2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题14空间中的平行与垂直（热点难点突破）文（含解析）

2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题14空间中的平行与垂直（热点难点突破）文（含解析）

空间中的平行与垂直 ‎1．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面：‎ ‎①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；‎ ‎③α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β；④若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β.‎ 则以上说法中正确的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　对于①，m∥n，m⊥α⇒n⊥α，正确；对于②，两平行平面内的两条直线可能是异面直线，故错误；对于③，α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β，正确；对于④，若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β，错误，如三棱柱的两个侧面都与第三个侧面相交，交线平行，但是这两个面相交．故选B.‎ ‎2．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为(　　)‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ 答案　D 解析　由题意可得图①中GH与MN平行，不合题意；‎ 图②中GH与MN异面，符合题意；‎ 图③中GH与MN相交，不合题意；‎ 图④中GH与MN异面，符合题意．‎ 则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为②④.‎ ‎3．给出下列四个命题：‎ ‎①如果平面α外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；‎ 11‎ ‎②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；‎ ‎③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；‎ ‎④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面．‎ 其中真命题的个数为(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　C ‎4．已知m，n，l1，l2表示不同的直线，α，β表示不同的平面，若m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条件是(　　)‎ A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥β C．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2‎ 答案　D 解析　对于选项A，当m∥β且l1∥α时，α，β可能平行也可能相交，故A不是α∥β的充分条件；对于选项B，当m∥β且n∥β时，若m∥n，则α，β可能平行也可能相交，故B不是α∥β的充分条件；对于选项C，当m∥β且n∥l2时，α，β可能平行也可能相交，故C不是α∥β的充分条件；对于选项D，当m∥l1，n∥l2时，由线面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β时，m∥l1且n∥l2不一定成立，故D是α∥β的一个充分条件．故选D.‎ ‎5．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是(　　)‎ 11‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　如图所示，‎ 分别取棱BB1，B1C1的中点M，N，连接MN，BC1，NE，A1N，A1M，‎ ‎∵M，N，E，F分别为所在棱的中点，‎ ‎∴MN∥BC1，EF∥BC1，‎ ‎∴MN∥EF，‎ 又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF， ‎ ‎∴MN∥平面AEF.