【物理】2019届一轮复习人教版机械能守恒定律学案(4)
一、对功的判断和计算易出现以下错误
1．对功的概念理解不透，误认为有力，有位移就有功；
2．判断功的正负可根据力和位移的夹角，也可根据力和速度的夹角，还可根据能量的变化，长错误地认为某一力做的功的大小与物体受到的其他力的大小有关，与物体的运动状态有关；
3．易误认为摩擦力总是做负功，一对滑动摩擦力大小相等，方向相反，做的总功为零；
4．功的计算公式中，s为力的作用点移动的位移，它是 一个相对量，与参考系选取有关，通常都取地球为参考系，这一点也是 生尝尝忽视的，要引起注意。
二、求解变力功
求解变力做功时，容易把变力当成恒力来计算。直接求解变力做功通常都比较复杂，但若通过转换研究对象，有时可转化为恒力做功，然后用W=Fscos α求解。此法尝尝应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中，采用本法解题的关键是根据题设情景，发现将变力转化为恒力的等效替代关系，然后再根据几何知识球出恒力的位移大小，从而求出变力所做的功。
三、对于机车启动过程的求解
1．易误将机车的功率当成合力功率；
2．易误将匀加速启动过程的末速度当成机车能达到的最大速度；
3．机车启动分两种方式，而以恒定加速度启动过程又分为两个阶段，因为有时易将P=Fv中的常量和变量弄混。
四、对动能定理的理解和应用易出现以下错误
1．易误将相对其他非惯性系的速度当作对地速度代入动能定理公式中；
2．动能定理中的功是合力做的功，易误将某个力的功当作合力的功或者将研究对象对外做的功也算入总功之中；
3．易错误地将动能定理当成矢量式，列分方向的动能定理；
4．利用动能定理解决多过程问题时，常常使合力做功对应的过程和初末动能对应的过程不统一造成错误。
五、重力势能的相对性与其变化的绝对性理解
1．重力势能是一个相对量，它的参数值与参考平面的选择有关。在参考平面上，物体的重力势能为零；在参考平面上方的物体，重力势能为正值；在参考平面下方的物体，重力势能为负值。
2．重力势能变化的不变性（绝对性）
尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量却与参考平面的选择无关，这体现了它的不变性（绝对性）。
3．某种势能的减少量，等于其相应力所做的功
重力势能的减少量，等于重力所做的功；弹簧弹性势能的减少量，等于弹簧弹力所做的功。
4．重力势能的计算公式只适用于地球表面及其附近处g值不变的范围，若g值变化，不能用其计算。
六、对机械能守恒的理解和应用常出现一下错误
1．对多个物体组成的系统不判断机械能是否守恒直接应用，实际上机械能守恒是有条件的。
2．误认为只有重力和系统内弹力做功是只受到重力和系统内弹力的作用，实际上其他力只要不做功或做功为零机械能就守恒，混淆了只有重力做功和系统内弹力做功与只受重力和系统内弹力作用。
3．常常认为一物体在另一物体上滑动时，之哟啊系统所受合外力为零，机械能就一定守恒。
七、对功能关系的理解和应用易出现以下错误
1．对功和能的概念理解不清，误认为功就是能，能就是功，实际上功是过程量，能是状态量，功是能量转化的量度。
2．不能熟练掌握重力做的功等于重力势能的变化；弹簧弹力做的功等于弹性势能的变化；合外力做的功等于动能的变化；其他力做的功等于机械能的变化等于功能关系。
3．对于功能关系的使用范围不清楚，在高中阶段动能定理一般用于单个物体或单个物体系统，机械能守恒适用于多个物体组成的系统。
八、过程分析时，注意过程转换时能量的变化
对于一些运动性质突变的物理过程，如轻绳由弯曲变为伸直、质点由直线运动突然变为曲线运动或者由曲线运动直接变为直线运动等，要注意分析判断“突变”前后质点的速度变化及所对应的动能（机械能）的变化。
九、摩擦力做功求解
1．静摩擦力做的功
（1）单个静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
（2）相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做的功的代数和为零，即W1+W2=0。
（3）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移（静摩擦力起着传递机械能的作用），而没有机械能转化为其他形式的能。
2．滑动摩擦力做的功
（1）单个滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以对物体做负功，当然也可以不做功。
（2）相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做的功的代数和总为负值，其绝对值恰等于滑动摩擦力与相对路程的乘积，即恰等于系统因摩擦力而损失的机械能。
（3）一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化和转移的情况：一对相互摩擦的物体之间的机械能的转移；二是机械能转化为内能，转化为内能的数值等于滑动摩擦力与相对路程的乘积。
人以20 N的水平恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0 m，人放手后，小车又前进了2.0 m才停下来，则小车在运动过程中，人的推力所做的功为
A．100 J B．140 J
C．60 J D．无法确定
对功的概念理解不清，认为只要有力和有运动的距离就一定做功，导致本题错解。
在推力作用的这段时间内，小车的位移为5.0 m，所以W=Fl=20×5 J=100 J，选项A正确。答案：A。
1．一个人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速、后匀速、再减速的运动过程，则电梯支持力对人做功的情况是
A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功
B．加速时做正功，匀速和减速时做负功
C．加速和匀速时做正功，减速时做负功
D．始终做正功
【答案】D
做正功，故选D。
2．物体在水平方向上受到两个相互垂直大小分别为3 N和4 N的恒力作用，从静止开始运动10 m，每个力做的功和这两个力的合力做的总功分别为
A．30 J、40 J、70 J B．30 J、40 J、50 J
C．18 J、32 J、50 J D．18 J、32 J、36.7 J
【答案】C
【解析】合力大小为5 N，合力方向即合位移方向与3 N的力的夹角α1=53°，与4 N的力的夹角α2=37°，
各个力及合力做功分别为W1=F1lcos α1=18 J，W2=F2lcos α2=32 J，W合=50 J，C正确。
