高考物理一轮复习专题九磁场考点三带电粒子在复合场中的运动教学案含解析

高考物理一轮复习专题九磁场考点三带电粒子在复合场中的运动教学案含解析

考点三 带电粒子在复合场中的运动 基础点 知识点 1 带电粒子在复合场、组合场中的运动 1．复合场与组合场 (1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。 (2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场 分时间段或分区域交替出现。 2．带电粒子在复合场中运动情况分类 (1)静止或匀速直线运动：当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态 或匀速直线运动状态。 (2)匀速圆周运动：当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子 在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。 (3)较复杂的曲线运动：当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向 不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛 物线。 (4)分阶段运动：带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区 域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。 知识点 2 带电粒子在复合场中运动的应用实例 装置 原理图 规律 质谱 仪 粒子由静止被加速电场加速 qU＝1 2 mv2，在磁场中做匀速圆周 运动 qvB＝mv2 r ，则比荷q m ＝ 2U B2r2 回旋 加速 器 交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子在圆周运 动过程中每次经过 D 形盒缝隙都会被加速。由 qvB＝mv2 r 得 Ekm＝q2B2r2 2m 续表 装置 原理图 规律 速度选 择器 若 qv0B＝Eq，即 v0＝E B ，粒子做匀速直线 运动 磁流体 发电机 等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极 板带正、负电，两极板间电压为 U 时稳定， qU d ＝qvB，U＝Bdv 电磁流 量计 U D q＝qvB，则 v＝ U DB ，所以流量 Q＝vS＝ U DB π D 2 2 霍尔效 应 当磁场方向与电流方向垂直时，导体在与 磁场、电流方向都垂直的方向上出现电势 差 重难点 一、带电粒子在组合场中的运动 1．组合场 电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分 区域交替出现。 2．运动特点及处理方法 分阶段运动，带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发 生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。 运动特点 处理方法 电场中 匀变速直线运动(v∥E) (1)牛顿运动定律、运动学公式 (2)动能定理 类平抛运动(v⊥E) (1)运动的合成与分解 (2)功能关系 磁场中 匀速直线运动(v∥B) 匀速运动的公式 匀速圆周运动(v⊥B) 圆周运动公式、牛顿运动定律、几何知识 3.“电偏转”和“磁偏转”的比较 匀强电场中的偏转 匀强磁场中的偏转 偏转产生 条件 带电粒子以速度 v0 垂直射入匀强电场 带电粒子以速度 v0 垂直射入匀强磁场 续表 匀强电场中的偏转 匀强磁场中的偏转 受力特征 只受恒定的电场力 F＝Eq，方向与 初速度方向垂直 只受大小恒定的洛伦兹力 F＝ qv0B，方向始终与速度方向垂 直 运动性质 匀变速曲线运动(类平抛) 匀速圆周运动 轨迹 抛物线 圆或圆弧 运动轨迹图 运动规律 vx＝v0 vy＝qE m t x＝v0t y＝qEt2 2m qv0B＝mv2 0 R R＝mv0 qB T＝2πm qB 动能变化 动能增大 动能不变 运动时间 t＝x v0 t＝ θ 2π T＝θm Bq 特别提醒 带电粒子在组合场区内运动时，分析每个场区内的受力和运动比较简单。解题的关键是 抓住场区之间的交接特点(如速度 v 的大小、方向)，建立时间和空间几何关系的联系。 二、带电粒子在复合场(叠加场)中的运动 1．关于粒子重力是否考虑的三种情况 (1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力 相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重 力。 (2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。 (3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态 确定是否要考虑重力。 2．三种场的比较 名称 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关重力做功改变 物体的重力势能 静电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相 同；负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关 W＝qU 电场力做功改变电势能 磁场 洛伦兹力 F＝qvB 方向可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的 动能 3.带电体在复合场中无约束情况下的运动归类分析 (1)磁场力、重力并存。 ①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。 ②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机 械能守恒。 (2)电场力、磁场力并存(不计重力)。 ①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。 ②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，可用动能定理求解。 (3)电场力、磁场力、重力并存。 ①若三力平衡，带电体做匀速直线运动。 ②若重力与电场力平衡，带电体做匀速圆周运动。 ③若合力不为零，带电体可能做复杂的曲线运动，可用能量守恒定律或动能定理求解。 4．带电体在叠加场中有约束情况下的运动 带电体在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线 运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做 功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。 5．带电粒子在复合场中运动的解题思路 (1)弄清复合场的组成，一般有磁场、电场的复合，电场、重力场的复合，磁场、重力 场的复合，磁场、电场、重力场三者的复合。 (2)正确受力分析，除重力、弹力、摩擦力外要特别注意电场力和磁场力的分析。 (3)确定带电粒子的运动状态，注意运动情况和受力情况的分析。 (4)对于粒子连续通过几个不同情况场的问题，要分阶段进行处理。转折点的速度往往 成为解题的突破。 (5)画出粒子运动轨迹，灵活选择不同的运动规律。 ①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。 ②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，应用牛顿运动定律结合圆周运动规律求 解。 ③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。 ④对于临界问题，注意挖掘隐含条件。 特别提醒 处理带电粒子在复合(叠加)场中的运动问题时，特别注意要做到“三个分析”： (1)受力分析：正确分析物体的受力情况，重点明确是否不计重力和洛伦兹力的方向。 (2)运动分析：分析物体的运动情况，看物体所做运动是直线运动、圆周运动还是一般 曲线运动，要注意化曲为直分解物体的运动情况。 (3)做功分析：要分别分析物体所受各力的做功情况，重力、电场力做功与运动路径无 关，要特别注意洛伦兹力一定不做功。 三、带电粒子在交变复合场中的运动 1．问题特点 带电粒子在周期性变化的电、磁场中的运动是高考必考的重点和热点，又是高中物理的 一个难点。近几年高考题，题目中的运动情景复杂、综合性强，将场的性质、运动学规律、 牛顿运动定律、功能关系以及交变电场等知识有机地结合，对考生的空间想象能力、物理过 程和运动规律的综合分析能力，以及用数学知识解决物理问题的能力要求较高。 2．处理办法 分析带电粒子在交变复合场中的运动，常用的处理办法为： (1)仔细分析并确定各场的变化特点及相应的时间，其变化周期一般与粒子在电场或磁 场中的运动周期相关联，应抓住变化周期与运动周期之间的联系作为解题的突破口。 (2)必要时，可把粒子的运动过程还原成一个直观的运动轨迹草图进行分析。 (3)把粒子的运动分解成多个运动阶段分别进行处理，根据每一阶段上的受力情况确定 粒子的运动规律。 (4)还要注意对题目中隐含条件的挖掘，分析不确定因素，力求使解答准确、完整。 特别提醒 (1)带电粒子在周期性变化的电场和磁场中运动时，运动和受力具有周期性、规律性、 多样性等特点，解题的关键是抓住周期性变化规律在时间和空间上的特殊点，进行相应的求 解。 (2)分析周期性变化磁场中的运动时，重点是明确在一个周期内的运动，化“变”为 “恒”是思维根本，其技巧是画出轨迹示意图，结合带电粒子在电磁场和重力场组合与叠加 场中的运动知识列方程解答。 四、电磁场知识在现代科技中的应用典例 1．速度选择器模型 速度选择器模型是电磁叠加场的一个典型应用，其核心规律是电磁叠加场中力的平衡， 即 qE＝qvB。很多电磁技术应用中都用到了此规律，如电磁流量计、霍尔效应等。 (1)速度选择器 如图所示，带电粒子无论带正电还是负电，能够沿直线匀速通过速度选择器的条件都是 qE＝qvB，即 v＝E B . 速度选择器只能选择速度，不能选择粒子的质量和电荷量。 (2)电磁流量计 如图所示，圆形导管直径为 d，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左流动，导电流 体中的自由电荷(正、负离子)在洛伦兹力的作用下偏转，a、b 间出现电势差，形成电场。 当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时，a、b 间的电势差就保持稳定，即 qvB＝qE＝qU d ， 所以 v＝ U Bd ，因此液体流量 Q＝Sv＝πd2 4 · U Bd ＝πdU 4B 。 (3)霍尔效应 如图所示，在匀强磁场中放置一个矩形截面的载流体，当磁场方向与电流方向垂直时， 导体在与磁场、电流方向都垂直的方向出现了电势差。这个现象称为霍尔效应。 静电力和洛伦兹力平衡时有 qU h ＝qvB，上下两表面的电势差 U＝vhB。电流与自由电荷定 向运动的速度关系为 I＝nqSv＝nqdhv。由上述两式可得电势差 U＝ BI nqd 。 2．回旋加速器模型 回旋加速器模型是电磁组合场的一个典型应用，即电场中的直线加速运动和磁场中的匀 速圆周运动交替衔接。 (1)质谱仪 质谱仪是一种测定带电粒子质量和分离同位素的仪器。如图所示，离子源 A 产生质量为 m、电荷量为 q 的正离子(所受重力不计)，无初速度地经过电压为 U 的电场加速后，进入磁 感应强度为 B 的匀强磁场中做匀速圆周运动，经过半个周期后到达记录它的感光片的 P 点。 现测得 P 点到入口 S 的距离为 L，则 qU＝1 2 mv2，qvB＝ mv2 L 2 ，得 m＝qB2L2 8U 。 因为 m 正比于 L2，不同质量的同位素带电荷量相同，在磁场中转动半径不同，在 P 处就 可以分离，所以质谱仪是分离同位素的重要仪器。 (2)回旋加速器 如图所示，回旋加速器的核心部分是两个 D 形金属盒，两盒之间留下一个窄缝，在中心 附近放有粒子源，D 形盒在真空容器中，整个装置放在巨大的电磁铁产生的匀强磁场中，并 把两个 D 形盒分别接在高频电源的两极上。 ①其工作原理是： a．电场加速 qU＝ΔEk； b．磁场的约束偏转 qvB＝mv2 r ，r＝mv qB ∝v； c．加速条件：高频电源的周期与带电粒子在 D 形盒中运动的周期相同，即 T 电场＝T 回旋 ＝2πm qB 。 ②回旋加速器中的五个基本问题 a．同步问题 交变电压的频率 f 与粒子在磁场中做匀速圆周运动的频率相等，交变电压的频率 f＝1 T ＝ qB 2πm (当粒子的比荷或磁感应强度改变时，同时也要调节交变电压的频率)。 b．粒子的最大动能 粒子从边缘离开回旋加速器时动能最大，Ekm＝1 2 mv2＝q2B2R2 2m ，可知在 q、m 和 B 一定的情 况下，回旋加速器的半径 R 越大，粒子的能量就越大(最大动能与加速电压无关)。 c．回旋加速的次数 粒子每加速一次动能增加 qU，故需要加速的次数 n＝Ekm Uq ，回旋的次数为n 2 。 d．粒子运动时间 粒子运动时间由加速次数 n 或回旋的次数n 2 决定，在磁场中的回旋时间 t1＝n 2 T；在电场 中的加速时间 t2＝ nd vn/2 或 t2＝ 2nd a ，其中 a＝qU md 。 在回旋加速器中运动的总时间 t＝t1＋t2. 回旋轨道半径 rn＝mvn qB ，nqU＝1 2 mv2 n，n 为加速次数。 特别提醒 (1)解决速度选择器模型仪器的关键是抓住其合外力为 0，即 qE＝qvB 求解。 (2)在回旋加速器中起“回旋”作用的是磁场，起“加速”作用的是电场，但决定“回 旋”次数的是电场，决定“加速”效果(最大动能)的是磁场(前提是回旋加速器半径的大小 确定)。 1．思维辨析 (1)带电粒子在复合场中不可能处于静止状态。( ) (2)带电粒子在复合场中可能做匀速圆周运动。( ) (3)带电粒子在复合场中一定能做匀变速直线运动。( ) (4)带电粒子在复合场中运动一定要考虑重力。( ) (5)电荷在速度选择器中做匀速直线运动的速度与电荷的电性有关。( ) (6)利用质谱仪可以测得带电粒子的比荷。( ) (7)经过回旋加速器加速的带电粒子的最大动能是由 D 形盒的最大半径、磁感应强度 B、 加速电压的大小共同决定的。( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)× 2. 回旋加速器是加速带电粒子的装置，其主体部分是两个 D 形金属盒。两金属盒处在 垂直于盒底的匀强磁场中，a、b 分别与高频交流电源两极相连接，下列说法正确的是( ) A．离子从磁场中获得能量 B．带电粒子的运动周期是变化的 C．离子由加速器的中心附近进入加速器 D．增大金属盒的半径，粒子射出时的动能不变 答案 C 解析 离子在回旋加速器中从电场中获得能量，带电粒子的运动周期是不变的，选项 A、 B 错误；离子由加速器的中心附近进入加速器，增大金属盒的半径，粒子射出时的动能增大， 选项 C 正确 D 错误。 3．(多选)如图所示，已知甲空间中没有电场、磁场；乙空间中有竖直向上的匀强电场； 丙空间中有竖直向下的匀强电场；丁空间中有垂直纸面向里的匀强磁场。四个图中的斜面相 同且绝缘，相同的带负电小球从斜面上的同一点 O 以相同初速度 v0 同时沿水平方向抛出， 分别落在甲、乙、丙、丁图中斜面上 A、B、C、D 点(图中未画出)。小球受到的电场力、洛 伦兹力都始终小于重力，不计空气阻力，则 ( ) A．O、C 之间距离大于 O、B 之间距离 B．小球从抛出到落在斜面上用时相等 C．小球落到 B 点与 C 点速度大小相等 D．从 O 到 A 与从 O 到 D，合力对小球做功相同 答案 AC 解析 根据平抛运动的特点可知，tanθ＝ 1 2 at2 v0t ＝at 2v0 ，因乙图小球下落的加速度大于丙 图小球下落的加速度，所以乙图小球运动的时间 t 乙小于丙图小球运动的时间 t 丙，因小球在 水平方向做匀速直线运动，水平方向的位移 x＝v0t，所以 x 丙＞x 乙，O、C 之间距离大于 O、 B 之间的距离，选项 A 正确，B 错误；因平抛运动中速度与水平方向的夹角 tan α＝2tanθ， 且小球初速度 v0 也相同，结合数学知识可知小球落到 B 点与 C 点速度大小相等，选项 C 正 确；从 O 到 A 与从 O 到 D，都只有重力做功，但从 O 到 D 小球运动的时间长，水平距离大， 下落高度大，重力做功多，选项 D 错误。 [考法综述] 本考点知识在高考中考查频度较高，交汇命题考查带电粒子在复合 场中的运动，常以压轴题的形式呈现。涉及的知识有运动学公式、牛顿运动定律、圆周运动 规律、功能关系、电场、磁场等，因此复习本考点时应掌握： 2 种场——叠加场、组合场的构成及特点 2 种方法——带电粒子在叠加场、组合场中运动时的处理方法 6 种装置——回旋加速器、质谱仪、速度选择器、磁流体发电机、电磁流量计、霍尔元 件 命题法 1 带电粒子在组合场中的运动 典例 1 在如图所示的竖直平面内，水平轨道 CD 和倾斜轨道 GH 与半径 r＝ 9 44 m 的光 滑圆弧轨道分别相切于 D 点和 G 点，GH 与水平面的夹角θ＝37°。过 G 点、垂直于纸面的 竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度 B＝1.25 T；过 D 点、垂 直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度 E＝1×104 N/C。小物 体 P1 质量 m＝2×10－3 kg、电荷量 q＝＋8×10－6 C，受到水平向右的推力 F＝9.98×10－3 N 的作用，沿 CD 向右做匀速直线运动，到达 D 点后撤去推力。当 P1 到达倾斜轨道底端 G 点时， 不带电的小物体 P2 在 GH 顶端静止释放，经过时间 t＝0.1 s 与 P1 相遇。P1 和 P2 与轨道 CD、 GH 间的动摩擦因数均为μ＝0.5，取 g＝ 10 m/s2 ，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，物体 电荷量保持不变，不计空气阻力。求： (1)小物体 P1 在水平轨道 CD 上运动速度 v 的大小； (2)倾斜轨道 GH 的长度 s。 [答案] (1)4 m/s (2)0.56 m [解析] (1)设小物体 P1 在匀强磁场中运动的速度为 v，受到向上的洛伦兹力为 F1，受 到的摩擦力为 f，则 F1＝qvB① f＝μ(mg－F1)② 由题意，水平方向合力为零 F－f＝0③ 联立①②③式，代入数据解得 v＝4 m/s④ (2)设 P1 在 G 点的速度大小为 vG，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理 qErsinθ－mgr(1－cosθ)＝1 2 mv2 G－1 2 mv2⑤ P1 在 GH 上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为 a1，根据牛顿第二定 律 qEcosθ－mgsinθ－μ(mgcosθ＋qEsinθ)＝ma1⑥ P1 与 P2 在 GH 上相遇时，设 P1 在 GH 上运动的距离为 s1，则 s1＝vGt＋1 2 a1t2⑦ 设 P2 质量为 m2，在 GH 上运动的加速度为 a2，则 m2gsinθ－μm2gcosθ＝m2a2⑧ P1 与 P2 在 GH 上相遇时，设 P2 在 GH 上运动的距离为 s2，则 s2＝1 2 a2t2⑨ s＝s1＋s2⑩ 联立⑤～⑩式，代入数据得 s＝0.56 m⑪ 【解题法】 带电粒子在组合场中运动的分析思路 命题法 2 带电粒子在复合场(叠加场)中的运动 典例 2 如图所示，空间存在一范围足够大的垂直于 xOy 平面向外的匀强磁场，磁感 应强度大小为 B。