高中物理知识全解 1.10 冲量与动量
高中物理知识全解 1.10 冲量与动量
一：冲量
例：两个质量均为m的物体分别以不同的初速度抛出，不计空气阻力，若经过相同的时间t后，两物体还没有落地，则两物体在t时间内重力的冲量及t时间内两物体动量的变化都相等且均为mgt
二：动量定理：
1、动量定理：
拓展：对于某一物体而言，该物体在某一方向上合外力的冲量等于这个物体在这一方向上动量的变化。
注意：动量定理是解决多个物理量均发生变化的物理问题的重要技巧型解题方法，因为公式中的往往具有技巧可消性。（例：直接消除或结合其它物理量技巧组合、变形等转换成另外的物理量）
注意：冲量和动量都是矢量，遵守平行四边形法则。
【例题】一位质量为m的运动员从下蹲状态向上起跳，经Δt时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v，在此过程中（ ）
A.地面对他的冲量为mv＋mgΔt，地面对他做的功为mv2/2
B.地面对他的冲量为mv＋mgΔt，地面对他做的功为零
C.地面对他的冲量为mv，地面对他做的功为mv2/2
D.地面对他的冲量为mv－mgΔt，地面对他做的功为零
答案：B
【例题】一细绳拉着一质量为m的小球在光滑的水平面上以速率做半径为r的匀速圆周运动，周期为T，求经过时间向心力的冲量大小？
【例题】如下图1所示，单摆摆球的质量为m，做简谐运动的周期为T，摆球从最大位移A处由静止开始释放，摆球运动到最低点B时的速度为v 摆球从A运动到B的过程中绳拉力的冲量为？
【例题】直升机靠螺旋桨向下推动空气获得升力而停在空中不动，设直升机的质量为，被推空气获得的速度为，不计摩擦，求此时直升机发动机的功率为多大？
【例题】一股射流以10m/s的速度从喷嘴竖直向上喷出，喷嘴截面积为0.5cm2。有一质量为0.32kg的球，因水对其下侧的冲击作用而悬在空中，若水全部撞击小球且冲击球后速度变为零，则小球悬在离喷嘴多高处？
间内从喷嘴喷出的水的质量（由流量的原理理解）为，取竖直向上为正，由动量定理得：
代入数据，解得， 由 解得
【例题】将质量为500g的杯子放在台秤上，一水龙头以每秒700g水的流量注入杯中，注至10s末时，台秤的读数位78.5N，求注入杯中的水流速度是多大？
【例题】已知有一座桥，它能够承受的最大压力为（），有一个人的质量为M，有两个球的质量均为m，人要想把这两个球一起运过桥去，试问此人是否能通过循环抛球的方式顺利过桥？（忽略空气阻力）
方式顺利过桥
【例题】一水龙头水平向左以的速率喷出截面积为S=的水柱，垂直冲击墙壁后，水向四周飞溅，形成一个顶角为的圆锥面，如下图所示，若飞溅水滴的速率为，水的密度，求水柱对墙壁的冲击力是多大？
【例题】如下图所示，两光滑平行导轨水平放置，导轨左端接一电阻R，右端无限长，在导轨之间有一匀强磁场B，方向竖直向下垂直于导轨平面，一质量为
的金属棒垂直于导轨水平放置(金属棒的长与两导轨间的距离均为L)，不计导轨和金属棒的电阻，现给金属棒一水平向右的初速度，若金属棒运动到水平距离为时刚好静止，求金属棒运动到水平距离为时的动能为多大？
三：动量
①动量
公式：
单位：
动量与动能的关系：
注意：动量是矢量，遵守平行四边形法则。
【例题】如下所示，PQS是固定于竖直平面内的光滑的圆周轨道，圆心O在S的正上方，在O和P两点各有一质量为m的小物块a和b，从同一时刻开始，a自由下落，b沿圆弧下滑．以下说法正确的是( )
A．a比b先到达S，它们在S点的动量不相等
B．a与b同时到达S，它们在S点的动量不相等
