2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题13空间几何体教学案文(含解析)

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文档介绍

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题13空间几何体教学案文(含解析)

空间几何体 ‎【2019年高考考纲解读】‎ ‎1.以三视图为载体,考查空间几何体面积、体积的计算.‎ ‎2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.‎ ‎【重点、难点剖析】‎ 一、 三视图与直观图 ‎1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面,长度与正(主)视图的长度一样,侧(左)视图放在正(主)视图的右面,高度与正(主)视图的高度一样,宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”.‎ ‎2.由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体.‎ 二、几何体的表面积与体积 空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点,解决这类问题,首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式,其次要掌握一定的技巧,如把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧,把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.‎ 三、多面体与球 与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.如球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面解题,球与多面体的组合,通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图.‎ ‎【高考题型示例】‎ 题型一、 三视图与直观图 例1、(1)(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(  )‎ 12‎ 答案 A 解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示,由直观图可知其俯视图应选A.‎ ‎(2)[2018·全国卷Ⅰ]某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  )‎ A.2    B.2 C.3 D.2‎ ‎【解析】先画出圆柱的直观图,根据题图的三视图可知点M,N的位置如图①所示.‎ ‎① ②‎ 圆柱的侧面展开图及M,N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示,连接MN,则图中MN即为M到N的最短路径.‎ ON=×16=4,OM=2,‎ ‎∴ |MN|===2.‎ 故选B.‎ ‎【答案】B ‎【方法技巧】‎ ‎1.由直观图确认三视图的方法 根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认.‎ 12‎ ‎2.由三视图还原到直观图的思路 ‎(1)根据俯视图确定几何体的底面.‎ ‎(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置.‎ ‎(3)确定几何体的直观图形状.‎ ‎【变式探究】某几何体的正(主)视图与俯视图如图所示,则其侧(左)视图可以为(  )‎ 答案 B 解析 由俯视图与正(主)视图可知,该几何体可以是一个三棱柱挖去一个圆柱,因此其侧(左)视图为矩形内有一条虚线,虚线靠近矩形的左边部分,只有选项B符合题意,故选B.‎ ‎(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱CD,CC1,A1B1的中点,用过点E,F,G的平面截正方体,则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为(  )‎ 答案 C 解析 取AA1的中点H,连接GH,则GH为过点E,F,G的平面与正方体的面A1B1BA的交线.‎ 延长GH,交BA的延长线与点P,连接EP,交AD于点N,则NE为过点E,F,G的平面与正方体的面ABCD的交线.同理,延长EF,交D1C1的延长线于点Q,连接GQ,交B1C1于点M,则FM为过点E,F,G 12‎ 的平面与正方体的面BCC1B1的交线.所以过点E,F,G的平面截正方体所得的截面为图中的六边形EFMGHN.‎ 故可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为选项C所示.‎ ‎【感悟提升】空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图,因此在分析空间几何体的三视图问题时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果.在还原空间几何体实际形状时,一般是以正(主)视图和俯视图为主,结合侧(左)视图进行综合考虑. ‎ ‎【变式探究】有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这块菜地的面积为________.‎ 答案 2+ 解析 如图,在直观图中,过点A作AE⊥BC,垂足为点E,‎ 则在Rt△ABE中,AB=1,∠ABE=45°,∴BE=.‎ 而四边形AECD为矩形,AD=1, ‎ ‎∴EC=AD=1,∴BC=BE+EC=+1.‎ 由此可还原原图形如图所示.‎ 12‎ 在原图形中,A′D′=1,A′B′=2,B′C′=+1,‎ 且A′D′∥B′C′,A′B′⊥B′C′,‎ ‎∴这块菜地的面积为S=(A′D′+B′C′)·A′B′‎ ‎=××2=2+.‎ 题型二 几何体的表面积与体积 例2、(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为________.‎ 答案 40π ‎【变式探究】[2018·天津卷] 已知正方体ABCDA1B‎1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥MEFGH的体积为________.‎ 12‎ ‎【解析】依题意,易知四棱锥MEFGH是一个正四棱锥,且底面边长为,高为.‎ 故VMEFGH=×2×=.‎ ‎【答案】  ‎【方法技巧】‎ ‎1.求解几何体的表面积及体积的技巧 ‎(1)求几何体的表面积及体积问题,可以多角度、多方位地考虑,熟记公式是关键.求三棱锥的体积,等体积转化是常用的方法,转化原则是其高易求,底面放在已知几何体的某一面上.‎ ‎(2)求不规则几何体的体积,常用分割或补形的方法,将不规则几何体转化为规则几何体易于求解.‎ ‎2.根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 ‎(1)根据给出的三视图判断该几何体的形状.