【物理】2018届二轮复习万有引力定律学案（全国通用）
第一部分 特点描述
万有引力定律是高考的必考内容，也是高考命题的一个热点内容。考生要熟练掌握该定律的内容，还要知道其主要应用，要求能够结合该定律与牛顿第二定律估算天体质量、密度、计算天体间的距离（卫星高度）、以及分析卫星运动轨道等相关问题。由于高考计算题量减少，故本节命题应当会以选择题为主，难度较以前会有所降低。本章核心内容突出，主要考察人造卫星、宇宙速度以及万有引力定律的综合应用，与实际生活、新科技等结合的应用性题型考查较多。牢牢地抓住基本公式，建立天体运动的两个模型是解决万有引力问题的关键。复习万有引力定律的应用时分两条主线展开，一是万有引力等于向心力，二是重力近似等于万有引力。
第二部分 知识背一背
一、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。
2.公式：F=，其中G为引力常量，G=6.67×10-11 N·m2/kg2，由卡文迪许扭秤实验测定.
3.适用条件：两个质点之间的相互作用.
(1)质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用本定律来计算，其中r为两球心间的距离。
(2)一个质量分布均匀的球体和球外一个质点之间的万有引力也适用，其中r为_质点到球心间的距离。
二、三种宇宙速度
三、经典时空观和相对论时空观
1.经典时空观
(1)在经典力学中，物体的质量不随运动状态而改变；
(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的.
2.相对论时空观
(1)在狭义相对论中，物体的质量随物体的速度的增加而增加，用公式表示为m= .
(2)在狭义相对论中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是不同的。
第三部分 技能+方法
考点一、万有引力定律在天体运动中的应用
1.利用万有引力定律解决天体运动的一般思路
（1）一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
（2）两组公式
G＝m＝mω2r＝m·r＝ma
mg＝(g为星体表面处的重力加速度)．
2.天体质量和密度的计算
（1）估算中心天体的质量
①从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r，就可以求出中心天体的质量M
②从中心天体本身出发:只要知道中心天体表面的重力加速度g和半径R，就可以求出中心天体的质量M
（2）设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mg＝G，即g＝(或GM＝gR2)若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝G，即g′＝＝g.
【例1】（多选）中俄联合火星探测器，2009年10月出发，经过3.5亿公里的漫长飞行，在2010年8月29日抵达了火星。双方确定对火星及其卫星“火卫一”进行探测。火卫一在火星赤道正上方运行，与火星中心的距离为9450km，绕火星1周需7h39min。若其运行轨道可看作圆形轨道，万有引力常量为G=6.67×10-11Nm2/kg2，则由以上信息能确定的物理量是 ： （ ）
A．火卫一的质量 B．火星的质量
C．火卫一的绕行速度 D．火卫一的向心加速度
【答案】BCD
【解析】
考点二、双星模型
1．模型概述：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．
2．模型特点：
(1)两颗行星做圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1＝F2，且方向相反，分别作用在m1、m2两颗行星上．
(2)由于两颗行星之间的距离总是恒定不变的，所以两颗行星的运行周期及角速度相等．
(3)由于圆心在两颗行星的连线上，所以r1＋r2＝L.
【例2】（多选）经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”。“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O
点做匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2 =3∶2，则可知： （ ）
A．m1、m2做圆周运动的角速度之比为2∶3 B．m1、m2做圆周运动的线速度之比为3∶2
C．m1做圆周运动的半径为2L/5 D．m1、m2做圆周运动的向心力大小相等
【答案】CD
【解析】
考点三、卫星的在轨运行和变轨问题
(1)圆轨道上的稳定运行
G＝m＝mrω2＝mr2
(2)变轨运行分析
当卫星由于某种原因速度v突然改变时，受到的万有引力G和需要的向心力m不再相等，卫星将偏离原轨道运动．当G＞m时，卫星做近心运动，其轨道半径r变小，由于万有引力做正功，因而速度越来越大；反之，当G＜m时，卫星做离心运动，其轨道半径r变大，由于万有引力做负功，因而速度越来越小．
3.地球同步卫星的特点
(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s.
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同.
(4)高度一定，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量).
(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致.
4.极地卫星和近地卫星
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖.
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.
(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.