C．a比b先到达S，它们在S点的动量相等
D．b比a先到达S，它们在S点的动量相等
【例题】如下图所示，A、B两物体质量分别为mA、mB，且mA＞mB，置于光滑水平面上，相距较远．将两个大小均为F的力，同时分别作用在A、B上经相同距离后，撤去两个力，两物体发生碰撞并粘在一起后将 ( )
A．停止运动 B．向左运动
C．向右运动 D．运动方向不能确定
解析：由于F作用相同距离，故A、B获得的动能相等，即EkA＝EkB，又由p2＝2mEk，得pA＞pB，撤去F后A、B系统动量守恒知p总＝pA－pB，方向向右，故选C.答案：C
【例题】如下图所示，初动能均为Ek0的A、B两物体，在光滑的水平面上相向运动，碰撞后粘合在一起以共同速度运动．已知它们的质量分别为mA和mB，且mA
0的一侧每个沙袋的质量为, X<0的一侧每个沙袋的质量为，有一质量为M=48kg
的小车以初速度从原点向X轴方向滑行，不计轨道阻力，当车经过人身旁时，此人就会把沙袋以水平速度朝与车方向相反的方向扔到车上，的大小等于扔此沙袋之前车速的2倍（为此人的序号）。
求：（1）空车出发，车上堆积几个沙袋后车就反向运动。
（2）车上最终有多少个沙袋。
轴负方向的第8个人抛出沙袋后小车刚好静止。
N=8+3=11 车上最终有11个沙袋。
【例题】两根足够长的光滑金属导轨平行固定在倾角为的斜面上，它们的间距为。磁感应强度为B的匀强磁场充满整个空间、方向垂直于斜面向上．两根金属杆的质量分别为和2垂直于导轨水平放置在导轨上，如下图所示．设杆和导轨形成的回路总电阻为R而且保持不变，重力加速度为。
（1）给杆一个方向沿斜面向上的初速度，同时对杆施加一平行于导轨方向的恒定拉力，结果杆恰好保持静止而杆则保持匀速运动。求拉力做功的功率。
（2）若作用在杆的拉力与第（1）问相同，但两根杆都是同时从静止开始运动，求两根杆达到稳定状态时的速度。
注意：用动量守恒定律解题时灵活结合整体思想求解而避免复杂的过程分析。
【例题】A、B两船的质量均为m，都静止在平静的湖面上，现A船中质量为m的人，以对地的水平速度v从A船跳到B船，再从B船跳到A船，…，经n次跳跃后，人停在B船上，不计水的阻力，则( )
A．A、B两船速度大小之比为2∶3 B．A、B(包括人)两船动量大小之比为1∶1
C．A、B(包括人)两船的动能之比为3∶2 D．A、B(包括人)两船的动能之比为1∶1
【例题】2020年9月27日16时43分航天员翟志刚实现中国首次太空出舱，假设宇航员翟志刚进行太空行走时的总质量为M，开始时他和飞船相对静止，为了离开飞船独自运动，翟志刚利用所携带的氧气枪以每秒n次的频率向同一方向连续喷出气体，每次喷出的气体质量为m，气体喷出时的速度为v，则
(1)当第三次喷出气体后，宇航员的速度达到多大？
(2)开始喷气后第1秒末，宇航员的速度为多大？
注意：应用动量守恒定律解题时，式中各物理量都必须是相对同一参考系而言的，在相对运动中极易弄错而错解。
【例题】如右图所示，在光滑水平面上，一辆平板车载着一人以速度v0＝6 m/s水平向左匀速运动．已知车的质量M＝100 kg，人的质量m＝60 kg.某一时刻人突然相对于车以v＝5 m/s的速度向右奔跑，求此时车的速度多大．
错解一：取人和平板车为一系统，因为系统水平方向不受外力，故系统水平方向动量守恒．设人奔跑时车的速度为v1，由动量守恒定律可得：(M＋m)v0＝－mv＋Mv1，代入数据得：v1＝12.6 m/s.
错解二：根据动量守恒定律得：(M＋m)v0＝－m(v－v0)＋Mv1，代入数据得：v1＝9 m/s.
