【物理】2019届一轮复习人教版 相互作用 学案
第二章
考 纲 要 求
考 情 分 析
形变和弹力 胡克定律
Ⅰ
1.命题规律
高考对本章内容着重考查的知识点有弹力和摩擦力的概念及其在各种状态下的表现形式、力的合成与分解等，对受力分析的考查涵盖了高中物理的所有热点问题。题型通常为选择题以及计算题的第一问。
2.考查热点
以生活中的实际问题为背景考查静力学的知识机率将增加，在2019届高考复习中应注重建立物理模型的能力培养。
静摩擦 滑动摩擦 摩擦力 动摩擦因数
Ⅰ
力的合成和分解
Ⅱ
共点力的平衡
Ⅰ
实验二：力的平行四边形定则
[说明] (1)力的合成和分解的计算，只限于用作图法或直角三角形知识解决。
(2)只要求解决在一个平面内的共点力平衡问题。
第7课时 重力 弹力(双基落实课)
知识点一 重力、弹力的分析与判断
1．重力
(1)定义：由于地球的吸引而使物体受到的力。
(2)大小：G＝mg，不一定等于地球对物体的引力。
(3)方向：竖直向下。
(4)重心：重力的等效作用点，重心的位置与物体的形状和质量分布都有关系，且不一定在物体上。
2．弹力
(1)定义：发生弹性形变的物体，由于要恢复原状，对与它接触的物体会产生力的作用，这种力叫做弹力。
(2)条件：①两物体相互接触；②发生弹性形变。
(3)方向：弹力的方向总是与施力物体形变的方向相反。
3．弹力有无的判断
条件法
根据物体是否直接接触并发生弹性形变来判断是否存在弹力。此方法多用来判断形变较明显的情况
假设法
对形变不明显的情况，可假设两个物体间没有弹力，若运动状态不变
，则此处不存在弹力，若运动状态改变，则此处一定存在弹力
状态法
根据物体的运动状态，利用共点力的平衡条件或牛顿第二定律判断弹力是否存在
4．弹力方向的判断
(1)根据物体所受弹力方向与施力物体形变的方向相反判断。
(2)根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律判断。
[小题练通]
1．(鲁科教材原题)关于重心，下列说法正确的是( )
A．重心是物体内受到重力最大的点
B．任何几何形状规则的物体的重心必与几何中心重合
C．重心是重力的作用点，它总是在物体上，不可能在物体外
D．任何几何形状规则的质量分布均匀的物体的重心必与其几何中心重合
解析：选D 重心是重力的等效作用点，重心不一定在物体上，对于几何形状规则、质量分布均匀的物体，其重心与几何中心重合。D正确。
2．如图所示，小车内一根轻质弹簧沿竖直方向和一条与竖直方向成α角的细绳拴接一小球。当小车和小球相对静止，一起在水平面上运动时，下列说法正确的是( )
A．细绳一定对小球有拉力的作用
B．轻弹簧一定对小球有弹力的作用
C．细绳不一定对小球有拉力的作用，但是轻弹簧对小球一定有弹力
D．细绳不一定对小球有拉力的作用，轻弹簧对小球也不一定有弹力
解析：选D 若小球与小车一起做匀速运动，则细绳对小球无拉力；若小球与小车有向右的加速度a＝gtan α，则轻弹簧对小球无弹力，D正确。
(1)弹力产生在直接接触的物体之间，但直接接触的物体之间不一定存在弹力。
(2)绳只能产生拉力，不能产生支持力，且绳的弹力方向一定沿着绳收缩的方向。
(3)杆既可以产生拉力，也可以产生支持力，弹力的方向可以沿着杆，也可以不沿着杆。
知识点二 胡克定律、弹力的计算
1．胡克定律
(1)内容：弹簧发生弹性形变时，弹力的大小F跟弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比。
(2)表达式：F＝kx。k是弹簧的劲度系数，单位为N/m；k的大小由弹簧自身性质决定。x是弹簧长度的变化量，不是弹簧形变以后的长度。
2．弹力大小的计算方法
①胡克定律。②力的平衡条件。
③牛顿第二定律。④动能定理。
[小题练通]
1．(2018·乐清模拟)如图所示的装置中，弹簧的原长和劲度系数都相等，小球的质量均相同，弹簧和细线的质量均不计，一切摩擦忽略不计。平衡时各弹簧的长度分别为L1、L2、L3，其大小关系是( )
A．L1＝L2＝L3 B．L1＝L2＜L3
C．L1＝L3＞L2 D．L3＞L1＞L2
解析：选A 根据胡克定律和平衡条件分析可得：平衡时各弹簧的长度相等，选项A正确。
2．如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆的下端固定有质量为m的小球，重力加速度为g。下列关于斜杆对小球的作用力F的判断中正确的是( )
A．小车静止时，F＝mgsin θ，方向沿斜杆向上
B．小车静止时，F＝mgcos θ，方向垂直于斜杆向上
C．小车向右匀速运动时，一定有F＝mg，方向竖直向上
D．小车向右做匀加速运动时，一定有F＞mg，方向一定沿斜杆向上
解析：选C 小车静止或向右匀速运动时，小球的加速度为零，所受的合力为零，由平衡条件可得，斜杆对小球的作用力竖直向上，大小为F＝mg，选项A、B错误，C正确；若小车向右做匀加速运动，则小球所受的合力方向水平向右，由牛顿第二定律可得Fy＝mg，Fx＝ma，故斜杆对小球的作用力F＝＞mg，tan α＝＝，当a的取值合适时，α可以等于θ，但α与θ不一定总相等，选项D错误。
3．(鲁科教材原题)一弹簧测力计原来读数准确，由于更换内部弹簧，外壳上的读数便不能直接使用。某同学进行了如下测试：不挂重物时，示数为2 N；挂100 N重物时，示数为92 N。那么当示数为20 N时，所挂物体实际重多少？
解析：弹簧测力计的刻度是均匀的，设弹簧测力计每1 N的读数对应的刻度长为x，则示数为2 N到示数为92 N时，其伸长量可表示为(92－2)x，
由胡克定律得：100 N＝k(92－2)x，
同理得：F＝k(20－2)x，解得F＝20 N。
答案：20 N
弹簧的拉伸形变量与压缩形变量相等时，弹簧的弹力大小相等，具有的弹性势能也相等。因此涉及到弹簧的问题时，需要注意分析是否存在多解。
知识点三 轻绳、轻杆、轻弹簧模型
轻绳
模型
“活结”：跨过光滑滑轮(或杆、钉子)的轻绳，其两端张力大小相等
“死结”：如果几段轻绳系在一个结点上，那么这几段轻绳的张力大小不一定相等
轻杆
模型
“活杆”：即一端由铰链相连的轻质活动杆，它的弹力方向一定沿杆的方向
“死杆”：即轻质固定杆，它的弹力方向不一定沿杆的方向，需要结合平衡方程或牛顿第二定律求得
轻弹簧
模型
轻弹簧既可伸长提供拉力，也可压缩提供推力，形变量确定后各处弹力大小相等
轻弹簧的弹力不能发生突变(突然消失除外)，而轻绳、轻杆的弹力可以发生突变
[小题练通]
1．(2016·全国Ⅲ卷)如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为( )
A. B．m
C．m D．2m
解析：选C 如图所示，由于不计摩擦，线上张力处处相等，且轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心。由于a、b间距等于圆弧半径，则∠aOb＝60°，进一步分析知，细线与aO、bO间的夹角皆为30°。取悬挂的小物块研究，悬挂小物块的细线张角为120°，由平衡条件知，小物块的质量与小球的质量相等，即为m。故选项C正确。
2．如图所示，水平轻杆的一端固定在墙上，轻绳与竖直方向的夹角为37°，小球的重力为12 N，轻绳的拉力为10 N，水平轻弹簧的拉力为9 N，求轻杆对小球的作用力(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
解析：
以小球为研究对象，受力分析如图所示，小球受四个力的作用：重力、轻绳的拉力、轻弹簧的拉力、轻杆的作用力，其中轻杆的作用力的方向和大小不能确定，重力与弹簧拉力的合力大小为
F＝＝15 N
设F与竖直方向夹角为α，sin α＝＝，则α＝37°
即方向与竖直方向成37°角斜向下，力F与轻绳的拉力恰好在同一条直线上。
根据小球受力平衡的条件可知，轻杆对小球的作用力大小为(15－10)N＝5 N，
方向与竖直方向成37°角斜向右上方。
答案：5 N，方向与竖直方向成37°角斜向右上方
3.如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体(物体处于静止状态)，∠ACB＝30°，g取10 m/s2，求：
(1)轻绳AC段的张力FAC的大小；
(2)横梁BC对C端的支持力的大小及方向。
解析：物体处于平衡状态，根据平衡条件可判断，与物体相连的轻绳拉力大小等于物体的重力，取C点为研究对象，进行受力分析，如图所示。
(1)图中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M＝10 kg的物体，物体处于平衡状态，轻绳AC段的拉力大小为：
FAC＝FCD＝Mg＝10×10 N＝100 N。
(2)由图中几何关系得：FC＝FAC＝Mg＝100 N
方向与水平方向成30°角斜向右上方。
答案：(1)100 N
(2)100 N 方向与水平方向成30°角斜向右上方
(1)轻绳中的“活结”两侧实际是同一根轻绳，“死结”两侧是两根不同的轻绳。
(2)轻杆模型中，杆顶端所受的各力中，除杆的弹力外，如果其他力的合力沿着杆的方向，则杆的弹力也必然沿着杆，如果其他力的合力不沿着杆，则杆的弹力也不会沿着杆。
一、单项选择题
1．在日常生活及各项体育运动中，有弹力出现的情况比较普遍，如图所示的情况就是一个实例。当运动员踩压跳板使跳板弯曲到最低点时，下列说法正确的是( )
A．跳板发生形变，运动员的脚没有发生形变
B．运动员受到的支持力，是运动员的脚发生形变而产生的
C．此时跳板对运动员的支持力和运动员的重力等大
D．此时跳板对运动员的支持力大于运动员的重力
解析：选D 发生相互作用的物体均要发生形变，故A错误；发生形变的物体，为了恢复原状，会对与它接触的物体产生弹力的作用，B错误；在最低点，运动员虽然处于瞬间静止状态，但接着运动员要加速上升，故此时跳板对运动员的支持力大于运动员的重力，C错误，D正确。
2．在半球形光滑碗内斜搁一根筷子，如图所示，筷子与碗的接触点分别为A、B，则碗对筷子A、B两点处的作用力方向分别为( )
A．均竖直向上
B．均指向球心O
C．A点处指向球心O，B点处竖直向上
D．A点处指向球心O，B点处垂直于筷子斜向上
解析：选D A点处作用力的方向沿半径指向球心O，B点处作用力的方向垂直于筷子斜向上，故D正确。
