2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23选择题、填空题的解法教学案理（含解析）

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题23选择题、填空题的解法教学案理（含解析）

选择题、填空题的解法 ‎【2019年高考考纲解读】‎ 高考选择题、填空题绝大部分属于低中档题目，一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力. ‎ ‎(1)解题策略:选择题、填空题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，另外对选择题可以先排除后求解. ‎ ‎(2)解决方法:选择题、填空题属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题不能大做.主要分直接法和间接法两大类.具体的方法有:直接法，等价转化法，特值、特例法，数形结合法，构造法，对选择题还有排除法(筛选法)等. ‎ ‎【高考题型示例】‎ 方法一、 直接法  ‎ 直接法就是利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论.这种策略多用于一些定性的问题，是解题最常用的方法. ‎ 例1、(1)已知点A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为(2，0)，则 的最大值为( ) ‎ A.6 B.7 C.8 D.9 ‎ ‎(2)已知M(x0，y0)是双曲线C:-y2=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若<0，则y0的取值范围是　　　　　.  ‎ ‎4.作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力. ‎ 方法六、直接法 ‎ 直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论. ‎ 例/6、(2018全国Ⅱ，文16)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为　　　　　.  ‎ 6‎ 答案:8π ‎ 解析:∵SA⊥SB， ‎ ‎∴S△SAB=·SA·SB=8.‎ ‎∴SA=4.过点S连接底面圆心O，则∠SAO=30°.‎ ‎∴SO=2，OA=2.‎ ‎∴V=πr2h=×π×(2)2×2=8π.‎ ‎【变式探究】设向量a=(1，0)，b=(-1，m).若a⊥(ma-b)，则m=　　　　　. ‎ 答案 -1　 ‎ 解析 由题意，得ma-b=(m，0)-(-1，m)=(m+1，-m). ‎ ‎∵a⊥(ma-b)，∴a·(ma-b)=0，即m+1=0， ‎ ‎∴m=-1. ‎ 方法七、特例法 ‎ 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值进行处理，从而得出待求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程. ‎ 例7、(1)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线 AB，AC分别交于不同的两点P，Q，若=λ=μ，则=　　　　　. ‎ ‎ ‎ 6‎ ‎(2)若函数f(x)=是奇函数，则m=　　　　. ‎ 答案:(1)2　(2)2 ‎ 解析:(1)由题意可知，的值与点P，Q的位置无关，而当直线BC与直线PQ重合时，有λ=μ=1，所以=2.‎ ‎(2)显然f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，‎ ‎∴令x=1，x=-1，‎ 则f(-1)+f(1)= =0，m=2.‎ ‎(方法一)·=·()=··‎ ‎=··()=·+2·，‎ ‎∵AP⊥BD，∴·=0.‎ ‎∵·=||||cos∠BAP=||2，‎ ‎∴·=2||2=2×9=18.‎ ‎(方法二)把平行四边形ABCD看成正方形，则点P为对角线的交点，AC=6，则·=18.‎ 方法八、数形结合法 ‎ 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性迅速做出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形. ‎ 例8、已知实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值是　　　　　.  ‎ 答案：15 ‎ 解析:画出直线2x+y-4=0和x+3y-6=0以及圆x2+y2=1，如图. ‎ 6‎ 由于整个圆在两条直线的左下方， ‎ 所以当x2+y2≤1时，有 所以|2x+y-4|+|6-x-3y|‎ ‎=-2x-y+4+6-x-3y ‎=-3x-4y+10. ‎ 令t=-3x-4y+10， ‎ 则3x+4y+t-10=0， ‎ 所以x2+y2≤1与直线3x+4y+t-10=0有公共点， ‎ 所以圆心(0，0)到直线的距离d=≤1 ，解得5≤t≤15.所以t的最大值为15，即|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值为15. ‎ ‎【变式探究】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种.则该网店 ‎ ‎(1)第一天售出但第二天未售出的商品有　　　　种;  ‎ ‎(2)这三天售出的商品最少有　　　　　种.  ‎ 答案 (1)16　(2)29‎ 6‎ 方法九、构造法 ‎ 填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决. ‎ 例9、如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC= ，则球O的体积等于　　　　　.  ‎ 答案：π 解析：如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|==2R，所以R=，故球O的体积V=π.‎ 6‎ ‎【变式探究】已知正三棱锥P-ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为　　　　　.  ‎ ‎【解析】先求出△ABC的中心，再求出高，建立方程求解.如图，作PM⊥平面ABC，设PA=a，则AB=a，PM=a，MC=a.‎ 设球的半径为R，所以=R2，‎ 将R=代入上式，解得a=2，‎ 所以d=.‎ ‎【归纳总结】‎ ‎1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果. ‎ ‎2.解填空题不要求求解过程，结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面: ‎ ‎(1)要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确; ‎ ‎(2)要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论; ‎ ‎(3)要重视对所求结果的检验. ‎ 6‎