‎ ‎∵AA1∥NE，AA1＝NE，‎ ‎∴四边形AENA1为平行四边形，‎ ‎∴A1N∥AE， ‎ 又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，‎ ‎∴A1N∥平面AEF，‎ 又A1N∩MN＝N，A1N，MN⊂平面A1MN，‎ ‎∴平面A1MN∥平面AEF. ‎ ‎(2)求三棱锥N－PCE的体积．‎ ‎(1)证明　取A1E的中点F，连接MF，CF，‎ ‎∵ M为棱A1D的中点，‎ 11‎ ‎∴MF∥DE且MF＝DE，在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，‎ ‎∴DE∥BC且DE＝BC，‎ ‎∴MF∥BC，即MF∥NC，‎ 且MF＝BC＝NC，‎ ‎∴四边形MFCN为平行四边形，‎ ‎∴MN∥FC，‎ ‎∵MN⊄平面A1EC，FC⊂平面A1EC，‎ ‎∴MN∥平面A1EC.‎ ‎(2)解　取BD的中点H，连接PH，‎ 则PH为△A1BD的中位线，‎ ‎∴PH∥A1D，‎ ‎∵在△ABC中，AB⊥BC，DE∥BC，‎ ‎∴在空间几何体中，DE⊥DA1，‎ ‎∵A1D⊥BD，DB∩DE＝D，DB，DE⊂平面BCED，‎ ‎∴A1D⊥平面BCED，‎ ‎∵PH∥A1D，∴PH⊥平面BCED，‎ ‎∴PH为三棱锥P－NCE的高，‎ ‎∴PH＝A1D＝AB＝1，S△NCE＝NC·BD＝××2＝，‎ ‎∴VN－PCE＝VP－NCE＝PH·S△NCE ‎＝×1×＝.‎ ‎9．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M，N分别为B1C1，BB1的中点．现有下列四个结论：‎ p1：AC1∥MN；‎ p2：A1C⊥C1N；‎ p3：B1C⊥平面AMN；‎ p4：异面直线AB与MN所成角的余弦值为.‎ 其中正确的结论是(　　)‎ A．p1，p2 B．p2，p3‎ 11‎ C．p2，p4 D．p3，p4‎ 答案　C 解析　正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，‎ M，N分别为B1C1，BB1的中点．‎ 对于p1：如图①所示，‎ MN∥BC1，BC1∩AC1＝C1，‎ ‎∴AC1与MN不平行，是异面直线，p1错误；‎ 对于p2：如图②所示，‎ 连接AC1，交A1C于点O，连接ON，‎ 易知A1C⊥AC1，ON⊥平面ACC1A1，‎ ‎∴ON⊥A1C，‎ 又ON∩AC1＝O，ON，AC1⊂平面ONC1，‎ ‎∴A1C⊥平面ONC1，‎ 又C1N⊂平面ONC1，‎ ‎∴A1C⊥C1N，p2正确； ‎ 对于p3：如图③所示，‎ 取BC的中点O，连接AO，BC1，‎ 过点O作OP∥BC1，交CC1于点P，‎ 连接AP，则AO⊥平面BCC1B1，‎ 又B1C⊂平面BCC1B1，‎ ‎∴AO⊥B1C，‎ 又BC1∥OP，BC1⊥B1C，‎ ‎∴B1C⊥OP，‎ 又AO∩OP＝O，AO，OP⊂平面AOP，‎ ‎∴B1C⊥平面AOP，‎ 又平面AMN与平面AOP有公共点A，‎ 11‎ ‎∴B1C与平面AMN不垂直，p3错误；‎ 对于p4：如图④所示，‎ 连接BC1，AC1，则MN∥BC1，‎ ‎∴∠ABC1是异面直线AB与MN所成的角，‎ 设AB＝1，则AC1＝BC1＝，‎ ‎∴cos∠ABC1＝＝，p4正确． ‎ 综上，其中正确的结论是p2，p4.‎ ‎10.如图，多面体ABCB1C1D是由三棱柱ABC－A1B1C1截去一部分后而成，D是AA1的中点．‎ ‎(1)若F在CC1上，且CC1＝4CF，E为AB的中点，求证：直线EF∥平面C1DB1；‎ ‎(2)若AD＝AC＝1，AD⊥平面ABC，BC⊥AC，求点C到平面B1C1D的距离．‎ ‎(1)证明　方法一　取AC的中点G，CC1的中点H，连接AH，GF，GE，如图所示．‎ ‎∵AD∥C1H且AD＝C1H，‎ ‎∴四边形ADC1H为平行四边形，‎ ‎∴AH∥C1D，又F是CH的中点，G是AC的中点，‎ ‎∴GF∥AH，∴GF∥C1D，‎ 又GF⊄平面C1DB1，C1D⊂平面C1DB1，‎ ‎∴GF∥平面C1DB1，‎ 11‎ 又G，E分别是AC，AB的中点，‎ ‎∴GE∥BC∥B1C1，‎ 又GE⊄平面C1DB1，B1C1⊂平面C1DB1，‎ ‎∴GE∥平面C1DB1，‎ 又GE∩GF＝G，GE⊂平面GEF，GF⊂平面GEF，‎ ‎∴平面GEF∥平面C1DB1，‎ 又EF⊂平面GEF，‎ ‎∴EF∥平面C1DB1.