【物理】2019届一轮复习教科版第七章静电场基础课2学案
基础课2 电场的能的性质
知识排查
电势能、电势
1.电势能
(1)电场力做功的特点：
电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。
(2)电势能
①定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。
②电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。
2.电势
(1)定义：检验电荷在电场中某点具有的电势能Ep与它的电荷量q的比值。
(2)定义式：φ＝。
(3)矢标性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。
(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。
3.等势面
(1)定义：电场中电势相等的各点组成的面。
(2)四个特点
①等势面一定与电场线垂直。
②在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。
③电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。
④等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。
电势差
1.定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做功与移动电荷的电荷量的比值。
2.定义式：UAB＝。
3.电势差与电势的关系：UAB＝φA－φB，UAB＝－UBA。
匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.电势差与电场强度的关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场线方向的距离的乘积。即U＝Ed，也可以写作E＝。
2.公式U＝Ed的适用范围：匀强电场。
小题速练
1.思考判断
(1)电势等于零的物体一定不带电。( )
(2)电场强度为零的点，电势一定为零。( )
(3)A、B两点的电势差是恒定的，所以UAB＝UBA。( )
(4)电场中，场强方向是指电势降落最快的方向。( )
(5)电势有正负之分，因此电势是矢量。( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
2.(多选)某电场的电场线分布如图1所示，以下说法正确的是( )
图1
A.a点电势高于b点电势
B.c点场强大于b点场强
C.若将一检验电荷＋q由a点移至b点，它的电势能增大
D.若在d点再固定一点电荷－Q，将一检验电荷＋q由a移至b的过程中，电势能减小
解析 沿着电场线的方向电势逐渐降低，由题图可知由a到b为电场线方向，故选项A正确；电场线密集的地方电场强度大，故选项B错误；电荷＋q由a点移至b点，则电场力做正功，其电势能将减小，故选项C错误；若在d
点再固定一点电荷－Q，则由合场强的方向可知电荷＋q由a移至b的过程中，电场力将做正功，其电势能将减小，故选项D正确。
答案 AD
3.如图2所示，下列说法正确的是( )
图2
A.φA>φB
B.负电荷在A点时的电势能大于在B点时的电势能
C.负电荷由B移动到A时静电力做正功
D.UAB>0
答案 B
判断电场力做功、电势和电势能
1.判断电场力做功的正负
(1)根据电场力与速度夹角：夹角是锐角，电场力做正功。夹角是钝角，电场力做负功。
(2)根据WAB＝qUAB：由q和UAB的正负，判断WAB的正负。
2.判断电势能的变化
(1)根据电场力做功：电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势能增加。
(2)根据Ep＝φq：正电荷在电势越高处电势能越大；负电荷在电势越高电势能越小。
3.判断电势高低
(1)根据电场线：沿电场线的方向电势降低。
(2)根据UAB＝：判断UAB正负，确定φA和φB的高低。
1.(2016·全国卷Ⅲ，15)关于静电场的等势面，下列说法正确的是( )
