【物理】2019届一轮复习人教版万有引力定律及应用学案
第4讲 万有引力定律及应用
一、开普勒三定律的内容、公式
定律
内容
图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)
所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律(面积定律)
对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等
＝k，k是一个与行星无关的常量
自测1 (2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A.开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B.开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C.开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D.开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
答案 B
解析 开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星运动按照这些规律运动的原因，而牛顿发现了万有引力定律.
二、万有引力定律
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.
2.表达式
F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2.
3.适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点.
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离.
4.天体运动问题分析
(1)将天体或卫星的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供.
(2)基本公式：
G＝ma＝
自测2 我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )
A.“天宫一号”比“神舟八号”速度大
B.“天宫一号”比“神舟八号”周期长
C.“天宫一号”比“神舟八号”角速度大
D.“天宫一号”比“神舟八号”加速度大
答案 B
解析 航天器在围绕地球做匀速圆周运动的过程中由万有引力提供向心力，根据万有引力定律和匀速圆周运动知识得G＝m＝mrω2＝mr2＝ma，解得v＝，T＝，ω＝，a＝，而“天宫一号”的轨道半径比“神舟八号”的轨道半径大，可知选项B正确.
三、宇宙速度
1.第一宇宙速度
(1)第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7.9 km/s.
(2)第一宇宙速度是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度.
(3)第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度.
(4)第一宇宙速度的计算方法.
由G＝m得v＝；
由mg＝m得v＝.
2.第二宇宙速度
使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其数值为11.2 km/s.
3.第三宇宙速度
使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其数值为16.7 km/s.
自测3 教材P48第3题 金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的“第一宇宙速度”是多大？
答案 8.9 m/s2 7.3 km/s
解析 根据星体表面忽略自转影响，重力等于万有引力知mg＝
故＝·()2
金星表面的自由落体加速度g金＝g地×0.82×()2 m/s2≈8.9 m/s2
由万有引力充当向心力知＝得v＝
所以＝＝≈0.93
v金＝0.93×7.9 km/s≈7.3 km/s.
命题点一 开普勒三定律的理解和应用
1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理.
2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.
3.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间.
例1 (多选)(2017·全国卷Ⅱ·19)如图1，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中( )
图1
A.从P到M所用的时间等于
B.从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C.从P到Q阶段，速率逐渐变小
D.从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
答案 CD
解析 由行星运动的对称性可知，从P经M到Q点的时间为T0，根据开普勒第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知从P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B
错误；根据开普勒第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；海王星受到的万有引力指向太阳，从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确.
变式1 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A.太阳位于木星运行轨道的中心
B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
答案 C
解析 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误.根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，D错误.
变式2 (多选)如图2所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆.设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则( )
图2
A.T卫
T月 C.T卫r同>r卫，由开普勒第三定律＝k，可知，T月>T同>T卫，又同步卫星的周期T同＝T地，故有T月>T地>T卫，选项A、C正确.
变式3 如图3所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点.下列说法中正确的是( )
图3
A.卫星在A点的角速度大于B点的角速度
B.卫星在A点的加速度小于B点的加速度
C.卫星由A运动到B过程中动能减小，势能增加
D.卫星由A运动到B过程中引力做正功，机械能增大
答案 B
解析 由开普勒第二定律知，卫星与地球的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故卫星在远地点转过的角度较小，由ω＝知，卫星在A点的角速度小于B点的角速度，选项A错误；设卫星的质量为m，地球的质量为M，卫星的轨道半径为r，由万有引力定律得G＝ma，解得a＝，由此可知，r越大，加速度越小，故卫星在A点的加速度小于B点的加速度，选项B正确；卫星由A运动到B的过程中，引力做正功，动能增加，势能减小，选项C错误；卫星由A运动到B的过程中，只有引力做功，机械能守恒，选项D错误.
命题点二 万有引力定律的理解
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向.
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R.
(2)在两极上：G＝mg0.
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和.
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg.
2.星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝.
3.万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力.
②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.
(2)两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r
的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G.
例2 如图4所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度( )
图4
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
答案 D
解析 设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，则物体m所受的万有引力F＝G·＝πGρmr，此处的重力加速度a＝＝πGρr，故选项D正确.
例3 由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二.若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g＝G.由于地球的质量为：M＝ρ·πR3，所以重力加速度的表达式可写成：g＝＝＝πGρR.根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R－d)的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号的重力加速度g′＝πGρ(R－d)，所以有＝.根据万有引力提供向心力G＝ma，“天宫一号”的加速度为
a＝，所以＝，＝，故C正确，A、B、D错误.
变式4 “神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”.若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )
A.0 B. C. D.
答案 B
命题点三 天体质量和密度的估算
天体质量和密度常用的估算方法
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算
利用运行天体
r、T
G＝mr
M＝
只能得到中心天体的质量
r、v
G＝m
M＝
v、T
G＝m
G＝mr
M＝
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝
M＝
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
G＝mr
M＝ρ·πR3
ρ＝
当r＝R时ρ＝
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝
M＝ρ·πR3
ρ＝
例4 假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m()2R＝G，又M＝
πR3，联立以上三式解得地球的密度ρ＝，故选项B正确，选项A、C、D错误.
变式5 观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图5所示.已知引力常量为G，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为( )
图5
A.2π B. C. D.
答案 B
解析 “嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为：v＝，角速度为ω＝；根据线速度和角速度的关系式：v＝ωr，可得其轨道半径r＝＝；“嫦娥三号”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，＝mωv，解得M＝，故选B.
变式6 据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍.已知近地卫星绕地球运行的周期约为T，引力常量为G.则该行星的平均密度为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力：G＝m，且ρ地＝，联立得ρ地＝.而＝＝，因而ρ星＝.