3．(2016·江苏高考)一轻质弹簧原长为8 cm，在4 N的拉力作用下伸长了2 cm，弹簧未超出弹性限度。则该弹簧的劲度系数为( )
A．40 m/N B．40 N/m
C．200 m/N D．200 N/m
解析：选D 由公式F＝kx知，弹簧的劲度系数k＝＝ N/m＝200 N/m，选项D正确。
4．(2018·苏州高三一模)造型夺目的“石头平衡艺术”作品不禁会让人叫绝，仅仅通过艺术家的双手去感触，便可掌握每一块石头的平衡点，不使用任何工具就能立石成型。如图所示，在水平地面上将两个形状不规则的石块a、b叠放在一起，保持平衡。下列说法中正确的是( )
A．石块b对a的弹力一定等于a的重力
B．石块b和a的重心一定在同一竖直线上
C．石块b对a的作用力一定是竖直向上的
D．地面对石块b的支持力和b受到的重力是一对平衡力
解析：选C 对整体分析，受a、b重力和地面的支持力，这是一对平衡力，D项错误；对a分析，受重力、垂直接触面向上的支持力和沿接触面向上的摩擦力，A项错误；b对a的作用力有垂直接触面向上的支持力和沿接触面向上的摩擦力，这两个力的合力与a的重力平衡，C项正确；无法判断两石块重心是否在同一竖直线上，B项错误。
5．(2017·全国Ⅲ卷)一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80 cm的两点上，弹性绳的原长也为80 cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为(弹性绳的伸长始终处于弹性限度内)( )
A．86 cm B．92 cm
C．98 cm D．104 cm
解析：选B 将钩码挂在弹性绳的中点时，由数学知识可知钩码两侧的弹性绳(劲度系数设为k)与竖直方向夹角θ均满足sin θ＝，对钩码(设其重力为G)静止时受力分析，得G＝2kcos θ；弹性绳的两端移至天花板上的同一点时，对钩码受力分析，得G＝2k，联立解得L＝92 cm，故A、C、D项错误，B项正确。
二、多项选择题
6．(2018·汕头调研)如图所示，在竖直方向上，两根完全相同的轻质弹簧a、b，一端与质量为m的物体相连接，另一端分别按图示方式固定，当物体平衡时，若( )
A．a被拉长，则b一定被拉长
B．a被压缩，则b一定被压缩
C．b被拉长，则a一定被拉长
D．b被压缩，则a一定被拉长
解析：选BC 对物体受力分析并结合平衡条件，可知若a被拉长，则a对物体有向上的拉力Fa，若Fa>mg，则b被拉长；若Fa
μ2(m＋M)g时，木板便会开始运动
D．无论怎样改变F的大小，木板都不可能运动
解析：选AD 由于木块在木板上运动，所以木块受到木板的滑动摩擦力的作用，其大小为μ1mg，根据牛顿第三定律可得，木块对木板的滑动摩擦力也为μ1mg。又由于木板处于静止状态，木板在水平方向上受到木块的摩擦力μ1mg和地面的静摩擦力的作用，二力平衡，A正确，B错误；若增大F的大小，只能使木块做加速运动，但木块对木板的滑动摩擦力大小不变，所以木板不可能运动，C错误，D正确。
计算摩擦力时的三点注意
(1)首先分清摩擦力的性质，因为只有滑动摩擦力才有大小计算公式，静摩擦力通常只能用平衡条件或牛顿运动定律来求解。
(2)公式F＝μFN中FN为两接触面间的正压力，与物体的重力没有必然联系，不一定等于物体的重力。
(3)滑动摩擦力的大小与物体速度的大小无关，与接触面积的大小也无关。
知识点三 摩擦力的突变
“静静”突变
物体在摩擦力和其他力的作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，如果物体仍然保持静止状态，则物体受到的静摩擦力的大小和方向将发生突变
“动静”突变
在摩擦力和其他力作用下，做减速运动的物体突然停止滑行时，物体将不受摩擦力作用， 或滑动摩擦力“突变”成静摩擦力
“静动”突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不再保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力
“动动”突变
在滑动摩擦力作用下运动至达到共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保证相对静止，则物体将受滑动摩擦力作用，且其方向发生反向
[小题练通]
1．如图所示，质量为10 kg的物体A拴在一个被水平拉伸的弹簧一端，弹簧的拉力为5 N时，物体A处于静止状态。若小车以1 m/s2的加速度向右运动后，则(g＝10 m/s2)( )
A．物体A相对小车向右运动
B．物体A受到的摩擦力减小
C．物体A受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的弹簧拉力增大
解析：选C 由题意得物体A与小车间的最大静摩擦力Fm≥5 N，假设物体A能够随小车一起向右加速不滑动，对物体A有F合＝ma＝10 N，则要求此时小车对物体A的摩擦力大小仍为5 N，只是方向变为向右，假设成立，弹簧拉力大小、方向都不变，故A、B、D错误，C正确。
2．(多选)(2018·苏州学情调研)将力传感器A固定在光滑水平桌面上，测力计通过轻质水平细绳与滑块相连，滑块放在较长的小车上，如图甲所示，传感器与计算机相连接，可获得力随时间变化的规律。一水平轻质细绳跨过光滑的定滑轮，一端连接小车，另一端系砂桶，整个装置开始处于静止状态。在滑块与小车分离前缓慢向砂桶里倒入细砂，力传感器采集的Ft图像如图乙所示。则( )
A．2.5 s前小车做变加速运动
B．2.5 s后小车做变加速运动(假设细砂仍在加注中)
C．2.5 s前滑块所受摩擦力不变
D．2.5 s后滑块所受摩擦力不变
解析：选BD 由题图乙可知，在F
的变化阶段，砂桶质量在由小变大，滑块与小车之间没有相对滑动，属于静摩擦力，所以2.5 s前，小车、滑块均静止，A项错误；2.5 s后小车受恒定摩擦力，但是外力增加，因此做变加速直线运动，B项正确；根据上述分析，2.5 s前滑块受静摩擦力，且静摩擦力在变化，2.5 s后受滑动摩擦力，且大小不变，C项错误，D项正确。
3．(多选)如图所示，将一质量为m的滑块轻轻放置于传送带的左端，已知传送带以速度v0顺时针运动，滑块与传送带间的动摩擦因数为μ，传送带左右距离无限长，重力加速度为g。从滑块放上去开始计时，在t时刻突然断电，传送带以大小为a的加速度匀减速至停止。关于滑块放上去后受到的摩擦力，下列说法正确的是( )
A．滑块始终没有受到静摩擦力作用
B．滑块刚放上去时受到的滑动摩擦力为μmg
C．滑块受到的摩擦力一直不变
D．传送带减速时滑块受到的摩擦力可能变为ma
解析：选BD 滑块刚放上去时，受到向前的滑动摩擦力，大小为μmg；如果断电时滑块速度已经达到v0，且a≤μg，则滑块与传送带将以相同的加速度减速，滑块受到静摩擦力，大小为ma；如果断电时滑块速度刚好达到v0，且a>μg，则传送带以加速度a减速，滑块只能以加速度μg减速，滑块受到滑动摩擦力，大小为μmg，方向在断电时刻突然变为向后；至于断电时刻，滑块速度未达到v0的情况，更为复杂，在此不做讨论；综上所述，选项A、C错误，B、D正确。
抓住物体的运动性质分析摩擦力突变问题
(1)摩擦力之所以发生突变，是因为物体间的相对运动或相对运动趋势发生了变化。根据施力物体A的运动性质，分析受力物体B的相对运动或相对运动趋势，以及接下来B的运动性质，然后对B列平衡方程或牛顿第二定律方程，便可解决摩擦力突变问题。
(2)因为静摩擦力存在最大值，所以分析静摩擦力突变的问题时，常常要用到假设法，如第1题。
(3)研究传送带问题时，物体和传送带的速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和物体运动性质的分界点。
一、单项选择题
1．(2018·扬州检测)如图所示为一竖直放置的棋盘，该棋盘具有磁性，每个棋子均可视为能被棋盘吸引的小磁体。对于静止在棋盘上的棋子，下列说法正确的是( )
A．棋子受三个力作用
B．棋子所受的摩擦力是个定值
C．棋盘对棋子的作用力大于棋子对棋盘的作用力
D．只要磁力足够大，即使棋盘光滑，棋子也能静止在棋盘上
解析：选B 对静止在棋盘上的棋子分析，棋子受四个力作用，竖直方向受重力和静摩擦力作用，此二力平衡；水平方向受垂直于棋盘的磁力和支持力作用，此二力平衡，选项A错误；由于静摩擦力始终等于棋子的重力，故棋子所受的摩擦力是个定值，选项B正确；棋盘对棋子的作用力和棋子对棋盘的作用力是一对作用力和反作用力，故此二力大小相等，选项C错误；不管磁力有多大，若棋盘光滑，则棋子不受摩擦力作用，此时竖直方向上棋子只受重力作用，故棋子不能静止在棋盘上，选项D错误。
2．(2018·西宁质检)杂技节目“爬竿”受到广大观众的喜爱和好评。当杂技演员用双手握住固定在竖直方向的竿匀速攀上和匀速下滑时，他所受的摩擦力分别是Ff1和Ff2，那么( )
A．Ff1向下，Ff2向上，且Ff1＝Ff2
B．Ff1向下，Ff2向上，且Ff1>Ff2
C．Ff1向上，Ff2向上，且Ff1＝Ff2
D．Ff1向上，Ff2向下，且Ff1＝Ff2
解析：选C 匀速攀上时，杂技演员所受重力与静摩擦力平衡，由平衡条件可知Ff1＝G，方向竖直向上，匀速下滑时，其重力与滑动摩擦力平衡，则Ff2＝G，方向竖直向上，所以Ff1＝Ff2，故选项A、B、D错误，C正确。
3．(2018·衢州五校联考)如图所示，弹簧测力计一端固定在墙壁上，另一端与小木块A相连。在用力抽出长木板B的过程中，观察到弹簧测力计的示数为4.0 N(忽略弹簧形变所需时间)，则( )
A．A受到静摩擦力，一定大于4.0 N
B．A受到滑动摩擦力，一定等于4.0 N
C．A受到滑动摩擦力，一定小于4.0 N
D．A不受摩擦力
解析：选B A、B之间有相对滑动，故可知A受到的是滑动摩擦力，对A
受力分析可知，A在水平方向受到B对A的摩擦力和弹簧测力计对它的拉力，因为A受力平衡，故摩擦力一定等于4.0 N，选项B正确。
4．如图所示为某新型夹砖机，它能用两支巨大的“手臂”将几吨砖夹起，大大提高了工作效率。已知某夹砖机能夹起质量为m的砖，两支“手臂”对砖产生的最大压力为Fmax(设最大静擦力等于滑动摩擦力)，则“手臂”与砖之间的动摩擦因数μ至少为( )