‎ ‎(2)由三视图中的大小标示确定该几何体的各个度量.‎ ‎(3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解. 格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(  )‎ A.8+4+8 B.24+4 C.8+20 D.28‎ 答案 A 解析 由三视图可知,该几何体的下底面是长为4,宽为2的矩形,左右两个侧面是底边为2,高为2的三角形,前后两个侧面是底边为4,高为的平行四边形,所以该几何体的表面积为S=4×2+2××2×2+2×4×=8+4+8. ‎ ‎(2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是________,表面积是________.‎ 12‎ 答案 π 6+(6+)π 解析 由三视图知,该几何体是由四分之一球与半个圆锥组合而成,则该组合体的体积为V=×π×23+×π×22×3=π,‎ 表面积为S=×4π×22+×π×22+×4×3+××2π×2×=6+π.‎ ‎【变式探究】(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积,然后求和.‎ ‎(2)求简单几何体的体积时,若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求解;求组合体的体积时,若所给定的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,常用转换法、分割法、补形法等进行求解;求以三视图为背景的几何体的体积时,应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.‎ ‎【变式探究】中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),若π取3,其体积为12.6立方寸,则图中的x为(  )‎ A.1.6 B.1.8 C.2.0 D.2.4‎ 答案 A 解析 由三视图知,商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成.‎ 由题意得,(5.4-x)×3×1+πx2=12.6,‎ 解得x=1.6.‎ ‎(2)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(  )‎ 12‎ A.11 B.9 C.7 D.5‎ 答案 D 解析 由三视图知,该几何体如图,它可分成一个三棱锥E-ABD和一个四棱锥B-CDEF,则V=××3×3×2+×1×2×3=5.‎ 题型三、多面体与球 例3、[2018·全国卷Ⅲ]设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9,则三棱锥D ABC体积的最大值为(  )‎ A.12  B.18 C.24 D.54 故选B.‎ 12‎ ‎【答案】B ‎【变式探究】‎ 已知正三角形ABC的边长为2,将它沿高AD翻折,使点B与点C间的距离为,此时四面体ABCD的外接球的表面积为________.‎ ‎【解析】如图(1),在正三角形ABC中,AB=BC=AC=2,则BD=DC=1,AD=.在翻折后得到的几何体中,如图(2),AD⊥BD,AD⊥CD,则AD⊥平面BCD,三棱锥A-BCD的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球,球心到截面BCD的距离d=AD=.在△BCD中,BC=,则由余弦定理,得cos∠BDC===-,所以∠BDC=120°.‎ 设球的半径为R,△BCD的外接圆半径为r,则由正弦定理,得2r===2,解得r=1,则球的半径R===,故球的表面积S=4πR2=4π×2=7π.‎ ‎【答案】7π ‎【方法技巧】‎ ‎(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时,一般过球心及多面体中的特殊点或线作截面,把空间问题化归为平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系.‎ ‎(2)球心与截面圆心的连线垂直圆面,其距离为d,常利用直角三角形建立量的关系,R2=d2+r2.‎ ‎【变式探究】(1)已知正三棱锥S-ABC的顶点均在球O的球面上,过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图所示,已知三棱锥的体积为2,则球O的表面积为(  )‎ A.16π B.18π 12‎ C.24π D.32π 答案 A 解析 设正三棱锥的底面边长为a,外接球的半径为R,‎ 因为正三棱锥的底面为正三角形,边长为a,‎ 则AD=a,则AO=AD=a,‎ 所以a=R,即a=R,‎ 又因为三棱锥的体积为2,‎ 所以×a2R=××2×R=2,‎ 解得R=2,所以球的表面积为S=4πR2=16π.‎ ‎(2)如图是某三棱锥的三视图,则此三棱锥内切球的体积为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCD-A1B1C1D1中,‎ 三棱锥B-KLJ即为所求的三棱锥,‎ 其中KC1=9,C1L=LB1=12,B1B=16,‎ ‎∴=,‎ 则△KC1L∽△LB1B,∠KLB=90°,‎ 12‎ 故可求得三棱锥各面面积分别为 S△BKL=150,S△JKL=150,S△JKB=250,S△JLB=250,‎ 故表面积为S表=800.‎ 三棱锥体积V=S△BKL·JK=1 000,‎ 设内切球半径为r,则r==,‎ 故三棱锥内切球体积V球=πr3=.‎ ‎【变式探究】三棱锥P-ABC可通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 ‎(1)点P可作为长方体上底面的一个顶点,点A,B,C可作为下底面的三个顶点.‎ ‎(2)P-ABC为正四面体,则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线. ‎ ‎【变式探究】(1)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,若AB=2,BC=3,PA=4,则该三棱锥的外接球的表面积为(  ) ‎ A.13π B.20π C.25π D.29π 答案 D ‎(2)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,记该圆锥的内切球的表面积为S1,外接球的表面积为S2,则等于(  )‎ A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶8‎ 答案 C 解析 如图,‎ 12‎ 由已知圆锥侧面积是底面积的2倍,不妨设底面圆半径为r,l为底面圆周长,R为母线长, ‎ 则lR=2πr2,‎ 即·2π·r·R=2πr2,‎ 解得R=2r,故∠ADC=30°,则△DEF为等边三角形,‎ 设B为△DEF的重心,过B作BC⊥DF,‎ 则DB为圆锥的外接球半径,BC为圆锥的内切球半径,‎ 则=,∴=,故=.‎ ‎ ‎ 12‎
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