如图甲所示，一固定在地面上的足够长的斜面，倾角为37°，物体A放在斜面底端挡板处，通过不可伸长的轻质绳跨过光滑轻质滑轮与物体B相连接，B的质量为M=1 g，绳绷直时B离地面有一定的高度。在t=0时刻，无初速度释放B，由固定在A上的速度传感器得到的数据绘出的A沿斜面向上运动的v–t图象如图乙所示。若B落地后不反弹，g取10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8。求：
（1）B下落的加速度大小a；
（2）A沿斜面向上运动的过程中，绳的拉力对A做的功W；
（3）A（包括传感器）的质量m及A与斜面间的动摩擦因数μ。
（4）求在0~0.75 s内摩擦力对A做的功。
误将变力当成恒力来求解，导致本题错解。
（1）由题图乙可知：前0.5 s，A、B以相同大小的加速度做匀加速运动，0.5 s末速度的大小为2 m/s。
=4 m/s2
（2）前0.5 s，绳绷直，设绳的拉力大小为F；后0.25 s，绳松驰，拉力为0
前0.5 s，A沿斜面发生的位移=0.5 m
对B，由牛顿第二定律有：Mg–F=Ma
代入数据解得F=6 N
所以绳的拉力对A做的功W=Fl=3 J
（3）前0.5 s，对A，由牛顿第二定律有
F–(mgsin 37°+μmgcos 37°)=ma
后0.25 s，由题图乙得A的加速度大小为
=8 m/s2
对A，由牛顿第二定律有mgsin 37°+μmgcos 37°=ma′
由②③式可得F=m(a+a′)
代入数据解得m=0.5 g
将数据代入③式解得μ=0.25
（4）物体A在斜面上先加速后减速，滑动摩擦力的方向不变，一直做负功
在0~0.75 s内物体A的位移为：x=×0.75×2 m=0.75 m
解法一
Wf=–μmg·x cos 37°=–0.75 J
解法二
设摩擦力做的功为Wf，对物体A在0~0.75 s的运动过程根据动能定理有
WF–mgΔh+Wf=0，Δh=xsin 37°
解得Wf=–0.75 J
1．如图所示，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短，若不计弹簧质量和空气阻力，在小球由a→b→c的运动过程中
A．小球的机械能守恒
B．小球的重力势能随时间一直减少
C．小球的动能先从0增大，后减小到0，在b点时动能最大
D．到c点时小球重力势能为0，弹簧弹性势能最大
【答案】B
能大小无法确定，故选项D错误。
2．如图所示。在水平面上，有一弯曲的槽道弧AB，槽道由半径分别为和R的两个半圆构成，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿滑槽道拉至B点，若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为
A．0 B．FR
C．πFR D．2πFR
【答案】C
【解析】虽然拉力方向时刻改变，但力与运动方向始终一致，用微元法，在很小的一段位移内可以看成恒力，小球的路程为πR+π，则拉力做的功为πFR，故C正确。 *
在检测某电动车性能的实验中，质量为的电动车由静止开始沿平直公路行驶，达到的最大速度为15 m/s，测得此过程中不同时刻电动车的牵引力F与对应的速度v，并描绘出图象（图中AB、BO均为直线）。假设电动车行驶中阻力恒定，求此过程中：
（1）电动车的额定功率；
（2）电动车由静止开始运动，经过多长时间，速度达到。
因不能正确理解机车启动的两种模式和几个阶段的关系，导致本题错解。
（1）横坐标是速度的倒数，右边速度小，左边速度大，要从右边往左边看图象。A到B速度越来越大，牵引力不变，做匀加速运动，到B点达到额定功率，B到C功率保持不变，牵引力减小，做加速度减小的加速运动，到C点速度达到最大为=15 m/s，此时牵引力等于阻力，等于=400 N，做匀速运动。电动车的额定功率
（2）匀加速运动的末速度为
加速度速度达到的时间
1．质量为m的汽车，启动后沿水平平直路面行驶，如果发动机的功率恒为P，且行驶过程中受到的摩擦阻力大小不变，汽车速度能够达到的最大值为v，那么当汽车的车速为v/4时，汽车的瞬时加速度的大小为
A．P/mv B．2P/mv
C．3P/mv D．4P/mv
【答案】C
得，C正确。
2．如图所示，表格中列出了某种型号轿车的部分数据，试根据表中数据回答问题。表格右侧图为轿车中用于改变车速的挡位。手推变速杆到达不同挡位可获得不同的运行速度，从“1~5”逐挡速度增大，是倒车挡。若轿车在额定功率下，要以最大动力上坡，变速杆应推到的挡位及轿车以最高速度运行时牵引力分别是
A．“1”挡、约为2 000 N
B．“1” 挡、约为4 000 N
C．“5”挡、约为2 000 N
D．“5” 挡、约为8 000 N
【答案】A
【解析】根据可知，需要最大牵引力，则速度要最小，所以变速杆应推至“1”挡；当牵引力等于阻力时速度达到最大值，此时有，约为2 000 N，选项BCD错误，选项A正确。
如图所示，AB为1/4圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R。一质量为m的物体，与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，它由轨道顶端A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为
A．μmgR B．mgR
C．mgR D．(1–μ)mgR
不能正确分析多物体多过程的运动，导致本题错解。
在BC段摩擦力对物体做的功，设在AB段摩擦力做的功为
，对全程由动能定理有，解得，故物体在AB段克服摩擦力做的功为，选D。答案：D。
1．如图所示，竖直放置的半径为r的光滑圆轨道被固定在水平地面上，最低点处有一小球（半径比r小很多），现给小球一水平向右的初速度，则要使小球不脱离圆轨道运动，应当满足
A．≥ B．≥
C．≥ D．≤
【答案】CD
【名师点睛】竖直方向的圆周运动：
（1）绳模型（绳、内轨约束）。做完整圆周运动的临界条件：最高点的向心力仅由重力提供。不脱离的临界条件：恰好做完整的圆周运动，或者到与圆心等高处速度为零。
（2）杆模型（杆、管、套环约束）。做完整圆周运动的临界条件：最高点速度为0。
（3）桥模型（拱桥、外轨约束）。脱离的临界条件：支持力为0。恰好在最高点脱离时，由重力提供向心力。
2．如图所示，一辆汽车从凸桥上的A点匀速率运动到等高的B点，以下说法中正确的是 : , , ]
A．汽车所受的合外力做功不为零
B．汽车在运动过程中所受合外力为零
C．牵引力对汽车做的功等于汽车克服阻力做的功
D．由于车速不变，所以汽车从A到B过程中机械能不变
【答案】C
错误。
沿着高度相同、坡度不同、粗糙程度也不相同的斜面将同一物体分别从底端拉到顶端，下列说法正确的是
A．沿坡度小的斜面运动时物体克服重力做功多