错因分析：错解一中人奔跑时的动量(－mv)中的速度v是以车为参考系的，而不是如同其它速度一样，都是以地面为参考系的；错解二的速度差(v－v0)中，v是人奔跑时相对车的速度，而v0是人未奔跑时车的速度，两个速度不是同一时刻的．人奔跑时的相对速度是人相对于作用后车的速度，而不是人相对于作用前车的速度．
正确解析：取水平向左为正方向．人奔跑时，相对于地面的速度为v1－v，由动量守恒定律得：(M＋m)v0＝m(v1－v)＋Mv1，代入数据得：v1＝7.88 m/s，方向水平向左．
推广1：对于某一系统而言，如果该系统在某一方向上不受外力或所受外力之和为零，那么这个系统在这一方向上的总动量保持不变。
【例题】如下图所示，一长木板小车质量为M处于光滑的水平面上，小车的长为L，在其左端有一质量为m的人，开始时人和车都相对地面静止，现在人从小车的左端走向右端，忽略空气阻力，试问人到达小车右端时，人和车相对地面发生的位移各是多少？
同理理解与类似推广：
【例题】如下图所示，一质量为M的斜劈静止在光滑的水平面上，斜劈的底边长为L，开始时斜劈相对地面静止，现从斜劈顶端静止释放一质量为m的物块，物块沿斜面下滑，忽略空气阻力，问当物块滑到斜面底端时，物块相对地面滑行的水平位移和斜劈相对地面滑行的水平位移？
解：忽略空气阻力，所以 m和M组成的系统在水平方向上不受外力，故系统在水平方向上动量守恒。
【例题】如下图所示，小船开始时静止在水中，船的前仓有积水，现用抽水机把前仓的积水匀速地抽到后仓去，忽略船运动时所受水的阻力及空气阻力，试分析有关船的运动情况？
推广2：对于碰撞、爆炸、喷气、绳子猛然拉直、子弹射击等有关问题，由于在这些极短暂的过程中，故可认为在这些极短暂过程的前后瞬间系统动量守恒。
【例题】如下图所示，一细绳跨过一光滑的定滑轮，两端分别系上质量为和的物块，静止于桌面上，开始时用手托住，现释放，自由下落，当下落高度h后绳子被拉直，忽略空气阻力。
求（1）绳子拉直后两物块的初速度为多大？
（2）绳子拉直的过程中机械能损失了多少？
【例题】质量相同的两物块A、B在同一高度均由静止释放，忽略空气阻力，假设在下落的过程中物块A受到一个水平射来的子弹的射击作用，且子弹最终留在物块A中，问A、B两物块谁先落地？
领悟：上题中子弹射击物块A的过程中水平方向也满足动量守恒。
对于弹性碰撞（理想情况）而言，碰撞过程中没有能量损失，又因为碰撞过程中，所以弹性碰撞过程的前后瞬间系统同时满足动量守恒和动能守恒。
例：两物体A、B发生弹性碰撞，则：
由上述公式可得出以下性质：
注意：利用上述矢量公式解题时一定要注意方向性（即正、负性）。
【例题】质量都为m的小球a、b、c以相同的速度分别与另外三个质量都为M的静止小球相碰后，a球被反向弹回，b球与被碰球粘合在一起仍沿原方向运动，c球碰后静止，则下列说法正确的是( )
A．m一定小于M B．m可能等于M
C．b球与质量为M的球组成的系统损失的动能最大
D．c球与质量为M的球组成的系统损失的动能最大
个小球运动，有几个小球静止？
解：由上述弹性碰撞的性质可知，碰后A球将反向运动，B、C、D三球将静止，E、F两球都将向右运动，故碰后有三个球运动，三个球静止。
【例题】一个物体静置于光滑水平面上，外面扣一质量为M的盒子，如下图甲所示．现给盒子一初速度v0，此后盒子运动的v－t图象呈周期性变化，如下图乙所示．请据此求盒内物体的质量．