【例3】2016年9月16日，北京航天飞行控制中心对天宫二号成功实施变轨控制，使天宫二号由椭圆形轨道的远地点进入近圆形轨道，等待神舟十一号到来。10月19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号自动交会对接成功，对接时的轨道高度是393公里，比神舟十号与天宫一号对接时的轨道高了50公里，这与未来空间站的轨道高度基本相同，为我国载人航天发展战略的第三步——建造空间站做好了准备。下列说法正确的是： （ ）
A．在近圆形轨道上运行时天宫一号的周期比天宫二号的长
B．在近圆形轨道上运行时天宫一号的加速度比天宫二号的小
C．天宫二号由椭圆形轨道进入近圆形轨道需要减速
D．交会对接前神舟十一号的运行轨道要低于天宫二号的运行轨道
【答案】D
【名师点睛】本题主要考查了万有引力定律、牛顿第二定律、离心运动的应用问题，关键死知道万有引力充当向心力，列出即可进行讨论；属于中档题。
第四部分 基础练+测
1、【2017·天津市五区县高三上学期期末考试】2016年9月16日，北京航天飞行控制中心对天宫二号成功实施变轨控制，使天宫二号由椭圆形轨道的远地点进入近圆形轨道，等待神舟十一号到来。10月19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号自动交会对接成功，对接时的轨道高度是393公里，比神舟十号与天宫一号对接时的轨道高了50公里，这与未来空间站的轨道高度基本相同，为我国载人航天发展战略的第三步——建造空间站做好了准备。下列说法正确的是： （ ）
A．在近圆形轨道上运行时天宫一号的周期比天宫二号的长
B．在近圆形轨道上运行时天宫一号的加速度比天宫二号的小
C．天宫二号由椭圆形轨道进入近圆形轨道需要减速
D．交会对接前神舟十一号的运行轨道要低于天宫二号的运行轨道
【答案】D
【解析】根据题意，天宫一号的轨道半径小于天宫二号，根据万有引力提供向心力A、根据，因为天宫一号的轨道半径小于天宫二号，所以天宫一号的运行周期小于天宫二号的运行周期；故A错误；根据，因为天宫一号的轨道半径小于天宫二号，所以天宫一号的加速度大于天宫二号的加速度，故B错误；天宫二号由椭圆形轨道的远地点进入近圆形轨道时，由向心运动变成圆周运动，需要的向心力增大，所以速度增大，需要做加速运动，故C错误；
由题，神舟十一号飞船与天宫二号自动交会对接成功，对接时的轨道高度是393公里，比神舟十号与天宫一号对接时的轨道高了50公里，所以交会对接前神舟十一号的运行轨道要低于天宫二号的运行轨道，故D正确；故选D．
【名师点睛】本题主要考查了万有引力定律、牛顿第二定律、离心运动的应用问题，关键死知道万有引力充当向心力，列出即可进行讨论；属于中档题。
2、【2017·四川省成都市高三第一次诊断性检测】（多选）近年来，我国航天与深潜事业的发展交相辉映，“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”已不再是梦想。若如图所示处于393 km高空圆轨道上的“神舟十一”号的向心加速度为a1、转动角速度为ωl；处于7062 m深海处随地球自转的“蛟龙”号的向心加速度为a2、转动角速度为ω2；地球表面的重力加速度为g。则下列结论正确的是： （ ）
A．ω1=ω2 B．ωl>ω2 C．al
a1 >a2
【答案】BD[
3、【2017·安徽省合肥市第一中学高三第三阶段考试】空间站是一种在近地轨道长时间运行，可供多名航天员巡防，长期工作和生活的载人航天器，如图所示，某空间站在轨道半径为R的近地圆轨道I上围绕地球运动，一宇宙飞船与空间站对接检修后再与空间站分离。分离时宇宙飞船依靠自身动力装置在很短的距离内加速，进入椭圆轨道II运行。已知椭圆轨道的远地点到地球球心的距离为3.5R，地球质量为M，万有引力常量为G，则分离后飞船在椭圆轨道上至少运动多长时间才有机会和空间站进行第二次对接： （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【名师点睛】求出航天飞船所在椭圆轨道的半长轴，根据开普勒第三定律列式求出航天飞船在轨道 II上运动的周期，要完成对接，飞船和空间站须同时到达椭圆轨道的近地点，从而求出时间．
4、【2017·河南省中原名校豫南九校高三上学期第四次质量考评】（多选）我国发射的“嫦娥三号”卫星在距月球表面高度为h的轨道上做匀速圆周运动，其运行的周期为T；卫星还在月球上软着陆，若以R表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则： （ ）
A． “嫦娥三号”绕月运行时的向心加速度大小为
B．月球的第一宇宙速度大小为
C．物体在月球表面自由下落的加速度大小为
D．由于月球表面是真空，“嫦娥三号”降落月球时，无法使用降落伞减速
【答案】BCD