命题点四 卫星运行参量的分析
卫星运行参量
相关方程
结论
线速度v
G＝m⇒v＝
r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω
G＝mω2r⇒ω＝
周期T
G＝m2r ⇒T＝2π
向心加速度a
G＝ma⇒a＝
例5 (多选)“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空.与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380 km的圆轨道上飞行，则其( )
A.角速度小于地球自转角速度 B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自转周期 D.向心加速度小于地面的重力加速度
答案 BCD
解析 根据万有引力提供向心力得，G＝m(R＋h)ω2＝m＝m(R＋h)＝ma，解得，v＝，ω＝，T＝，a＝，由题意可知，“天舟一号”的离地高度小于同步卫星的离地高度，则“天舟一号”的角速度大于同步卫星的角速度，也大于地球的自转角速度，“天舟一号”的周期小于地球的自转周期，选项A错误，C正确；由第一宇宙速度为可知，“天舟一号”的线速度小于第一宇宙速度，选项B正确；由地面的重力加速度g＝可知，“天舟一号”的向心加速度小于地面的重力加速度，选项D正确.
变式7 (2017·全国卷Ⅲ·14)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行.与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A.周期变大 B.速率变大
C.动能变大 D.向心加速度变大
答案 C
变式8 (2017·河北石家庄二模)2016年10月19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号对接成功，如图6.两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为T，已知地球半径为R，对接体距地面的高度为kR，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是( )
图6
A.对接后，飞船的线速度大小为
B.对接后，飞船的加速度大小为
C.地球的密度为
D.对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天宫二号实现对接
答案 B
解析 对接前，飞船通过自身加速使轨道半径变大从而靠近天宫二号实现对接，D错误.对接后，飞船的轨道半径为kR＋R，线速度大小v＝，A错误.由＝ma及GM＝gR2得a＝，B正确.由＝m2(k＋1)R及M＝ρ·πR3得地球的密度ρ＝，C错误.
1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是( )
A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律
B.开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力
C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”
D.卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值
答案 D
2.关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是( )
A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期
B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率
C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同
D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合
答案 B
解析 分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，可能具有相同的周期，故A错误；沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道对称的不同位置具有相同的速率，B正确；根据万有引力提供向心力，列出等式＝m(R＋h)，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度，由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值，故C错误；沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面不一定重合，故D错误.
3.组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转.如果某质量分布均匀的星球自转周期为T，
万有引力常量为G，为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 根据万有引力提供向心力有：G＝mR，根据密度公式有：ρ＝，联立可得密度为，B正确.
4.(2018·河南洛阳模拟)北斗卫星导航系统(BDS)是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道.其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为( )
A. B. C. D.2
答案 C
解析 开普勒第三定律同样适用于卫星与行星间的运动关系，当轨道为圆轨道时，公式中的a为半径r，则有＝，得＝.
5.(多选)2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星.已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法中正确的是( )
A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C.发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D.火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的
答案 CD
解析 根据三个宇宙速度的意义，可知选项A、B错误，选项C正确；已知M火＝，R火＝，则＝∶＝，选项D正确.
6.过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为( )
A. B.1 C.5 D.10
答案 B
解析 根据万有引力提供向心力，有G＝mr，可得M＝，所以恒星质量与太阳质量之比为＝＝()3×()2≈1，故选项B正确.
7.(2018·广东中山质检)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A.15天 B.25天 C.35天 D.45天
答案 B
解析 根据开普勒第三定律得＝，所以T2＝T1≈25天，选项B正确，选项A、C、D错误.
8.卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，下列说法中正确的是( )
A.卫星的线速度大小为v＝ B.地球的质量为M＝
C.地球的平均密度为ρ＝ D.地球表面重力加速度大小为g＝
答案 D
9.地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆，如图1.天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球( )
图1
A.2042年 B.2052年
C.2062年 D.2072年
答案 C
解析 根据开普勒第三定律＝k，可得＝，且r彗＝18r地，得T彗＝54T地，又T地＝1年，所以T彗＝54 年≈76年，故选C.
10.(2017·北京理综·17)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )
A.地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
答案 D
解析 不考虑地球的自转，地球表面物体受到的万有引力等于重力，即＝mg，得M地＝，所以根据A中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m卫和T＝，得M地＝，所以根据B中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m月r，得M地＝，所以根据C中给出的条件可求出地球的质量；根据＝m地r，得M太＝，所以据D中给出的条件可求出太阳的质量，但不能求出地球质量，故选D.
11.理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零.现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图2所示.一个质量一定的小物体(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是( )
图2
答案 A
解析 因为质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，则在距离球心x处(x≤R)物体所受的引力为F＝＝＝Gπρmx∝x，故F－x图线是过原点的直线；当x>R时，F＝
eq f(GMm,x2)＝＝∝，故选项A正确.
12.理论上可以证明，质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零.假定地球的密度均匀，半径为R.若矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为k，则矿井的深度为( )
A.(1－k)R B.kR C.R D.R
答案 A
解析 设地球的平均密度为ρ，地表处的重力加速度为g＝＝＝πGρR；设矿井深h，则矿井底部的重力加速度g′＝πGρ(R－h)，g′∶g＝k，联立得h＝(1－k)R，选项A正确.
13.我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入.
(1)若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径.
(2)若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h的某处以速度v0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x.已知月球半径为R月，引力常量为G，试求出月球的质量M月.
答案 (1) (2)
解析 (1)设地球质量为M，根据万有引力定律及向心力公式得G＝M月()2r，G＝mg
联立解得r＝
(2)设月球表面处的重力加速度为g月，小球飞行时间为t，根据题意得x＝v0t，h＝g月t2
G＝m′g月
联立解得M月＝.