A. B.
C. D.
解析：选B 对砖，由平衡条件，2f＝mg，而f≤μFmax，联立得μ≥，则选项B正确。
5．如图所示，倾角为α、质量为M的斜面体静止在水平桌面上，质量为m的木块静止在斜面体上。下列结论正确的是( )
A．木块受到的摩擦力大小是mgcos α
B．木块对斜面体的压力大小是mgsin α
C．桌面对斜面体的摩擦力大小是mgsin αcos α
D．桌面对斜面体的支持力大小是(M＋m)g
解析：选D 木块受到重力、支持力、摩擦力三个力的作用，处于静止状态，合力为零，则有摩擦力f＝mgsin α，支持力FN＝mgcos α，由牛顿第三定律知，木块对斜面体的压力FN′＝mgcos α，A、B错误；木块和斜面体整体处于静止状态，合力为零，则桌面对斜面体的摩擦力为0，桌面对斜面体的支持力大小等于两物体的重力之和(M＋m)g，C错误，D正确。
二、多项选择题
6．下列关于摩擦力的说法中，正确的是( )
A．两物体间有摩擦力，一定有弹力，且摩擦力的方向和它们的弹力方向垂直
B．两物体间的摩擦力大小和它们间的压力一定成正比
C．在两个运动的物体之间可以存在静摩擦力，且静摩擦力的方向可以与运动方向成任意角度
D．滑动摩擦力的方向可以与物体的运动方向相同，也可以相反
解析：选ACD 摩擦力方向沿接触面，弹力方向垂直接触面，且有摩擦力一定有弹力，有弹力不一定有摩擦力，A正确；静摩擦力与两物体间的压力没有关系，B错误；静摩擦力可以产生在运动的物体间，且静摩擦力的方向可以与运动方向成任意角度，例如静摩擦力提供向心力，C正确；滑动摩擦力可以是动力也可以是阻力，D正确。
7．如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁。开始时a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，a所受摩擦力Ffa≠0，b所受摩擦力Ffb＝0。现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间( )
A．Ffa大小不变
B．Ffa方向改变
C．Ffb仍然为零
D．Ffb方向向右
解析：选AD 剪断右侧细绳的瞬间，右侧细绳上拉力突变为零，而弹簧对两木块的拉力没有发生突变，与原来一样，所以b相对地面有向左运动的趋势，受到静摩擦力Ffb不再为零且方向向右，C错误，D正确；剪断右侧细绳的瞬间，木块a受到的各力都没有发生变化，A正确，B错误。
8．(2018·杭州五校联考)如图所示，质量为m的长方体物块放在水平放置的钢板C上，物块与钢板间的动摩擦因数为μ，由于光滑固定导槽A、B的控制，该物块只能沿水平导槽运动。现使钢板以速度v1向右匀速运动，同时用水平力F拉动物块使其以速度v2(v2的方向与v1的方向垂直，沿y轴正方向)沿导槽匀速运动，下列说法正确的是( )
A．若拉力F的方向在第一象限，则其大小一定大于μmg
B．若拉力F的方向在第二象限，则其大小可能小于μmg
C．若拉力F的方向沿y轴正方向，则此时F有最小值，其值为μmg
D．若拉力F的方向沿y轴正方向，则此时F有最小值，其值为μmg
解析：选BD 物块有相对于钢板水平向左的速度v1和沿导槽的速度v2，故物块相对于钢板的合速度v如图所示，滑动摩擦力方向与相对运动方向相反。由图可知，若拉力F的方向在第一、二象限，则其大小可能大于、小于、等于μmg，A错误，B正确；若拉力F的方向沿y轴正方向，则此时F有最小值，Fmin＝fcos θ＝μmgcos θ＝μmg，C错误，D正确。
9．(2016·江苏高考)如图所示，一只猫在桌边猛地将桌布从鱼缸下拉出，鱼缸最终没有滑出桌面。若鱼缸、桌布、桌面两两之间的动摩擦因数均相等，则在上述过程中( )
A．桌布对鱼缸摩擦力的方向向左
B．鱼缸在桌布上的滑动时间和在桌面上的相等
C．若猫增大拉力，鱼缸受到的摩擦力将增大
D．若猫减小拉力，鱼缸有可能滑出桌面
解析：选BD 鱼缸相对于桌布向左运动，故应受到向右的摩擦力，选项A错误；由于鱼缸与桌布、桌面之间的动摩擦因数相等，鱼缸在桌布上运动和在桌面上运动时加速度的大小相等，根据v＝at，鱼缸在桌布上和在桌面上的滑动时间相等，选项B正确；若猫增大拉力，鱼缸与桌布之间的摩擦力仍然为滑动摩擦力，大小不变，选项C错误；若猫减小拉力，鱼缸可能随桌布一起运动而滑出桌面，选项D正确。
第9课时 力的合成与分解(重点突破课)
[必备知识]
1．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的几个力。
2．合力与分力
(1)定义：如果一个力的作用效果跟几个力共同作用的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，那几个力就叫这个力的分力。
(2)相互关系：等效替代关系。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)合成法则
①平行四边形定则；②三角形定则。
4．力的分解
(1)概念：求一个力的分力的过程。
(2)分解法则
①平行四边形定则；②三角形定则。
(3)分解角度
①按照力的作用效果分解；②正交分解。
5．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向的量，相加时遵从平行四边形定则。
(2)标量：只有大小没有方向的量，求和时按算术法则相加。
[小题热身]
1．判断正误
(1)两个力的合力一定大于任一个分力。(×)
(2)合力及其分力可以同时作用在物体上。(×)
(3)在进行力的合成与分解时，都要应用平行四边形定则或三角形定则。(√)
(4)互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形。(√)
(5)两个分力大小一定，夹角越大，合力越大。(×)
(6)既有大小又有方向的物理量一定是矢量。(×)
2．(2018·北京石景山检测)如图所示，一条鱼在水中正沿直线水平向左加速游动。在这个过程中，关于水对鱼的作用力的方向，图中合理的是( )
解析：选A 鱼受到重力和水对鱼的作用力的作用，两个力的合力沿水平方向向左，使得鱼产生一定的加速度，故水对鱼的力只可能是斜向左上的，选项A正确。
3．如图所示，用相同的弹簧秤将同一个重物m，分别按甲、乙、丙三种方式悬挂起来，读数分别是F1、F2、F3、F4，已知θ＝30°，则有( )
A．F4最大 B．F3＝F2
C．F2最大 D．F1比其他各读数都小
解析：选C 对题图甲：F2cos θ＝mg，F1＝F2sin θ，可解得，F2＝mg，F1＝mg，对题图乙：2F3cos θ＝mg，可解得，F3＝mg，对题图丙：F4＝mg，故可知，F2最大，F1和F3大小相等，且最小，只有C正确。
重难点(一) 力的合成
1．共点力合成的方法
(1)作图法。
(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用几何知识求出合力。
2．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F合≤F1＋F2。
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力同向时合力最大，为F1＋F2＋F3。
②最小值：如果|F1－F2|≤F3≤F1＋F2，则合力的最小值为零，否则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的和的绝对值。
3．合力与分力的大小关系
(1)两个分力一定时，夹角θ越大，合力越小。
(2)合力一定时，两等大分力的夹角越大，两分力越大。
(3)合力可以大于分力、等于分力，也可以小于分力。
[典例] (2018·承德模拟)如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是( )
A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力大小为2.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
[解析] 分解千斤顶受到的压力，得到此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N，A错误；由牛顿第三定律可知，千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N，B错误；若继续摇动把手，两臂间的夹角减小，而合力不变，故两分力减小，即两臂受到的压力将减小，C错误，D正确。
[答案] D
三种特殊情况的共点力合成
类 型
作 图
合力的计算
互相垂直
F＝
tan θ＝
两力等大，夹角为θ
F＝2F1cos
F与F1夹角为
两力等大，夹角为120°
合力与分力等大
[集训冲关]
1．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格的边长表示1 N大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是( )
A．图甲中物体所受的合外力大小等于4 N
B．图乙中物体所受的合外力大小等于2 N
C．图丙中物体所受的合外力等于0
D．图丁中物体所受的合外力等于0
解析：选D 题图甲中，先将F1与F3合成，然后再由勾股定理求得合外力大小等于5 N，选项A错误；题图乙中，先将F1与F3正交分解，再合成，求得合外力大小等于5 N，选项B错误；题图丙中，可将F3正交分解，求得合外力大小等于6 N，选项C错误；根据三角形定则，题图丁中合外力等于0，选项D正确。
2．(2018·石家庄模拟)如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(在弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )
A．kL B．2kL
C.kL D．kL
解析：选D 根据胡克定律知，每根橡皮条长度最大时的弹力F＝k(2L－L)＝kL。设此时两根橡皮条的夹角为θ，如图所示，根据相似三角形知，sin＝，根据平行四边形定则知，弹丸被发射过程中所受的最大弹力F弹＝2Fcos＝kL，故D正确。
重难点(二) 力的分解
方法1 按照力的作用效果分解
[例1] (多选)(2018·南师附中)如图所示，质量均为M的A、B两滑块放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆铰合处悬挂一质量为m的重物C，整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为θ。下列说法中正确的是( )
A．当m一定时，θ越小，滑块对地面的压力越大
B．当m一定时，θ越大，杆受力越小
C．当θ一定时，M越大，滑块与地面间的摩擦力越大
D．当θ一定时，M越大，可悬挂重物C的质量m越大
[解析] 对A、B、C整体分析可知，对地面压力为FN＝(2M＋m)g，与θ无关，故A项错误；将C的重力按照作用效果分解，如图所示，根据平行四边形定则，有F1＝F2＝＝，故m一定时，θ越大，杆受力越小，故B项正确；对A分析，受重力、杆的推力、支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件，有f＝F1cos θ＝，与M无关，故C项错误；当θ一定时，M越大，滑块与地面间的最大静摩擦力越大，则可悬挂重物C的质量m越大，故D项正确。
[答案] BD
方法2 正交分解
(1)建系原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
(2)分解步骤：把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x轴、y轴上。
x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝(如图所示)
合力方向：若与x轴夹角为θ，则tan θ＝。
[例2] (2018·常州中学模拟)在车站、机场等地会看见一些旅客推着行李箱，也有一些旅客拉着行李箱在水平地面上行走，建立物理模型如图甲和乙所示。假设他们都做匀速直线运动，对同一行李箱在这两种情况下，下列说法中正确的是( )
A．两种情况下，行李箱所受地面的摩擦力大小相同
B．两种情况下，推行李箱省力
C．拉行李箱时，行李箱与地面间的弹力有可能为零
D．力F2与摩擦力的合力方向竖直向下
[解析] 由题图甲、乙分别作出受力分析图如图1、图2所示。
对于图1，正压力的大小FN1＝mg－F1sin θ，对于图2，正压力的大小FN2＝mg＋F2sin θ，根据滑动摩擦力公式知，两种情况下行李箱受到的摩擦力大小不同，故A错误；对于图1，根据共点力平衡有F1cos θ＝μ(mg－F1sin θ)，解得F1＝，对于图2，根据共点力平衡有：F2cos θ＝μ(mg＋F2sin θ)，解得F2＝，可知F2＞F1，拉行李箱更省力，故B错误；通过上面的分析，如果行李箱与地面间的弹力为零，则摩擦力为零，则拉力与重力为一对平衡力，与拉力和重力方向不在同一条直线上矛盾，故C错误；根据图2可知，力F2与摩擦力的合力根据平行四边形定则可知方向竖直向下，故D正确。
[答案] D
[通法归纳]
关于力的分解的两点说明
(1)在实际问题中进行力的分解时，有实际意义的分解方法是按力的作用效果进行分解，其他的分解方法都是为解题方便而设的。
(2)力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用时处理问题的一种方法，分解的目的是更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。
[集训冲关]
1．(2018·四川绵阳模拟)一同学用如图所示方式体验力的作用效果。水平放置的一根铅笔，O端用轻绳拉住，轻绳的另一端套在食指上的B点。铅笔的O端用另一根轻绳吊一重物，铅笔的笔尖在手掌上的A点，手掌和手指在同一个竖直平面内，铅笔始终水平。若将轻绳在食指上的端点稍稍下移，下列说法正确的是( )
A．B点感受到的拉力变小
B．A点感受到的压力不变
C．B点感受到的拉力不变
D．A点感受到的压力变大
解析：选D 重物对点O的拉力产生两个效果，即沿着OA方向的压力和沿着BO方向的拉力，如图所示，根据平行四边形定则，有FOBcos α＝mg，FOBsin α＝FOA。若将轻绳在食指上的端点稍稍下移，则角度α变大，cos α变小，sin α 变大，故FOB、FOA
变大，选项D正确。
2．(2018·连云港模拟)如图所示，两个质量为m1的小球套在竖直放置的光滑支架上，支架的夹角为120°，用轻绳将两球与质量为m2的小球连接，绳与杆构成一个菱形，则m1∶m2为( )
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶ D．∶2
解析：选A 将小球m2的重力按效果根据平行四边形定则进行分解如图，由几何关系得：T＝m2g，对m1受力分析，由平衡条件，在沿杆的方向有：m1gsin 30°＝Tsin 30°，解得：T＝m1g，可见m1∶m2＝1∶1，故A正确。
一、单项选择题
1．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
解析：选C 合力不一定大于分力，B错；三个共点力的合力的最小值能否为零，取决于任何一个力是否都在其余两个力的合力范围内，由于三个力大小未知，所以三个力的合力的最小值不一定为零，A错；当三个力的大小分别为3a、6a、8a，其中任何一个力都在其余两个力的合力范围内，故C对；当三个力的大小分别为3a、6a、2a时，不满足上述情况，故D错。
2．(2017·全国Ⅱ卷)如图，一物块在水平拉力F的作用下沿水平桌面做匀速直线运动。若保持F的大小不变，而方向与水平面成60°角，物块也恰好做匀速直线运动。物块与桌面间的动摩擦因数为( )
A．2－ B. C. D.