【解析】根据ma=m知嫦娥三号绕约运动时的向心加速度为a=（R+h），故A错误；根据公式：，，当r=R时,环绕速度为第一宇宙速度，解得第一宇宙速度为：，故B正确；根据公式：=mr和月球表面：mg，=,得：g,= ．故C正确；降落伞只能在有空气时才能产生阻力，由于月球表面是真空，嫦娥三号降落月球时，无法使用降落伞减速，故D正确。
5、【2017·广东省佛山市第一中学高三上学期第二次段考】（多选）某同学在研究性学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料如表中所示，利用这些数据来计算地球表面与月球表面之间的距离s，则下列运算公式中正确的是： （ ）
地球半径
R=6400km
月球半径
r=1740km
地球表面重力加速度
g0=9.80m/s2
月球表面重力加速度
g′=1.56m/s2
月球绕地球转动的线速度
v=1km/s
月球绕地球转动周期
T=27.3天
光速
c=2.998×105 km/s
用激光器向月球表面发射激光光束，经过约t=2.565s接收到从月球表面反射回来的激光信号
A．s＝c· B．s＝－R－r
C．s＝－R－r D．s＝－R－r
【答案】ABD
【解析】由题，激光器发出激光束从发出到接收的时间为t=2.565s，光速为c，则．故A正确．
由题，月球绕地球转动的线速度为v=1km/s，周期T=27.3s，则月球公转的半径为，s=R′-R-r=-R-r．故B正确．月球表面的重力加速度g′与月球绕地球转动的线速度v没有关系，不能得到，则不能求出．故C错误．以月球为研究对象，月球绕地球公转时，由地球的万有引力提供向心力．设地球质量为M，月球的质量为m，则得，又在地球表面，有
联立上两式得，则s=s=R′-R-r=-R-r．故D正确．故选ABD．
【名师点睛】本题要理清思路，明确好研究的对象和过程，要充分利用表格的数据求解s，考查运用万有引力和圆周运动规律解决天体问题的能力。
6、【2017·哈尔滨市第六中学上学期期末考试】（多选）假设地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球表面重力加速度的大小在两极为g0，在赤道为g，地球的自转周期为T，引力常量为G，则： （ ）
A．地球的半径
B．地球的半径
C．假如地球自转周期T增大，那么两极处重力加速度g0值不变
D．假如地球自转周期T增大，那么赤道处重力加速度g值减小
【答案】AC
【名师点睛】解答此题要清楚地球表面的物体受到的重力等于万有引力，根据万有引力定律和牛顿第二定律，地球近地卫星所受的万有引力提供向心力。
7、【哈三中2016—2017学年度上学期高三学年期中考试】甲、乙、丙为三颗围绕地球做圆周运动的人造地球卫星，轨道半径之比为1： 4：9，则： （ ）
A．甲、乙、丙三颗卫星围绕地球的线速度之比为1：2：3
B．甲、乙、丙三颗卫星围绕地球的角速度之比为1： ：
C．甲、乙、丙三颗卫星围绕地球的周期之比为1： ：
D．甲、乙、丙三颗卫星围绕地球的向心加速度之比为1： ：
【答案】B
【解析】万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，甲、乙、丙三颗卫星围绕地球的线速度之比：=6：3：2，故A错误；，解得：，甲、乙、丙三颗卫星围绕地球的线速度之比：，故B正确；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，周期之比：，故C错误；万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得：，解得：，向心加速度之比：，故D错误；
8、
随着我国登月计划的实施，我国宇航员登上月球已经不是梦想；假如我国宇航员登上月球并在月球表面附近以初速度v0竖直向上抛出一个小球，经时间t后回到出发点．已知月球的半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是： （ ）
A．月球表面的重力加速度为
B．月球的质量为
C．宇航员在月球表面获得 的速度就可能离开月球表面围绕月球做圆周运动
D．宇航员在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动的绕行周期为
【答案】B
9、【山西省“晋商四校”2017届高三11月联考】2016年9月15日，我国第一个真正意义的太空实验室天宫二号发射成功，在离地高度约为400km的圆轨道上运行，已知同步卫星的运行高度约为36000km，地球半径约为6400km，则以下时间与天宫二号的公转周期最接近的是： （ ）
A.0.5h B.1.5h C.5h D.10h
【答案】B
【解析】根据开普勒行星运动定律可得，则，因T同=24h，则，故选B.
