高中物理必备知识点：磁场对运动电荷的作用力

高中物理必备知识点：磁场对运动电荷的作用力

（人教版）2012 届高三物理一轮复习讲义：磁场对运动电荷 的作用力（一） 一、内容概述 本周我们复习磁场对运动电荷的作用力。运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的大小与 哪些因素有关系，及其方向的判断是这一节的重点。洛伦兹力对运动电荷不做功是它的一个 重要特点，学习时要正确理解。 二、重、难点知识归纳与讲解 1、洛伦兹力是磁场对运动电荷的作用，它是安培力的微观本质。安培力是洛伦兹力的宏 观表现。[来源:Z.xx.k.Com] 2、洛伦兹力的大小 （1）当电荷速度方向垂直于磁场的方向时，磁场对运动电荷的作用力，等于电荷量、 速率、磁感应强度三者的乘积，即 F=qvB. （2）当电荷速度方向平行磁场方向时，洛伦兹力 F=0。 （3）当电荷速度方向与磁场方向成θ角时，可以把速度分解为平行磁场方向和垂直磁 场方向来处理，此时受洛伦兹力 F=qvBsinθ。 3、洛伦兹力的方向 安培力的方向可以用左手定则来判断，洛伦兹力的方向也可用左手定则来判断：伸 开左手，使大拇指跟其余四个手指垂直，且处于同一平面内，把手放入磁场，让磁感线穿过 手心，对于正电荷，四指指向电荷的运动方向，对于负电荷，四指的指向与电荷的运动方向 相反，大拇指所指的方向就是洛伦兹力的方向。由此可见洛伦兹力方向总是垂直速度方向和 磁场方向，即垂直速度方向和磁场方向决定的平面。 4、洛伦兹力的特点 因为洛伦兹力始终与电荷的运动方向垂直，所以洛伦兹力对运动电荷不做功。它只 改变运动电荷速度的方向，而不改变速度的大小。 三、重、难点知识剖析 1、洛伦兹力与电场力的比较 （1）与带电粒子运动状态的关系 带电粒子在电场中所受到的电场力的大小和方向，与其运动状态无关。但洛伦兹力 的大小和方向，则与带电粒子本身运动的速度紧密相关。 （2）决定大小的有关因素 电荷在电场中所受到的电场力 F=qE，与两个因素有关：本身电量的多少和电场的强 弱。运动电荷在磁场中所受的磁场力，与四个因素有关；本身电量的多少、运动速度 v 的大 小、速度 v 的方向与磁感应强度 B 方向间的关系、磁场的磁感应强度 B。 （3）方向的区别 电荷所受电场力的方向，一定与电场方向在同一条直线上（正电荷同向，负电荷反 向），但洛伦兹力的方向则与磁感应强度的方向垂直。 2、解决在洛伦兹力等多力作用下电荷运动问题的注意问题： （1）正确分析受力情况是解决电荷运动问题的关键。要在详细分析问题给出的物理 过程的基础上，认清洛伦兹力是怎么变化的。伴随着洛伦兹力的变化，物体的受力情况又发 生了什么样的变化。 （2）受力变化演变，出现了什么新运动情况，电荷从什么运动状态过渡到什么运动 状态。 （3）寻找关键状态各物理量之间的数量关系，选择合适的物理规律去求解，这些常 常就是解题的关键之所在。 3、带电粒子做匀速圆周运动的圆心、半径及运动时间的确定： （1）圆心的确定．因为洛伦兹力指向圆心，根据 F 洛⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一 般是射入和射出磁场的两点）的 F 洛的方向，其延长线的交点即为圆心． （2）半径的确定和计算．半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法． （3）在磁场中运动时间的确定．利用圆心角与弦切角的关系，或者是四边形内角和等于 360°计算出圆心角θ的大小，由公式 可求出运动时间． 四、典型例题 例 1、如图所示，一只阴极射线管，左侧不断有电子射出，若在管的正下方放一通电直导 线 AB 时，发现射线的径迹向下偏，则（ ） A．导线中的电流从 A 流向 B B．导线中的电流从 B 流向 A C．若要使电子束的径迹向上偏，可以通过改变 AB 中的电流方向来 实现 D．