐渐变大，B轮上面的的磁带逐渐减少，当角速度相等时，两个磁带轮的半径相等，即刚好有一半的磁带倒在A轮上，由于线速度逐渐变大，剩下的一半磁带将比前一半磁带用时间短，所以从开始倒带到A、B两轮的角速度相等的过程中，所用时间大于t。
2．一小球以初速度v 0竖直上抛，它能到达的最大高度为H，问下列几种情况中，哪种情况小球不可能达到高度H（忽略空气阻力）： （ ）
A．图a，以初速v0沿光滑斜面向上运动
B．图b，以初速v0沿光滑的抛物线轨道，从最低点向上运动
C．图c（H>R>H/2），以初速v0沿半径为R的光滑圆轨道从最低点向上运动
D．图d（R>H），以初速v0沿半径为R的光滑圆轨道从最低点向上运动
【答案】 C
3．2013年2月16日，在加拿大城市温哥华举行的第二十一届冬奥会花样滑冰双人自由滑比赛落下帷幕，中国选手申雪、赵宏博获得冠军．如右图所示，如果赵宏博以自己为转动轴拉着申雪做匀速圆周运动．若赵宏博的转速为30 r/min，手臂与竖直方向夹角为60°，申雪的质量是50 kg，她触地冰鞋的线速度为4.7 m/s，则下列说法正确的是 （ ）
A．申雪做圆周运动的角速度为2π rad/s
B．申雪触地冰鞋做圆周运动的半径约为2 m
C．赵宏博手臂拉力约是850 N
D．赵宏博手臂拉力约是500 N
【答案】 C
【解析】
申雪做圆周运动的角速度即赵宏博转动的角速度．则，A错误
由得：， B错误；
由解得F＝850 N，C正确，D错误．
故选C
4．“快乐向前冲”节目，中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，如果已知选手的质量为m，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为，绳的悬挂点O距平台的竖直高度为H，绳长为L，不考虑空气阻力和绳的质量，下列说法正确的是 （ ）
A．选手摆到最低点时处于失重状态
B．选手摆到最低点时所受绳子的拉力为
C．选手摆到最低点时所受绳子的拉力大小大于选手对绳子的拉力大小
D．选手摆到最低点的运动过程中，其运动可分解为水平方向的匀加速运动和竖直方向上的匀加速运动
【答案】 B
5．如图所示，质量不计的轻质弹性杆P插入桌面上的小孔中，杆的另一端固定一质量为m的小球，今使小球在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，则下列说法正确的是（重力加速度为g）。（ ）
A．球所受的合外力大小为
B．球所受的合外力大小为
C．球对杆作用力的大小为
D．球对杆作用力的大小为
【答案】 D
【解析】杆的弹力和球的重力的合力提供向心力，所以向心力为，AB错；由勾股定理可知 球对杆的作用力为，D对；
6．如右图所示，一条小船位于200 m宽的河正中A点处，从这里向下游处有一危险的急流区，当时水流速度为4 m/s，为使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少为： （ ）
A. B. C. D.
【答案】 C
7．如图所示，光滑水平平台上有一个质量为m的物体，地面上的人用跨过定滑轮的绳子向右拉动物体，不计绳和滑轮的质量、滑轮的大小及滑轮的摩擦，人手离滑轮到竖直高度始终为h，所分析的运动过程中，人的初位置在A点，当人以速度v从A匀速运动到B时，人离滑轮的水平距离为x，下列说法正确的是 （ ）
A．在该运动过程中，物块向右做匀加速运动
B．人运动到B位置时，物块的运动速率为
C．在该运动过程中，人对物块做的功为
D．在该运动过程中，人对物块做的功为
【答案】 B
8．如图叠放在水平转台上的物体A、B、C正随转台一起以角速度w匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，A与B 间的动摩擦因数也为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1．5r．设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是 （ ）
A．B对A的摩擦力有可能为3μmg