B．沿坡度大、粗糙程度大的斜面运动时物体克服重力做功多
C．沿坡度小、粗糙程度大的斜面运动时物体克服重力做功多
D．不管沿怎样的斜面运动，物体克服重力做功相同
不能充分理解重力势能的相对性与变化的绝对性，导致本题错解。
重力做功的特点是与运动的具体路径无关，只与初末状态物体的高度差有关，不论光滑路径还是粗糙路径，也不论是直线运动还是曲线运动，只要初末状态的高度差相同，重力做的功就相同，故选项D正确，选项ABC错误。答案：D。
1．一物体静止在升降机的地板上，在升降机加速上升的过程中
A．地板对物体的支持力做正功
B．重力做正功
C．支持力对物体做功等于重力势能增加量
D．物体克服重力做功等于重力势能增加量
【答案】AD
2．升降机中有一质量为m的物体，当升降机以加速度a匀加速上升h高度时，物体增加的重力势能为
A．mgh B．mgh+mah
C．mah D．mgh–mah
【答案】A
【解析】根据重力势能的增加量等于物体克服重力做的功得，物体增加的重力势能为mgh，选项A正确，选项BCD错误。
质量为m的小球，从离地面h高处以初速度竖直上抛，小球上升到离抛出点的最大高度为H，若选取最高点为零势能面，不计空气阻力，则
A．小球在最高点时的机械能是0
B．小球落回抛出点时的机械能是–mgH
C．小球落到地面时的动能是
D．小球落到地面时的重力势能是–mg（H+ h）
对机械能守恒定律的条件理解不够透彻，导致本题错解。
由于选取最高点为零势能面，小球在最高点时的速度为零，故小球在最高点时的机械能是0，所以A选项正确；小球运动过程中不计空气阻力，故此，小球落回抛出点时的机械能是，所以B选项错误；由动能定理得，所以小球落地的动能，C选项正确；小球落到地面时的重力势能是–mgH，所以D选项错误。答案：AC。 *
1．如图所示，质量分别为m和2m的两个小球A和B，中间用轻质杆相连，在杆的中点O处有一固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在B球顺时针摆动到最低点的过程中
A．杆对球的力沿杆方向
B．杆对A球做正功，杆对B球做负功
C．A球、B球、杆和地球组成的系统机械能守恒
D．重力对A球做功的瞬时功率一直变大
【答案】BC
瞬时功率先变大后变小，所以正确选项为B、C。
2．下图为某小型企业的一道工序示意图，图中一楼为原料车间，二楼为生产车间。为了节约能源，技术人员设计了一个滑轮装置用来运送原料和成品，在二楼生产的成品装入A箱，在一楼将原料装入B箱，而后由静止释放A箱，若A箱与成品的总质量为M=20 g，B箱与原料的总质量为m=10 g，这样在A箱下落的同时会将B箱拉到二楼生产车间，当B箱到达二楼平台时可被工人接住，若B箱到达二楼平台时没有被工人接住的话，它可以继续上升h=1 m速度才能减小到零。不计绳与滑轮间的摩擦及空气阻力，重力加速度g=10 m/s2，求：
（1）一楼与二楼的高度差H；
（2）在A、B箱同时运动的过程中绳对B箱的拉力大小。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）对A、B组成的系统有：
对B有：，解得：
（2）对A有：
对B有：
解得：
如图所示，质量为m的物体（可视为质点）以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体
A．重力势能增加了mgh
B．克服摩擦力做功mgh
C．动能损失了mgh
D．机械能损失了
对功能关系理解不透彻，导致本题错解。
重力势能增加了，A错误。由牛顿第二定律，求得，克服摩擦力做功，B错误。摩擦力（阻力）做了多少功，机械能就损失了多少，D正确。损失的动能等于增加的重力势能与损失的机械能之和，，C正确。答案：CD。
1．如图所示，质量为M的木块放在光滑的水平面上，质量为m的子弹以速度沿水平射入木块，并最终留在木块中与木块一起以速度运动。已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L，子弹进入木块的深度为。若木块对子弹的阻力为f，则下面正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
左边阻力乘以子弹的相对位移，右边是系统机械能的减少量，即转化为内能的数值，B错误，C正确。
2．一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图a所示。若将一个质量为m小球分别拴在链条左端和右端，如图b、图c所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断中正确的是
A．va=vb=vc B．va
va>vb D．va>vb>vc
【答案】C
【解析】铁链释放之后，到离开桌面，由于桌面无摩擦，对两次释放，桌面下方L处为0势能面。则释放前，系统的重力势能为：第一次，Ep1=mgL+mg·L=mgL，第二次，Ep2=(m+m)gL+mg·L=mgL，第三次，Ep3=mgL+mg·L+mg=mgL，释放后Ep1'=mg；Ep2'=mgL+mg=mgL；Ep3'=mgL，则损失的重力势能ΔEp1=mgL；ΔEp2=mgL；ΔEp3=mgL，那么ΔEp1=
mva2，ΔEp2=(2m)vb2，ΔEp3=(2m)vc2，解得：va2=；vb2=；vc2=，显然vc2>va2>vb2，所以vc>va>vb，故选C。[ : XX ]
如图所示，物体以100 J的初动能从斜面底端向上滑行，第一次经过P点时，它的动能比最初减少了60 J，势能比最初增加了45 J，可以推测如果物体从斜面返回底端出发点，末动能为
A．60 J B．50 J
C．48 J D．20 J
不能理解能量守恒定律应用的条件导致本题错解。
由题意知，物体从斜面底端滑到P点，动能减少了60 J，势能比最初增加了45 J，即机械能损失了15 J，剩下40 J的动能要滑到最高点还要损失的机械能。列出比例式，，由底端到最高点损失了25 J的机械能，再返回到底端还要损失25 J的机械能，总共损失50 J的机械能，所以剩余的动能（机械能）为100 J–50 J=50 J。答案：B。
1．将物体以60 J的初动能竖直向上抛出，当它上升到某点P时，动能减为10 J，机械能损失10 J，若空气阻力大小不变，则物体落回到抛出点时的动能为
A．36 J B．40 J
C．48 J D．50 J
【答案】A
【解析】损失了50 J的动能，上升到最高点还要损失J的动能，，，从抛出到最高点损失的机械能为10 J+2 J=12 J，落回到抛出点还要损失12 J，即一共损失24 J的机械能，所以剩下的动能为。故选A。
2．如图所示，质量为m=60 g的高山滑雪运动员，从A点由静止开始沿滑道滑下，从B点水平飞出后又落在与水平面成倾角=37°的斜坡上C点。已知A、B两点间的高度差为h=25 m，B、C