电子束的径迹与 AB 中的电流方向无关 例 2、如甲图所示，OA 是一光滑、绝缘斜面，倾角为θ，一质量为 m 的带电体从斜面上 的 A 点由静止开始下滑，如果物体的带电量为＋q，整个装置处于垂直纸面向里的磁感应强度 的大小为 B 的匀强磁场中，试求当物体离开斜面时，物体运动的速率及其沿斜面下滑的距离？ （斜面足够长） 例 3、如图所示，在竖直放置的绝缘直棒上套一个小环，其质量为 0.1g，环带有电量为 q=4×10－4C 的正电荷，环与棒之间的动摩擦因数为μ=0.2，棒所在的空间分布有正交的匀强电 场和匀强磁场，电场的场强为 E=10V/m，磁场的磁感应强度为 B=0.5T，现 让环从静止开始下滑，求： （1）环在下滑过程中的最大加速度； [来源:学科网] （2）环在下滑过程中的最大速度。 例 4、如图所示，一带正电的质子从 O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁 场，已知两板之间距离为 d，板长为 d，O 点是板的正中间，为使粒子能从两板间射出，试求 磁感应强度 B 应满足的条件（已知质子的带电量为 e，质量为 m）． 例 5、如图所示，在 xOy 平面上，a 点坐标为（0，l），平面内一边界通过 a 点和坐标原 点 O 的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向里，有一电子（质量为 m，电量为 e）从 a 点以初速度 v0 平行 x 轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，恰好在 x 轴上的 b 点（未标出） 射出磁场区域，此时速度方向与 x 轴正方向夹角为 60°，求： （1）磁场的磁感应强度； （2）磁场区域圆心 O1 的坐标； （3）电子在磁 场中运动的时间． 高考真题 这节内容在高考试题中经常出现，并且以比较新的形式出现，同学们要在掌握基本知识 的基础上灵活运用。 （2006 年全国卷）如图所示，在 x＜0 与 x＞0 的区域中，存在磁感应强度大小分别 为 B1 与 B2 的匀强磁场，磁场方向均垂直于纸面向里，且 B1＞B2．一个带负电荷的粒子从坐 标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出 ，要使该粒子经过一段时间后又经过 O 点，B1 与 B2 的 比值应满足什么条件？ 例 1、解析：由于 AB 中通有电流，在阴极射线管中产生磁场，电子受到洛伦兹力的作用 而发生偏转，由左手定则可知，阴极射线管中的磁场方向垂直纸面向内，所以根据安培定则， AB 中的电流方向应为从 B 流向 A。当 AB 中的电流方向变为从 A 流向 B，则 AB 上方的磁场 方向变为垂直纸面向外，电子所受的洛伦兹力变为向上，电子束的径迹变为向上偏转。所以 本题的正确选项应为 B、C。答案：BC 例 2、解析：物体刚离开斜面时，对斜面的压力为零，物体受到斜面的支持力为零，受力 分析如图乙，f=G2，以此可求速度 v，下滑时由于洛仑兹力不做功，势能转化为动能，物体下 降的高度 h 可以求出，物体下滑的距离 。 物体刚离开斜面时，f=Gcosθ，即 qvB=mgcosθ，所以得 ，[来源:Z。xx。k.Com] 由于洛仑兹力不做功，mgh= ①， 沿斜面下滑的距离 ②， 联立①②代入 v 得 。 例 3、解析：要求出环在下滑过程中的最大加速度和最大速度，必须要了解环在整个下滑 过程中的运动情况和受力情况。首先应对环进行受力分析，环在下滑过程中受到竖直向下的 重力、水平向左的电场力、水平向右的洛伦兹力、水平方向的弹力和竖直向上的摩擦力。当 环刚开始下滑时，环的速度很小，洛伦兹力也很小，环所受的电场力大于洛伦兹力。