【物理】2019届一轮复习人教版动力学中三种典型物理模型学案
专题强化四 动力学中三种典型物理模型
专题解读 1.本专题是动力学方法在三类典型模型问题中的应用，其中等时圆模型常在选择题中考查，而滑块—木板模型和传送带模型常以计算题压轴题的形式命题.
2.通过本专题的学习，可以培养同学们审题能力、建模能力、分析推理能力和规范表达等物理学科素养，针对性的专题强化，通过题型特点和解题方法的分析，能帮助同学们迅速提高解题能力.
3.用到的相关知识有：匀变速直线运动规律、牛顿运动定律、相对运动的有关知识.
一、“等时圆”模型
1.两种模型(如图1)
图1
2.等时性的证明
设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d(如图2).根据物体沿光滑弦做初速度为零的匀加速直线运动，加速度为a＝gsin α，位移为s＝dsin α，所以运动时间为t0＝＝＝.
图2
即沿同一起点或终点的各条光滑弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关.
二、“传送带”模型
1.水平传送带模型
项目
图示
滑块可能的运动情况
情景1
①可能一直加速
②可能先加速后匀速
情景2
①v0>v，可能一直减速，也可能先减速再匀速
②v0＝v，一直匀速
③v0
v返回时速度为v，当v0t2>t3 C.t3>t1>t2 D.t1＝t2＝t3
答案 D
解析 如图所示，滑环在下滑过程中受到重力mg和杆的支持力FN作用.设杆与水平方向的夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgsin θ＝ma，得加速度大小a＝gsin θ.设圆周的直径为D，则滑环沿杆滑到d点的位移大小x＝Dsin θ，x＝at2，解得t＝.可见，滑环滑到d点的时间t与杆的倾角θ无关，即三个滑环滑行到d点所用的时间相等，选项D正确.
变式1 如图4所示，位于竖直平面内的固定光滑圆环轨道与水平面相切于M点，与竖直墙相切于A点.竖直墙上另一点B与M的连线和水平面的夹角为60°，C是圆环轨道的圆心.已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道AM、BM运动到M点；c球由C点自由下落到M点.则( )
图4
A.a球最先到达M点
B.b球最先到达M点
C.c球最先到达M点
D.b球和c球都可能最先到达M点
答案 C
解析 设圆轨道半径为R，据“等时圆”理论，ta＝＝2，tb>ta，c球做自由落体运动tc＝，C选项正确.
命题点二 “传送带”模型
1.水平传送带
水平传送带又分为两种情况：物体的初速度与传送带速度同向(含物体初速度为0)或反向.
在匀速运动的水平传送带上，只要物体和传送带不共速，物体就会在滑动摩擦力的作用下，朝着和传送带共速的方向变速(若v物v传，则物体减速)，直到共速，滑动摩擦力消失，与传送带一起匀速，或由于传送带不是足够长，在匀加速或匀减速过程中始终没达到共速.
计算物体与传送带间的相对路程要分两种情况：①若二者同向，则Δs＝|s传－s物|；②若二者反向，则Δs＝|s传|＋|s物|.
2.倾斜传送带
物体沿倾角为θ的传送带传送时，可以分为两类：物体由底端向上运动，或者由顶端向下运动.解决倾斜传送带问题时要特别注意mgsin θ与μmgcos θ的大小和方向的关系，进一步判断物体所受合力与速度方向的关系，确定物体运动情况.
