知识讲解_匀变速直线运动的位移与时间的关系(提高)

知识讲解_匀变速直线运动的位移与时间的关系(提高)

匀变速直线运动的位移与时间的关系 【学习目标】 1、掌握 v -t 图象描述位移的方法 2、掌握位移与时间的关系并能灵活应用 【要点梳理】 要点一、匀变速直线运动的位移公式推导 方法一：用 v-t 图象推导 在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内 近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示． 如果把每一小段△t 内的运动看做匀速运动，则矩形面积之和等于各段匀速直线运动的位移，显然小 于匀变速直线运动在该段时间内的位移．但时间越小，各匀速直线运动的位移和与匀变速直线运动的位移 之间的差值就越小，当△t→0 时，各矩形面积之和趋近于 v-t 图线下面的面积．可以想象，如果把整个运 动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能准确代表物体的位移了，位移的大小等于图丙 中梯形的面积． 这一推理及前面讲瞬时速度时，都用到无限分割逐渐逼近的方法，这是微积分原理的基 本思想之一，我们要注意领会． 匀变速直线运动的 v-t 图象与 t 轴所夹面积表示 t 时间内的位移．此结论可推至任何直线运动．图线与 时间轴间的面积表示位移，下方的面积表示负向位移，它们的代数和表示总位移，算术和表示路程．由前 面的讨论可知，当时间间隔分割得足够小时，折线趋近于直线 AP，设想的运动就代表了真实的运动，由 此可以求出匀变速运动在时间 t 内的位移，它在数值上等于直线 AP 下方的梯形 OAPQ 的面积(如图丙)．这 个面积等于 2 1 2 0 1 1 2 2S S S OA OQ AR RP v t at       ， 即位移 2 0 1 2x v t at  ． 这就是匀变速直线运动的位移公式． 方法二：用公式推导 由于位移 x vt ，而 0 2 tv vv  ， 又 0tv v at  ， 故 0 0 2 v v atx t   ， 即 2 0 1 2x v t at  ． 要点诠释： ①该式也是匀变速直线运动的基本公式，和 0tv v at  综合应用，可以解决所有的匀变速直线运动问题． ②公式中的 x、v0、a、vt 都是矢量，应用时必须选取统一的方向为正方向．若选 v0 为正方向，则在加速运 动中，a 取正值，即 a＞0，在减速运动中，a 取负值，即 a＜0． 要点二、位移－时间图象（x-t 图象） 要点诠释： 1、位移-时间图象的物理意义 描述物体相对于出发点的位移随时间的变化情况。 2、位移-时间图象的理解 (1)能通过图像得出对应时刻物体所在的位置。 （2）图线的倾斜程度反映了运动的快慢。斜率越大，说明在相同时间内的位移越大，即运动越快，速度 越大。 （3）图线只能描述出对于出发点的位移随时间的变化关系，不是物体的实际运动轨迹随时间的变化关系， 两者不能混淆。 （4）初速度为零的匀变速直线运动的对应的 x-t 图象为过原点的抛物线的一部分。 要点三、x-t 图象与 v-t 图象的比较 要点诠释： 图甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在 x t 图象与 v t 图象中的比较． x t 图 v t 图 ①表示物体做匀速直线运动（斜率表示速度 v） ①表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度a） ②表示物体静止 ②表示物体做匀速直线运动 ③表示物体静止在原点 O ③表示物体静止 ④表示物体向反方向做匀速直线运动；初位置为 0x ④表示物体做匀减速直线运动，初速度为 0v ⑤交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置 ⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度 ⑥ 1t 时间内物体位移为 1x ⑥ 1t 时刻物体速度为 1v（图中阴影部分面积表示质 点在 0～ 1t 时间内的位移） 要点四、运用图象时要注意问题 要点诠释： 1．首先明确所给的图象是什么图象，即认清图中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系。特别 是那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。 2．要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。 （1）点：图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”， 它们往往对应一个特殊状态。 （2）线：表示研究对象的变化过程和规律，如 v t 图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速 直线运动。 （3）斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应。用于定量计算 对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。如 x t 图象的斜率表示速度大小， v t 图象的斜率表示 加速度大小。 （4）面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。如 v t 图象与横轴包围的 “面积”大小表示位移大小。 （5）截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。由此往往能得到一个很有 意义的物理量。 