解析：选C 当拉力水平时，物块做匀速运动，则F＝μmg，当拉力方向与水平方向的夹角为60°时，物块也刚好做匀速运动，则Fcos 60°＝μ(mg－Fsin 60°)，联立解得μ＝，A、B、D项错误，C项正确。
3.(2018·南京、盐城模拟)如图所示，高空走钢丝的表演中，若表演者走到钢丝中点时，原来水平的钢丝下垂与水平面成θ角，此时钢丝上的弹力应是表演者(含平衡杆)体重的( )
A. B.
C. D.
解析：选C 对表演者进行受力分析，受两段钢丝斜向上的拉力和自身重力，正交分解后竖直方向有2Fsin θ＝mg，得出＝，C项正确。
4.(2018·南京、淮安模拟)小明家阁楼顶有一扇倾斜的天窗，天窗与竖直面的夹角为θ，如图所示。小明用质量为m的刮擦器擦天窗玻璃，当对刮擦器施加竖直向上大小为F的推力时，刮擦器恰好沿天窗玻璃向上匀速滑动，已知玻璃与刮擦器之间的动摩擦因数为μ，则刮擦器受到的摩擦力大小是( )
A．(F－mg)cos θ B．(mg＋F)sin θ
C．μ(F－mg)cos θ D．μ(mg＋F)sin θ
解析：选A 对刮擦器进行受力分析，刮擦器受到竖直向下的重力mg，竖直向上的推力F，垂直于玻璃斜向右下方的弹力N，沿玻璃斜向下的滑动摩擦力f，将力F沿玻璃和垂直于玻璃的方向分解，沿玻璃的方向有mgcos θ＋f＝Fcos θ，则f＝(F－mg)cos θ，垂直于玻璃的方向有Fsin θ＝N＋mgsin θ，则f＝μN＝μ(F－mg)sin θ，A项正确，B、C、D项错误。
5．(2018·徐州质检)在如图所示的甲、乙、丙、丁四幅图中，滑轮本身所受的重力忽略不计，滑轮的轴O安装在一根轻木杆P上，一根轻绳ab绕过滑轮，a端固定在墙上，b端下面挂一个质量都是m的重物，当滑轮和重物都静止不动时，甲、丙、丁图中木杆P与竖直方向的夹角均为θ，乙图中木杆P竖直。假设甲、乙、丙、丁四幅图中滑轮受到木杆P的弹力的大小依次为FA、FB、FC、FD，则以下判断中正确的是( )
A．FA＝FB＝FC＝FD B．FD＞FA＝FB＞FC
C．FA＝FC＝FD＞FB D．FC＞FA＝FB＞FD
解析：选B 轻绳上的拉力等于重物所受的重力mg，设滑轮两侧轻绳之间的夹角为φ，滑轮受到木杆P的弹力F等于滑轮两侧轻绳拉力的合力，即F＝2mgcos ，由夹角关系可得FD＞FA＝FB＞FC，选项B正确。
二、多项选择题
6．某同学用同一弹簧测力计按图甲、乙两种方式测量某小桶的重力，甲图中系小桶的轻绳较长。下列说法中正确的是( )
A．甲图中弹簧测力计的示数比乙图中的大
B．两图中弹簧测力计的示数一样大
C．甲图中轻绳的拉力比乙图中的大
D．乙图中轻绳的拉力比甲图中的大
解析：选BD 由题意可知，弹簧测力计测量小桶的重力，其示数等于小桶的重力，而与轻绳的长短无关，故A错误，B正确；对力进行分解时，两等大分力的夹角越小，对应的两分力越小，甲图中轻绳的拉力之间的夹角小于乙图中的夹角，则甲图中轻绳的拉力比乙图中的小，故C错误，D正确。
7．(2018·厦门模拟)我国不少地方在节日期间有挂红灯笼的习俗，如图所示，质量为m的灯笼用两根不等长的轻绳OA、OB悬挂在水平天花板上，OA比OB长，O为结点。重力加速度大小为g，设OA、OB对O点的拉力分别为FA、FB，轻绳能够承受足够大的拉力，则( )
A．FA小于FB
B．FA、FB的合力大于mg
C．调节悬点A的位置，可使FA、FB都大于mg
D．换质量更大的灯笼，FB的增加量比FA的增加量大
解析：选ACD 对结点O受力分析，画出力的矢量图如图，由图可知，FA小于FB，FA、FB的合力等于mg，选项A正确，B错误；调节悬点A的位置，当∠AOB大于某一值时，则FA、FB都大于mg，选项C正确；换质量更大的灯笼，则重力mg增大，FB的增加量比FA的增加量大，选项D正确。
8．(2018·洛阳模拟)如图所示为缓慢关门时(图中箭头方向)门锁的示意图，锁舌尖角为37°，此时弹簧弹力为24 N，锁舌表面较光滑，摩擦不计(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，下列说法正确的是( )
A．此时锁壳碰锁舌的弹力为40 N
B．此时锁壳碰锁舌的弹力为30 N
C．关门时锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大
D．关门时锁壳碰锁舌的弹力保持不变
解析：选AC 锁壳碰锁舌的弹力分解如图所示，其中F1＝FNsin 37°，且此时F1大小等于弹簧的弹力24 N，解得锁壳碰锁舌的弹力为40 N，选项A正确，B错误；关门时，弹簧的压缩量增大，弹簧的弹力增大，故锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大，选项C正确，D错误。
9．如图所示，两相同物块分别放置在对接的两固定斜面上，物块处在同一水平面内，之间用细绳连接，在绳的中点加一竖直向上的拉力F，使两物块处于静止状态，此时绳与两斜面间的夹角小于90°。当增大拉力F后，系统仍处于静止状态，下列说法正确的是( )
A．绳受到的拉力变大 B．物块与斜面间的摩擦力变小
C．物块对斜面的压力变小 D．物块受到的合力不变
解析：选ACD F增大，由于绳的夹角不变，故绳上的拉力增大，A正确；对物块进行受力分析，沿斜面方向：绳的拉力的分量与物块重力的分量之和等于静摩擦力；垂直斜面方向：物块重力的分量等于斜面对物块的支持力与绳的拉力的分量之和。由于绳上的拉力增大，故静摩擦力变大，支持力变小，由牛顿第三定律可知，物块对斜面的压力变小，B错误，C正确；物块仍处于平衡状态，所受合力仍为0，故D正确。
第10课时 受力分析 共点力的平衡(重点突破课)
[必备知识]
1．受力分析
(1)定义：把指定物体(研究对象)在特定的物理环境中受到的所有外力都找出来，并画出受力示意图的过程。
(2)受力分析的一般顺序
先分析场力(重力、电场力、磁场力)，再分析接触力(弹力、摩擦力)，最后分析其他力。
2．共点力的平衡
(1)平衡状态：物体处于静止状态或匀速直线运动状态，即加速度a＝0。
(2)平衡条件：F合＝0或
(3)平衡条件的推论
二力平衡
如果物体在两个共点力的作用下处于平衡状态，这两个力必定大小相等，方向相反
三力平衡
如果物体在三个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余两个力的合力大小相等，方向相反；并且这三个力的矢量可以构成一个封闭的矢量三角形
多力平衡
如果物体在多个共点力的作用下处于平衡状态，其中任何一个力与其余几个力的合力大小相等，方向相反
[小题热身]
1．判断正误
(1)对物体受力分析时，只能画该物体受到的力，其他物体受到的力不能画在该物体上。(√)
(2)物体沿光滑斜面下滑时，物体受到重力、支持力和下滑力的作用。(×)
(3)处于平衡状态的物体加速度一定等于零。(√)
(4)速度等于零的物体一定处于平衡状态。(×)
(5)物体受两个力处于平衡状态，这两个力必定等大反向。(√)
(6)物体处于平衡状态时，其所受的作用力必定为共点力。(×)
(7)物体受三个力F1、F2、F3作用处于平衡状态，若将F2转动90°，则三个力的合力大小为F2。(√)
2．(2018·江苏清江中学月考)如图所示是杂技节目“力量”表演中的一个高难度动作，两个演员均保持静止状态，右侧演员的身体保持伸直，且与水平方向成45°角。已知右侧演员所受的重力大小为G，则左侧演员对右侧演员的作用力大小为( )
A．G B.G C.G D.G
解析：选A 因两个演员保持静止状态，所以右侧的演员受力平衡，受重力和左侧的演员的作用力，由平衡条件可知左侧演员对右侧演员的作用力大小为G，选项A正确。
重难点(一) 物体的受力分析
1．受力分析的四种方法
(1)假设法：在受力分析时，若不能确定某力是否存在，可先对其作出存在的假设，然后根据分析该力存在对物体运动状态的影响来判断该力是否存在。
(2)整体法：将加速度相同的几个相互关联的物体作为一个整体进行受力分析。
(3)隔离法：将所研究的对象从周围的物体中分离出来，单独进行受力分析。
(4)动力学分析法：对加速运动的物体应用牛顿运动定律进行分析求解。
2．受力分析的四个步骤
[典例] (2018·吉林一模)如图所示，两梯形木块A、B叠放在水平地面上，水平向左的力F作用于B上，A、B之间的接触面倾斜。A的左侧靠在光滑的竖直墙面上，A、B处于静止状态，关于两木块的受力，下列说法正确的是( )
A．A、B之间一定存在摩擦力作用
B．A可能受三个力作用
C．A一定受四个力作用
D．B一定受到地面向右的摩擦力
[解析] 由于A、B间接触面情况未知，若A、B接触面光滑，则A、B间没有摩擦力，此时A受重力、B对A的支持力和墙壁对A的弹力而平衡，故A、C错误，B正确；B受力F、A对B的压力，若压力向右的分力等于F，则地面对B没有摩擦力，故D错误。
[答案] B
受力分析的4个注意点
(1)不要把研究对象所受的力与研究对象对其他物体的作用力混淆。
(2)每一个力都应找出其施力物体，不能无中生有。
(3)合力和分力不能重复考虑。
(4)对整体进行受力分析时，组成整体的几个物体间的作用力为内力，不能在受力图中出现；当把某一物体单独隔离分析时，原来的内力变成外力，要在受力分析图中画出。
[集训冲关]
1．(2018·江苏清江中学月考)如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g，若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )
A. B.
C.mgtan α D.mgcot α
解析：选A 对石块受力分析，如图：根据共点力平衡条件，所受弹力大小F1＝F2＝F′，将弹力F1、F2合成，结合几何关系，有：mg＝2×F′sin α，所以：F′＝，故选项A正确。
2．如图所示，A、B两物体紧靠着放在粗糙水平面上，A、B间接触面光滑。在水平推力F作用下两物体一起加速运动，物体A恰好不离开地面，则物体A的受力个数为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选A 由于物体A恰好不离开地面，因此A不受地面的支持力和摩擦力，只受重力、F和B对A垂直接触面向上的支持力，故A正确。
重难点(二) 解决平衡问题的四种常用方法
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交
分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三
角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
[典例] 如图所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心。一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。下列关系正确的是( )
A．F＝ B．F＝mgtan θ
C．FN＝ D．FN＝mgtan θ
[解析] 方法一：合成法
滑块受力如图甲，由平衡条件知：＝tan θ，＝sin θ，
解得F＝，FN＝。
方法二：分解法
将重力按产生的效果分解，如图乙所示，
F＝G2＝，FN＝G1＝。
方法三：正交分解法
将滑块受的力水平、竖直分解，如图丙所示，
mg＝FNsin θ，F＝FNcos θ，
联立解得：F＝，FN＝。
方法四：力的三角形法
如图丁所示，滑块受的三个力可组成封闭三角形，解直角三角形得：F＝，FN＝，故A正确。
[答案] A
处理平衡问题的3个技巧
(1)物体受三个力平衡时，利用力的分解法或合成法比较简单。
(2)物体受四个以上的力作用时一般要采用正交分解法。
(3)建立坐标系时应使尽可能多的力与坐标轴重合，需要分解的力尽可能少。
[集训冲关]
1．如图所示，将一绝缘杆竖直地固定在地面上，用一轻绳拴接一质量为m的铁球，在铁球的右侧水平放一条形磁铁，当小球平衡时轻绳与竖直方向的夹角为α＝30°，此时小球与条形磁铁在同一水平面上，小球所在处的磁感应强度为B0。假设小球所受磁铁的作用力与小球所在处的磁感应强度成正比，缓慢移动条形磁铁的位置，小球始终与条形磁铁在同一水平面上，则下列说法正确的是( )
A．轻绳的拉力与磁铁对小球的作用力的合力可能大于小球的重力
B．轻绳与竖直方向的夹角可能等于90°
C．磁铁对小球的作用力可能等于小球的重力
D．当α＝60°时，小球所在处的磁感应强度为2B0
解析：选C 小球受重力、轻绳拉力、磁场力而处于平衡状态，受力分析如图所示，A错误；由于竖直方向的合力为零，轻绳拉力在竖直方向上的分力与重力平衡，因此轻绳的拉力不可能水平向左，即轻绳与竖直方向的夹角不可能等于90°，B错误；由受力分析可知，磁铁对小球的作用力F＝mgtan α，当α＝45°时，磁铁对小球的作用力等于小球的重力，C正确；F＝mgtan α，由题意可得，当α＝60°时，小球所在处的磁感应强度为3B0，D错误。
2．(多选)(2018·宣城模拟)如图所示，在夜光风筝比赛现场，某段时间内某小赛手和风筝均保持静止状态，此时风筝平面与水平面夹角为30°，风筝的质量为m＝1 kg，轻质细线中的张力为FT＝10 N，小赛手的质量为M＝29 kg，则下列说法正确的是(风对风筝的作用力认为与风筝垂直，g取10 m/s2)( )
A．风对风筝的作用力为10 N
B．细线与水平方向的夹角为30°
C．小赛手对地面的摩擦力方向水平向左
D．小赛手对地面的压力大小等于小赛手和风筝整体的重力，即300 N
解析：选AB 对风筝进行受力分析如图所示，将所有的力沿风筝和垂直于风筝平面进行正交分解，则FTcos θ＝mgsin 30°，FTsin θ＋mgcos 30°＝F，解得θ＝60°，F＝10 N，细线与风筝成60°角，也就是与水平方向成30°角，A、B正确；将风筝和小赛手视为一个整体，由于受风力向右上方，因此地面对人的摩擦力水平向左，根据牛顿第三定律，小赛手对地面的摩擦力水平向右，C错误；由于细线对小赛手向上拉，因此小赛手对地面的压力小于小赛手和风筝整体的重力300 N，D错误。
3．两个可视为质点的小球A和B，质量均为m，用长度相同的两根细线分别悬挂在天花板上的同一点O。现用相同长度的另一根细线连接A、B两个小球，然后用一水平方向的力F作用在小球A上，此时3根细线均处于伸直状态，且OB细线恰好处于竖直方向，如图所示。如果两小球均处于静止状态，则力F的大小为( )
A.mg B．mg
C.mg D．0
解析：选A 以小球B为研究对象，B受重力和OB
细线的拉力，因小球B处于静止状态，则AB细线的拉力为零。再以小球A为研究对象，进行受力分析，如图所示，由平行四边形定则及几何关系可得，F＝mgtan 60°＝mg，A正确。
重难点(三) 整体法与隔离法解决多体平衡问题
[典例] 如图所示，挡板P垂直固定在倾角为θ的斜面上，一滑块m放在斜面上，其上表面呈弧形且左端最薄，一球M放在挡板与弧形滑块上，一切摩擦均不计，用平行于斜面的拉力F拉住弧形滑块，使球与滑块均静止。现将滑块平行于斜面向上拉过一较小的距离，球仍放在挡板与滑块上且处于静止状态，则与原来相比( )
A．滑块对球的弹力增大 B．挡板对球的弹力减小
C．斜面对滑块的弹力增大 D．拉力F不变
[解析] 对球进行受力分析，如图(a)，球只受三个力的作用，挡板对球的力F1，方向不变，作出力的矢量图，滑块上移时，F2与竖直方向夹角减小，最小时F2垂直于F1，可知挡板弹力F1和滑块对球的作用力F2都减小，故A错误，B正确；再对滑块和球一起受力分析，如图(b)，其中FN＝Gcos θ不变，可知斜面对滑块的支持力不变，F＋F1不变，F1减小，拉力F增大，故C、D错误。
[答案] B
整体法和隔离法的使用技巧
(1)当分析相互作用的两个或两个以上物体整体的受力情况及分析外力对系统的作用时，宜用整体法。
(2)在分析系统内各物体(或一个物体各部分)间的相互作用时，宜用隔离法。
(3)整体法和隔离法不是独立的，对一些较复杂问题，通常需要多次选取研究对象，交替使用整体法和隔离法。
[集训冲关]
1．如图所示，矩形物块A和楔形物块B、C叠放在水平地面上，物块B上表面水平。水平向左的力F作用在物块B上，整个系统处于静止状态，则下列说法正确的是( )
A．物块A的受力个数为4个
B．物块B的受力个数为4个
C．地面对物块C的支持力小于三者重力之和
D．地面对物块C的摩擦力大小等于F，方向水平向右
解析：选D 对A受力分析，根据平衡条件知，A只受重力和支持力2个力的作用，选项A错误；对B受力分析，有重力、压力、C施加的垂直斜面斜向上的支持力、力F，根据平衡条件可知，还有C
施加的平行斜面斜向上的摩擦力，共5个力的作用，选项B错误；以A、B、C整体为研究对象受力分析，根据平衡条件知，地面对C的支持力等于三者重力之和，选项C
错误；对A、B、C整体受力分析，根据平衡条件知，地面对C的摩擦力大小等于力F，方向水平向右，选项D正确。
2．(2018·高密模拟)如图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面上固定有竖直光滑挡板P，质量相同的横截面为直角三角形的两物块A、B叠放在斜面与挡板之间，且A与B间的接触面水平，则A对B的压力与B对斜面的压力之比应为( )
A．2∶1 B.∶2 C.∶1 D.∶4
解析：选D 设A、B的质量都为m，A处于静止状态，对A进行受力分析可知，B对A的支持力等于A的重力，结合牛顿第三定律可知，A对B的压力FN＝mg，把A、B看成整体受力分析可知：整体受到重力2mg，斜面的支持力FN1，挡板的压力FN2，根据平衡条件得：cos θ＝，解得FN1＝mg，所以B对斜面的压力FN1′＝mg，则＝。故D正确。
重难点(四) 共点力的动态平衡问题
解析法
对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
图解法
此法常用于求解三力平衡且其中一个力是恒力、另一个力方向不变的问题。一般按照以下流程解题。
[典例] (2016·全国Ⅱ卷)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。用T表示绳 OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中( )
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
[解析] 以O点为研究对象，受力如图所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，则绳OA与竖直方向的夹角变大，由共点力的平衡条件知F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确。
[答案] A
[集训冲关]
1．如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是( )
A．推力F先增大后减小
B．推力F一直减小
C．物块受到的摩擦力先减小后增大
D．物块受到的摩擦力一直不变
解析：选B 对物块受力分析，建立如图所示的坐标系。由平衡条件得，Fcos θ－Ff＝0，FN－(mg＋Fsin θ)＝0，又Ff＝μFN，联立可得F＝，可见，当θ减小时，F一直减小；摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsin θ)，可知，当θ、F减小时，Ff一直减小，综上所述，B正确。
2．(2018·江苏联盟大联考)在天花板上用相同的两根轻质细线1和2悬挂一块薄板，细线1和2与竖直方向分别成45°、60°角，薄板处于静止状态，如图所示，则下列说法正确的是( )
A．细线2对薄板的拉力大于细线1对薄板的拉力
B．设法保持重心位置不变，缓慢增加薄板的质量，则细线1先断
C．细线1和2延长线的交点一定是薄板的重心位置
D．细线2端点O2缓慢向右侧移动，细线1的位置保持不变，细线1对薄板的拉力减小
解析：选B 薄板在细线1、2的拉力和重力的作用下处于静止状态，三力的延长线必交于同一点，但不一定是重心，C项错误；把两细线拉力正交分解，在水平方向：F1sin 45°＝F2sin 60°，可得细线2对薄板的拉力小于细线1对薄板的拉力，A项错误；在重心位置不变、缓慢增加薄板的质量时，两细线的拉力同时增大，由于细线1的拉力较大，所以细线1先断，B项正确；细线2端点O2缓慢向右侧移动，细线2与水平方向的夹角逐渐减小，如图所示，细线1的拉力F1逐渐增大，D项错误。
一、单项选择题
1．(2018·江阴中学高三月考)
一建筑塔吊如图所示向右上方匀速提升建筑材料，若忽略空气阻力，则下列有关材料的受力分析图正确的是( )
解析：选D 材料向右上方匀速运动，处于平衡状态，所受合力为零，A、B、C中合力不为零，受力不平衡，选项A、B、C错误，D正确。
2．(2018·无锡模拟)如图，物块静置于倾斜角为θ的斜面上，对物块施加一个垂直于斜面向下的恒力F，斜面和物块均保持静止，地面受到的摩擦力大小为f。若将F大小不变、方向改为沿斜面向上，斜面和物块仍保持静止，则地面受到的摩擦力大小为( )
A．fsin θ B．fcos θ
C．ftan θ D.