【例题】在光滑的水平面上，质量为m1的小球A以速率v0向右运动．在小球的前方O点处有一质量为m2的小球B处于静止状态，如下图所示．小球A与小球B发生正碰后均向右运动．小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇，PQ＝1.5PO.假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都没有能量损失，求两小球质量之比m1/m2是多少．
【例题】如下图所示是固定在水平地面上的横截面为“”形的光滑长直导轨槽，槽口向上(圆为俯视图)．槽内放置一个木质滑块，滑块的左半部是半径为R的半圆柱形光滑凹槽，木质滑块的宽度为2R，比“”形槽的内侧宽度略小．现有一半径为r(r《R)的金属小球以水平初速度v0冲向滑块，从滑块的一侧半圆形槽口边缘进入．已知金属小球的质量为m，木质滑块的质量为5m，整个运动过程中无机械能损失．求：
(1)当金属小球滑离木质滑块时，金属小球和木质滑块的速度各是多大；
(2)当金属小球经过木质滑块上的半圆柱形槽的最右端A点时，金属小球的速度大小．
【例题】用放射源钋的射线轰击铍时，能放出一种穿透力极强的中性射线，这就是所谓的铍“辐射”。1932年，查德威克用铍“辐射”分别照射（轰击）氢和氮（它们可视为处于静止状态），测得照射后沿铍“辐射”方向高速运动的氢核和氮核的速度之比为
。查德威克假设铍“辐射”是由一种质量不为零的中性粒子构成的，从而通过上述实验在历史上首次发现了中子。假设铍“辐射”中的中性粒子与氢核或氮核发生弹性正碰，试在不考虑相对论效应的条件下计算构成铍“辐射”的中性粒子的质量。（质量用原子质量单位u表示，1u等于一个12C原子质量的十二分之一。取氢核和氮核的质量分别为1.0u和14u）
【例题】在核反应堆中，常用减速剂使快中子减速．假设减速剂的原子核质量是中子的k倍，中子与原子核的每次碰撞都可看成是弹性正碰．设每次碰撞前原子核可认为是静止的，求N次碰撞后中子速率与原速率之比．
解：设中子和做减速剂的物质的原子核A的质量分别为mn和mA，碰撞后速度分别为vn′和vA′.碰撞前后的总动量和总能量守恒，有：mnvn＝mnvn′＋mAvA′ ①，
同理理解与类似推广：
例：如右图所示，一带有光滑圆弧的小车静止在光滑的水平面上，某一时刻有一质量和小车质量相等的小球从圆弧底端以初速度入射圆弧轨道，若小球不能够上升到小车的顶端，不计空气阻力，则系统在水平方向上不受外力，故系统在水平方向上动量守恒，所以：
（1）当小球与小车的速度相同时，小球上升到最高点。
（2）由系统的动能守恒及水平方向上动量守恒可知：小球再次返回到圆弧底端时相对地面的速度刚好为零，故此后小球将做自由落体运动，小车将以速度向前做匀速直线运动。
例：如下图甲、乙所示，两个内壁光滑左右等高的圆缸分别静止放置在光滑的水平面上，其中乙缸的左边挨着一固定的物块，现分别从两缸的左端缸口静止释放一小球，由能量守恒和水平方向上动量守恒可知，甲缸中的小球能够到达甲缸右端缸口且到达右端缸口时的速度刚好为零，而乙缸中的小球不能够到达乙缸右端缸口。
【例题】如下图所示，一光滑的半球面B静止在光滑的水平面上，一小球A以速度向半球面B冲去，且，试分析作用后A、B可能的运动情况？
解： ① ② ③
由①②③联解得：
【例题】如下图所示，三个质量均为m的弹性小球用两根长均为L的轻绳连成一条直线而静止在光滑水平面上．现给中间的小球B一个水平初速度，方向与绳垂直．小球相互碰撞时无机械能损失，轻绳不可伸长．求：
(1)当小球A、C第一次相碰时，小球B的速度．
(2)当三个小球再次处在同一直线上时，小球B的速度．
(3)运动过程中小球A的最大动能和此时两根绳的夹.
