专题16-1 简谐运动（精讲深剖）-2018领军高考物理真题透析（选修3-4）

专题16-1 简谐运动（精讲深剖）-2018领军高考物理真题透析（选修3-4）

1．（2017 北京，15）某弹簧振子沿 x 轴的简谐振动图像如图所示，下列描述正确的是 A．t=1s 时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 B．t=2s 时，振子的速度为负，加速度为正的最大值 C．t=3s 时，振子的速度为负的最大值，加速度为零 D．t=4s 时，振子的速度为正，加速度为负的最大值 【答案】A 【名师点睛】根据振动图象判断质点振动方向的方法：沿着时间轴看去，“上坡”段质点向上振动，“下 坡”段质点向下振动。 （二）考纲解读 主题 内 容 要求 说 明 简谐运动 Ⅰ 简谐运动的公式和图像 Ⅱ 机械振动 单摆、周期公式 Ⅰ 1.简谐振动只限于单摆和 弹簧振子。 受迫振动和共振 Ⅰ 2.简谐振动公式只限于回 复力公式；图像只限于位 移-时间图像。 本讲共 3 个一级考点，一个二级考点，高考中以选择题或者计算形式出现，难度一般不大，格外要 重视。 （三）考点精讲 考向一　简谐运动的规律 简谐运动的五大特征 受力特征 回复力 F＝－kx，F(或 a)的大小与 x 的大小成正比，方向相反 运动特征 靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；远离平衡位置时，a、 F、x 都增大，v 减小 能量特征 振幅越大，能量越大．在运动过程中，系统的动能和势能相互转化， 机械能守恒 周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期 就是简谐运动的周期 T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化 周期为 T 2 对称 性特征 关于平衡位置 O 对称的两点，速度的大小、动能、势能相等，相对平 衡位置的位移大小相等；由对称点到平衡位置 O 用时相等 【例 1】　(多选)如图 6 所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直 向上为正方向，物块简谐运动的表达式为 y＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0 时刻，一小球从距物块 h 高处自由 落下；t＝0.6 s 时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小 g＝10 m/s2.以下判断正确的是 (　　) 图 6 A．h＝1.7 m B．简谐运动的周期是 0.8 s C．0.6 s 内物块运动的路程是 0.2 m D．t＝0.4 s 时，物块与小球运动方向相反 关键词①物块沿竖直方向做简谐运动．②小球恰好与物块处于同一高度． 【答案】AB 选项 C 错误；t＝0.4 s＝ T 2时，物块经过平衡位置向下运动，则此时物块与小球运动方向相同，选项 D 错 误． 阶梯练习 1．关于简谐运动的位移、加速度和速度的关系，下列说法中正确的是(　　) A．位移减小时，加速度减小，速度也减小 B．位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向相同 C．物体的运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相反；背离平衡位置时，速度方向与位移方向相 同 D．物体向负方向运动时，加速度方向与速度方向相同；向正方向运动时，加速度方向与速度方向相反 【答案】C 【解析】位移减小时，加速度减小，速度增大，A 错误；位移方向总是与加速度方向相反，与速度方向有时 相同，有时相反，B、D 错误，C 正确． 2．一个做简谐运动的弹簧振子，周期为 T，振幅为 A，已知振子从平衡位置第一次运动到 x＝ A 2处所用的最 短时间为 t1，从最大的正位移处第一次运动到 x＝ A 2处所用的最短时间为 t2，那么 t1 与 t2 的大小关系正确的 是(　　) A．t1＝t2 B．t1＜t2 C．t1＞t2 D．无法判断 【答案】B 考向二　简谐运动图象的理解和应用 1．根据简谐运动图象可获取的信息 (1)振幅 A、周期 T(或频率 f)和初相位 φ(如图 7 所示)． 图 7 (2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移． (3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小 和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻质点的位移的变化来确定． (4)某时刻质点的回复力和加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象 上总是指向 t 轴． (5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况． 2．利用简谐运动图象理解简谐运动的对称性(如图 8) 图 8 (1)相隔 Δt＝(n＋ 1 2)T(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子的位置关于平衡位置对称，位移等大反向，速 度也等大反向． (2)相隔 Δt＝nT(n＝0,1,2，…)的两个时刻，弹簧振子在同一位置，位移和速度都相同． 