解析：选D 对物块施加一个垂直于斜面向下的恒力F，斜面和物块均保持静止，地面受到的摩擦力大小为f，对物块和斜面，利用整体法得Fsin θ＝f。当F大小不变、方向改为沿斜面向上时，同理对整体有Fcos θ＝f′，联立解得f′＝，D项正确。
3．(2018·苏北四市期中)如图，支架固定在水平地面上，其倾斜的光滑直杆与地面成30°角，两圆环A、B穿在直杆上，并用跨过光滑定滑轮的轻绳连接，滑轮的大小不计，整个装置处于同一竖直平面内。圆环平衡时，绳OA竖直，绳OB与直杆间夹角为30°。则环A、B的质量之比为( )
A．1∶ B．1∶2
C.∶1 D.∶2
解析：选A 分别对A、B受力分析如图，以A为研究对象，则A受到重力和绳的拉力的作用，直杆对A没有力的作用，否则A水平方向受力不能平衡，所以T＝mAg；以B为研究对象，根据共点力平衡条件，结合图可知，绳的拉力T与B受到的支持力N与竖直方向之间的夹角都是30°，所以T与N大小相等，得：mBg＝2×Tcos 30°＝T，故mA∶mB＝1∶。A正确。
4．如图所示，三根长度均为L的轻绳分别连接于C、D两点，A、B两端被悬挂在水平天花板上，相距2L，现在C
点上悬挂一个质量为m的重物，为使CD绳保持水平，在D点上可施加力的最小值为( )
A．mg B.mg
C.mg D.mg
解析：选C 由题图可知，要想CD绳水平，各绳均应绷紧，由几何关系可知，AC与水平方向的夹角为60°；结点C受力平衡，受力分析如图所示，则CD绳的拉力FT＝mgtan 30°＝mg；D点受绳拉力大小等于FT，方向向左；要使CD绳水平，D点两绳的拉力与外界的力的合力应为零，则绳对D点的拉力可分解为沿BD绳的F1及另一分力F2，由几何关系可知，当力F2与BD垂直时，F2最小，而F2的大小即为施加在D点的力的大小，故最小力F2＝F＝FTsin 60°＝mg，故C正确。
5．(2018·江苏清江中学考前冲刺)如图所示，倾角为30°的斜面体置于水平地面上，一根不可伸长的轻绳两端分别系着小球A和物块B，跨过固定于斜面体顶端的滑轮O(可视为质点)。A的质量为m，B的质量为4m，开始时，用手托住A，使OA段绳恰处于水平伸直状态(绳中无拉力)，OB绳平行于斜面，此时B静止不动，将A由静止释放，在其下摆过程中斜面体始终保持静止，则在绳子到达竖直位置之前，下列说法正确的是( )
A．B与斜面之间的动摩擦因数至少为
B．B受到的摩擦力先增大后减小
C．绳子的张力先减小后增大
D．地面对斜面体的摩擦力方向一直水平向左
解析：选A 根据4mgsin 30°＝μ·4mgcos 30°得，动摩擦因数μ＝tan 30°＝，即B与斜面之间的动摩擦因数至少为，故A正确；A摆到最低点时，根据动能定理得，mgL＝mv2，解得v＝，根据牛顿第二定律得，F－mg＝m，解得F＝3mg，径向的合力提供向心力，A向下摆的过程中速度越来越大，可知绳子的张力逐渐增大，当拉力F＝3mg时，对B，有：F＝4mgsin 30°＋f，解得f＝mg，方向沿斜面向下，开始B所受的摩擦力沿斜面向上，可知摩擦力先减小后反向增大，故B、C错误；对B和斜面体整体受力分析，由于A向左下方拉B和斜面体整体，故斜面体一定受到地面对其向右的静摩擦力，故D错误。
二、多项选择题
6．s(2018·苏锡常镇调研)如图所示，将长为l的橡皮筋上端O
固定在竖直放置的木板上，另一端M通过细线悬挂重物。某同学用水平力F在M处拉住橡皮筋，缓慢拉动M至A点处，松开后，再次用水平力拉M，缓慢将橡皮筋也拉至OA直线上，此时M位于图中的B点处。则下列判断正确的是( )
A．当M被拉至A点处时，橡皮筋长度OA可能小于l
B．当M被分别拉到A、B两点处时，橡皮筋的弹力TA＝TB
C．当M被分别拉到A、B两点处时，所用水平拉力FA＜FB
D．上述过程中此橡皮筋的弹力不遵循胡克定律
解析：选BD 将M拉至A点时，根据平衡条件可知橡皮筋有拉力，即橡皮筋处于拉伸状态，OA一定大于l，A错误；由于橡皮筋在A、B两点的弹力都与重力及水平拉力的合力平衡，且橡皮筋弹力的方向不变，即重力与水平拉力合力的方向不变，故两次水平拉力一定相等，两次橡皮筋的弹力也一定相等，而两次橡皮筋的伸长量不同，则此橡皮筋的弹力不遵循胡克定律，B、D正确，C错误。
7．(2017·天津高考)如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架挂钩是光滑的，挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是( )
A．绳的右端上移到b′，绳子拉力不变
B．将杆N向右移一些，绳子拉力变大
C．绳的两端高度差越小，绳子拉力越小
D．若换挂质量更大的衣服，则衣架悬挂点右移
解析：选AB 设两段绳子间的夹角为2α，由平衡条件可知，2Fcos α＝mg，所以F＝，设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关系L1sin α＋L2sin α＝s，得sin α＝＝，绳子右端上移，L、s都不变，α不变，绳子张力F也不变，A正确；杆N向右移动一些，s变大，α变大，cos α变小，F变大，B正确；绳子两端高度差变化，不影响s和L，所以F不变，C错误；衣服质量增加，绳子上的拉力增加，由于α不会变化，悬挂点不会右移，D错误。
8．(2018·乳山月考)如图所示，质量为m的小物体(可视为质点)静止地放在半径为R的半球体上，小物体与半球体间的动摩擦因数为μ，小物体与球心的连线与水平地面的夹角为θ，整个装置静止。则下列说法正确的是( )
A．地面对半球体的摩擦力方向水平向左
B．小物体对半球体的压力大小为mgcos θ
C．半球体受到小物体的作用力大小为mg
D．θ (为锐角)变大时，地面对半球体的支持力不变
解析：选CD 以小物体和半球体整体作为研究对象，受到重力和地面对半球体的支持力，地面对半球体没有摩擦力，由平衡条件得：地面对半球体的支持力FN＝(M＋m)g，不变，故A错误，D正确；以小物体为研究对象，作出受力图如图，则半球体对小物体的支持力FN＝mgsin θ，由牛顿第三定律得：小物体对半球体的压力大小为mgsin θ，故B错误；半球体受到小物体的压力和静摩擦力的合力等于小物体的重力，即半球体受到小物体的作用力大小为mg，故C正确。
9．(2018·汕头模拟)如图是简易测水平风速的装置，轻质塑料球用细线悬于竖直杆顶端O，当水平风吹来时，球在水平风力F的作用下飘起来。F与风速v成正比，当v＝3 m/s时，测得球平衡时细线与竖直方向的夹角θ＝45°，则( )
A．当风速v＝3 m/s时，F的大小恰好等于球的重力
B．当风速v＝6 m/s时，θ＝90°
C．水平风力F越大，球平衡时，细线所受拉力越小
D．换用半径相等，但质量较大的球，则当θ＝45°时，v大于3 m/s
解析：选AD 对小球受力分析，小球受重力、风力和拉力处于平衡，当细线与竖直方向的夹角θ＝45°时，根据平行四边形定则知，风力F＝mg，故A项正确；当风速v＝6 m/s，则风力为原来的2倍，即为2mg，根据平行四边形定则知，tan θ＝＝2，θ≠90°，故B项错误；拉力FT＝，水平风力越大，平衡时，细线与竖直方向的夹角θ越大，则细线所受拉力越大，故C项错误；换用半径相等，但质量较大的球，知重力变大，当θ＝45°时，风力F＝m′g，可知风力增大，所以v大于3 m/s，故D项正确。
三、计算题
10.(2018·牡丹江期中)如图所示，细绳OA的O端与质量m＝1 kg的重物相连，A端与轻质圆环(重力不计)相连，圆环套在水平棒上可以滑动；定滑轮固定在B处，跨过定滑轮的细绳，两端分别与重物m、重物G相连，若两条细绳间的夹角φ＝90°，OA与水平棒的夹角θ＝53°，圆环恰好没有滑动，不计滑轮大小，整个系统处于静止状态，滑动摩擦力等于最大静摩擦力(已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)。求：
(1)圆环与棒间的动摩擦因数；
(2)重物G的质量M。
解析：(1)因为圆环恰好没有滑动，即所受的静摩擦力刚好达到最大值，有Ff＝μFN，
对圆环进行受力分析，则有
μFN－FTcos θ＝0，
FN－FTsin θ＝0，
代入数据解得μ＝＝0.75。
(2)对于重物m有mgcos θ＝Mg，
解得M＝mcos θ＝0.6 kg。
答案：(1)0.75 (2)0.6 kg
11.(2018·南通质检)如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态。(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)问：
(1)轻绳OA、OB受到的拉力分别是多大？
(2)人受到的摩擦力是多大？方向如何？
(3)若人的质量m2＝60 kg，人与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量最大不能超过多少？
解析：(1)以结点O为研究对象进行受力分析，如图1所示，由平衡条件有
FOB＝FOAsin θ
FOAcos θ＝m1g
联立解得FOA＝＝m1g，
FOB＝m1gtan θ＝m1g
故轻绳OA、OB受到的拉力分别为m1g、m1g。
(2)对人受力分析，如图2所示，人在水平方向受到OB绳的拉力FOB′和水平向左的静摩擦力作用，由平衡条件得f＝FOB′
又FOB′＝FOB
所以f＝FOB＝m1g。
(3)当人刚要滑动时，甲的质量达到最大，此时人受到的静摩擦力达到最大值，有fm＝μm2g
由平衡条件得FOBm′＝fm
又FOBm′＝FOBm＝m1mgtan θ＝m1mg
联立解得m1m＝＝＝24 kg
即物体甲的质量最大不能超过24 kg。
答案：(1)m1g m1g (2)m1g 水平向左
(3)24 kg
第11课时 力的平行四边形定则(实验提能课)
一、实验目的
1．验证互成角度的两个共点力合成时的平行四边形定则。
2．学会用作图法处理实验数据和得出实验结论。
二、实验原理
等效思想：使一个力F′的作用效果和两个力F1和F2的作用效果相同，都是使同一条一端固定的橡皮条伸长到同一点O，即伸长量相同，所以F′为F1和F2的合力，作出力F′的图示，再根据平行四边形定则作出力F1和F2的合力F的图示，比较F、F′在实验误差允许的范围内是否大小相等、方向相同。
三、实验器材
方木板、白纸、弹簧测力计(两个)、橡皮条、细绳套(两个)、三角板、刻度尺、图钉、铅笔。
四、实验步骤
1．仪器安装
(1)按实验原理图所示，用图钉把白纸钉在水平桌面上的方木板上。
(2)用图钉把橡皮条的一端固定在A点，橡皮条的另一端拴上两个细绳套。
2．测量与记录
(1)用两个弹簧测力计分别钩住细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条与绳的结点伸长到某一位置O，记录两弹簧测力计的读数F1、F2，用铅笔描下O点的位置及此时两细绳的方向。
(2)只用一个弹簧测力计通过细绳套把橡皮条的结点拉到同样的位置O，记下弹簧测力计的读数F′和细绳的方向。
(3)改变两弹簧测力计拉力的大小和方向，再重做两次实验。
五、数据处理
1．用铅笔和刻度尺从结点O
沿两条细绳方向画直线，按选定的标度作出这两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并以F1和F2为邻边用刻度尺作平行四边形，过O点画平行四边形的对角线，此对角线即为合力F的图示。
2．用刻度尺从O点按同样的标度沿记录的方向作出实验步骤中只用一个弹簧测力计的拉力F′的图示。
3．比较F与F′是否完全重合或几乎完全重合，从而验证平行四边形定则。
六、误差分析
1．读数误差
减小读数误差的方法：弹簧测力计数据在条件允许的情况下，尽量大一些。读数时眼睛一定要平视，要按有效数字的读数规则正确地读数和记录。
2．作图误差
减小作图误差的方法：作图时两力的对边一定要平行，两个分力F1、F2间的夹角越大，用平行四边形作出的合力F的误差ΔF就越大，所以实验中不要把F1、F2间的夹角取得太大。
七、注意事项
1．位置不变
在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点的位置一定要相同。
2．角度合适
用两个弹簧测力计钩住细绳套互成角度地拉橡皮条时，其夹角不宜太小，也不宜太大，以60°～100°之间为宜。
3．尽量减少误差
(1)在合力不超出弹簧测力计量程及在橡皮条弹性限度内，形变应尽量大一些。
(2)细绳套应适当长一些，便于确定力的方向。
4．统一标度
在同一次实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些。
考点(一) 实验原理与操作
[例1] 某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB与OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。
(1)如果没有操作失误，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。
(2)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法 B．等效替代法