‎ 方法二　取B1D的中点M，连接EM，MC1，‎ 则EM是梯形ABB1D的中位线，‎ ‎∴EM∥BB1∥CC1∥AD，‎ ‎∴EM＝(AD＋BB1)‎ ‎＝＝CC1，‎ 又C1F＝CC1－CF＝CC1，‎ ‎∴ EM∥C1F且EM＝C1F，‎ 故四边形EMC1F为平行四边形，∴C1M∥EF，‎ 又EF⊄平面C1DB1，C1M⊂平面C1DB1，‎ ‎∴EF∥平面C1DB1.‎ ‎(2)解　∵AD⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴AD⊥AC，‎ 又AD＝AC＝1，CC1＝2AD，AD∥CC1，‎ ‎∴C1D2＝DC2＝AC2＋AD2＝2AD2＝2，C1C2＝4，‎ 故CC＝CD2＋C1D2，即C1D⊥CD，‎ 又BC⊥AC，AD⊥BC，AC∩AD＝A，‎ AC，AD⊂平面ACC1D，‎ ‎∴BC⊥平面ACC1D，‎ 11‎ 又CD⊂平面ACC1D，‎ ‎∴BC⊥CD，‎ 又B1C1∥BC，∴B1C1⊥CD，‎ 又DC1∩B1C1＝C1，DC1，B1C1⊂平面B1C1D，‎ ‎∴CD⊥平面B1C1D，‎ ‎∴点C到平面B1C1D的距离为CD的长，即为.‎ ‎11．如图，矩形AB′DE(AE＝6，DE＝5)，被截去一角(即△BB′C)，AB＝3，∠ABC＝135°，平面PAE⊥平面ABCDE，PA＋PE＝10.‎ ‎(1)求五棱锥P－ABCDE的体积的最大值；‎ ‎(2)在(1)的情况下，证明：BC⊥PB.‎ 在平面PAE内，PA＋PE＝10>AE＝6，P在以A，E为焦点，长轴长为10的椭圆上，由椭圆的几何性质知，当点P为短轴端点时，P到AE的距离最大，‎ 此时PA＝PE＝5，OA＝OE＝3，‎ 所以POmax＝4，‎ 所以(VP－ABCDE)max＝SABCDE·POmax＝×28×4＝.‎ 11‎ ‎(2)证明　连接OB，如图，由(1)知，OA＝AB＝3，‎ 故△OAB是等腰直角三角形，所以∠ABO＝45°，‎ 所以∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝135°－45°＝90°，‎ 即BC⊥BO.‎ 由于PO⊥平面ABCDE，BC⊂平面ABCDE，‎ 所以PO⊥BC，‎ 又PO∩BO＝O，PO，BO⊂平面POB，‎ 所以BC⊥平面POB，‎ 又PB⊂平面POB，所以BC⊥PB.‎ ‎12. 如图(1)，在正△ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BE＝AF＝2CF.点P为边BC上的点，将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使平面A1EF⊥平面BEFC，连接A1B，A1P，EP，如图(2)所示．‎ ‎(1)求证：A1E⊥FP； ‎ ‎(2)若BP＝BE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．‎ ‎ (1)证明　在正△ABC中，取BE的中点D，连接DF，如图所示．‎ 因为BE＝AF＝2CF，所以AF＝AD，AE＝DE，而∠A＝60°，所以△ADF为正三角形．又AE＝DE，所以EF⊥AD.‎ 所以在题图(2)中，A1E⊥EF，‎ 11‎ 又A1E⊂平面A1EF，平面A1EF⊥平面BEFC，‎ 且平面A1EF∩平面BEFC＝EF，‎ 所以A1E⊥平面BEFC.‎ 因为FP⊂平面BEFC，所以A1E⊥FP. ‎ ‎(2)解　在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行．‎ 理由如下：‎ 如题图(1)，在正△ABC中，因为BP＝BE，BE＝AF，‎ 所以BP＝AF，所以FP∥AB，所以FP∥BE.‎ 如图所示，取A1P的中点M，连接MK，‎ 因为点K为棱A1F的中点，‎ 所以MK∥FP.‎ 因为FP∥BE，所以MK∥BE.‎ 因为MK⊄平面A1BE，BE⊂平面A1BE，‎ 所以MK∥平面A1BE.‎ 故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行．‎ 11‎ 11‎