两点间的距离为s=75 m，（g取10 m/s2，sin 37°=0.6），求：
（1）运动员从B点飞出时的速度的大小。
（2）运动员从A点到B点的过程中克服摩擦力所做的功。
【答案】（1） （2）
（2）A点到B点机械能不守恒，根据能量守恒定律
质量为M的长木板放在光滑的水平面上，一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑到B点，在木板上前进了L，而木板前进了l，如图所示，若滑块与木板间的摩擦因数为μ，求：
（1）摩擦力对滑块和木板做的功；
（2）系统产生的热量。
分不清绝对位移或相对位移对摩擦力作用的影响，导致本题错解。
（1）滑块的对地位移为x1=L+l
摩擦力对滑块做的功为：W1=-Ffx1=-μmg（L+l）
木板的对地位移为：x2=l
摩擦力对木板做的功为：W2=Ffx2=μmgl
（2）滑块相对木板的位移为：Δx=L
系统产生的热量：Q=FfΔx=μmgL
1．如图所示，分别用恒力F1、F2先后将一物体由静止开始沿同一粗糙的固定斜面由底端拉至顶端，两次所用时间相同，第一次力F1沿斜面向上，第二次力F2沿水平方向。则两个过程比较
A．接触面上因摩擦产生的热量相同
B．物体的机械能增加量相同
C．F1做的功与F2做的功相同
D．F1做功的功率比F2做功的功率小
【答案】BD
【解析】两个过程中物体对斜面的压力不同，故摩擦力大小不同，则产生的热量不相同，故A错误；物体末速度相同，又由于处于相同的高度，所以两物体机械能变化量相同，故B正确；由题图分析可知，第一次物体所受到的摩擦力小于第二次物体所受到的摩擦力，故两个过程中物体克服摩擦力做的功不同，重力做功相同，则做的功比做的少，故C错误；物体的运动情况相同，重力做功的功率相同，第二次中克服摩擦力做功的功率大，故做功的功率比做功的功率小，故D正确。
2．如图所示，质量为m的滑块放在光滑斜面上，斜面与水平面间的摩擦力不计，在滑块从斜面顶端滑到斜面底端的过程中
A．重力对滑块做功
B．滑块受到斜面的支持力与斜面垂直，所以支持力对滑块不做功
C．斜面对滑块的支持力对滑块做负功
D．滑块对斜面的压力对斜面做正功
【答案】ACD
1．做功情况的判断
（1）根据力和位移方向的夹角判断，此法常用于恒力做功的判断；
（2）根据力和瞬时速度方向的夹角判断，此法常用于判断质点做曲线运动时变力做的功；
（3）根据功能关系或能量守恒定律进行判断。若有能量转化，则应有力做功。
2．求变力做功应注意的问题
虽然适用于恒力做功，但是对于变力做功的问题，仍然可以用该公式进行定性分析，不过，注意不要盲目利用该公式进行计算；至于动能的变化量，一定要依据动能定理进行分析，合力所做的功为正，说明动能增加；合力所做的功为负，说明动能减少。
3．变力做功的方法
（1）动能定理求变力做功
动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于求恒力做功，也适用于求变力做功。因使用动能定理可由动能的变化来求功，所以动能定理是求变力做功的首选。
（2）应用动能定理求变力做功时应注意的问题
①所求的变力做功不一定为总功，故所求的变力做的功不一定等于ΔE 。
②合外力多物体所做的功对应物体动能的变化，而不是对应物体的动能。
③若有多个力做功时，必须明确各力做功的正负，待求的变力做的功若为负功，可以设克服该力做功为W，则表达式中用–W；也可设变力做的功为W，则字母本身含有符号。
（3）用微元法求变力做功
将物体分割成许多小段，因每小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个无穷小的位移上的恒力所做的功的代数和。
（4）化变力为恒力
变力做功直接求解时，往往都比较复杂，若通过转换研究对象，有时可以化为恒力，用W=Flcos α求解。此方法常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中。
（5）利用平均力求变力做功
在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为的恒力做用，F1、F2分别为物体初、末状态所受到的力，然后用公式求此力所做的功。
（6）利用F–x图象求变力做功
在F–x图象中，图线与x轴所谓“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负。
（7）利用W=Pt求变力做功
这是一种等效代换的观点，用W=Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的这一条件。
4．两种启动方式
（1）模型综述
物体在牵引力（受功率和速度制约）作用下，从静止开始克服一定的阻力，加速度不变或变化，最终加速度等于零，速度达到最大值。
（2）模型特征
①以恒定功率启动的方式：
A．动态过程：
B．这一过程的速度—时间图象如图所示：
②以恒定加速度启动的方式：
A．动态过程：
B．这一过程的速度—时间图象如图所示：
深化拓展：无论哪种启动方式，机车最终的最大速度都应满足：vm=，且以这个速度做匀速直线运动。
（3）分析机车启动问题时的注意事项
①机车启动的方式不同，机车运动的规律就不同，因此机车启动时，其功率、速度、加速度、牵引力等物理量的变化规律也不相同，分析图象时应注意坐标轴的意义及图象变化所描述的规律；
②在用公式P=Fv计算机车的功率时，F是指机车的牵引力而不是机车所受到的合力；
③恒定功率下的加速一定不是匀加速，这种加速过程发动机做的功可用W=Pt计算，不能用W=Fl计算（因为F是变力）；
④以恒定牵引力加速时的功率一定不恒定，这种加速过程发动机做的功常用W=Fl计算，不能用W=Pt计算（因为功率P是变化的）；
⑤匀加速过程结束时机车的速度并不是最后的最大速度。因为此时F>F阻，所以之后还要在功率不变的情况下变加速一段时间才达到最后的最大速度vm。
（4）三个重要关系式
①无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即（式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻）。
②机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即
③机车以恒定功率运行时，牵引力做的功W=Pt。由动能定理：Pt–F阻x=ΔE 。此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小。
5．应用动能定理解题的方法技巧
（1）对物体进行正确的受力分析，要考虑物体所受的所有外力，包括重力。