(4)当三个小球处在同一直线上时，绳中的拉力F的大小．
与初速度反向）
所以此时绳中拉力的大小为：
对于非弹性碰撞、绳子猛然拉直、子弹射击等有关问题，在这些极短暂的过程中有能量损失而且，因此在这些极短暂过程的前后瞬间系统满足动量守恒，但是机械能不守恒，所以这些极短暂过程前瞬间的系统总动能大于这些极短暂过程后瞬间的系统总动能。
I、损失的动能转化为内能等。
II、完全非弹性碰撞即为碰撞过程中动能损失最大的非弹性碰撞。
完全非弹性碰撞：碰后一起以共同的速度运动的非弹性碰撞称之为完全非弹性碰撞。
【例题】如下图所示，ABC三个木块的质量均为m。置于光滑的水平面上，BC之间有一轻质弹簧，弹簧的两端与木块接触而不固连，将弹簧压紧到不能再压缩时用细线把BC紧连，使弹簧不能伸展，以至于BC可视为一个整体，现A以初速沿BC的连线方向朝B运动，与B相碰并粘合在一起，以后细线突然断开，弹簧伸展，从而使C与A，B分离，已知C离开弹簧后的速度恰为，求弹簧释放的势能。
解：因为弹簧已经压缩到了不能再压缩，所以BC
注意：题目没有特别说明是弹性碰撞的情况下，一般都认为所说的碰撞是指非弹性碰撞。
【例题】如下图所示，轻质弹簧的一端固定在墙上，另一端与质量为m的物体A相连，A放在光滑水平面上，有一质量与A相同的物体B，从高h处由静止开始沿光滑曲面滑下，与A相碰后一起将弹簧压缩，弹簧复原过程中某时刻B与A分开且沿原曲面上升．下列说法正确的是 ( )
A．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为mgh
B．弹簧被压缩时所具有的最大弹性势能为
C．B能达到的最大高度为
D．B能达到的最大高度为
【例题】如下图所示，在光滑水平地面上，质量为M的滑块上用轻杆及轻绳悬吊质量为m的小球，轻绳的
长度为L。此装置一起以速度v0向右滑动。另一质量也为M的滑块静止于上述装置的右侧。当两滑块相撞
后，便粘在一起向右运动，求：
（1）两滑块相撞过程中损失的机械能。
（2）当小球向右摆到最大高度时两滑块的速度大小。
解拓展：对于碰撞等有关问题可以从能量守恒的角度及利用的关系来分析有关事件是否能够发生，排除增根等。
【例题】在光滑的水平面上，有甲、乙两小球在同一直线上同向运动，已知甲球的动量为 ，乙球的动量为，甲追上乙碰撞后的可能情况 （ ）
A、 B、
C、 D、
解析：甲追上乙碰撞后的动量沿原方向不可能增加，故A、B错误；由可知D错误；经分析C正确。答案：C
【例题】两物块A、B用轻弹簧相连，质量均为2 kg，初始时弹簧处于原长，A、B两物块都以＝6 m/s的速度在光滑的水平地面上运动，质量4 kg的物块C静止在前方，如下图所示。B与C碰撞后二者会粘在一起运动。求在以后的运动中：
（1）当弹簧的弹性势能最大时，物块A的速度为多大?
（2）系统中弹性势能的最大值是多少?
（3）A物块的速度有可能向左吗?简略说明理由?
根据能量守恒定律， 是不可能的,故物块A不可能向左运动。
对于爆炸、喷气等有关问题，在这些极短暂的过程中会有其它形式的能量转化为系统的能量而且 ，因此在这些极短暂过程的前后瞬间系统满足动量守恒，但是机械能不守恒，所以这些极短暂过程前瞬间的系统总动能小于这些极短暂过程后瞬间的系统总动能。
【例题】如下图所示，有一质量为的炸弹以的速度水平向右匀速飞行，若某时刻炸弹突然爆炸，炸成质量为和的前后两部分，爆炸后瞬间的速度为水平向右，求：
（1）爆炸后瞬间的速度。
（2）爆炸后炸弹的总机械能增加了多少。
解：（1）因为炸弹爆炸时，所以炸弹爆炸时水平方向上动量守恒，则：