A.两个电势不同的等势面可能相交
B.电场线与等势面处处相互垂直
C.同一等势面上各点电场强度一定相等
D.将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功
解析 若两个不同的等势面相交，则在交点处存在两个不同电势数值，与事实不符，选项A错误；电场线一定与等势面垂直，选项B正确；同一等势面上的电势相同，但电场强度不一定相同，选项C错误；将一负电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做负功，故选项D错误。
答案 B
2.(多选)将一电荷量为＋Q的小球放在不带电的金属球附近，所形成的电场线分布如图3所示，金属球表面的电势处处相等。a、b为电场中的两点，则( )
图3
A.a点的电场强度比b点的大
B.a点的电势比b点的高
C.检验电荷－q在a点的电势能比在b点的大
D.将检验电荷－q从a点移到b点的过程中，电场力做负功
答案 ABD
3.(2018·河南六市一联，17)在真空中A、B两点分别放有异种点电荷－Q和＋2Q，以A、B连线中点O为圆心作一圆形路径acbd，如图4所示，则下列说法正确的是( )
图4
A.场强大小关系有Ea＝Eb、Ec＝Ed
B.电势高低关系有φa>φb、φc>φd
C.将一负点电荷沿圆弧由a运动到b的过程中电场力做正功
D.将一正点电荷沿直线由c运动到d的过程中电势能始终不变
解析 对比等量异种点电荷的电场分布可知，题图中场强大小关系有Eb>Ea，Ec＝Ed，选项A错误；因沿着电场线方向电势逐渐降低可知，φa<φb，再由对称性可知φc＝φd，选项B错误；由于a点电势低于b点电势，将负点电荷由a沿圆弧运动到b，电场力做正功，选项C正确；因沿直线由c到d过程中电势先升高再降低，所以将一正点电荷沿直线由c运动到d的过程中电势能先增大再减小，选项D错误。
答案 C
4.(多选)电场中的a、b、c三点在同一直线上，如图5所示，其中c为ab的中点。已知a、b两点的电势分别为φa和φb，且φb>φa>0，则下列叙述正确的是( )
图5
A.该电场在c点处的电势一定为
B.正电荷从b点运动到a点，电势能一定减少
C.正电荷只受电场力作用从a点运动到c点，动能可能增加
D.正电荷从b点运动到c点，电场力一定做正功
解析 因不确定该电场为匀强电场，由题中所述条件无法确定c点电势的高低，故选项A错误；根据电势能的定义可知，正电荷所在位置的电势越高，其电势能也越大，选项B正确；因c点的电势无法判定，故正电荷只受电场力作用从a点运动到c点，动能的增减无法判定，正电荷从b点运动到c点，电场力做功的正负也无法判定，选项C正确，D错误。
答案 BC
电场线、等势面和带电粒子轨迹问题
1.常见等势面比较
电场
等势面(实线)图样
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
两电荷连线的中垂面为等势面
等量同种正点电荷的电场
在电荷连线上，中点电势最低；在中垂线上，中点电势最高
2.分析方法
(1)根据等势面与电场线垂直，画出电场线。
(2)根据运动轨迹的弯曲方向，判断电场力方向，从而分析电场方向或电荷的正负，确定电势能、电势的变化。
1.(2017·天津理综，7)(多选)如图6所示，在点电荷Q产生的电场中，实线MN是一条方向未标出的电场线，虚线AB是一个电子只在静电力作用下的运动轨迹。设电子在A、B两点的加速度大小分别为aA、aB，电势能分别为EpA、EpB。下列说法正确的是( )
图6
A.电子一定从A向B运动
B.若aA>aB，则Q靠近M端且为正电荷
C.无论Q为正电荷还是负电荷一定有EpA
aB，说明电子在A点受到的电场力较大，A点的电场强度较大，根据点电荷的电场分布可知，靠近M端为场源电荷的位置，应为正电荷，故选项B正确；无论Q为正电荷还是负电荷，一定有电势φA>φB，电子电势能Ep＝－eφ，电势能是标量，所以一定有EpA0，得E M>E N，选项D错误。
答案 A
电势差与电场强度的关系
1.公式E＝的三点注意
(1)只适用于匀强电场。
(2)d为某两点沿电场强度方向上的距离，或两点所在等势面之间的距离。
(3)电场强度的方向是电势降低最快的方向。
