【物理】2020届一轮复习人教版曲线运动万有引力定律学案
章末总结 提高
知 识 网 络 【p75】
解题思路与方法 【p75】
本章内容包括运动学和动力学两部分．运动学部分主要是掌握如何用“合成与分解”的方法，将复杂的运动形式简化为两个简单运动的合成，运用等效的思想将未知的复杂问题转化为已知的简单问题，这也是物理学中十分重要的、经常使用的研究方法；动力学部分主要是根据牛顿第二定律研究物体做曲线运动时力和运动的关系．
平抛运动是匀变速曲线运动的一种．采用的研究方法是，将其分解为互相垂直的两个直线运动来处理．因此，该内容可看做为前面所学的平行四边形定则与匀变速直线运动规律的综合．
圆周运动是自然界普遍存在的一种运动形式，处理其动力学问题时，关键要注意两点：
(1)确定研究对象运动的轨道平面和圆心的位置，以便确定向心力的方向．
(2)向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的性质力，它是根据力的作用效果命名的．切不可在物体间的相互作用力以外再添加一个向心力．
研究竖直平面内的圆周运动要抓住各种约束物的区别以及运动物体在最高点、最低点的受力特征，并结合牛顿第二定律求解．
牛顿运动定律在卫星与天体运动中的应用，不可避免地要密切结合万有引力定律．这类问
题需把握以下几个重要方面：①运动模型的建立：A星绕B星做匀速圆周运动；②由A星与B星之间的万有引力提供A星运动所需的向心力；③合理选择向心力的表达式，列出万有引力等于向心力的方程，推导出线速度、角速度、周期、半径、向心加速度、中心天体B的质量等等的表达式；④重力加速度g这一概念的迁移：星球表面有GM＝gR2，这一式子又称“黄金代换式”，不仅可用于地球表面，也可用于其他星球表面；⑤地球表面卫星、高空卫星、极地卫星、赤道卫星、同步卫星、三个宇宙速度等的含义要深刻领会、准确掌握，才能在处理问题时应用自如．
体 验 高 考 【p75】
1．(多选)(2018·全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )
A．质量之积
B．质量之和
C．速率之和
D．各自的自转角速度
【解析】双中子星做匀速圆周运动的频率f＝12 Hz(周期T＝ s)，由万有引力等于向心力，可得，G＝m1r1(2πf)2，G＝m2r2(2πf)2，r1＋r2＝r＝400 km，联立解得：(m1＋m2)＝，选项B正确，A错误；由v1＝ωr1＝2πfr1，v2＝ωr2＝2πfr2，联立解得：v1＋v2＝2πfr，选项C正确；不能得出各自自转的角速度，选项D错误．
【答案】BC
2．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2.以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( )
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
【解析】设脉冲星质量为M，密度为ρ
根据天体运动规律知：≥m()2R
ρ＝＝
代入可得：ρ≈5×1015 kg/m3，故C正确．
【答案】C
3．(2018·全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P，其轨道半径约
为地球半径的16倍；另一地球卫星Q的轨道半径约为地球半径的4倍．P与Q的周期之比约为( )
A．2∶1 B．4∶1
C．8∶1 D．16∶1
【解析】设地球半径为R，根据题述，地球卫星P的轨道半径为RP＝16R，地球卫星Q的轨道半径为RQ＝4R，根据开普勒定律，＝＝64，所以P与Q的周期之比为TP∶TQ＝8∶1，选项C正确．
【答案】C
4．(2018·全国卷Ⅲ)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B．4倍
C．6倍 D．8倍
【解析】设甲球落至斜面时的速率为v1，乙落至斜面时的速率为v2，由平抛运动规律，x＝vt，y＝gt2，设斜面倾角为θ，由几何关系，tan θ＝，小球由抛出到落至斜面，由机械能守恒定律，mv2＋mgy＝mv，联立解得：v1＝·v，即落至斜面时的速率与抛出时的速率成正比．同理可得，v2＝·，所以甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时的速率的2倍，选项A正确．
【答案】A
5．(2016·北京)如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
【解析】P点，沿轨道1运行时，地球对人造卫星的引力大于人造卫星做圆周运动需要的向心力，即F引>，沿轨道2运行时，地球对人造卫星的引力刚好能提供人造卫星做圆周运动的向心力，即F引＝，故v1
v2
C．t1＝t2 D．t1>t2
4．一辆满载新鲜苹果的货车以恒定速率通过某公路环岛，角速度为ω，其中一个处于中间位置的苹果质量为m，它到公路环岛中心的距离为R，则其他苹果对该苹果的作用力为(C)