C．控制变量法 D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O。记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数F1和F2；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F；
E．只用一个弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数F′，记下细绳的方向，按同一标度作出F′的图示；
F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。
上述步骤中：①有重要遗漏的步骤的序号是________和________；
②遗漏的内容分别是________________________________________________和___________________________________。
[解析] (1)由一个弹簧测力计拉橡皮条至O点的拉力一定沿AO方向；而根据平行四边形定则作出的合力，由于误差的存在，不一定沿AO方向，故一定沿AO方向的是F′。
(2)一个力的作用效果与两个力的作用效果相同，它们的作用效果可以等效替代，所以本实验采用的科学方法是等效替代法，B正确。
(3)①根据“验证力的平行四边形定则”实验的操作步骤可知，有重要遗漏的步骤的序号是C、E。
②在C中未记下两条细绳的方向，E中未说明是否把橡皮条的结点拉到同一位置O。
[答案] (1)F′ (2)B (3)①C E ②C中应加上“记下两条细绳的方向” E中应说明“把橡皮条的结点拉到同一位置O”
实验分“探究型实验”和“验证型实验”
两种，比如可以两分力为邻边，以合力为对角线画出四边形，分析此四边形是否是平行四边形，即可验证平行四边形定则。
考点(二) 数据处理与误差分析
[例2] (2018·大连重点中学联考)将橡皮筋的一端固定在A点，另一端拴上两根细绳，每根细绳分别连着一个量程为5 N、最小刻度为0.1 N的弹簧测力计，沿着两个不同的方向拉弹簧测力计，当橡皮筋的活动端拉到O点时，两根细绳相互垂直，如图甲所示。这时弹簧测力计的读数可从图中读出。
(1)由图甲可读得两个相互垂直的拉力的大小分别为________N和________N。
(2)在如图乙所示的方格纸上按作图法的要求画出这两个力及它们的合力。
(3)图丙中a、b两图是两位同学得到的实验结果，其中哪一个图符合实际？若合力测量值F′是准确的，则F与F′有误差的原因可能有哪些？
[解析] (1)弹簧测力计的最小刻度为0.1 N，读数时应估读一位，所以读数分别为2.50 N和4.00 N。
(2)取一个小方格的边长表示0.50 N，作出两个力及它们的合力如图所示。
(3)F′是用一个弹簧测力计拉橡皮筋所得到的，其方向一定在橡皮筋所在直线上，所以b图符合实际。产生误差的原因主要是弹簧测力计读数偏差，确定分力方向不够准确等。
[答案] (1)2.50 4.00(或4.00 2.50) (2)见解析图 (3)b图 误差原因见解析
实验题目也要尊重客观事实，比如本题第(3)问，F是利用平行四边形定则作图得到的合力，F′是使用一个弹簧测力计时的测量值，F的大小和方向有一定的误差，但是F′的方向一定沿着橡皮筋所在直线。
合力、分
力的变化
(1)分力的获得：弹簧测力计的拉力→钩码的重力
(2)合力的获得：弹簧测力计的拉力→重物的重力→钩码的重力
实验器
材的变化
[例3] (2018·河南模拟)某同学找到一条遵循胡克定律的橡皮筋并利用如下实验器材验证平行四边形定则：刻度尺、三角板、铅笔、细绳、白纸、钉子、质量不同的小重物若干、木板。实验方案如下：
①将橡皮筋的两端分别与两条细绳相连，测出橡皮筋的原长；
②将橡皮筋一端细绳用钉子固定在竖直木板上的A点，在橡皮筋的中点O用细绳系住重物，使重物自然下垂，如图甲所示；
③将橡皮筋的另一端细绳固定在竖直木板上的B点，如图乙所示。
(1)为完成本实验，下列还必须测量的物理量为________。(填选项前字母)
A．小重物的质量
B．细绳的长度
C．图甲中OA段橡皮筋的长度
D．图乙中OA和OB段橡皮筋的长度
(2)在完成本实验的过程中，必须注意的事项是______。(填选项前字母)
A．橡皮筋两端连接的细绳长度必须相同
B．图乙中A、B两点必须等高
C．图乙中连接小重物的细绳必须在OA、OB夹角的角平分线上
D．记录图甲中O点的位置和OA的方向
E．记录图乙中O点的位置和OA、OB的方向
(3)若钉子位置固定，利用现有器材改变实验效果，可采用的方法是________。
[解析] (1)橡皮筋遵循胡克定律，要测量拉力可以通过测量橡皮筋的长度和原长，得到橡皮筋的伸长量，根据拉力大小与伸长量成比例作力的图示。为了使两次实验效果相同，必须记下题图甲中OA段橡皮筋的长度、题图乙中OA和OB段橡皮筋的长度作参照，故选C、D。
(2)橡皮筋连接的细绳要稍微长些，并非要求等长，A错误；题图乙中A、B两点不用必须等高，B错误；题图乙中连接小重物的细绳可以在OA、OB夹角的角平分线上，也可以不在，C错误；题图甲中O点的位置和OA的方向不需要记录，D错误；需要记录题图乙中O点的位置和OA、OB的方向，E正确。
(3)在钉子位置不变的情况下，要改变实验效果，只有改变小重物的质量。故可采用的方法是更换小重物。
[答案] (1)CD (2)E (3)更换小重物
本题属于创新型实验，主要是在实验器材和实验方案等方面进行了改进，题中不能准确地测出力的大小，但是由于橡皮筋的弹力大小与形变量成正比，因此采用比例法进行作图，在实验时只需要测量出橡皮筋的伸长量即可。
1．(2018·苏北四市期中)某同学用如图甲所示的装置研究合力与分力之间是否遵从平行四边形定则，实验步骤如下：
(1)用图钉把白纸固定在水平的木板上，将橡皮条的一端固定在板上某点，两个细绳套系在橡皮条的另一端。
(2)用两个弹簧测力计分别拉住两个细绳套，互成角度地施加水平拉力，把橡皮条与绳套的结点拉到某一位置O，用铅笔在白纸上描下此位置，记录此时两个弹簧测力计的拉力F1、F2的大小和方向。图中F2为________N(弹簧测力计的单位为N)。
(3)用一个弹簧测力计拉橡皮条，把橡皮条与绳套的结点拉到________位置，记录弹簧测力计拉力F的大小和方向。
(4)如图乙，在白纸上已作出F1、F的图示及F2的方向，根据图中标度作出F2的图示。
(5)以F1、F2为邻边画平行四边形，作出所夹对角线F′，比较F和F′，如果满足________________________________，就可说明合力与分力之间遵从平行四边形定则。
解析：(2)题图中F2为4.50 N。
(3)根据实验原理知，用一个弹簧测力计拉橡皮条，应把橡皮条与绳套的结点拉到O位置，记录弹簧测力计拉力F的大小和方向。
(4)如图所示。
(5)以F1、F2为邻边画平行四边形，作出所夹对角线F′，比较F和F′，如果满足F′和F的大小和方向近似相同，就可说明合力与分力之间遵从平行四边形定则。
答案：(2)4.50 (3)O (4)见解析图 (5)F′和F的大小和方向近似相同
2．某同学用如图所示的实验装置来验证“力的平行四边形定则”。弹簧测力计A挂于固定点P，下端用细线挂一重物M。弹簧测力计B的一端用细线系于O点，手持另一端向左拉，使结点O静止在某位置。分别读出弹簧测力计A和B的示数，并在贴于竖直木板的白纸上记录O点的位置和拉线的方向。
(1)本实验用的弹簧测力计示数的单位为N，图中A的示数为________N。
(2)下列不必要的实验要求是________。
A．应测量重物M所受的重力
B．弹簧测力计应在使用前校零
C．拉线方向应与木板平面平行
D．改变拉力，进行多次实验，每次都要使O点静止在同一位置
(3)某次实验中，该同学发现弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，请提出两个解决办法。
解析：(1)弹簧测力计的最小刻度为0.2 N，所以A的示数为3.6 N。
(2)根据三力平衡的特点可知，弹簧测力计A、B的拉力的合力与重物M的重力等值反向，故A项是必要的；弹簧测力计的零点误差影响各拉力的测量值，所以使用前需校零，B项是必要的；只有拉线方向与木板平面平行，才能保证所研究的各力在同一平面内，C项是必要的；实验中只需测出两拉力的大小和方向以及重物的重力即可验证平行四边形定则，而弹簧测力计A的拉力不同时O点的位置就不同，故没必要使O点静止在同一位置，D不必要。
(3)弹簧测力计A的指针稍稍超出量程，说明拉弹簧测力计A的力过大，可行的解决方法有：①改变弹簧测力计B拉力的大小或方向；②减小重物M的质量(或将A更换成较大量程的弹簧测力计)。
答案：(1)3.6 (2)D (3)见解析
3．(2017·全国Ⅲ卷)某探究小组做“验证力的平行四边形定则”
实验，将画有坐标轴(横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm)的纸贴在水平桌面上，如图(a)所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点(位于图示部分之外)，另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。
(1)用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图(b)所示，F的大小为________N。
(2)撤去(1)中的拉力，橡皮筋P端回到A点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。此时观察到两个拉力分别沿图(a)中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1＝4.2 N和F2＝5.6 N。
(ⅰ)用5 mm长度的线段表示1 N的力，以O为作用点，在图(a)中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合；
(ⅱ)F合的大小为________N，F合与拉力F的夹角的正切值为________。
若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证了力的平行四边形定则。
解析：(1)由测力计的读数规则可知，读数为4.0 N。(2)(ⅰ)利用平行四边形定则作图，如图所示。
(ⅱ)由图可知F合＝4.0 N，从F合的顶点向x轴和y轴分别作垂线，顶点的横坐标对应长度为1 mm，顶点的纵坐标长度为20 mm，则可得出F合与拉力F的夹角的正切值为0.05。
答案：(1)4.0 (2)(ⅰ)见解析图 (ⅱ)4.0 0.05
4．(2014·江苏高考)小明通过实验验证力的平行四边形定则。
(1)实验记录纸如图1所示，O点为橡皮筋被拉伸后伸长到的位置，两弹簧测力计共同作用时，拉力F1和F2的方向分别过P1和P2点；一个弹簧测力计拉橡皮筋时，拉力F3的方向过P3点。三个力的大小分别为：F1＝3.30 N、F2＝3.85 N和F3＝4.25 N。请根据图中给出的标度作图求出F1和F2的合力。
图1
(2)仔细分析实验，小明怀疑实验中的橡皮筋被多次拉伸后弹性发生了变化，影响实验结果。他用弹簧测力计先后两次将橡皮筋拉伸到相同长度，发现读数不相同，于是进一步探究了拉伸过程对橡皮筋弹性的影响。
实验装置如图2所示，将一张白纸固定在竖直放置的木板上，橡皮筋的上端固定于O点，下端N挂一重物。用与白纸平行的水平力缓慢地移动N，在白纸上记录下N的轨迹。重复上述过程，再次记录下N的轨迹。
两次实验记录的轨迹如图3所示。过O点作一条直线与轨迹交于a、b两点，则实验中橡皮筋分别被拉伸到a和b时所受拉力Fa、Fb的大小关系为________。
(3)根据(2)中的实验，可以得出的实验结果有哪些？________(填写选项前的字母)
A．橡皮筋的长度与受到的拉力成正比
B．两次受到的拉力相同时，橡皮筋第2次的长度较长
C．两次被拉伸到相同长度时，橡皮筋第2次受到的拉力较大
D．两次受到的拉力相同时，拉力越大，橡皮筋两次的长度之差越大
(4)根据小明的上述实验探究，请对验证力的平行四边形定则实验提出两点注意事项。
解析：(1)作出的图示如图所示。
(2)以重物为研究对象，进行受力分析：重物受到重力、水平向右的拉力和橡皮筋的拉力，重物处于静止状态的合力为零，因橡皮筋的拉力方向相同，故橡皮筋的拉力相等，即Fa
＝Fb。
(3)由(2)中的实验，只能得出橡皮筋的形变量和所受到的力有关，选项A错误；从图上看，第2次运动轨迹远离O点，橡皮筋第2次的形变量大，B正确；两次拉伸到相同长度，第2次对应的力小，选项C错误；拉力越大，由题图3可得橡皮筋两次的长度差越大，故选项D正确。
(4)注意选取橡皮筋的技巧：一要新，二要弹性好；三不要超过弹性限度。故拉力不应该太大；橡皮筋不能太长；选用弹性较好的橡皮筋。
答案：(1)见解析图 (2)Fa＝Fb (3)BD (4)橡皮筋拉伸不宜过长；选用新橡皮筋。(或：拉力不宜过大；选用弹性好的橡皮筋；换用弹性好的弹簧。)