例2 如图5所示为车站使用的水平传送带模型，其A、B两端的距离L＝8 m，它与水平台面平滑连接.现有物块以v0＝10 m/s的初速度从A端水平地滑上传送带.已知物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.6.试求：
图5
(1)若传送带保持静止，物块滑到B端时的速度大小？
(2)若传送带顺时针匀速转动的速率恒为12 m/s，则物块到达B端时的速度大小？
(3)若传送带逆时针匀速转动的速率恒为4 m/s，且物块初速度变为v0′＝6 m/s，仍从A端滑上传送带，求物块从滑上传送带到离开传送带的总时间？
答案 (1)2 m/s (2)12 m/s (3) s
解析 (1)设物块的加速度大小为a，由受力分析可知
FN＝mg，Ff＝ma，Ff＝μFN
得a＝6 m/s2
传送带静止，物块从A到B做匀减速直线运动，
又x＝＝ m>L＝8 m，
则由vB2－v02＝－2aL
得vB＝2 m/s
(2)由题意知，物块先加速到v1＝12 m/s
由v12－v02＝2ax1，得x1＝ mFfm，则发生相对滑动
将滑块和木板看成一个整体，对整体进行受力分析和运动过程分析
临界条件
①两者速度达到相等的瞬间，摩擦力可能发生突变
②当木板的长度一定时，滑块可能从木板滑下，恰好滑到木板的边缘，二者共速是滑块滑离木板的临界条件
相关知识
时间及位移关系式、运动学公式、牛顿运动定律、动能定理、功能关系等
例3 (2017·全国卷Ⅲ·25)如图8，两个滑块A和B的质量分别为mA＝1 kg和mB＝5 kg，放在静止于水平地面上的木板的两端，两者与木板间的动摩擦因数均为μ1＝0.5；木板的质量为m＝4 kg，与地面间的动摩擦因数为μ2＝0.1.某时刻A、B两滑块开始相向滑动，初速度大小均为v0＝3 m/s.A、B相遇时，A与木板恰好相对静止.设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度大小g＝10 m/s2.求：
图8
(1)B与木板相对静止时，木板的速度；
(2)A、B开始运动时，两者之间的距离.
答案 (1)1 m/s，方向与B的初速度方向相同 (2)1.9 m
解析 (1)滑块A和B在木板上滑动时，木板也在地面上滑动.设A、B和木板所受的摩擦力大小分别为Ff1、Ff2和Ff3，A和B相对于地面的加速度大小分别为aA和aB，木板相对于地面的加速度大小为a1.在滑块B与木板达到共同速度前有
Ff1＝μ1mAg ①
Ff2＝μ1mBg ②
Ff3＝μ2(m＋mA＋mB)g ③
由牛顿第二定律得
Ff1＝mAaA ④
Ff2＝mBaB ⑤
Ff2－Ff1－Ff3＝ma1 ⑥
设在t1时刻，B与木板达到共同速度，其大小为v1.由运动学公式有
v1＝v0－aBt1 ⑦
v1＝a1t1 ⑧
联立①②③④⑤⑥⑦⑧式，代入已知数据得
v1＝1 m/s，方向与B的初速度方向相同 ⑨
(2)在t1时间间隔内，B相对于地面移动的距离为
sB＝v0t1－aBt12 ⑩
设在B与木板达到共同速度v1后，木板的加速度大小为a2.对于B与木板组成的系统，由牛顿第二定律有
Ff1＋Ff3＝(mB＋m)a2 ⑪
由①②④⑤式知，aA＝aB；再由⑦⑧式知，B与木板达到共同速度时，A的速度大小也为v1，但运动方向与木板相反.由题意知，A和B相遇时，A与木板的速度相同，设其大小为v2.设A的速度大小从v1变到v2所用的时间为t2，则由运动学公式，对木板有
v2＝v1－a2t2 ⑫
对A有：v2＝－v1＋aAt2 ⑬
在t2时间间隔内，B(以及木板)相对地面移动的距离为
s1＝v1t2－a2t22 ⑭
在(t1＋t2)时间间隔内，A相对地面移动的距离为
sA＝v0(t1＋t2)－aA(t1＋t2)2 ⑮
A和B相遇时，A与木板的速度也恰好相同.因此A和B开始运动时，两者之间的距离为
s0＝sA＋s1＋sB ⑯
联立以上各式，并代入数据得
s0＝1.9 m ⑰
(也可用如图所示的速度—时间图线求解)
变式3 如图9所示，质量m＝1 kg的物块A放在质量M＝4 kg木板B的左端，起初A、B静止在水平地面上.现用一水平向左的力F作用在木板B上，已知A、B之间的动摩擦因数为μ1＝0.4，地面与B之间的动摩擦因数为μ2＝0.1，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2，求：
图9
(1)能使A、B发生相对滑动的F的最小值；
(2)若F＝30 N，作用1 s后撤去，要想A不从B上滑落，则木板至少多长；从开始到A、B均静止，A的总位移是多少.