A．mg B．mω2R
C. D.
【解析】苹果做匀速圆周运动，受重力和其它苹果的作用力，根据牛顿第二定律和向心力
公式，有：水平方向：Fx＝mω2R；竖直方向：Fy＝mg；故合力为：F＝＝，故C正确．
5．质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，斜面足够长，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与动力小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车带动物体P以速率v沿斜面做匀速直线运动，下列判断正确的是(C)
A．小车的速率为v
B．小车的速率为vcos θ1
C．小车速率始终大于物体速率
D．小车做匀变速运动
【解析】将小车的速度v车进行分解如图所示，则v＝v车cos θ2，故A、B错误；由速度的分解图可知，v车＞v，故C正确；小车速率v车＝，故D错误．
6．我国未来将在月球地面上建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆轨道的近月点B处与空间站C对接．已知空间站绕月圆轨道的半径为r，周期为T，万有引力常量为G，月球的半径为R.下列说法中正确的是(C)
A．航天飞机在图示位置正在匀速向B运动
B．月球的第一宇宙速度为v＝
C．月球的质量为M＝
D．要使航天飞机和空间站对接成功，飞机在接近B点时必须加速
【解析】关闭发动机的航天飞机A在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近的过程中，做的是变加速运动，A错误；空间站的运行速度为v＝，而第一宇宙速度应是环绕月球表面沿圆形轨道运动的速度，应大于此速度，所以选项B错误；根据＝mr，解得月球质量为M＝，所以选项C正确；欲对接成功，需要飞机在接近B点时减速，否则飞机将做椭圆运动，所以选项D错误．
7．有一位特技演员骑摩托车进行特技表演．已知他跨越的水平距离约60 m，如果他起跳
的水平平台比着地的水平平台高7.2 m，且有100 m的水平助跑跑道，他在助跑跑道上的平均加速度是(g＝10 m/s2) (A)
A．12.5 m/s2 B．10 m/s2
C．20 m/s2 D．15 m/s2
【解析】依h＝gt2，t＝＝ s＝1.2 s，
依x＝v0t，∴v0＝ m/s＝50 m/s.
v＝2ax′，∴a＝ m/s2＝12.5 m/s2，选A.
8．从某一高度处的同一地点同时水平和竖直向上抛出两个小球，两球的初速度大小均为20 m/s，两球之间用一根轻绳相连，两球抛出1 s时，轻绳恰好绷直，则轻绳的长度为(取g＝10 m/s2)(D)
A．10 m B．20 m C．30 m D．20 m
【解析】竖直上抛的小球上升的高度h1＝v0t－gt2＝15 m，平抛小球的水平位移x＝v0t＝20 m，竖直下落的高度为h2－gt2＝5 m，轻绳的长度为l，有l2＝x2＋(h1＋h2)2，l＝20 m，选项D正确．
9．据《科技日报》报道，2020年前我国将发射8颗绕地球做匀速圆周运动的海洋系列卫星，包括4颗海洋水色卫星、2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛等岛屿附近海域的监测．已知雷达卫星轨道半径是动力环境卫星轨道半径的n倍，则(B)
A．雷达卫星的线速度是动力环境卫星线速度的
B．雷达卫星与动力环境卫星的向心加速度之比为
C．在相同时间内，雷达卫星与地心的连线跟动力环境卫星与地心的连线扫过的面积相等
D．雷达卫星与动力环境卫星的角速度之比为
【解析】由万有引力提供向心力：G＝m＝ma＝mrω2，可得v＝，a＝，ω＝
由v＝可得雷达卫星的线速度是动力环境卫星线速度的，则A错误；
由a＝可得雷达卫星与动力环境卫星的向心加速度之比为，则B正确；
开普勒第二定律：对每一个行星而言，太阳与行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，卫星也有同样的规律，但指的是同一卫星，而该选项不是同一颗卫星，则C错误．
由ω＝可得雷达卫星与动力环境卫星的角速度之比为.则D错误．
10．地球同步卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的第一宇宙速度为v2，半径为R，则下列比例关系中正确的是(D)
A.＝ B.＝()2
C.＝ D.＝
【解析】设地球质量为M，同步卫星的质量为m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体质量为m2，根据向心加速度和角速度关系有a1＝ωr，a2＝ωR，又ω1＝ω2，故＝，A错B错；由万有引力定律和牛顿第二定律得G＝m1，G＝m2，解得＝，D正确．选D.