2.由E＝可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图10甲所示。
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图10乙所示。
甲 乙
图10
【典例】 (2017·全国卷Ⅲ，21)(多选)一匀强电场的方向平行于xOy
平面，平面内a、b、c三点的位置如图11所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
图11
A.电场强度的大小为2.5 V/cm
B.坐标原点处的电势为1 V
C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
D.电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV
解析 如图所示，设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则＝＝，所以d点的坐标为(3.5 cm，6 cm)，过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势。由几何关系可得，cf的长度为3.6 cm，电场强度的大小E＝＝ V/cm＝2.5 V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb ，可知坐标原点O处的电势为1 V ，故选项B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故选项D正确。
答案 ABD
1.(多选)如图12，在正点电荷Q的电场中有M、N、P和F四点，M、N、P为直角三角形的三个顶点，F为MN的中点，∠M＝30°。M、N、P、F四点处的电势分别用φM、φN、φP、φF表示。已知φM＝φN，φP＝φF，点电荷Q在M、N、P三点所在平面内，则( )
图12
A.点电荷Q一定在MP连线上
B.连接PF的线段一定在同一个等势面上
C.将正试探电荷从P点搬运到N点，电场力做负功
D.φP大于φM
解析 根据正点电荷的电场的特点可知，点电荷的电场的等势面是以点电荷为中心的同心球面，故分别作MN连线的中垂线和PF连线的中垂线，如图所示，根据图中几何关系可知，两条线交MP于A点，即点电荷在A点，选项A正确，B错误；将正试探电荷从P点搬运到N点，电场力做正功，选项C错误；沿着电场线的方向电势逐渐降低，故φP>φM，选项D正确。
答案 AD
2.如图13所示，a、b、c代表某固定点电荷电场中的三个等势面，相邻两等势面间的距离相等，直线是电场中的几条没标明方向的电场线，粗曲线是一带正电粒子只在电场力作用下运动轨迹的一部分，M、N是轨迹上的两点。粒子过M、N两点时的加速度大小分别是aM、aN，电势能分别是EpM、EpN，a、b、c的电势分别是φa、φb、φc，a、b间的电势差为Uab，b、c间的电势差为Ubc，则下列判断正确的是( )
图13
A.aM>aN，EpM>EpN B.φa<φb<φc，EpMaN，Uab＝Ubc D.Uab＝Ubc，EpMaN；由于a、b之间的电场强度大于b、c之间的电场强度，而相邻两等势面间的距离相等，根据U＝Ed可得|Uab|>|Ubc|；设粒子从M点向N点运动，电场力做负功，电势能增加，所以EpMEA>EC，场强最小的是C
点。等量异种电荷连线的垂直平分线是一条等势线，知φA＝φC，沿着电场线方向电势逐渐降低，异种电荷间的电场线由正电荷指向负电荷，知φB>φA，所以电势最高点是B点，故选项A、B、D错误，C正确。
答案 C
4.(2018·福建厦门模拟)如图3所示，在等边三角形ABC所在平面内有一匀强电场，将一带正电的点电荷从A点移到B点和从B点移到C点，电场力均做负功且数值相同，D是AC的中点。下列说法正确的是( )
图3
A.B点的电势等于D点的电势 B.A点的电势等于C点的电势
C.电场的方向由A指向C D.电场的方向由B指向D
解析 因为将一带正电的点电荷从A点移到B点和从B点移到C点，电场力均做负功且数值相同，所以B点与D点的电势相等，A点与C点的电势不相等，选项A正确，B错误；因为φA<φC，所以电场的方向由C指向A，选项C、D错误。
答案 A