答案 (1)25 N (2)0.75 m 14.4 m
解析 (1)对于A，最大加速度由A、B间的最大静摩擦力决定，即
μ1mg＝mam，am＝4 m/s2
对A、B整体F－μ2(M＋m)g＝(M＋m)am，解得F＝25 N
(2)设F作用在B上时A、B的加速度分别为a1、a2，撤掉F时速度分别为v1、v2，撤去外力F后加速度分别为a1′、a2′，A、B共同运动时速度为v3，加速度为a3，
对于A μ1mg＝ma1，得a1＝4 m/s2，v1＝a1t1＝4 m/s
对于B F－μ1mg－μ2(M＋m)g＝Ma2，
得a2＝5.25 m/s2，v2＝a2t1＝5.25 m/s
撤去外力a1′＝a1＝4 m/s，a2′＝＝2.25 m/s2
经过t2时间后A、B速度相等v1＋a1′t2＝v2－a2′t2
解得t2＝0.2 s
共同速度v3＝v1＋a1′t2＝4.8 m/s
从开始到A、B相对静止，A、B的相对位移即为木板最短的长度L
L＝xB－xA＝＋－a1(t1＋t2)2＝0.75 m
A、B速度相等后共同在水平面上匀减速运动，加速度a3＝μ2g＝1 m/s2
从v3至最终静止位移为x＝＝11.52 m
所以A的总位移为xA总＝xA＋x＝14.4 m.
1.(2018·广东东莞质检)如图1所示，AB和CD为两条光滑斜槽，它们各自的两个端点均分别位于半径R和r的两个相切的圆上，且斜槽都通过切点P.设有一重物先后沿两个斜槽从静止出发，由A滑到B和由C滑到D，所用的时间分别为t1和t2，则t1与t2之比为( )
图1
A.2∶1 B.1∶1 C.∶1 D.1∶
答案 B
2.如图2所示，水平方向的传送带顺时针转动，传送带速度大小恒为v＝2 m/s，两端A、B间距离为3 m.一物块从B端以初速度v0＝4 m/s滑上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.4，g取10 m/s2.物块从滑上传送带至离开传送带的过程中，速度随时间变化的图象是图中的( )
图2
答案 B
3.(多选)如图3所示，一足够长的木板静止在粗糙的水平面上，t＝0时刻滑块从木板的左端以速度v0水平向右滑行，木板与滑块之间存在摩擦，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则滑块的v－t图象可能是下列图中的( )
图3
答案 BD
4.(多选)如图4所示，表面粗糙、质量M＝2 kg的木板，t＝0时在水平恒力F的作用下从静止开始沿水平面向右做匀加速直线运动，加速度a＝2.5 m/s2，t＝0.5 s时，将一个质量m＝1 kg的小铁块(可视为质点)无初速度地放在木板最右端，铁块从木板上掉下时速度是木板速度的一半.已知铁块和木板之间的动摩擦因数μ1＝0.1，木板和地面之间的动摩擦因数μ2＝0.25，g＝10 m/s2，则( )
图4
A.水平恒力F的大小为10 N
B.铁块放上木板后，木板的加速度为2 m/s2
C.铁块在木板上运动的时间为1 s
D.木板的长度为1.625 m
答案 AC
解析 未放铁块时，对木板由牛顿第二定律：F－μ2Mg＝Ma，解得F＝10 N，选项A正确；铁块放上木板后，对木板：F－μ1mg－μ2(M＋m)g＝Ma′，解得：a′＝0.75 m/s2，选项B错误；0.5 s时木板的速度v0＝at1＝2.5×0.5 m/s＝1.25 m/s，铁块滑离木板时，木板的速度：v1＝v0＋a′t2＝1.25＋0.75t2，铁块的速度v′＝a铁t2＝μ1gt2＝t2，由题意：v′＝v1，解得t2＝1 s，选项C正确；铁块滑离木板时，木板的速度v1＝2 m/s，铁块的速度v′＝1 m/s，则木板的长度为：L＝t2－t2＝×1 m－×1 m＝1.125 m，选项D错误；故选A、C.