11．如图所示，放在水平转台上的小物体C、叠放在水平转台上的小物体A、B能始终随转台一起以角速度ω匀速转动．A、B、C的质量分别为3m、2m和m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数均为μ，B、C离转台中心的距离分别为r和r.已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则以下说法中正确的是(BC)
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．C与转台间的摩擦力等于A、B两物体间摩擦力的一半
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
【解析】对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有f＝(3m)ω2r≤μ(3m)g.故A错误．由于A与C转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力有：fC＝m×1.5rω2，fA＝3mrω2，可知C与转台间的摩擦力等于A、B两物体间摩擦力的一半，故B正确；对AB整体，有：
(3m＋2m)ω2r≤μ(3m＋2m)g ①
对物体C，有：mω2(1.5r)≤μmg ②
对物体A，有：3mω2r≤μ(3m)g ③
联立①②③解得：ω≤，故C正确，D错误．
故选BC.
12．如图为一半圆形坑，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球．已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则(BD)
A．若同时抛出两小球，只要速度大小合适，两小球可能同时落到D点
B．若同时抛出两小球，不管速度多大都不能同时落到D点
C．无论以多大速度抛出，两者都不可能在空中相遇
D．若都能落在D点，则两小球初速度之比为v1∶v2＝∶3
【解析】若同时抛出，由于竖直下落高度不同，不可能同时到达D点，A错，B对；若先抛出小球A，后抛出小球B，则两者可能在空中相遇，C错；从A点平抛，R＝v1t1，R＝gt，小球从C点平抛，Rsin 60°＝v2t2，R(1－cos 60°)＝gt，则＝，故D正确．
13．如图所示，内壁光滑的细圆管一端弯成半圆形APB，另一端BC伸直，水平放置在桌面上并固定．半圆形APB半径R＝1.0 m，BC长L＝1.5 m，桌子高度h＝0.8 m，质量m＝1.0 kg 的小球以一定的水平初速度从A点沿过A点的切线射入管内，从C点离开管道后水平飞出，落地点D离点C的水平距离s＝2 m，不计空气阻力，g取10 m/s2.则以下分析正确的是(BD)
A．小球做平抛运动的初速度为10 m/s
B．小球从B运动到D的时间为0.7 s
C．小球在圆轨道P点的角速度ω＝10 rad/s
D．小球在P点的向心加速度为a＝25 m/s2
【解析】根据h＝gt2得，t＝＝ s＝0.4 s．则小球平抛运动的初速度v0＝＝ m/s＝5 m/s.故A错误．小球在BC段的时间t′＝＝ s＝0.3 s，则小球从B运动到D的时间为0.3 s＋0.4 s＝0.7 s．故B正确．小球在圆轨道P点的角速度ω＝＝5 rad/s.故C错误．小球在P点的向心加速度为a＝＝ m/s2＝25 m/s2.故D正确．
14．火星是太阳系中地球的“邻居”，与地球相比，火星是个“小个子”，地球半径是火星半径的2倍，地球质量是火星质量的9倍，若地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，忽略自转的影响，下列说法正确的是(AD)
A．火星表面的重力加速度是地球表面重力加速度的倍
B．火星的平均密度是地球平均密度的倍
C．火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的倍
D．火星轨道半径最小的卫星的周期是地球近地卫星周期的倍
【解析】由星球表面处的物体所受万有引力等于重力可得G＝mg，得到g＝，已知地
球半径是火星半径的2倍，地球质量是火星质量的9倍，则＝·＝，选项A正确；根据M＝πR3ρ，可得ρ＝，故火星的平均密度是地球平均密度的，选项B错误；由万有引力提供向心力，有G＝m，得第一宇宙速度v＝，故火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的，选项C错误；根据万有引力提供向心力，有G＝mR，得地球近地卫星的周期T＝2π，＝＝，T′＝T，选项D正确．
二、计算题(本大题共4个小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、方程式和演算步骤，有数值计算的要注明单位)
15．(10分)在离水平地面高80 m的塔顶，以30 m/s的初速度水平抛出一物体(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)．求：
(1)物体在空中飞行的时间；
(2)物体的落地速度多大；
(3)物体飞行的水平距离多大？
【解析】(1)根据h＝gt2得，物体平抛运动的时间t＝＝ s＝4 s.