【例 2】甲、乙两弹簧振子的振动图象如图 9 所示，则可知(　　) 图 9 A．两弹簧振子完全相同 B．两弹簧振子所受回复力最大值之比 F 甲∶F 乙＝2∶1 C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大 D．两振子的振动频率之比 f 甲∶f 乙＝2∶1 【答案】C 阶梯练习 3．如图 10 所示，弹簧振子在 M、N 之间做简谐运动．以平衡位置 O 为原点，建立 Ox 轴．向右为 x 轴正方 向．若振子位于 N 点时开始计时，则其振动图象为(　　) 图 10 【答案】A 【解析】开始计时时振子位于正向最大位移处向负方向做简谐运动，振动图象为余弦函数图象，A 项对． 4．如图 11 甲所示，弹簧振子以 O 点为平衡位置，在 A、B 两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的 位移 x 随时间 t 的变化图象如图乙所示，下列说法正确的是(　　) 图 11 A．t＝0.8 s 时，振子的速度方向向左 B．t＝0.2 s 时，振子在 O 点右侧 6 cm 处 C．t＝0.4 s 和 t＝1.2 s 时，振子的加速度完全相同 D．t＝0.4 s 到 t＝0.8 s 的时间内，振子的速度逐渐减小 【答案】A 5．如图 12 所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题： 图 12 (1)写出该振子简谐运动的表达式； (2)在第 2 s 末到第 3 s 末这段时间内，弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？ (3)该振子在前 100 s 的总位移是多少？路程是多少？ 【答案】见解析 【解析】(1)由振动图象可得 A＝5 cm，T＝4 s，φ＝0 则 ω＝ 2π T ＝ π 2 rad/s 故该振子简谐运动的表达式为 x＝5sin π 2 t cm 考向三　受迫振动和共振 1．自由振动、受迫振动和共振的关系比较 　　振动 项目　　 自由振动 受迫振动 共振 受力情况 仅受回复力 受驱动力作用 受驱动力作用 振动周期 或频率 由系统本身性质决 定，即固有周期 T0 或固有频率 f0 由驱动力的周期或频 率决定，即 T＝T 驱 或 f＝f 驱 T 驱＝T0 或 f 驱＝f0 振动能量 振动物体的机械能不 变 由产生驱动力的物体 提供 振动物体获得的能量 最大 常见例子 弹簧振子或单摆 (θ≤5°) 机械工作时底座发生 的振动 共振筛、声音的共鸣 等 2.对共振的理解 (1)共振曲线：如图 13 所示，横坐标为驱动力频率 f，纵坐标为振幅 A，它直观地反映了驱动力频率对某固 有频率为 f0 的振动系统受迫振动振幅的影响，由图可知，f 与 f0 越接近，振幅 A 越大；当 f＝f0 时，振幅 A 最大． 图 13 (2)受迫振动中系统能量的转化：做受迫振动的系统的机械能不守恒，系统与外界时刻进行能量交换． 【例 3】下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统的固有频率为 f 固，则(　　) 驱动力频率/Hz 30 40 50 60 70 80 受迫振动振幅/cm 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3 A.f 固＝60 Hz B．60 Hz＜f 固＜70 Hz C．50 Hz＜f 固＜60 Hz D．以上三个都不对 【答案】C 【解析】从如图所示的共振曲线可判断出 f 驱与 f 固相差越大，受迫振动的振幅越小；f 驱与 f 固越接近，受 迫振动的振幅越大．并可以从中看出 f 驱越接近 f 固，振幅的变化越慢．比较各组数据知 f 驱在 50～60 Hz 范围内时，振幅变化最小，因此 50 Hz＜f 固＜60 Hz，即 C 正确． 阶梯练习 6.如图 14 所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，其中 A、B 的摆长相等．当 A 摆振动的时候，通过张紧的 绳子给 B、C、D 摆施加驱动力，使其余各摆做受迫振动．观察 B、C、D 摆的振动发现(　　) 图 14 A．C 摆的频率最小 B．D 摆的周期最大 C．B 摆的摆角最大 D．B、C、D 的摆角相同 【答案】C 7．在实验室可以做“声波碎杯”的实验，用手指轻弹一只玻璃酒杯，可以听到清脆的声音，测得这声音的 频率为 500 Hz.将这只酒杯放在一个大功率的声波发生器前，操作人员通过调整其发出的声波，就能使酒杯 碎掉．下列说法中正确的是(　　) A．操作人员必须把声波发生器输出的功率调到很大 B．操作人员必须使声波发生器发出频率很高的超声波 C．操作人员必须同时增大声波发生器发出声波的频率和功率 D．操作人员必须将声波发生器发出的声波频率调到 500 Hz，且适当增大其输出功率 【答案】D 单摆模型 模型特点：单摆模型指符合单摆规律的模型，需满足以下三个条件： (1)圆弧运动； (2)小角度往复运动； (3)回复力满足 F＝－kx. 【例 4】如图 15 所示，ACB 为光滑弧形槽，弧形槽半径为 R，C 为弧形槽最低点，R≫ .甲球从弧形槽的 球心处自由下落，乙球从 A 点由静止释放，问： 图 15 (1)两球第 1 次到达 C 点的时间之比； (2)若在圆弧的最低点 C 的正上方 h 处由静止释放小球甲，让其自由下落，同时将乙球从圆弧左侧由静止释 放，欲使甲、乙两球在圆弧最低点 C 处相遇，则甲球下落的高度 h 是多少？ 