突破13 小船渡河问题与关联速度问题-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破

突破13 小船渡河问题与关联速度问题-2019高三物理一轮微专题系列之热点专题突破

突破 13 小船渡河问题与关联速度问题 一、小船过河问题 1．船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：船在静水中的速度 v1、水的流速 v2、船的实际速度 v。 3．三种情况 (1)渡河时间最短：船头正对河岸，渡河时间最短，tmin＝ dv1(d 为河宽)。 (2)渡河路径最短(v2＜v1 时)：合速度垂直于河岸，航程最短，xmin＝d。 (3)渡河路径最短(v2＞v1 时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直河岸渡河。确定方法 如下：如图所示，以 v2 矢量末端为圆心，以 v1 矢量的大小为半径画弧，从 v2 矢量的始端向 圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短。由图可知 sin θ＝ v1v2，最短航程 xmin＝ dsin θ ＝ v2v1d。 4. 解题思路 5. 解题技巧 (1)解决小船渡河问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头 所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头 指向不共线。 (2)应用运动分解的基本方法，按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和 船头指向分解。 (3)渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关。 (4)求最短渡河位移时，根据船速 v 船与水流速度 v 水的大小情况，用三角形定则求极限的 方法处理。 【典例 1】一小船渡河，河宽 d＝180 m，水流速度 v1＝2.5 m/s。若船在静水中的速度为 v2＝5 m/s，则： (1) 欲使船在最短时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2) 欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，应垂直河岸渡河，船头应朝上游与垂直河岸方向成某一夹 角α，如图乙所示。 有 v2sin α＝v1， 得α＝30° 所以当船头向上游偏 30°时航程最短。 x′＝d＝180 m。 t′＝ dv2cos 30°＝ 53 s＝24 s 【典例 2】 如图所示，河水由西向东流，河宽为 800 m，河中各点的水流速度大小为 v 水，各点到较近河岸的距离为 x，v 水与 x 的关系为 v 水＝ 3400x(m/s)(x 的单位为 m)，让小船 船头垂直河岸由南向北渡河，小船划水速度大小恒为 v 船＝4 m/s，则下列说法正确的是( ) A．小船渡河的轨迹为直线 B．小船在河水中的最大速度是 5 m/s C．小船在距南岸 200 m 处的速度小于在距北岸 200 m 处的速度 D．小船渡河的时间是 160 s 【答案】 B 【跟踪短训】 1. (多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图 v 的箭头所示，虚线为小船从河岸 M 驶向对岸 N 的实际航线．则其中可能正确的是( )． 【答案】 AB 【解析】 船头垂直于河岸时，船的实际航向应斜向右上方，A 正确，C 错误；船头斜 向上游时，船的实际航向可能垂直于河岸，B 正确；船头斜向下游时，船的实际航向一定斜 向下游，D 错误． 2. 如图所示，甲、乙两同学从河中 O 点出发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿 原路线返回到 O 点，OA、OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OA＝OB.若水流速度不变， 两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t 甲、t 乙的大小关系为( )． A．t 甲t 乙 D．无法确定 【答案】 C 【解析】 设两人在静水中游速为 v0，水速为 v，则 t 甲＝ xOAv0＋v＋ xOAv0－v＝ 2－v2 t 乙＝ 2－v2＝ 2－v2< 2－v2 故 A、B、D 错，C 对． 3. 一小船在静水中的速度为 3 m/s，它在一条河宽为 150 m，水流速度为 4 m/s 的河流 中渡河，则该小船( )． A．能到达正对岸 B．渡河的时间可能少于 50 s C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为 200 m D．以最短位移渡河时，位移大小为 150 m 【答案】 C 4．船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，河水的流速随离一侧河岸的距离的变 化关系如图乙所示，经过一段时间该船以最短时间成功渡河，下列对该船渡河的说法错误的 是( ) A．船在河水中的最大速度是 5 m/s B．船渡河的时间是 150 s C．船在行驶过程中，船头必须始终与河岸垂直 D．船渡河的位移是×102 m 【答案】B 【解析】 由题图乙可知，水流的最大速度为 4 m/s，根据速度的合成可知，船在河水中 的最大速度是 5 m/s，选项 A 正确；当船头始终与河岸垂直时，渡河时间最短，有 t＝ dv＝ 3003 s＝100 s，因此船渡河的时间不是 150 s，选项 B 错误，C 正确；在渡河时间内，船沿水流方 向的位移 x 在数值上等于水流速度与时间图像所围成的面积大小，根据速度变化的对称性可 得 x＝ 4×1002 m＝200 m，再根据运动的合成与分解可得，船渡河的位移为×102 m，选项 D 正确。 5. 如图所示，两次渡河时船相对水的速度大小和方向都不变。已知第一次实际航程为 A 至 B，位移为 x1，实际航速为 v1，所用时间为 t1。由于水速增大，第二次实际航程为 A 至 C， 位移为 x2，实际航速为 v2，所用时间为 t2。则( ) A．t2>t1，v2＝ x2v1x1 B．t2>t1，v2＝ x1v1x2 C．t2＝t1，v2＝ x2v1x1 D．t2＝t1，v2＝ x1v1x2 【答案】C 6. 小船匀速横渡一条河流，当船头垂直对岸方向航行时，在出发后 10 min 到达对岸下 游 120 m 处；若船头保持与河岸成θ角向上游航行，则在出发后 12.5 min 到达正对岸，求： (1)水流速度大小 v1； (2)船在静水中的速度大小 v2； (3)河的宽度； (4)船头与河岸的夹角θ。 【答案】(1)0.2 m/s (2) 1 3 m/s (3)200 m (4)53° 【解析】如图甲所示，设水流速度大小为 v1， 则，v1＝BC t1＝ 120 10×60 m/s＝0.2 m/s 又有：v2＝ d t1 如图乙所示，据题意有 t2＝ d v2sin θ v2cos θ＝v1 解得：d＝200 m v2＝1 3 m/s θ＝53°。 二、关联速度问题 把物体的实际速度分解为沿绳(杆)和垂直于绳(杆)的两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速 度大小相等求解。常见的模型如图所示。 绳(杆)关联问题的解题技巧 (1)解题关键：找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键。 (2)基本思路 ①先确定合速度的方向(物体实际运动方向)。 ②分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳(杆)伸缩；另一方面使绳(杆)转动。 ③确定两个分速度的方向：沿绳(杆)方向的分速度和垂直绳(杆)方向的分速度，而沿绳 (杆)方向的分速度大小相同。 【典例 1】如图所示，不计所有接触面之间的摩擦，斜面固定，两物体质量分别为 m1 和 m2，且 m1

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