(2)落地时竖直方向速度vy＝gt＝40 m/s，
则落地时速度大小v＝＝ m/s＝50 m/s
(3)物体落地点与抛出点的水平距离x＝v0t＝30×4 m＝120 m.
16．(10分)如图所示，探月卫星的发射过程可简化如下：首先进入绕地球运行的“停泊轨道”，在该轨道的P处通过变速再进入“地月转移轨道”，在快要到达月球时，对卫星再次变速，卫星被月球引力“俘获”后，成为环月卫星，最终在环绕月球的“工作轨道”绕月飞行(视为圆周运动)，对月球 进行探测．“工作轨道”周期为T、距月球表面的高度为h，月球半径为R，引力常量为G，忽略其他天体对探月卫星在“工作轨道”上环绕运动的影响．
(1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应增大速度还是减小速度？
(2)求探月卫星在“工作轨道”上环绕的线速度大小；
(3)求月球的第一宇宙速度．
【解析】(1)要使探月卫星从“转移轨道”进入“工作轨道”，应减小速度使卫星做近心运动．
(2)根据线速度与轨道半径和周期的关系可知探月卫星线速度的大小v＝.
(3)设月球的质量为M，探月卫星的质量为m，月球对探月卫星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，所以有
G＝m(R＋h)
月球的第一宇宙速度v1等于“近月卫星”的环绕速度，设“近月卫星”的质量为m′，则
有G＝m′
解得v1＝.
17．(12分)如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点，水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R＝0.8 m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也为R.质量为m＝0.2 kg的小物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块过B点后做匀变速运动，由B到D位移与时间的关系为x＝6t－2t2，物块飞离桌面后恰好由P点沿切线进入圆轨道，g＝10 m/s2，不计空气阻力．求：
(1)小物块m到达P点时的速度；
(2)B、D间的距离；
(3)判断小物块m能否沿圆轨道到达M点(要求写出判断过程)．
【解析】(1)设物块由D点以速度vD做平抛，落到P点时其竖直速度为vy＝，＝tan 45°得vD＝4 m/s，vP＝＝4 m/s
(2)由物块过B点后其位移与时间的关系x＝6t－2t2
得v0＝6 m/s，a＝－4 m/s2.
BD间的位移为x1＝＝2.5 m
(3)若物体不沿轨道也能到达M点，其速度为vM，
mv＝mv－mgR
得v＝16－8，若物体恰好能沿轨道到达M点，
则mg＝m，
解得vM′2＝8>v，即物体不能到达M点．
18．(12分)如图所示，M是水平放置的圆盘，绕过其圆心的竖直轴OO′匀速转动，以经过O水平向右的方向作为x轴的正方向．在圆心O正上方距盘面高为h处有一个正在间断滴水的容器，在t＝0时刻开始随长传送带沿与x轴平行的方向做匀速直线运动，速度大小为v.已知容器在t＝0时滴下第一滴水，以后每当前一滴水刚好落到盘面上时再滴下一滴水．问：
(1)每一滴水经多长时间滴落到盘面上？
(2)要使盘面上只留下3个水滴，圆盘半径R应满足什么条件？
(3)若圆盘半径R足够大，第二滴水和第三滴水在圆盘上可能相距的最远距离为多少？此时圆盘转动的角速度至少为多少？
【解析】(1)水滴在坚直方向做自由落体运动，有：
h＝gt；
解得：t1＝
(2)第三滴水平抛后恰好落在转盘的边缘，根据平抛运动的分位移公式，有：
水平方向：x1＝vt1＝R1－v·2t1
竖直方向：y＝h＝gt；
解得：R1＝3vt1＝3v
第四滴水平抛后恰好落在转盘的边缘，根据平抛运动的分位移公式，有：
水平方向：x2＝vt1＝R2－v·3t1
竖直方向：y＝h＝gt；解得：R2＝4vt1＝4v
要使盘面上只留下3个水滴，圆盘半径的范围为：
4v＞R≥3v；
(3)第二滴水落在圆盘上的水平位移为s2＝v·2t1＝2v
第三滴水落在圆盘上的水平位移为s3＝v·3t1＝3v
当第二滴水与第三滴水在盘面上的落点位于同一直径上圆心的两侧时两点间的距离最大，为s＝s2＋s3＝5v在相邻两滴水的下落时间内，圆盘转过的最小角度为π，所以最小角速度为ω＝＝π.