让质量为 m，电量为 q(q>0)的粒子从坐标原点 O 沿 xOy 平面以不同的初速 度大小和方向入射到该磁场中。不计重力和粒子间的影响。 (1)若粒子以初速度 v1 沿 y 轴正向入射，恰好能经过 x 轴上的 A(a,0)点，求 v1 的大小； (2)已知一粒子的初速度大小为 v(v>v1)，为使该粒子能经过 A(a,0)点，其入射角θ(粒 子初速度与 x 轴正向的夹角)有几个？并求出对应的 sinθ值； (3)如图乙，若在此空间再加入沿 y 轴正向、大小为 E 的匀强电场，一粒子从 O 点以初 速度 v0 沿 y 轴正向发射。研究表明：粒子在 xOy 平面内做周期性运动，且在任一时刻，粒 子速度的 x 分量 vx 与其所在位置的 y 坐标成正比，比例系数与场强大小 E 无关。求该粒子 运动过程中的最大速度值 vm。 [答案] (1)qBa 2m (2)2 个 aqB 2mv (3)E B ＋ E B 2＋v2 0 [解析] (1)带电粒子以速率 v 在匀强磁场 B 中做匀速圆周运动，半径为 R，有 qvB＝mv2 R ① 当粒子以初速度 v1 沿 y 轴正向入射，转过半个圆周至 A 点，该圆周半径为 R1，有： R1＝a 2 ② 由②代入①式得 v1＝qBa 2m 。③ (2)如图，O、A 两点处于同一圆周上，且圆心在 x＝a 2 的直线上，半径为 R.当给定一 个初速率 v 时，有 2 个入射角，分别在第 1、2 象限，有 sinθ′＝sinθ＝ a 2R ④ 由①④式解得 sinθ＝aqB 2mv ⑤ (3)粒子在运动过程中仅电场力做功，因而在轨道的最高点处速率最大，用 ym 表示其 y 坐标，由动能定理，有 qEym＝1 2 mv2 m－1 2 mv2 0⑥ 由题知，有 vm＝kym⑦ 若 E＝0 时，粒子以初速度 v0 沿 y 轴正向入射，有 qv0B＝mv2 0 R0 ⑧ v0＝kR0⑨ 由⑥⑦⑧⑨式解得 vm＝E B ＋ E B 2＋v2 0。 【解题法】 带电粒子在复合场(叠加场)中的力和运动分析思路 命题法 3 带电粒子在交变复合场中的运动 典例 3 两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时 间周期性变化的电场和磁场，变化规律分别如图甲、乙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强 度的正方向)。在 t＝0 时由负极板释放一个初速度为零的带负电的粒子(不计重力)。若电场 强度 E0、磁感应强度 B0、粒子的比荷q m 均已知，且 t0＝2πm qB0 两板间距 h＝10π2mE0 qB2 0 。 (1)求粒子在 0～t0 时间内的位移大小与极板间距 h 的比值； (2)求粒子在极板间做圆周运动的最大半径(用 h 表示)； (3)若板间电场强度 E 随时间的变化仍如图甲所示，磁场的变化改为如图丙所示，试画 出粒子在板间运动的轨迹图(不必写计算过程)。 [答案] (1)1 5 (2) 2h 5π (3)见解析图 2 [解析] (1)设粒子在 0～t0 时间内运动的位移大小为 x1， x1＝1 2 at2 0① a＝qE0 m ② 又已知 t0＝2πm qB0 ，h＝10π2mE0 qB2 0 ③ 联立①②③式解得x1 h ＝1 5 (2)粒子在 t0～2t0 时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速 圆周运动，设运动速度大小为 v1，轨道半径为 R1，周期为 T，则 v1＝at0④ qv1B0＝mv2 1 R1 ⑤ 联立②③④⑤解得 R1＝ h 5π ⑥ 又 T＝2πm qB0 ⑦ 即粒子在 t0～2t0 时间内恰好完成一个周期的圆周运动。在 2t0～3t0 时间内，粒子做初 速度为 v1 的匀加速直线运动，设位移大小为 x2，则 x2＝v1t0＋1 2 at2 0⑧ 联立②③④⑧解得 x2＝3 5 h⑨ 由于 x1＋x2q m 则导致 sinθn′>1 说明θn′不存在，即原假设不成立。所以比荷较该粒子大的粒子不能穿出该层磁场右 侧边界。 5．如图，绝缘粗糙的竖直平面 MN 左侧同时存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场 方向水平向右，电场强度大小为 E，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为 B。