【答案】(1) 2 2 π 　(2) 2n＋12π2R 8 (n＝0,1,2…) 【解析】(1)甲球做自由落体运动 R＝ 1 2gt21，所以 t1＝ 2R g AB 乙球沿圆弧做简谐运动(由于 ≪R，可认为摆角 θ＜5°)．此运动与一个摆长为 R 的单摆运动模型相同， 故此等效摆长为 R，因此乙球第 1 次到达 C 处的时间为 t2＝ 1 4T＝ 1 4×2π R g＝ π 2 R g， 所以 t1∶t2＝ 2 2 π . (2)甲球从离弧形槽最低点 h 高处自由下落，到达 C 点的时间为 t 甲＝ 2h g 方法总结 1．解决该类问题的思路：首先确认符合单摆模型的条件，即小球沿光滑圆弧运动，小球受重力、轨道支持 力(此支持力类似单摆中的摆线拉力)；然后寻找等效摆长 l 及等效加速度 g；最后利用公式 T＝2π l g或简 谐运动规律分析求解问题． 2．易错提醒：单摆模型做简谐运动时具有往复性，解题时要审清题意，防止漏解或多解． （四）知识还原 第 1 讲　简谐运动 基础知识 1．简谐运动 (1)质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置． (2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置． (3)回复力 ①定义：使物体返回到平衡位置的力． ②方向：总是指向平衡位置． ③属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力． 深度思考　简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置吗？ 【答案】不是，是回复力为零的位置． 2．简谐运动的两种模型 AC 模型 弹簧振子 单摆 示意图 简谐运动条件 ①弹簧质量要忽略 ②无摩擦等阻力 ③在弹簧弹性限度内 ①摆线为不可伸缩的轻细线 ②无空气等阻力 ③最大摆角小于 5° 回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向(即切 向)的分力 平衡位置 弹簧处于原长处 最低点 周期 与振幅无关 T＝2π L g 能量转化 弹性势能与动能的相互转化，机 械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机 械能守恒 【深度思考】做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度如何变化？ 【答案】一定减小． 3．简谐运动的公式和图象 (1)简谐运动的表达式 ①动力学表达式：F＝－kx，其中“－”表示回复力与位移的方向相反． ②运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中 A 代表振幅，ω＝2πf 表示简谐运动的快慢，ωt＋φ 代表简 谐运动的相位，φ 叫做初相． (2)简谐运动的图象 ①从平衡位置开始计时，函数表达式为 x＝Asin ωt，图象如图 1 甲所示． ②从最大位移处开始计时，函数表达式为 x＝Acos ωt，图象如图乙所示． 图 1 4．受迫振动和共振 (1)受迫振动 系统在驱动力作用下的振动．做受迫振动的物体，它做受迫振动的周期(或频率)等于驱动力的周期(或频 率)，而与物体的固有周期(或频率)无关． (2)共振 做受迫振动的物体，它的驱动力的频率与固有频率越接近，其振幅就越大，当二者相等时，振幅达到最大， 这就是共振现象．共振曲线如图 2 所示． 图 2 基础试题 1.如图 3 所示的装置，弹簧振子的固有频率是 4 Hz.现匀速转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得 弹簧振子振动达到稳定时的频率为 1 Hz，则把手转动的频率为(　　) 图 3 A．1 Hz B．3 Hz C．4 Hz D．5 Hz 【答案】A 【解析】受迫振动的频率等于驱动力的频率，把手转动的频率为 1 Hz，选项 A 正确． 2．有一弹簧振子，振幅为 0.8 cm，周期为 0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　) A．x＝8×10－3sin (4πt＋ π 2 ) m B．x＝8×10－3sin (4πt－ π 2 ) m C．x＝8×10－1sin (πt＋ 3π 2 ) m D．x＝8×10－1sin (π 4 t＋ π 2 ) m 【答案】A 3．如图 4 所示，在 t＝0 到 t＝4 s 的范围内回答以下问题． 图 4 (1)质点相对平衡位置的位移的方向在哪些时间内跟它的瞬时速度的方向相同？在哪些时间内跟瞬时速度 的方向相反？ (2)质点在第 2 s 末的位移是多少？ (3)质点在前 2 s 内走过的路程是多少？ 4．如图 5 所示为某物体做简谐运动的图象，在所画曲线的范围内回答下列问题． 图 5 (1)哪些时刻物体的回复力与 0.4 s 时刻的回复力相同？ (2)哪些时刻物体的速度与 0.4 s 时刻的速度相同？ (3)哪些时刻的动能与 0.4 s 时刻的动能相同？ (4)哪些时间的加速度在减小？ (5)哪些时间的势能在增大？ 【答案】(1)0.6 s、1.2 s、1.4 s (2)0.2 s、1.0 s、1.2 s (3)0、0.2 s、0.6 s、0.8 s、1.0 s、1.2 s 和 1.4 s (4)0.1～0.3 s、0.5～0.7 s、0.9～1.1 s 和 1. 3～1.5 s (5)0～0.1 s、0.3～0.5 s、0.7～0.9 s、1.1～1.3 s