所以弹 力的方向水平向右，环向下做加速运动，随着环的速度增大，环所受的洛伦兹力也增大，环 所受的弹力变小，滑动摩擦力也变小，环在竖直方向所受的合力增大，环做加速度变大的加 速运动，当环所受的洛伦兹力等于电场力时，弹力为零，滑动摩擦力也为零，此时，环在竖 直方向的合力达到最大，加速度达到最大，为重力加速度 g。随着环速度的进一步增大，环所 受的洛伦兹力将大于电场力，弹力的方向变为水平向左，并随着洛伦兹力的增大而增大，环 所受的滑动摩擦力增大，环在竖直方向所受的合外力变小，环做加速度变小的加速运动，当 环所受的滑动摩擦力等于环的重力时，环的加速度为零，速度达到最大，接下去环将做匀速 直线运动。 开始下滑时，环的受力如图（1）所示，当弹力为零时，物体在竖直方向只受重力作 用，此时环的加速度最大，由牛顿第二定律可得：mg=mamax， ∴amax=g=10m/s2. 当环的加速度达到最大后，环受力情况如图（2）所示，当环的速度达到最大时，环 所受的滑动摩擦力等于的重力，即 f=mg。 而由于 f=μN， N=qv maxB－qE ∴ 例 4、解析：由于质子在 O 点的速度垂直于板 NP，所以粒子在磁场中做圆周运动的圆心 O′一定位于 NP 所在的直线上，如果直径小于 ON，则轨迹将是圆心位于 ON 之间的一个半圆 弧．随着磁场 B 的减弱，其半径 r＝ 逐渐增大，当半径 r＝ON/2 时，质子恰能从 N 点射出．如 果 B 继续减小，质子将从 NM 之间的某点射出．当 B 减小到某一值时，质子恰从 M 点射出．如 果 B 再减小，质子将打在 MQ 板上而不能飞出．因此质子分别从 N 点和 M 点射出是 B 所对 应的两个临界值． 第一种情况是质子从 N 点射出，此时质子轨迹的半个圆，半径为 ON/2＝d/4． 所以 R1＝ B1＝ 第二种情况是质子恰好从 M 点射出，轨迹如图中所示．由平面几何知识可得： R2 2＝d2＋（R2－ d）2 ① 又 R2＝ ② 由①②得： B2＝ 磁感应强度 B 应满足的条件： ≤B≤ ． 【说明】求解带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的题目时，正确地画出带电粒子的 轨迹是解题的关键．作图时一定要认真、规范，不要怕在此耽误时间．否则将会增大解题的 难度．造成失误。通过本例说明（1）确定带电粒子在磁场中做圆周运动的圆心并进一步利用 几何关系求半径的方法．（2）分析解决临界问题的方法． 例 5、解析：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，从 a 点射入从 b 点射出，O、a、b 均在 圆形磁场区域的边界，粒子运动轨道圆心为 O2，令 由题意可知，∠aO2b＝60°，且△aO2b 为正三角形 在△OO2b 中，R2＝（R－l）2＋（Rsin60°）2 ① 而 R＝ ② 由①②得 R＝2l 所以 B＝ 而粒子在磁场中飞行时间 t＝ 由于∠aOb＝90°又∠aOb 为磁场图形区域的圆周角 所以 ab 即为磁场区域直径 O1 的 x 坐标：x＝aO1sin60°＝ y＝l－aO1cos60°＝ 所以 O1 坐标为（ ， ） 【说明】本题为带电粒子在有边界磁场区域中的圆周运动，解题的关键一步是找圆 心，根据运动电荷在有界磁场的出入点速度方向垂线的交点，确定圆心的位置，然后作出轨 迹和半径，根据几何关系找出等量关系．求解飞行时间从找轨迹所对应的圆心角的方面着 手． 当然带电粒子在有界磁场中做部分圆周运动，除了要运用圆周运动的规律外，还要 注意各种因素的制约而形成不是惟一的解，这就要求必须深刻理解题意，挖掘隐含条件，分 析不确定因素，力求解答准确、完整． 【设计意图】（1）巩固找圆心求半径的方法．（2）说明求时间的方法． 高考解析[来源:Zxxk.Com][来源:学#科#网] 解析：粒子所受洛伦兹力不做功，在整个运动过程中的速度大小恒为 v，交替地在 xy 平 面内 B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运动，轨道都是半个圆周． 