（2）有些力在物体运动的全过程中不是始终存在的，若物体运动的全过程包含几个不同的物理过程，物体的运动状态、受力等情况均可能发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待。
（3）若物体运动的全过程包含几个不同的物理过程，解题时可以分段考虑，也可以全过程为一整体，利用动能定理解题，用后者往往更为简捷。
6．机械能守恒的判断方法
（1）利用机械能的定义判断（直接判断）：若物体的动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体的动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加（减小），其机械能一定变化。
（2
）用做功判断：若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。
（3）用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统的机械能守恒。
（4）对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统的机械能将有损失。
7．滑动摩擦力做功的特点
（1）滑动摩擦力可以对物体做正功，也可以做负功，还可以不做功（如相对运动的两物体之一相对地面静止，则滑动摩擦力对该物体不做功）。
（2）在相互摩擦的物体系统中，一对相互作用的滑动摩擦力对物体系统所做的总功与路径无关，且总功为负值，其绝对值等于摩擦力与相对路程的乘积，即|W|=Ffl相对，表示物体系统损失了机械能，克服摩擦力做功，ΔE损=Ffl相对（摩擦生热）。
（3）一对滑动摩擦力做功的过程中能量转化和转移的情况：
①相互摩擦的物体通过摩擦力做功将部分机械能转移到另一个物体上；
②部分机械能转化为内能，此部分能量就是系统损失的机械能ΔE损=Q=Ffl相对。
1．如图所示，两个互相垂直的力F1与F2作用在同一物体上，使物体通过一段位移的过程中，力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 J，则力F1与F2的合力对物体做功为
A．7 J B．1 J
C．5 J D．3.5 J
【答案】A
【解析】由于功是标量，合力对物体做的功，应等于各分力对物体做功的代数和，因此，合力对物体做的功应为W=W1+W2=4 J+3 J=7 J。选项A正确。
2．如图所示，平板车放在光滑水平面上，一个人从车的左端加速向右端跑动，设人受的摩擦力为Ff，平板车受到的摩擦力为Ff′，下列说法正确的是
A．Ff、Ff′均做负功 B．Ff、ff′均做正功
C．Ff做正功，Ff′做负功 D．因为是静摩擦力，Ff、Ff′做功均为零
【答案】B
3．如图是一汽车在平直路面上启动的速度一时间图象，时刻起汽车的功率保持不变，由图象可知
A．0~时间内，汽车的牵引力增大，加速度增大，功率增大
B．0~时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变，功率不变
C．~时间内，汽车的牵引力减小，加速度减小
D．~时间内，汽车的牵引力不变，加速度不变
【答案】C
D选项错误。
4．如图所示，在加速向左运动的车厢中，一个人沿车前进方向推车厢，已知人与车厢始终保持相对静止，那么人对车厢做功的情况是
A．做正功 B．做负功
C．不做功 D．无法确定
【答案】B
【解析】人随车加速，车厢给人的作用力（手和脚两部分之和）向前，由牛顿第三定律可知人给车厢的作用力向后，所以人对车厢做负功。
5．测定运动员体能的一种装置如图所示，运动员质量为m1，绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮（不计滑轮质量及摩擦），悬挂重物m2，人用力蹬传送带而人的重心不动，使传送带以速率v匀速向右运动，下面是人对传送带做功的四种说法
①人对传送带做功
②人对传送带不做功
③人对传送带做功的功率为m2gv
④人对传送带做功的功率为(m1+m2)gv
其中正确的是
A．①③ B．①④ C．① D．②
【答案】A
【解析】人作用于皮带上的摩擦力f=m2g，方向与v相同，因此人对皮带做正功，P=fv=m2gv，所以说法①③正确。
6．一列火车在额定功率下由静止从车站出发，沿直线轨道运动，行驶5 min后速度达到30 m/s，设列车所受阻力恒定，则可以判断列车在这段时间内行驶的距离
A．一定大于4.5 m B．可能等于4.5 m
C．一定小于4.5 m D．条件不足，无法确定
【答案】A
【解析】若火车在5 min=300 s内，匀加速至30 m/s，则行驶的位移x=vt=4.5 m，而该题中火车是以额定功率出发，由速度—时间图线得火车的行驶距离一定大于4.5 m，如图中所示，阴影部分的面积一定大于△OAB的面积，故选A。
7．质量为m的物体从地面上方H高处无初速释放，落在地面后出现一个深度为h的坑，如图所示，在此过程中
A．重力对物体做功为mgH
B．重力对物体做功为mg(H+h)
C．外力对物体做的总功为零
D．地面对物体的平均阻力为mg(H+h)/h
【答案】BCD
【解析】重力做功WG=mg(H+h)，A错误，B正确；对整个过程运用动能定理有W总=ΔE =0，C正确；对整个过程运用动能定理有，解得，D正确。
8．物体在合外力作用下做直线运动的v –t 图象如图所示，下列表述正确的是
A．在0~1 s内，物体做加速运动，合外力做正功
B．在1~3 s内，物体做匀速运动，合外力做正功
C．在3~7 s内，合外力做功为零
D．在0~5 s内，速度变化量为零，合力的平均功率为零
【答案】ACD
【解析】在0~1 s内，物体做匀加速运动，动能增加，根据动能定理知，合外力做正功，A正确；在1~3 s内，物体做匀速运动，合外力为零，不做功，B错误；在3~7
s内，动能的变化量为零，根据动能定理可知，合外力做功为零，C正确；在0~5 s内，速度变化量为零，动能的变化量为零，由动能定理知合力做功为零，则合力的平均功率为零，D正确。
9．如图所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点，O与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平高度，则
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等
B．两球到达各自悬点的正下方时，A球速度较大
C．两球到达各自悬点的正下方时，B球速度较大
D．两球到达各自悬点的正下方时，两球受到的拉力相等
【答案】B