5.如图4所示，虚线a、b、c表示电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相等，实线为一个带正电的质点仅在电场力作用下通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法正确的是( )
图4
A.三个等势面中，等势面a的电势最高
B.带电质点一定是从P点向Q点运动
C.带电质点通过P点时的动能比通过Q点时的小
D.带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时的小
解析
电场线和等势面垂直，可以根据等势面来画出某处的电场线。又质点做曲线运动所受电场力的方向指向曲线的凹侧，由此可以判断出电场线的方向大致是从c指向a，而沿着电场线的方向电势逐渐降低，a、b、c三个等势面的电势关系为φc>φb>φa，故选项A错误；无法从质点的受力情况来判断其运动方向，选项B错误；质点在P点的电势能大于在Q点的电势能，而电势能和动能的总和不变，所以，质点在P点的动能小于在Q点的动能，选项C正确；P点的等势面比Q点的等势面密，故场强较大，质点受到的电场力较大，加速度较大，选项D错误。
答案 C
6.(2016·全国卷Ⅰ)(多选)如图5所示，一带负电荷的油滴在匀强电场中运动，其轨迹在竖直面(纸面)内，且相对于过轨迹最低点P的竖直线对称。忽略空气阻力。由此可知( )
图5
A.Q点的电势比P点高
B.油滴在Q点的动能比它在P点的大
C.油滴在Q点的电势能比它在P点的大
D.油滴在Q点的加速度大小比它在P点的小
解析 由于油滴受到的电场力和重力都是恒力，所以合外力为恒力，加速度恒定不变，所以选项D错误；由于油滴轨迹相对于过P的竖直线对称且合外力总是指向轨迹弯曲内侧，所以油滴所受合外力沿竖直向上的方向，因此电场力竖直向上，且qE>mg，则电场方向竖直向下，所以Q点的电势比P点的高，选项A正确；当油滴从P点运动到Q点时，电场力做正功，电势能减小，选项C错误；当油滴从P点运动到Q点的过程中，合外力做正功，动能增加，所以Q点动能大于P点的动能，选项B正确。
答案 AB
7.(2018·四川乐山市诊断性检测)(多选)两等量点电荷连线的外侧区域电场强度的变化规律如图6中实线所示，其中两点电荷和连线上M、N两点关于纵轴对称，则下列判断正确的是( )
图6
A.两点电荷为同种电荷
B.两点电荷为异种电荷
C.M、N两点电势不等，两点场强相同
D.M、N两点场强不同，两点电势相等
解析 由等量同种点电荷、等量异种点电荷的电场分布特点可知，两点电荷为等量异种电荷，由对称性可知，M、N两点电势不等，场强相同，故B、C正确，A、D错误。
答案 BC
8.(2017·吉林长春模拟)(多选)如图7所示，水平面内有A、B、C、D、E、F六个点，它们均匀分布在圆心为O、半径为R＝2 cm的同一圆周上，空间有一方向与圆平面平行的匀强电场。已知A、C、E三点的电势分别为φA＝(2－) V、φC＝2 V，φE＝(2＋) V，下列判断正确的是( )
图7
A.电场强度的方向由A指向D
B.电场强度的大小为100 V/m
C.该圆周上的点电势最高为4 V
D.将电子沿圆弧从D点移到F点，电场力始终做负功
解析 由于圆周处于匀强电场中，且φA＝(2－) V、φE＝(2＋) V，则线段AE的中点电势为2 V，等于C点电势，故过C点和O点的直线与F点在同一等势线上，AE和等势线垂直，故场强方向由E指向A，故选项A错误；dAE＝2Rsin 60°＝2 cm，则电场强度的大小为E＝＝100 V/m，选项B正确；
中点位置的电势最高，大小为Umax＝4 V，选项C正确；电子从D点沿圆周移到F点，电势先升高后降低，电子的电势能先减少后增加，故电场力先做正功后做负功，选项D错误。
答案 BC
B级：拔高练
9.(2018·石家庄模拟)如图8所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴。理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示，则( )
图8
A.x2处场强大小为
B.球内部的电场为匀强电场
C.x1、x2两点处的电势相同