设粒子的质量和电荷量的大小分别为 m 和 q，圆周运动的半径分别为 r1 和 r2， 根据 ，有 ① ② 由于 B1＞B2，所以， 。 粒子在 B1 和 B2 磁场区域中运动的轨迹如图所示。在 xy 平面内，粒子先沿半径为 r1 的半圆 C1 运动至 y 轴上离 O 点距离为 2 r1 的 A 点，接着沿半径为 r2 的半圆 D1 运动至 O1 点， 此时完成一次周期性的运动。则 OO1 的距离 d＝2（r2－r1） ③ 此后，粒子每经历一次“回旋”（即从 y 轴出发沿半径为 r1 的半圆和半径为 r2 的半圆 运动回到原点下方的 y 轴上），粒子的 y 坐标就减小 d． 设粒子经过 n 次回旋后与 y 轴交于 On 点，若 OOn 即 nd 满足： nd＝2r1 ④ 则粒子再经过半圆 Cn+1 就能经过原点 O，式中 n＝1，2，3，…为回旋次数． 联立③④解得 （n＝1，2，3，…） ⑤ 联立①②⑤可得 B1、B2 应满足的条件： （n＝1，2，3，…） 答案： （n＝1，2，3，…） 题型特点与命题趋向：本题考查带电粒子在磁场中的运动，测试分析综合能力。通 过分析带电粒子的受力情况，确定圆心、画出其运动轨迹示意图是解答这类问题的关键。磁 偏转是高考考查的重点内容之一。 同步测试 1—8 D D A D BC D B B 提示：1、沿 d 方向射出的电子轨迹的圆心在电子源 S 的正上方． 2、从 c 处射出的电子和从 d 处射出的电子运动半径之比为 2∶1，故由 r＝ ，知 vc∶vd＝2∶1，而从 c 处射出的电子和从 d 处射出的电子运动时间之比为 ∶ ；T＝ ， 即 tc∶td＝1∶2；由 a＝ ，可知 ac∶ad＝vc∶vd＝2∶1． 3、由几何关系可知：欲使离子不打在极板上，入射离子的半径必满足 r＜ 或 r＞ L， 即 ＜ 或 ＞ L；解之得： v＜ ，v＞ ． 4、若为正电荷，则绳未断前，F 向＝F 绳＋F 库，绳断后，F 向减小，v 不变，r 增大； 若初态绳上无力，则绳断后仍逆时针，半径不变；若为负电荷，将顺时针运动，若 F 向＝F 绳 －F 库＝F 库′时，则半径不变，若 F 库′＞F 绳－F 库时，半径减小． 5、带电粒子在匀强磁场中所受的洛伦兹力的大小不但与速度的大小有关，而且与速 度的方向有关，当粒子的速度方向与磁场方向垂直时，粒子所受的洛伦兹力最大，当粒子的 速度方向与磁场平行时，带电粒子不受洛伦兹力的作用，速度大小相同的粒子，沿不同方向 进入磁场时所受的洛伦兹力的大小不同，所以选项 A 不正确。由于洛伦兹力的方向始终与 速 度方向垂直，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，动能保持不变，洛伦兹 力不做功；但在洛伦兹力的作用下，粒子的运动方向要发生变化，动量就要发生变化，所以 本题的正确选项为 BC。 6、洛伦兹力的大小与电荷运动方向和磁场方向夹角有关，当两 者平行时洛伦兹力为零，故 D 正确。 7、带电小球不动，而磁场运动，也可以看作带电小球相对于磁场沿相反方向运动， 故磁场相对于小球运动时，小球同样会受到洛伦兹力的作用。现要使小球从水平地面飘起， 应使小球受到竖直向上的洛伦兹力的作用，其临界条件是洛伦兹力大小刚好等于重力的大小， 即 qvB=mg，所以磁场运动的最小速度为 ，由左手定则可知，若磁场不动，小球应右运动， 则当小球不动时，磁场的运动方向应为水平向左。本题的正确答案应为 B。 8、单摆在摆动过程中受重力、线的弹力、洛伦兹力，且只有重力做功，所以向左通过 C 和向右通过 C 时速率相等，由 ，得 ，向左通过时受向上的洛伦兹力，有 T1＋f－ mg=ma1，向右通过时受向下的洛伦兹力有 T2－f－mg=ma2，所以 T1

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