5．(2018·盐城期中考试)为验证力的平行四边形定则，某同学将环形橡皮筋挂在弹簧测力计挂钩上，用力拉使弹簧测力计上的读数为2.00 N时，将橡皮筋两端的位置画在白纸上，记为O、O′，选择合适的标度，作出橡皮筋拉力的大小和方向，记为FOO′，如图甲所示。接着他在弹簧测力计挂钩和两支圆珠笔上涂抹少许润滑油，用两支圆珠笔和弹簧测力计挂钩将环形橡皮筋拉成三角形，使弹簧测力计挂钩的下端仍到达O点，将两笔尖的位置标记为A、B，橡皮筋OA段的拉力记为FOA，OB段的拉力记为FOB，如图乙所示。再将环形橡皮筋剪断，测得其所受的拉力F与长度l之间的关系，如图丙所示。完成下列问题：
(1)测得OA＝6.10 cm，OB＝8.20 cm，AB＝10.70 cm，则FOA的大小为________N。
(2)选择相同的标度，下列按比例作出的FOA和FOB的合力F′的图示正确的是________。
(3)通过比较F′与________的大小和方向，即可得出实验结论。
解析：(1)因为是一根橡皮筋，FOA＝FOB，l＝OA＋OB＋AB＝25.00 cm，根据题图丙可以得出，FOA＝FOB＝1.50 N。
(2)因为FOA＝FOB，由平行四边形定则可知，C正确。
(3)F′是根据平行四边形得出的合力的测量值，合力的测量值要和合力的真实值FOO′来比较进而得出实验结论定则。
答案：(1)1.50 (2)C (3)FOO′
6．(2018·广州模拟)一同学用电子秤、水壶、细线、墙钉和贴在墙上的白纸等物品，在家中验证力的平行四边形定则。
(1)如图甲，在电子秤的下端悬挂一装满水的水壶，记下水壶______时电子秤的示数F。
(2)如图乙，将三细线L1、L2、L3的一端打结，另一端分别拴在电子秤的挂钩、墙钉A和水壶杯带上。水平拉开细线L1，在白纸上记下结点O的位置、__________和电子秤的示数F1。
(3)如图丙，将另一颗墙钉B钉在与O同一水平位置上，并将L1拴在其上。手握电子秤沿着(2)中L2的方向拉开细线L2，使______________和三根细线的方向与(2)中重合，记录电子秤的示数F2。
(4)在白纸上按一定标度作出电子秤拉力F、F1、F2的图示，根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若________________，则平行四边形定则得到验证。
解析：(1)要测量装满水的水壶的重力，需记下水壶静止时电子秤的示数F。
(2)要画出平行四边形，则需要记录分力的大小和方向，所以在白纸上记下结点O的位置的同时，也要记录三细线的方向以及电子秤的示数F1。
(3)已经记录了一个分力的大小，还要记录另一个分力的大小，则结点O位置不能变化，力的方向也不能变化，所以应使结点O的位置和三根细线的方向与(2)中重合，记录电子秤的示数F2。
(4)根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若F和F′在误差允许的范围内重合，则平行四边形定则得到验证。
答案：(1)静止 (2)三细线的方向 (3)结点O的位置
(4)F和F′在误差允许的范围内重合
一、单项选择题
1．(2018·江阴模拟)如图所示，P是位于水平粗糙桌面上的物块，用跨过光滑轻质定滑轮的轻绳将P与钩码Q相连，Q的质量为m，在P向右匀速运动的过程中，桌面上的绳子始终是水平的，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．P所受拉力的施力物体是钩码Q，大小等于mg
B．P所受拉力的施力物体是绳子，大小等于mg
C．P所受摩擦力的方向水平向左，大小一定小于mg
D．P所受摩擦力的方向水平向左，大小一定大于mg
解析：选B P只受绳子的作用，不受钩码Q的作用，故A错误；P所受拉力的施力物体为绳子，大小等于钩码Q的重力mg，故B正确；P所受到的摩擦力方向与拉力方向相反，故水平向左；根据平衡关系可知，其大小一定等于mg，故C、D错误。
2．(2018·南通学情检测)减速带是交叉路口上常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是( )
解析：选B 弹力作用线穿过两个圆的圆心，其分力效果是一个支持车轮，一个阻碍车轮，故B正确。
3．(2018·新乡模拟)如图所示为建筑工地一个小型起重机起吊重物的示意图。一根轻绳跨过光滑的动滑轮，轻绳的一端系在位置A处，动滑轮的下端挂上重物，轻绳的另一端挂在起重机的吊钩C处，起吊重物前，重物处于静止状态。起吊重物过程是这样的：先让吊钩从位置C竖直向上缓慢地移动到位置B，然后再让吊钩从位置B水平向右缓慢地移动到D，最后把重物卸在某一个位置。则关于轻绳上的拉力大小变化情况，下列说法正确的是( )
A．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力不变
B．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力变小
C．吊钩从C向B移动过程中，轻绳上的拉力变大
D．吊钩从B向D移动过程中，轻绳上的拉力不变
解析：选A 由C到B时，两轻绳夹角不变，故轻绳上的拉力不变，由B到D时，两轻绳夹角增大，2FTcos＝mg，轻绳上的拉力变大。只有A正确。
4．(2018·江苏清江中学周练)如图所示，底面粗糙、斜面光滑的斜面体M，放在粗糙水平地面上，弹簧的一端固定在墙面上，另一端与放在斜面上的物块m相连，弹簧的轴线与斜面平行。当物块在斜面上做周期性往复运动时，斜面体保持静止，下列图中能正确表示地面对斜面体的摩擦力f
随时间t变化规律的是( )
解析：选A 对斜面体受力分析，斜面体受到物块垂直斜面的压力，自身的重力，地面的支持力和摩擦力，如图所示。故受到地面的摩擦力f＝N1sin θ，因为N1＝mgcos θ(θ为斜面的倾角)，所以f＝mgcos θsin θ，物块的质量和斜面的倾角都是定值，故地面对斜面体的摩擦力恒定不变，A项正确。
5．如图，一质量为m的正方体物块置于风洞内的水平面上，其一面与风速垂直，当风速为v0时刚好能推动该物块。已知风对物块的推力F∝Sv2，其中v为风速，S为物块迎风面积。当风速变为2v0时，刚好能推动用同一材料做成的另一正方体物块，则该物块的质量为( )
A．4m B．8m C．32m D．64m
解析：选D 根据题意知F＝kSv2，其中k为常量，根据水平方向二力平衡有μmg＝kSv2，设物块的密度为ρ，正方体物块的边长为L，则m＝ρL3，S＝L2，得μmg＝kv2，即m∝v6，根据比值法，当风速为2v0时，该物块的质量为64m，选项D正确。
二、多项选择题
6．(2018·衢州质检)如图所示，质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速直线运动，已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为( )
A．μmg B．μ(mg＋Fsin θ)
C．μ(mg－Fsin θ) D．Fcos θ
解析：选BD 对木块进行受力分析如图所示，将F进行正交分解，由于木块做匀速直线运动，所以在x轴和y轴均受力平衡，即Fcos θ ＝Ff，FN＝mg＋Fsin θ，又由于Ff＝μFN，故Ff＝μ(mg＋Fsin θ)，B、D项正确。
7．(2018·嘉兴联考)如图所示，在高度不同的两水平台阶上放有质量分别为m1、m2的两物体，物体间用轻弹簧相连，弹簧与竖直方向的夹角为θ。在m1左端施加水平拉力F，使m1、m2均处于静止状态，已知m1表面光滑，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．弹簧弹力的大小为
B．地面对m2的摩擦力大小为F
C．地面对m2的支持力可能为零
D．m1与m2一定相等
解析：选AB 对整体受力分析可知，整体受重力、支持力、拉力F，要使整体处于平衡，则水平方向一定有向右的摩擦力作用在m2上，且大小与F相同，故B正确；因m2与地面间有摩擦力，则地面对其一定有支持力，故C错误；对m1受力分析可知，弹力水平方向的分力应等于F，故弹力大小为，故A正确；因竖直方向上的受力不明确，无法确定m1、m2的质量关系，故D错误。
8．(2018·平顶山统考)有一堆砂子在水平面上堆成圆锥形，稳定时底角为α，如图所示。如果视每粒砂子完全相同，砂子与砂子之间，砂子与地面之间的动摩擦因数均为μ，砂子之间的最大静摩擦力可近似认为与滑动摩擦力相等，下列说法正确的是( )
A．砂堆稳定时，砂堆底面受到地面的摩擦力一定为零
B．砂堆稳定时，只有形成严格规则的圆锥，底面受到地面的摩擦力才为零
C．砂堆稳定时形成的圆锥的底角最大值满足tan αmax＝μ
D．砂堆稳定时形成的圆锥的底角最大值满足cos αmax＝μ
解析：选AC 对砂堆整体受力分析，受到重力和地面的支持力，水平方向上不受力，A正确；不论砂堆的形状是否为规则的圆锥形，整体受力不变，B错误；对砂堆侧面上的某粒砂子受力分析，如图所示，则FN＝mgcos α，Ff＝mgsin α，Ff≤μFN，解得tan αmax＝μ，C正确，D错误。
9．如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止。Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小。若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则( )
A．Ff变小 B．Ff不变 C．FN变小 D．FN变大
解析：选BD 系统处于平衡状态，以整体为研究对象，在竖直方向：2Ff＝(2m＋M)g，Ff＝g，与两板间距离无关，B正确；以点O为研究对象，受力分析如图，且F＝F′，根据平衡条件有：2Fcos ＝Mg，所以F＝，挡板间的距离稍许增大后，硬杆OO1、OO2之间的夹角θ变大，F变大，则FN＝Fsin 变大，即木块与挡板间正压力变大，D正确。
三、非选择题
10．(2018·镇江模拟)在“探究求合力的方法”实验中，某同学用两支弹簧测力计将橡皮筋的端点拉到点O，作出这两个拉力F1、F2的图示(图甲)，然后只用一支弹簧测力计将橡皮筋的端点仍然拉到点O，弹簧测力计示数F如图乙所示。
(1)弹簧测力计的示数F＝________N。
(2)请帮他在图甲中画出力F的图示(图中a为记录F方向时所记录的一点)。
(3)该同学用虚线把F的箭头末端分别与F1、F2的箭头末端连起来，他观察图形后受到了启发。你认为他紧接着应进行的两个实验步骤是________。
A．整理实验器材
B．提出求合力方法的猜想
C．改变F1、F2的大小和方向，重复上述实验
D．与同学交流讨论实验结果，得出结论
解析：(1)弹簧测力计的最小刻度为0.2 N，读数为2.8 N。
(2)F的方向应与橡皮筋在一条直线上，如图所示。
(3)本实验的目的是“探究求合力的方法”，该同学紧接的实验步骤应是提出求合力方法的猜想，然后改变F1、F2的大小和方向，重复实验进行验证。
答案：(1)2.8 (2)见解析图 (3)BC
11．(2018·吉林东北师大附中模拟)如图所示，一粗糙斜面的倾角θ＝37°，物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，一质量为m＝5 kg的物块在水平力F的作用下静止在斜面上，g取10 m/s2，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)要使物块恰能静止在斜面上(即与斜面没有相对滑动的趋势)，F应为多大；
(2)要使物块静止在斜面上，F应在什么范围内。
解析：(1)要使物块恰能静止在斜面上，则摩擦力为零，
有F＝mgtan θ＝37.5 N。
(2)当F较大时，摩擦力沿斜面向下，
有Fmaxsin θ＋mgcos θ＝FN，
Fmaxcos θ＝mgsin θ＋fm，fm＝μFN，
联立解得Fmax＝100 N。
当F较小时，摩擦力沿斜面向上，
有Fmincos θ＋μ(Fminsin θ＋mgcos θ)＝mgsin θ，
解得Fmin≈9.09 N。
故F的范围为9.09 N≤F≤100 N。
答案：(1)37.5 N (2)9.09 N≤F≤100 N
12．(2018·昆山一模)一个底面粗糙、质量为M的斜劈放在粗糙的水平面上，斜劈的斜面光滑且与水平面成30°角；现用一端固定的轻绳系一质量为m的小球，小球放在斜面上，小球静止时轻绳与竖直方向的夹角也为30°，如图所示。求：
(1)当斜劈静止时轻绳的拉力大小；
(2)若地面对斜劈的最大静摩擦力等于地面对斜劈支持力的k倍，为使整个系统静止，k值必须满足什么条件。
解析：(1)以小球为研究对象，其受力如图甲所示，建立如图所示直角坐标系，对FT和mg进行正交分解，由小球的平衡条件可知FTcos 30°＝mgsin 30°，得FT＝mg。
(2)以斜劈和小球整体为研究对象，受力情况如图乙所示，由整体的平衡条件可得Ff＝FTcos 60°，
为使整个系统静止，其临界状态是静摩擦力Ff为最大值，即有
Ff＝k[(M＋m)g－FTsin 60°]，
联立以上两式可得k＝，
即k值必须满足k≥。
答案：(1)mg (2)k≥