【解析】两个球都是从同一个水平面下降的，到达最低点时还是在同一个水平面上，根据重力做功的特点可知在整个过程中，AB两球重力做的功相同，但B球在下落的过程中弹簧弹力要对球做负功，所以B球在最低点的速度要比A的速度小，动能也要比A的小，AC错误，B正确；由于在最低点时B的速度小，根据向心力公式可知，B球需要的向心力小，所以绳对B的拉力要比A的小，D错误。
10．质量m=2 g的物块放在粗糙水平面上，在水平拉力作用下由静止开始运动，物块动能E 与其位移x之间的关系如图所示。已知物块与水平面间的动摩擦因数μ=0.2，g=10 m/s2，则下列说法中不正确的是
A．x=1 m时物块的速度大小为2 m/s
B．x=3 m时物块的加速度大小为1.25 m/s2
C．在前2 m的运动过程中物块所经历的时间为2 s
D．在前4 m的运动过程中拉力对物块做的功为25 J
【答案】A
【解析】根据图象知，x=1 m时，动能为2 J，可得，A错误；对x=2 m到x=4 m过程，由动能定理有F2Δx–μmgΔx=ΔE ，解得F2=6.5 N，加速度，B正确；对前2 m过程，由动能定理有F1x2–μmgx2=E 2–0，解得F1=6 N，加速度，末速度，根据v=at得t2=2 s，C正确；对前4 m过程，由动能定理有W–μmgx4=E 4–0，解得W=25 J，D正确。故选A。
11．质量为m的物块在平行于斜面的恒力F作用下，从倾角为的固定斜面底端A由静止开始沿斜面上滑，经B点时速率为v，此时撤去F，物块滑回斜面底端时速率也为v，若A、B间距离为，则
A．滑块滑回底端时重力的瞬时功率为
B．整个过程中物块克服摩擦力做的功为Fx
C．下滑过程中物块重力做的功为
D．从撤去F到物块滑回斜面底端过程，摩擦力做的功为
【答案】AD
12．如图是某缓冲装置，劲度系数足够大的轻质弹簧与直杆相连，直杆可在固定的槽内移动，与槽间的滑动摩擦力恒为f，直杆质量不可忽略。一质量为m的小车以速度v0撞击弹簧，最终以速度v弹回。直杆足够长，且直杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计小车与地面间的摩擦。则
A．小车被弹回时速度v一定小于v0
B．直杆在槽内移动的距离等于
C．直杆在槽内向右运动时，小车与直杆始终保持相对静止
D．弹簧的弹力可能大于直杆与槽间的最大静摩擦力
【答案】BD
【解析】小车在向右运动的过程中，若弹簧的形变量始终小于，直杆和槽间无相对运动，小车被弹回时速度v等于v0；若形变量等于，直杆和槽将发生相对运动，克服摩擦力做功，小车的动能减小，小车被弹回时速度v小于v0，A错误，D正确。对整个过程应用动能定理有–fs=–，可得直杆在槽内移动的距离s=，B正确。直杆在槽内由静止开始向右运动时，小车速度大于零，小车不可能与直杆始终保持相对静止，C错误。
13．对于物体经历的一个过程，以下说法正确的是
A．物体的动能变化为零时，物体所受合外力一定为零
B．物体运动的位移为零时，摩擦力做功一定为零
C．物体运动中动能不变时，合外力总功一定为零
D．物体所受合外力为零时，物体的机械能变化一定为零
【答案】C
【解析】物体的动能变化为零时，物体所受合外力不一定为零，比如匀速圆周运动，所以A错误；物体运动的位移为零时，摩擦力做功不一定为零，比如物体沿一圆周运动一周，摩擦力做功等于力与路程的乘积，所以B错误；根据动能定理，物体运动中动能不变时，合外力总功一定为零，所以C正确；物体所受合外力为零时，物体的机械能变化不一定为零，比如匀速上升的物体，机械能增加，故D错误。
14．关于弹性势能，下列说法不正确的是
A．只有弹簧在发生弹性形变时才具有弹性势能
B．发生弹性形变的物体都具有弹性势能
C．弹性势能可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳
【答案】A
【解析】任何物体发生弹性形变时都有弹性势能，选项A错误；发生弹性形变的物体都具有弹性势能，选项B正确；弹性势能可以与其他形式的能相互转化，选项C正确；弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳，选项D正确；此题选择不正确的选项，故选A。
15．如图所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后在木块内将弹簧压缩到最短。现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入到弹簧压缩到最短的整个过程中：
A．动量守恒，机械能守恒
B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒
D．动量不守恒，机械能不守恒
【答案】D
【解析】由于弹簧受到竖直墙壁的作用力，系统合外力不等于零，所以动量不守恒，在子弹打入木块的过程中，有热量产生，所以机械能不守恒，故ABC错误；D正确。
16．在下列物体运动过程中，满足机械能守恒的是
A．物体沿斜面匀速下滑
B．物体在空中做平抛运动
C．人乘电梯匀加速上升
D．跳伞运动员在空中匀减速下降
【答案】B
【解析】物体匀速下滑时，动能不变，而重力势能增加，所以机械能一定不守恒，故A错误；物体在空中做平抛运动时，由于只有重力做功，故机械能守恒，故B正确；人的动能不变，而重力势能增加，故机械能不守恒，故C错误；运动员在空中匀减速下落时，动能和重力势能均减小，故机械能不守恒，故D错误。所以B正确，ACD错误。
17．无人机在空中匀速上升时，不断增加的能量是
A．动能 B．动能、重力势能
C．重力势能、机械能 D．动能、重力势能、机械能
【答案】C
【解析】匀速上升，速度不变，动能不变，高度增大，重力势能不断增大，动能与重力势能之和增加，所以机械能增加，故C正确
18．如图所示，质量为m的物体，以速度v离开高为H的桌面，在不计空气阻力的情况下，当它落到距地面高为h的A点时，下列判断不正确的是
A．若以地面为零势能参考面，物体在A点的机械能是
B．若以桌面为零势能参考面，物体在A点的机械能是
C．物体在A点的动能是
D．物体在A点的动能与重力势能零参考面有关，因此是不确定的
【答案】D
【解析】物体在运动的过程中机械能守恒，若取地面为零势能面，初始位置的机械能，所以A点的机械能为，故A正确。若取桌面为零势能面，根据机械能守恒得，则物体在A点具有的机械能是，故B正确。根据动能定理可知，在A点的动能：，选项C正确；由上式可知物体在A点具有的动能大小只与初动能、初末位置的高度差有关，而与零势能面的选取无关，故D错误；此题选择不正确的选项，故选D。
【名师点睛】解决本题的关键知道物体在运动的过程中机械能守恒，A点的机械能等于初始位置的机械能。以及会根据机械能守恒定律，求出A点的动能。