D.假设将试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处和从R移到x2处电场力做功相同
解析 计算x2处的电场强度时，可把带电球体等效为位于原点的点电荷，则有x2处场强大小为E＝ ，故选项A正确；由乙图E－x图像可知，球内部由O到球表面区间电场强度均匀增大，所以内部电场为非匀强电场，故选项B错误；x轴上O点右侧的电场方向始终是向右的，沿着电场的方向电势逐渐减小，可知φx1>φx2，故选项C错误；E－x 图像与x轴所围面积表示电势差，由乙图可知两处面积不相等，所以x1处与球表面、球表面与x2处的电势差不同，则将试探电荷沿x轴从x1移到R处和从R移到x2处电场力做功不相同，故选项D错误。
答案 A
10.(2018·四川自贡市一诊)(多选)如图9所示，实线表示某电场的电场线，过O点的虚线MN与电场线垂直，两个相同的带负电的粒子P、Q分别从A、B两点以相同的初速度开始运动，速度方向垂直于MN，且都能从MN左侧经过O
点。设粒子P、Q在A、B两点的加速度大小分别为a1和a2，电势能分别为Ep1和Ep2，经过O点时的速度大小分别为v1和v2，到达O点经过的时间分别为t1和t2，粒子的重力不计，则( )
图9
A.a1t2
解析 由题图可知，A处电场线较B处密集，故P受电场力较大，加速度较大，即a1>a2，A错误；根据等势线总是与电场线相互垂直，可作出B点所在的等势线如图，再由沿电场线方向电势逐渐降低得A处的电势高于B处的电势，故相同电荷量的负电荷在A处电势能较小，Ep1UBO，电场力对两粒子做负功的多少满足WP>WQ，根据动能定理知粒子P动能减少量大于粒子Q的动能减少量，所以v1t2，故D正确。
答案 BCD
11.如图10所示，半径R＝0.5 m的圆弧接收屏位于电场强度方向竖直向下的匀强电场中，OB水平，一质量为m＝10－4 g、带电荷量为q＝8.0×10－5 C的粒子从与圆弧圆心O等高且距O点0.3 m的A点以初速度v0＝3 m/s水平射出，粒子重力不计，粒子恰好能垂直打到圆弧曲面上的C点(图中未画出)，取C点电势φ＝0，则( )
图10
A.该匀强电场的电场强度E＝100 V/m
B.粒子在A点的电势能为8×10－5 J
C.粒子到达C点的速度大小为3 m/s
D.粒子速率为4 m/s时的电势能为4.5×10－4 J
解析 粒子在电场力作用下做类平抛运动，因粒子垂直打在C点，由类平抛运动规律知C点速度方向的反向延长线必过O点且OD＝AO＝0.3 m，DC＝0.4 m，即有AD＝v0t，DC＝t2，联立并代入数据可得E＝25 N/C，选项A错误；因UDC＝E·DC＝10 V，而A、D两点电势相等，所以φA＝10 V，即粒子在A点的电势能为Ep＝qφA＝8×10－4 J，选项B错误；从A到C由动能定理知qUAC＝mv－mv，得vC＝5 m/s，选项C错误；粒子在C点总能量为EC＝mv＝1.25×10－3 J，由能量守恒知粒子速率为4 m/s时的电势能为Ep′＝EC－mv2＝4.5×10－4 J，选项D正确。
答案 D
12.在绝缘水平面上放有一带正电的滑块、质量为m，带电荷量为q，水平面上方虚线左侧空间有水平向右的匀强电场，场强为E，qE>μmg，虚线右侧的水平面光滑。一轻弹簧右端固定在墙上，处于原长时，左端恰好位于虚线位置，把滑块放到虚线左侧L处，并给滑块一个向左的初速度v0，已知滑块与绝缘水平面间的动摩擦因数为μ，求：
图11
(1)弹簧的最大弹性势能；
(2)滑块在整个运动过程中产生的热量。
解析 (1)设滑块向左运动x时减速到零，由动能定理有
－(qE＋μmg)x＝－mv，解得x＝
之后滑块向右加速运动，设第一次到达虚线时的动能为E
由能量守恒定律得
qE(x＋L)＝E ＋μmg(x＋L)
解得E ＝(qE－μmg)L＋
滑块从虚线处压缩弹簧至最短的过程，系统机械能守恒，动能全部转化为弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能为
Epm＝(qE－μmg)L＋。
(2)滑块往返运动，最终停在虚线位置，整个过程电场力做正功，为W＝qEL，电势能减少量为qEL，由能量守恒定律，整个过程产生的热量等于滑块机械能的减少量与电势能的减少量之和，即Q＝qEL＋mv。
答案 (1)(qE－μmg)L＋
(2)qEL＋mv