5.如图5所示为粮袋的传送装置，已知A、B两端间的距离为L，传送带与水平方向的夹角为θ，工作时运行速度为v，粮袋与传送带间的动摩擦因数为μ，正常工作时工人在A
端将粮袋放到运行中的传送带上.设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，重力加速度大小为g.关于粮袋从A到B的运动，以下说法正确的是( )
图5
A.粮袋到达B端的速度与v比较，可能大，可能小也可能相等
B.粮袋开始运动的加速度为g(sin θ－μcos θ)，若L足够大，则以后将以速度v做匀速运动
C.若μ≥tan θ，则粮袋从A端到B端一定是一直做加速运动
D.不论μ大小如何，粮袋从Α到Β端一直做匀加速运动，且加速度a≥gsin θ
答案 A
解析 若传送带较短，粮袋在传送带上可能一直做匀加速运动，到达B端时的速度小于v；若传送带较长，μ≥tan θ，则粮袋先做匀加速运动，当速度与传送带的速度相同后，做匀速运动，到达B端时速度与v相同；若μ＜tan θ，则粮袋先做加速度为g(sin θ＋μcos θ)的匀加速运动，当速度与传送带相同后做加速度为g(sin θ－μcos θ)的匀加速运动，到达B端时的速度大于v，选项A正确；粮袋开始时速度小于传送带的速度，相对传送带的运动方向是沿传送带向上，所以受到沿传送带向下的滑动摩擦力，大小为μmgcos θ，根据牛顿第二定律得加速度a＝＝g(sin θ＋μcos θ)，选项B错误；若μ≥tan θ，粮袋从A到B可能是一直做匀加速运动，也可能先匀加速运动，当速度与传送带的速度相同后，做匀速运动，选项C、D均错误.
6.如图6所示，倾角为θ＝37°的传送带始终保持以v＝5 m/s的速率顺时针匀速转动，AB两端距离d＝15.25 m.现将一物块(可视为质点)无初速度从A端放上传送带，物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.5，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求物块到达B端时的速度大小和物块从A端运动到B端所用的时间.
图6
答案 9 m/s 2.5 s
解析 设物块由静止运动到传送带速度v＝5 m/s的过程，其加速度为a1，运动时间为t1，位移为x1，由牛顿第二定律和运动学规律有
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1
v＝a1t1
x1＝a1t12
代入数据解得a1＝10 m/s2，t1＝0.5 s，x1＝1.25 m
由于x1＝1.25 mμmgcos 37°，物块将继续向下做匀加速运动.
设物块此后运动的加速度为a2，运动时间为t2，位移为x2，到B端的速度为vB，由牛顿第二定律和运动学规律，有
mgsin θ－μmgcos θ＝ma2
x2＝d－x1＝vt2＋a2t22
vB＝v＋a2t2
代入数据解得a2＝2 m/s2，t2＝2 s，vB＝9 m/s
物块从A端运动到B端所用时间为t，有t＝t1＋t2＝2.5 s
7.(2018·青海西宁调研)图7甲为一转动的传送带AB，传送带以恒定的速率v逆时针转动.在传送带的左侧边缘的B点有一滑块，若让滑块以初速度v1＝3 m/s冲上传送带，滑块运动的v－t图象如图乙中a所示，若让滑块以初速度v2＝6 m/s冲上传送带，滑块运动的v－t图象如图乙中b所示.g取10 m/s2，试求：
图7
(1)传送带的长度l和传送带与物块之间的动摩擦因数μ；
(2)滑块以初速度v1＝3 m/s冲上传送带时，滑块返回B点的时间.
答案 (1)32 m 0.05 (2)12.5 s
解析 (1)根据v－t图象，滑块以初速度v2＝6 m/s冲上传送带时，在t＝8 s时刻，到达A点，所以传送带的长度l＝×(6＋2)×8 m＝32 m
根据图线a或者图线b，滑块的加速度大小为a＝＝0.5 m/s2
根据牛顿第二定律得μmg＝ma
解得传送带与滑块之间的动摩擦因数μ＝0.05
(2)滑块在0～6 s和6～t s内的位移大小相等，方向相反
×6×3 m＝×(t－6＋t－10)×2 m
滑块返回B点的时间t＝12.5 s.
8.如图8所示，质量M＝1 kg的木板A静止在水平地面上，在木板的左端放置一个质量m＝1 kg的铁块B(大小可忽略)，铁块与木块间的动摩擦因数μ1＝0.3，木板长L＝1 m，用F＝5 N的水平恒力作用在铁块上，g取10 m/s2.
图8
(1)若水平地面光滑，计算说明铁块与木板间是否会发生相对滑动；
(2)若木板与水平地面间的动摩擦因数μ2＝0.1，求铁块运动到木板右端所用的时间.
答案 见解析
解析 (1)A、B之间的最大静摩擦力为
Ffm>μ1mg＝0.3×1×10 N＝3 N
假设A、B之间不发生相对滑动则
对A、B整体：F＝(M＋m)a
对B：FfAB＝ma
解得：FfAB＝2.5 N
因FfAB
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