19．如图所示，固定的光滑倾斜杆上套有一个质量为的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧上端相连，弹簧的下端固定在水平地面上的A点，开始弹簧恰好处于原长
。现让圆环由静止沿杆滑下，滑到杆的底端（未触及地面）时速度恰好为零，已知当地的重力加速度大小为。则在圆环下滑的整个过程中下列说法正确的是：
A．圆环的系统机械能守恒
B．弹簧的弹性势能先增大后减小
C．弹簧的弹性势能增大了
D．弹簧的最大压缩量大于其最大伸长量
【答案】C
于伸长状态，所以弹簧的最大伸长量要大于最大压缩量，故D错误。故选C。
20．如图所示，两个质量相等的物体从同一高度沿倾角不同的斜面加速下滑，α1>α2，且第一个斜面光滑，第二个斜面粗糙。由顶端滑到底端的过程中，重力对物体做的功分别为W1和W2，重力势能的变化量分别为ΔEp1和ΔEp2，则
A．W1=W2 B．W1ΔEp2 D．ΔEp1<ΔEp2
【答案】A
【解析】两个物体质量相等，重力相同，又初末位置的高度差相等，故重力做功相等，重力势能改变量相等。
21．下列说法正确的是
A．自由落体运动的物体，在第1 s内与第2 s内重力势能的减少量之比为1:3
B．做竖直上抛运动的物体，从抛出到返回抛出点的过程中，重力对物体所做的功为零
C．物体做匀速直线运动时重力势能一定不变
D．在平衡力的作用下运动的物体，重力势能一定不变
【答案】AB
【解析】重力势能是否变化，考查重力是否做功，自由落体运动的物体，在第1 s内与第2 s内下落高度之比为1:3，故重力势能减少量之比为1:3；竖直上抛的物体，从抛出到返回抛出点，重力做功为零。
22．有关重力势能的变化，下列说法中正确的是
A．物体受拉力和重力作用向上运动，拉力做功是1 J，但物体重力势能的增加量有可能不是1 J
B．从同一高度将某一物体以相同的速率平抛或斜抛，落到地面上时，物体重力势能的变化是相同的
C．从同一高度落下的物体到达地面，考虑空气阻力和不考虑空气阻力的情况下重力势能的减少量是相同的
D．物体运动中重力做功是–1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J
【答案】ABC
【解析】重力做功与经过的路径无关，与是否受其他力无关，只取决于始末位置的高度差，再根据重力做功等于重力势能的减少量可知B、C正确，D错误。对于A选项，当物体加速运动时克服重力做功少于1 J，重力势能增加量少于1 J；物体减速运动时，克服重力做功即重力势能增加量大于1 J；只有物体匀速向上运动时，克服重力做功即重力势能增加量才是1 J，A正确。
23．如图所示，一物体从A点沿粗糙面AB与光滑面AC分别滑到同一水平面上的B点与C点，则下列说法中正确的是
A．沿AB面重力做功多
B．沿两个面重力做的功相同
C．沿AB面重力势能减少得多
D．沿两个面减少的重力势能相同
【答案】BD
【解析】物体重力做功的多少只与它运动的初、末位置的高度差有关，与其他因素无关，所以沿两个面重力做的功相同，A错误，B正确；由于重力势能的变化总等于重力所做的功，故沿两个面减少的重力势能相同，C错误，D正确。
24．质量相等的均质柔软细绳A、B平放于水平地面，绳A较长。分别捏住两绳中点缓慢提起，直至全部离开地面，两绳中点被提升的高度分别为hA、hB，上述过程中克服重力做功分别为WA、WB。若
A．hA=hB，则一定有WA=WB
B．hA>hB，则可能有WAhB，则一定有WA>WB
【答案】B
【解析】克服重力做的功等于重力势能的增加量，两绳都离开地面时，若hA=hB或hAhB，则绳A的重心可能比绳B的高，也可能低，也可能等高，所以克服绳A的重力做的功可能比克服绳B的重力做的功大，也可能小，还可能相等，故选项B对、D错。
25．物体从某高度处做自由落体运动，以地面为重力势能零点，下列所示图象中，能正确描述物体的重力势能与下落高度的关系的是
【答案】B
【解析】设物体开始下落时的重力势能为Ep0，物体下落高度h过程中重力势能减少量ΔEp=mgh，故物体下落高度h时的重力势能Ep=Ep0–ΔEp=Ep0–mgh，即Ep–h图象为倾斜直线，B正确。
26．某 习小组对一辆自制小遥控汽车的性能进行研究。他们让这辆汽车在水平地面上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图所示的v–t图，已知小车在0~t s内做匀加速直线运动，t~10 s内小车牵引力的功率保持不变，且7~10 s为匀速直线运动；在10 s末停止遥控，让小车自由滑行，小车质量m=1 g，整个过程小车受到的阻力Ff大小不变。求：
（1）小车受到阻力Ff的大小。
（2）在t~10 s内小车牵引力功率P。
（3）小车在加速运动过程中的总位移x。
【答案】（1） （2） （3）x=28.5 m
【解析】（1）在10 s末撤去牵引力后，小车只在阻力的作用下做匀减速运动，由图象可得减速时的加速度的值为
（2）小车在7~10 s内做匀速直线运动，设牵引力为F
则
由图象可知vm=6 m/s④
在t~10 s内小车的功率保持不变，为12 W
（3）小车的加速运动过程可分为0~t s和t~7 s两段，由于t s是功率为12 W，所以
此次牵引力为
所以0~t内加速度大小为
在0~7 s内由动能定理得：
得x=28.5 m⑩
【名师点睛】1．v–t图象的斜率为物体运动的加速度，包围的面积是物体通过的位移。因此本题第（3）问中的x1也可以通过面积求解。2．机车匀加速启动过程还未达到额定功率。3．t时刻是匀加速运动的结束还是额定功率的开始，因此功率表达式结合牛顿第二定律和运动 公式求t是解题的关键。
27．如图所示，一个与平台连接的足够长斜坡倾角，一辆卡车的质量为1 t。关闭发动机，卡车从静止开始沿斜坡滑下，最大速度可达120 ，已知卡车运动过程中所受空气阻力和地面阻力与速度成正比，即。
（1）求出比例系数 ；
（2）现使卡车以恒定功率P沿斜坡向上行驶，达到的最大速度为54 ，求功率P；
（3）当卡车开上平台后，继续保持此恒定功率行驶40 s，重新匀速行驶，求卡车开上平台后到匀速行驶的过程中克服阻力所做的功。
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1）m
（2）因为，牵引力
当卡车向上匀速行驶时：，由此可得
（3）卡车开上平台后，先加速后匀速，匀速行驶的最大速度为
得
根据动能定理[ : xx ]
28．如图所示为S形玩具轨道，该轨道是用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的，固定在竖直平面内，轨道弯曲部分是由两个半径相等的半圆连接而成的，圆半径比细管内径大得多，轨道底端与水平地面相切，弹射装置将一个小球（可视为质点）从a点水平射向b点并进入轨道，经过轨道后从p点水平抛出，已知小球与地面ab段间的动摩擦因数μ=0.2，不计其他机械能损失，ab段长L=1.25 m，圆的半径R=0.1 m，小球质量m=0.01 g，轨道质量为M=0.15 g，g=10 m/s2，求：