10、【河北省沧州市第一中学2017届高三11月月考】（多选）
已知质量分布均匀的球壳对其内部物体的引力为零；假想在地球赤道正上方高h处和正下方深为h处各修建一绕地心的环形真空轨道，轨道面与赤道面共面；两物件分布在上述两轨道中做匀速圆周运动，轨道对它们均无作用力，设地球半径为R，则： （ ）
A．两物体的速度大小之比为
B．两物体的速度大小之比为
C．两物体的加速度大小之比为
D．两物体的加速度大小之比为
【答案】AC
11、【河南省八市重点高中2017届高三上学期第二次质量检测】（多选）2016年10月19日凌晨3点31分，天宫二号在离地球393公里的近圆轨道上绕地球500多圈后与神舟十一号在太空牵手，完成了交会对接。由于组合体运行的轨道处有极稀薄的气体，若组合体只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，将组合体的轨道看作圆周。则组合体在之后的运动过程中，下列判断正确的是： （ ）
A．卫星的高度将逐渐降低．
B．由于气体阻力做负功，卫星动能将逐渐减少．
C．由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变．
D．卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小量．
【答案】AD
【解析】由于组合体受到稀薄气体阻力的作用，则卫星将做近心运动，即卫星的高度要降低，选项A正确；由于卫星高度降低，轨道半径减小，地球引力做正功，则动能变大，选项B错误；由于气体阻力做负功，机械能减小，选项C错误；根据动能定理可知，卫星的动能增加，则引力做的正功大于阻力做的负功，即卫星克服气体阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D正确；故选AD．
12、【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试理科综合】（多选）用m表示地球的通讯卫星(同步卫星)的质量，h表示离地面的高度，用R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为： （ ）
A． B． C． D． E．
【答案】BCD[ ]
13、【淮北一中2016～2017学年度高三第三次月考】一艘在火星表面进行科学探测的宇宙飞船，在经历了从轨道1→轨道2→轨道3的变轨过程后，顺利返回地球。若轨道1为贴近火星表面的圆周轨道，已知引力常量为G，下列说法正确的是： （ ）
A．飞船在轨道2上运动时，P点的速度小于Q点的速度
B．飞船在轨道1上运动的机械能大于轨道3上运动的机械能
C． 测出飞船在轨道1上运动的周期，就可以测出火星的平均密度
D．飞船在轨道2上运动到P点的加速度大于飞船在轨道1上运动到P点的加速度
【答案】C
【解析】飞船在轨道2上运动时，从P到Q，万有引力做负功，由动能定理可知速度减小，则P点的速度大于Q点的速度，故A错误．飞船在轨道1上的P点需加速才能变轨到轨道3，可知飞船在轨道1上的机械能小于轨道3上的机械能，故B错误．根据
得，，则火星的密度:，故C正确；飞船在轨道2上运动到P点和在轨道1上运动到P点，万有引力大小相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相等，故D错误．所以C正确，ABD错误。
14、【山西省“晋商四校”2017届高三11月联考】中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，它的自转周期为T，问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定不因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体（引力常数G）
【答案】
15、【甘肃省天水市第一中学2017届高三上学期第二阶段考试】某双星系统，两天体质量分别为M与m，两天体球心间距离为L，已知万有引力恒量为G，
（1）求该双星系统的周期
（2） 求质量为M的天体的线速度
【答案】（1）（2）
【解析】（1） 设M、m的轨道半径分别为r1、r2，则
三式联立可得：
（2）由上两式可得： 解得
M的天体的线速度；
16、【四川省资阳市2017届高三上学期第一次诊断考试理科综合】2016年10月17日7时49分，神舟十一号飞船在酒泉卫星发射中心发射升空后准确进入预定轨道，并于北京时间19日凌晨3点半左右与天宫二号成功实施自动交会对接。如图所示，已知“神舟十一号”从捕获“天宫二号”到实现对接用时为t，这段时间内组合体绕地球转过的角度为θ（此过程轨道不变，速度大小不变）。地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转，求组合体运动的周期T及所在圆轨道离地高度H。
【答案】