B．C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力
C．若角速度再在题干所述原基础上缓慢增大，A与B间将最先发生相对滑动
D．转台的角速度有可能恰好等于
【答案】 D
【解析】
对AB整体，有：（3m+2m）ω2r≤μ（3m+2m）g…①
对物体C，有：mω2（1．5r）≤μmg…②
对物体A，有：3mω2r≤μ（3m）g…③
联立①②③解得：，即满足不发生相对滑动，转台的角速度，可知A与B间的静摩擦力最大值fm=3m•r•ω2＝3mr•＝2μmg，故A错误，故D正确；由于A与C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力有m×1．5rω2＜3mrω2，即C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B错误；由A选项分析可知，最先发生相对滑动的是物块C，故C错误．故选D．
考点：牛顿第二定律的应用
【名师点睛】本题关键是对A、AB整体、C受力分析，根据静摩擦力提供向心力以及最大静摩擦力等于滑动摩擦力列式分析是关键。
9．（多选）一小球从A点做自由落体运动，另一小球从B点做平抛运动，两小球恰好同时到达C点，已知AC高为h，两小球在C点相遇前瞬间速度大小相等，方向成60°夹角，g＝10 m/s2。由以上条件可求 （ ）
A. A、B两小球到达C点所用时间之比为1:2
B. 做平抛运动的小球初速度大小为
C. A、B两点的高度差为
D. A、B两点的水平距离为
【答案】 BC
故初速度：，竖直分速度，由vy=gtBC，得，故，故A错误B正确；平抛的竖直分位移，故A、B两点的高度差为
，A、B两点的水平距离，故C正确D错误；
10．（多选）由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是 （ ）
A．小球能从细管A端水平抛出的条件是H＞2R
B．小球落到地面时相对于A点的水平位移为
C．小球释放的高度在H＞2R的条件下，随着H的变大，小球在A 点对轨道的压力越大
D．若小球经过A点时对轨道无压力，则释放时的高度
【答案】 AD
11．（多选）如图所示，在水平转台上放置有轻绳相连的质量相同的滑块1和滑块2，转台绕转轴OO′以角速度ω匀运转动过程中，轻绳始终处于水平状态，两滑块始终相对转台静止，且与转台之间的动摩擦因数相同，滑块1到转轴的距离小于滑块2到转轴的距离．关于滑块1和滑块2受到的摩擦力f1和f2与ω2的关系图线，可能正确的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】 AC
考点：考查了圆周运动，牛顿第二定律
【名师点睛】抓住两物块角速度相等，根据牛顿第二定律判断哪一个物块先达到最大静摩擦力，然后角速度增大，通过拉力的变化判断两物块摩擦力的变化．
12．（多选）如图所示，一半径为R的光滑半圆形细轨道，其圆心为O，竖直固定在地面上。轨道正上方离地高为h处固定一水平光滑长直细杆，杆与轨道在同一竖直平面内，杆上P点处固定一定滑轮，P点位于Q点整上方。A、B是质量均为m的小环，A套在杆上，B套在轨道上，一条不可伸长的轻绳通过定滑轮连接两环。两环均可看作质点，且不计滑轮大小与摩擦。现对A环施加一水平向右的力F，使B环从地面由静止开始沿轨道运动。则 （ ）
A．若缓慢拉动A环，B环缓慢上升至D点的过程中，F一直减小
B．若缓慢拉动A环，B环缓慢上升至D点的过程中，外力F所做的功等于B环机械能的增加量
C．若F为恒力，B环最终将静止在D点
D．若F为恒力，B环被拉到与A环速度大小相等时，
【答案】 ABD
考点：考查功能关系．
【名师点睛】本题连接体问题，从功能关系研究两环能量的变化关系，关键要知道当PB线与圆轨道相切时两环的速度大小相等．
二、非选择题
13．如图所示，半径的四分之一粗糙圆弧轨道AB置于竖直平面内，轨道的B端切线水平，且距水平地面高度为=1.25m，现将一质量=0.2kg的小滑块从A点由静止释放，滑块沿圆弧轨道运动至B点以的速度水平飞出（取）．求：
（1）小滑块沿圆弧轨道运动过程中所受摩擦力做的功；
（2）小滑块经过B点时对圆轨道的压力大小；
（3）小滑块着地时的速度大小.