（1）若v0=5 m/s，小球从p点抛出后的水平射程；
（2）若v0=5 m/s，小球经过轨道的最高点时，管道对小球作用力的大小和方向；
（3）设小球进入轨道之前，轨道对地面的压力大小等于轨道自身的重力，当v0至少为多大时，轨道对地面的压力为零。
【答案】（1）x=0.4 m （2）F=1.1 N，方向竖直向下 （3）v0=5 m/s
【解析】（1）设小球运动到p点时的速度大小为v，对小球由a点运动到p点的过程，应用动能定理得：
–μmgL–4Rmg=mv2–mv①
小球从p点抛出后做平抛运动，设运动时间为t，水平射程为x，则
4R=gt2②
x=vt③
联立①②③代入数据解得x=0.4 m
（2）设在轨道最高点时管道对小球的作用力大小为F，取竖直向下为正方向，有：F+mg=m④
联立①④代入数据解得F=1.1 N，方向竖直向下
解得：v0=5 m/s
29．如图所示，竖直平面内固定着一个滑槽轨道，其左半部是倾角为θ=37°，长为l=1 m的斜槽PQ，右部是光滑半圆槽QSR，RQ是其竖直直径。两部分滑槽在Q处平滑连接，R、P两点等高。质量为m=0.2 g的小滑块（可看作质点）与斜槽间的动摩擦因数为μ=0.375。将小滑块从斜槽轨道的最高点P释放，使其开始沿斜槽下滑，滑块通过Q点时没有机械能损失。求：
（1）小滑块从P到Q克服摩擦力做的功Wf；
（2）为了使小滑块滑上光滑半圆槽后恰好能到达最高点R，从P点释放时小滑块沿斜面向下的初速度v0的大小；
（3）现将半圆槽上半部圆心角为α=60°的RS部分去掉，用上一问得到的初速度v0将小滑块从P点释放，它从S点脱离半圆槽后继续上升的最大高度h。（取g=10 m/s2，sin 37°=0.60，cos 37°=0.80）
【答案】（1）Wf=0.6 J （2）v0=3 m/s （3）h=0.225 m
【解析】（1）克服摩擦力做功：Wf=μmgcos θ·l=0.6 J
（2）从P到R全过程对滑块用动能定理得：
–Wf=–
在R点重力充当向心力mg=
半径r=lsinθ=0.3 m
解得v0=3 m/s
（3）从P到S全过程对滑块用动能定理得mgr(1–cos α)–Wf=–
则离开半圆槽时的速度vS= m/s，如图，
其竖直分速度vy=vSsin α= m/s，=2gh
得h=0.225 m
30．A、B两个小物块用轻绳连结，绳跨过位于倾角为30°的光滑斜面顶端的轻滑轮，滑轮与转轴之间的摩擦不计，斜面固定在水平桌面上，如图甲所示。第一次，A悬空，B放在斜面上，用t表示B自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间。第二次，将A和B位置互换，使B悬空，A放在斜面上，发现A自斜面底端由静止开始运动至斜面顶端所需的时间为t/2。（重力加速度g已知）
（1）求A与B两小物块的质量之比。
（2）若将光滑斜面换成一个半径为R（已知）的半圆形光滑轨道固定在水平桌面上，将这两个小物块用轻绳连结后，如图放置，现将B球从轨道边缘由静止释放。若不计一切摩擦，求：B沿半圆形光滑轨道滑到底端时，A、B的速度大小。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）设A的质量为m1、B的质量为m2
第一次，A悬空，B放在斜面上，将A、B看成整体，由牛顿第二定律有
设斜面的长度为L，依题意有
第二次，将A和B位置互换，使B悬空，A放在斜面上，同理有
由以上4式得到
（2）光滑斜面换成一个半径为R的半圆形光滑轨道时，Ｂ球从轨道边缘由静止释放后到达轨道底端时速度为v2，此时Ａ的速度为v1，如图所示
由动能定理有
由速度关系有
解得：
31．如图所示，光滑绝缘的细圆管弯成半径为R的半圆形，固定在竖直面内，管口B、C的连线是水平直径。现有一质量为m带正电的小球（可视为质点）从B点正上方的A点自由下落，A、B两点间距离为4R。从小球进入管口开始，整个空间突然加一匀强电场，静电力在竖直向上的分力大小与重力大小相等，结果小球从管口C处脱离圆管后，其运动轨迹经过A点。设小球运动过程中带电量没有改变，重力加速度为g，求：
（1）小球到达B点的速度大小；
（2）小球受到的静电力的大小；
（3）小球经过管口C处时对圆管壁的压力。
【答案】（1） （2） （3）3mg，方相水平向右
【解析】（1）A到B有：，
（3）在C处：
解得：
有牛顿第三定律有：小球的管的压力为3mg，方相水平向右
【名师点睛】本题运用动能定理、牛顿第二定律和运动 公式结合研究圆周运动和类平抛运动，并采用正交分解求解电场力，常规方法，难度适中。
32．如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点，水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8 m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R，用质量为的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点，用同种材料，质量为的物块将弹簧缓慢压缩到C
点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为，物块飞离桌面后由P点沿切线落入圆轨道，取，求：
（1）判断能否沿圆轨道到达M点；
（2）B、P间的水平距离；
（3）释放后运动过程中克服摩擦力做的功。
【答案】（1）不能到达M点 （2） （3）
【解析】（1）物块由D点以初速度平抛，到P点时，由平抛运动规律可得
，解得
假设能到达M点，且速度为，由机械能守恒定律可得
根据几何关系可得，解得
能完成圆周运动过M点的最小速度
根据重力提供物体做圆周运动的向心力，解得
所以不能到达M点
（2）平抛过程中水平位移为x，由平抛运动规律可得，
在桌面上过B点后的运动为，故为匀减速运动，且初速度，加速度
B、D间由运动规律可得，解得BP水平距离为
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为，物块与桌面间的动摩擦因数为
释放时，，释放时
且，可得：
释放后在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为
则由能量转化及守恒定律得：[ : xx ]
可得
【名师点睛】该题涉及到多个运动过程，主要考查了机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式的应用，用到的知识点及公式较多，难度较大，属于难题。