一质量 为 m、电荷量为 q 的带正电的小滑块从 A 点由静止开始沿 MN 下滑，到达 C 点时离开 MN 做曲 线运动。A、C 两点间距离为 h，重力加速度为 g。 (1)求小滑块运动到 C 点时的速度大小 vC； (2)求小滑块从 A 点运动到 C 点过程中克服摩擦力做的功 Wf； (3)若 D 点为小滑块在电场力、洛伦兹力及重力作用下运动过程中速度最大的位置，当 小滑块运动到 D 点时撤去磁场，此后小滑块继续运动到水平地面上的 P 点。已知小滑块在 D 点时的速度大小为 vD，从 D 点运动到 P 点的时间为 t，求小滑块运动到 P 点时速度的大小 vP。 答案 (1)vC＝E B (2)Wf＝mgh－mE2 2B2 (3)vP＝ v2 D＋ qE m 2＋g2 t2 解析 (1)小滑块沿 MN 运动过程，水平方向受力满足 qvB＋N＝qE① 小滑块在 C 点离开 MN 时 N＝0② 解得 vC＝E B ③ (2)由动能定理 mgh－Wf＝1 2 mv2 C－0④ 解得 Wf＝mgh－mE2 2B2⑤ (3)如图，小滑块速度最大时，速度方向与电场力、重力的合力方向垂直。撤去磁场后 小滑块将做类平抛运动，等效加速度为 g′ g′＝ qE m 2＋g2⑥ 且 v2 P＝v2 D＋g′2t2⑦ 解得 vP＝ v2 D＋ qE m 2＋g2 t2⑧ 6．使用回旋加速器的实验需要把离子束从加速器中引出，离子束引出的方法有磁屏蔽 通道法和静电偏转法等，质量为 m、速度为 v 的离子在回旋加速器内旋转，旋转轨道是半径 为 r 的圆，圆心在 O 点，轨道在垂直纸面向外的匀强磁场中，磁感应强度为 B。 为引出离子束，使用磁屏蔽通道法设计引出器。引出器原理如图所示，一对圆弧形金属 板组成弧形引出通道，通道的圆心位于 O′点(O′点图中未画出)。引出离子时，令引出通 道内磁场的磁感应强度降低，从而使离子从 P 点进入通道，沿通道中心线从 Q 点射出。已知 OQ 长度为 L，OQ 与 OP 的夹角为θ。 (1)求离子的电荷量 q 并判断其正负； (2)离子从 P 点进入、Q 点射出，通道内匀强磁场的磁感应强度应降为 B′，求 B′； (3)换用静电偏转法引出离子束，维持通道内的原有磁感应强度 B 不变，在内外金属板 间加直流电压，两板间产生径向电场，忽略边缘效应。为使离子仍从 P 点进入 Q 点射出，求 通道内引出轨迹处电场强度 E 的方向和大小。 答 案 (1) mv Br ， 正 电 荷 (2) mv 2r－2Lcosθ q r2＋L2－2rLcosθ (3) 沿 径 向 向 外 ； Bv － mv2 2r－2Lcosθ q r2＋L2－2rLcosθ 解析 (1)离子做圆周运动 Bqv＝mv2 r ① q＝mv Br ，正电荷② (2)如图所示。 O′Q＝R，OQ＝L，O′O＝R－r 引出轨迹为圆弧，B′qv＝mv2 R ③ R＝ mv qB′ ④ 根据几何关系得 R2＝L2＋(R－r)2－2L(R－r)cos(π－θ)⑤ 联立④⑤式得 B′＝mv qR ＝ mv 2r－2Lcosθ q r2＋L2－2rLcosθ ⑥ (3)电场强度方向沿径向向外⑦ 引出轨迹为圆弧，Bqv－Eq＝mv2 R ⑧ E＝Bv－ mv2 2r－2Lcosθ q r2＋L2－2rLcosθ ⑨ 7．如图所示，某种离子加速器的设计方案。两个半圆形金属盒内存在相同的垂直于纸 面向外的匀强磁场。其中 MN 和 M′N′是间距为 h 的两平行极板，其上分别有正对的两个小 孔 O 和 O′，O′N′＝ON＝d，P 为靶点，O′P＝kd(k 为大于 1 的整数)。极板间存在方向向 上的匀强电场，两极板间电压为 U。质量为 m、带电量为 q 的正离子从 O 点由静止开始加速， 经 O′进入磁场区域。当离子打到极板上 O′N′区域(含 N′点)或外壳上时将会被吸收。两 虚线之间的区域无电场和磁场存在，离子可匀速穿过。忽略相对论效应和离子所受的重力。 求： (1)离子经过电场仅加速一次后能打到 P 点所需的磁感应强度大小； (2)能使离子打到 P 点的磁感应强度的所有可能值； (3)打到 P 点的能量最大的离子在磁场中运动的时间和在电场中运动的时间。 答案 (1)2 2Uqm qkd (2)2 2nUqm qkd (n＝1,2,3…，k2－1) (3) 2k2－3π mkd 2 2Uqm k2－1 h 2 k2－1 m Uq 解析 (1)离子经过电场仅加速一次后能打到 P 点时，轨道半径 R1＝kd 2 根据牛顿第二定律有： B1qv1＝mv2 1 R1 对离子在电场中加速的过程应用动能定理有：qU＝1 2 mv2 1 解得：B1＝2 2Uqm qkd (2)假设离子在电场中加速了 n 次后恰好打在 P 点，则有 nqU＝1 2 mv2 2 Bqv2＝mv2 2 R R＝kd 2 解得 B＝2 2nUqm qkd 若离子在电场中加速一次后恰好打在 N′。