【答案】 （1） （2）压力为4.5N，（3）
【解析】
(1) 设小滑块沿圆弧轨道运动过程中所受摩擦力做的功为，应用动能定理研究A点到B点有：
解得:．
14．如图所示，半径R=0.5m的光滑圆弧面CDM分别与光滑斜面体ABC和斜面MN相切于C、M点，斜面倾角分别如图所示。O为圆弧圆心，D为圆弧最低点，C、M在同一水平高度。斜面体ABC固定在地面上，顶端B安装一定滑轮，一轻质软细绳跨过定滑轮(不计滑轮摩擦)分别连接小物块P、Q(两边细绳分别与对应斜面平行)，并保持P、Q两物块静止。若PC间距为L1=0.25m，斜面MN足够长，物块P质量m1=3kg，与MN间的动摩擦因数μ=，重力加速度g=10m/s2。求：(sin37°=0.6，cos37°=0.8)
（1）小物块Q的质量m2；
（2）烧断细绳后，物块P第一次到达D点时对轨道的压力大小；
（3）物块P在MN斜面上滑行的总路程。
【答案】 （1）4kg（2）78N（3）1m
【解析】（1）根据共点力平衡条件，两物体的重力沿斜面的分力相等，有：
m1gsin53°=m2gsin37°
解得：m2=4kg
即小物块Q的质量m2为4kg．
（2）P到D过程，由动能定理得 m1gh=
根据几何关系，有：
h=L1sin53°+R（1﹣cos53°）
在D点，支持力和重力的合力提供向心力：
FD﹣mg=m
解得：FD=78N
由牛顿第三定律得，物块P对轨道的压力大小为78N．
（3）分析可知最终物块在CDM之间往复运动，C点和M点速度为零．
由全过程动能定理得：mgL1sin53°﹣μmgL1cos53°L总=0
解得：L总=1.0m
即物块P在MN斜面上滑行的总路程为1.0m．
15．如图所示，轮半径r＝10 cm的传送带，水平部分AB的长度L＝1.5 m，与一圆心在O点、半径R＝1 m的竖直光滑圆轨道的末端相切于A点，AB高出水平地面H＝1.25 m，一质量m＝0.1 kg的小滑块(可视为质点)，由圆轨道上的P点从静止释放，OP与竖直线的夹角θ＝37°.已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，不计空气阻力．
(1)求滑块对圆轨道末端的压力；
(2)若传送带一直保持静止，求滑块的落地点与B间的水平距离；
(3)若传送带以v0＝0.5 m/s的速度沿逆时针方向运行(传送带上部分由B到A运动)，求滑块在传送带上滑行过程中产生的内能．
【答案】 （1） 1.4 N （2）0.5 m （3）0.2 J
(2)若传送带静止，从A到B的过程中，由动能定理得：－μmgL＝m－mv2
解得：vB＝1 m/s ；
滑块从B点开始做平抛运动，滑块的落地点与B点间的水平距离为： x＝vB＝0.5 m.
(3)传送带向左运动和传送带静止时，滑块的受力情况没有变化，滑块从A到B的运动情况没有改变．所以滑块和传送带间的相对位移为：Δx＝L＋v0＝2 m
滑块在传送带上滑行过程中产生的内能为： Q＝μmgΔx＝0.2 J.
16．如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点。水平桌面右侧有一竖直放置的轨道MNP，其形状为半径R＝1.0m圆环剪去了左上角120°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的数值距离是h＝2.4m。用质量m1＝0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点，用同种材料、质量为m2＝0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块通过B点后做匀变速运动，
其位移与时间的关系为x＝6t－2t2，物块飞离桌面后恰好由P点沿切线落入圆轨道(不计空气阻力，g取10m/s2)。求：
⑴物块m2过B点时的瞬时速度vB及与桌面间的滑动摩擦因数μ；
⑵若轨道MNP光滑，物块m2经过轨道最低点N时对轨道的压力FN；
⑶若物块m2刚好能到达轨道最高点M，则释放m2后整个运动过程中其克服摩擦力做的功W。
【答案】 ⑴vB＝6m/s，μ＝0.4；⑵FN＝16.8N；⑶W＝8.0J
⑵物块从D点离开桌面后做平抛运动，设至P点时速度在竖直方向上的分量为vy，则在竖直方向上，根据自由落体运动规律有：h＝ ⑤
因物块由P点沿切线落入圆轨道，由几何关系和物块水平方向做匀速运动的规律可知：vy＝vDtan60° ⑥
物块由D运动至N的过程中，只有重力做功，根据动能定理有：m2g(h＋R－Rcos60°)＝－⑦
在N点处，物块受重力m2g和圆轨道的支持力FN′作用，根据牛顿第二定律有：FN′－m2g＝ ⑧
根据牛顿第三定律可知，物块m2经过轨道最低点N时对轨道的压力FN＝FN′ ⑨
由⑤⑥⑦⑧⑨式联立解得：FN＝＋m2g(3－2cos60°)＝16.8N
设物块m2运动至P点时的速度为vP，在m2由P运动至M的过程中，克服摩擦力做功为W3，根据动能定理有：－m2g(R＋Rcos60°)－W3＝－ ⑭
根据几何关系可知：vP＝ ⑮
释放m2后整个运动过程中其克服摩擦力做的功为：W＝μm2gx1＋μm2gx2＋W3 ⑯
由①⑤⑥⑩⑪⑫⑬⑭⑮⑯式联立解得：W＝＋m2gh(－)－m2gR(＋cos60°)
代入数据解得：W＝7.2J＋4.8J－4.0J＝8.0J
考点：本题综合考查了匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、平抛运动规律、运动的合成与分解、动能定理、功能关系的应用问题，属于较难题。