同理可得此时的磁感应强度 B0＝2 2Uqm qd 。由题意可知，B＜B0 时离子才可能打在 P 点上。 由2 2nUqm qkd ＜2 2Uqm qd 解得：n＜k2，可见 n 的最大值应为 k2－1，即 n 的取值应为 n＝ 1,2,3，…，k2－1。 (3)n＝k2－1 对应的离子就是打在 P 点的能量最大的离子。 离子在磁场中运动的圈数为 k2－3 2 ，故在磁场中运动的时间 t1＝ k2－3 2 T＝ k2－3 2 ×2πm Bq ＝ 2k2－3π mkd 2 2Uqm k2－1 。 设离子在电场中运动的时间为 t2，则有： (k2－1)h＝1 2 qU hm t2 2 解得：t2＝h 2 k2－1 m Uq 。 8．一台质谱仪的工作原理如图所示，电荷量均为＋q、质量不同的离子飘入电压为 U0 的加速电场，其初速度几乎为零。这些离子经加速后通过狭缝 O 沿着与磁场垂直的方向进入 磁感应强度为 B 的匀强磁场，最后打在底片上。已知放置底片的区域 MN＝L，且 OM＝L。某 次测量发现 MN 中左侧2 3 区域 MQ 损坏，检测不到离子，但右侧1 3 区域 QN 仍能正常检测到离子。 在适当调节加速电压后，原本打在 MQ 的离子即可在 QN 检测到。 (1)求原本打在 MN 中点 P 的离子质量 m； (2)为使原本打在 P 的离子能打在 QN 区域，求加速电压 U 的调节范围； (3)为了在 QN 区域将原本打在 MQ 区域的所有离子检测完整，求需要调节 U 的最少次数。 (取 lg 2＝0.301, lg 3＝0.477, lg 5＝0.699) 答案 (1)9qB2L2 32U0 (2)100U0 81 ≤U≤16U0 9 (3)3 解析 (1)离子在电场中加速，qU0＝1 2 mv2 在磁场中做匀速圆周运动，qvB＝mv2 r 解得 r＝1 B 2mU0 q 代入 r0＝3 4 L 解得 m＝9qB2L2 32U0 (2)由(1)知，U＝16U0r2 9L2 离子打在 Q 点，r＝5 6 L，U＝100U0 81 离子打在 N 点，r＝L，U＝16U0 9 则电压的范围100U0 81 ≤U≤16U0 9 (3)由(1)可知，r∝ U 由题意知，第 1 次调节电压到 U1，使原本 Q 点的离子打在 N 点， L 5 6 L ＝ U1 U0 此时，原本半径为 r1 的打在 Q1 的离子打在 Q 上， 5 6 L r1 ＝ U1 U0 解得 r1＝ 5 6 2L 第 2 次调节电压到 U2，原本打在 Q1 的离子打在 N 点，原本半径为 r2 的打在 Q2 的离子打 在 Q 上，则L r1 ＝ U2 U0 ， 5 6 L r2 ＝ U2 U0 解得 r2＝ 5 6 3L 同理，第 n 次调节电压，有 rn＝ 5 6 n＋1L 检测完整，有 rn≤L 2 解得 n≥ lg 2 lg 6 5 －1≈2.8 最少次数为 3 次。 物理建模 带电粒子在组合场中运动模型问题 带电粒子在组合场中的运动情况复杂，可根据进入电、磁场的先后以及各场的特点分为 如下几种模型处理： (1)先电场后磁场模型 ①先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动(如图 1、2 所示)； 在电场中利用功能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度。 ②先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动。(如图 3、4 所示) 在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度。 (2)先磁场后电场模型 常见两种情况：①进入电场时粒子速度方向与电场方向相同或相反； ②进入电场时粒子速度方向与电场方向垂直(如图 5、6 所示)。 (3)两磁场组合模型 粒子在两磁场中做圆周运动(如图 7 所示)。 【典例】 如图所示，在坐标系 xOy 的第一、第三象限内存在相同的匀强磁场，磁场方 向垂直于 xOy 平面向里；第四象限内有沿 y 轴正方向的匀强电场，电场强度大小为 E。一带 电量为＋q、质量为 m 的粒子，自 y 轴上的 P 点沿 x 轴正方向射入第四象限，经 x 轴上的 Q 点进入第一象限，随即撤去电场，以后仅保留磁场。已知 OP＝d，OQ＝2d。不计粒子重力。 (1)求粒子过 Q 点时速度的大小和方向； (2)若磁感应强度的大小为一确定值 B0，粒子将以垂直 y 轴的方向进入第二象限，求 B0； (3)若磁感应强度的大小为另一确定值，经过一段时间后粒子将再次经过 Q 点，且速度 与第一次过 Q 点时相同，求该粒子相邻两次经过 Q 点所用的时间。 [审题指导] 第一步：抓关键点 关键点 获取信息 ①沿 y 轴正方向的匀强电场 ②自 y 轴 P 点沿 x 轴正方向射入 带电粒子在第四象限内做类平抛运动 在第一、三象限内存在相同的匀强磁场 在第一、三象限内带电粒子做半径相同的匀 速圆周运动 以垂直 y 轴的方向进入第二象限 在第一象限内做圆周运动的圆心在 y 轴上 改变磁感应强度值，经过一段时间后粒子再次经过 Q 点，且速度与第一次相同 带电粒子在第一、三象限内运动的轨迹均为 半圆 第二步：找突破口 (1)要求过 Q 点的速度，可以结合平抛运动的知识列方程求解。 (2)要求以垂直 y 轴的方向进入第二象限时的磁感应强度 B0 值，可以先画出带电粒子在 第一象限的运动轨迹，后结合匀速圆周运动的知识求解。 (3)要求经过一段时间后仍以相同的速度过 Q 点情况下经历的时间，必须先综合分析带 电粒子的运动过程，画出运动轨迹，后结合有关知识列方程求解。 [解析] (1)设粒子在电场中运动的时间为 t0，加速度的大小为 a，粒子的初速度为 v0， 过 Q 点时速度的大小为 v，沿 y 轴方向分速度的大小为 vy，速度与 x 轴正方向间的夹角为θ， 由牛顿第二定律得 qE＝ma① 由运动学公式得 d＝1 2 at2 0② 2d＝v0t0③ vy＝at0④ v＝ v2 0＋v2 y⑤ tanθ＝vy v0 ⑥ 联立①②③④⑤⑥式得 v＝2 qEd m ⑦ θ＝45°，即粒子过 Q 点时速度方向斜向上与 x 轴正方向成 45°角⑧ (2)设粒子做圆周运动的半径为 R1，粒子在第一象限的运动轨迹如图所示，O1 为圆心， 由几何关系可知ΔO1OQ 为等腰直角三角形，得 R1＝2 2d⑨ 由牛顿第二定律得 qvB0＝mv2 R1 ⑩ 联立⑦⑨⑩式得 B0＝ mE 2qd ⑪ (3)设粒子做圆周运动的半径为 R2，由几何知识分析知，粒子运动的轨迹如图所示，O2、 O2′是粒子做圆周运动的圆心，Q、F、G、H 是轨迹与两坐标轴的交点，连接 O2，O2′，由几 何关系知，O2FGO2′和 O2QHO2′均为矩形，进而知 FQ、GH 均为直径，QFGH 也是矩形，又 FH ⊥GQ，可知 QFGH 是正方形，ΔQOF 为等腰直角三角形。由此可知，粒子在第一、第三象限 的轨迹均为半圆，得 2R2＝2 2d⑫ 粒子在第二、第四象限的轨迹为长度相等的线段，得 FG＝HQ＝2R2⑬ 设粒子相邻两次经过 Q 点所用的时间为 t，则 t＝FG＋HQ＋2πR2 v ⑭ 联立⑦⑫⑬⑭式得 t＝(2＋π) 2md qE 。 [答案] (1)2 qEd m ，方向斜向上与 x 轴正方向成 45°角 (2) mE 2qd (3)(2＋π) 2md qE [心得体会] 当带电粒子在重力场、电场、磁场并存的空间做直线运动时，重力、电场力和洛伦兹力 的合力必为零，粒子一定做匀速直线运动；当带电粒子所受重力和电场力等大反向，洛伦兹 力提供向心力时，带电粒子做匀速圆周运动；当带电粒子连续通过几个不同的场区，带电粒 子的受力情况和运动情况也发生相应的变化，其运动过程分别由几个不同的运动阶段组成， 应逐一分析，否则易造成错误，现举一例如下： (多选) 如图所示，虚线框中存在垂直纸面向外的匀强磁场 B 和平行纸面且与竖直 平面夹角为 45°的斜向下的匀强电场 E，有一质量为 m、电荷量为 q 的带负电的小球在高为 h 处的 P 点从静止开始自由下落，当小球运动到复合场内时刚好做直线运动，那么( ) A．小球在复合场中一定做匀速直线运动 B．磁感应强度 B＝m 2gh 2qh ，场强 E＝ 2mg q C．若换成带正电的小球，小球仍可能做直线运动 D．若同时改变小球的比荷与初始下落高度 h，小球仍能沿直线通过复合场 [错解] [错因分析] 根据小球做直线运动的受力要求，认为只要小球进入复合场时合外力方向 与速度方向在一条直线上，小球就可以沿直线运动，忽视了小球速度变化对洛伦兹力的影响 而漏选 A、B 项，不加分析地错选了 C 项。 考虑问题不全面，认为同时改变小球的比荷与初始下落高度 h，磁感应强度 B＝m 2gh 2qh 仍 然可以成立，但没有注意 到改变比荷时 E＝ 2mg q 就不能成立，故判断小球仍能沿直线通过复合场而错选 D 项。 [正解] 小球在复合场中受到竖直向下的重力、与电场强度方向相反的电场力和水平向 右的洛伦兹力的作用，如图所示。其中重力和电场力是恒力，而洛伦兹力的大小与小球的速 度大小成正比，若小球做的是变速运动，那么洛伦兹力也是变力，小球的合外力方向也要改 变，这与题意不符，所以小球在复合场中一定做匀速直线运动，选项 A 正确；根据小球的平 衡条件可得：qvB＝mg，qE＝ 2mg，又 v2＝ 2gh，联立以上各式解得磁感应强度 B＝m 2gh 2qh ， 电场强度 E＝ 2mg q ，B 正确；若换成带正电的小球，则电场力和洛伦兹力同时反向，合力不 可能为零，C 项错误；若要使小球沿直线通过复合场，小球的合力一定为零，所以一定要满 足 B＝m 2gh 2qh 和 E＝ 2mg q ，若同时改变小球的比荷与初始下落高度 h，以上两个式子不能同 时满足，所以选项 D 错误。 [答案] AB [心得体会]