【典型例题】 类型一、关于位移图象和速度图象的理解 例 1、某物体的位移图象如图所示，若规定向东为位移的正方向，试求；物体在 OA、AB、BC、CD、 DE 各阶段的速度。 【答案】见解析 【解析】物体在 t＝0 开始从原点出发向东行做匀速直线运动，历时 2s；接着在第 3s～5s 内静止；第 6s 内继续向东做匀速直线运动；在第 7s～8s 内匀速反向西行，至第 8s 末回到出发点；在第 9s～12s 内从 原点向西行做匀速直线运动。 由 x－t 图得各阶段的速度如下： OA 段： 1 1 1 6 / 3 /2 xv m s m st    ，向东 AB 段：物体静止，速度为 0 BC 段： 3 3 3 12 6 / 6 /1 xv m s m st    ，向东 CD 段： 4 4 4 0 12 / 6 /2 xv m s m st     ，负号说明方向向西 DE 段： 5 5 5 4 0 / 1 /4 xv m s m st      ，向西 【总结升华】位移图象的斜率表示速度的大小和方向（斜率的正负表示速度的方向）。图象平行于 t 轴，说明物体的速度为零，表示物体静止；图象斜率为正值，表示物体沿与规定方向相同的方向运动；图 象斜率为负值，表示物体沿与规定方向相反的方向运动。 举一反三 【变式 1】如图所示，A、B 两物体从 O 点开始运动，从 A、B 两物体的位移图象可知，下述说法正 确的是( ) A、A、B 两物体的运动方向相同 B、A 物体 2s 内发生的位移是 l0m C、B 物体发生 l0m 的位移的时间是 2s D、A 物体的速度大小是 5m/s，B 的速度大小是 2.5m/s 【答案】ABD 【变式 2】若一质点从 t＝0 开始由原点出发沿直线运动，其速度一时间图象如图所示，则该质点( )． A．t＝1 s 时离原点最远 B．t＝2 s 时离原点最远 C．t＝3 s 时回到原点 D．t＝4 s 时回到原点，路程为 10 m 【答案】B、D 【解析】做直线运动的速度一时间图线与时间轴所围成的图形面积表示了质点的位移，要想离原点最 远，则所围成图形面积应最大．t＝1 s 时，所围成图形为△OAB，t＝2 s 时，所围成的图形为△OAC．很 显然 OAC OABS S  ，所以 t＝2 s 时位移大，离原点最远；当 t＝3 s 时，所围成的图形为△OAC 和△CDE， 由于△CDE 在 t 轴以下位移为负，则 S合 应为 0OAC CDES S   ，当 t＝4 s 时， S合 ＝ 0OAC CDFS S   ， 即位移为零，质点回到出发点，路程应为 10OAC CDFS S   m．故选 B、D． 【总结升华】离出发点远近涉及位移，在 v-t 图象中位移的判断，可利用所围成的面积表示．但应注 意，当所围图形在时间轴以下时，表示此位移为负方向上的位移． 类型二、位移与时间关系公式的应用中注意问题 例 2、列车进站前刹车，已知刹车前列车速度为 60km/h，刹车加速度大小为 0.8m/s2，求刹车后 15s 和 30s 列车的速度． 【答案】4.7m/s 0 【解析】以初速度方向为正方向，60km/h＝16.7m/s，刹车后 15s，列车的速度 1 0v v at   16.7m /s 0.8 15m /s 4.7m /s   ；刹车至列车停下所需时间 0 0 16.7 s 20.9s0.8 tv vt a     ，故刹车后 30s 列车的速度 v2＝0． 【总结升华】解匀减速问题应注意：（1）书写格式规范，如不能写成 v1＝v0-at，因 a 是矢量，代入数 字时带有方向“+”或“-”。“+”可以省去．(2)刹车类问题应注意停止运动的时间，一般应先判断多长时 间停下，再来求解．本题若代入 30s 运算得 v2＝-7.3m/s，是错误的．物理题目的求解结果一定要符合实 际，例如你所求得的量若质量出现负值就是不符合实际的． 举一反三 【变式 1】以 18m/s 的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度的大小为 6m/s2，求 汽车在 6s 内通过的距离． 【答案】27m 【解析】如果把 a＝-6m/s2 和 v0＝18m/s 代入位移公式 2 0 1 2x v t at  ，得 2118 6m ( 6) 6 m 02x        ． 汽车在 6 s 内的位移竟然为 0，这可能吗?为什么会出现这样的结果?原来汽车刹车后只运动了 3s，3s 后便停下了，直接把 6s 的时间代入公式必定会出现错误的结论．故应先判断汽车停下的时间，设历时 t0 停下， 0 18 / 3sm st a   ， 06st t  ，故 6s 内的位移等于 3 s 内的位移． 解法一：由 0 0 0 1 2x v t at  ，有 2118 3m ( 6) 3 m 27m2x        ． 解法二：由逆向运动法知， 2 2 0 1 1 6 3 27m2 2x at m     ． 解法三：由 0 02 vx t 有， 18 3m 27m2x    ． 【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系 第 5 页】 【变式 2】由静止开始做匀加速直线运动的汽车，第 ls 内通过 0.4m 位移，则不正确的结论是( ) A．第 1s 末的速度的 0.8m/s B．加速度为 0.8m/s2 C．第 2s 内通过位移为 1.2m D．2s 内通过的位移为 1.2m 【答案】D 类型三、位移图象描述相遇问题 例 3、如图所示是做直线运动的甲、乙两物体的 x-t 图象，下列说法中正确的是（ ） A、甲启动的时刻比乙早 t1 B、当 t = t2 时，两物体相遇 C、当 t = t2 时，两物体相距最远 D、当 t = t3 时，两物体相距 x1 【答案】ABD 【解析】由 x-t 图象可知甲物体是在计时起点从坐标原点 x1 处开始沿 x 负方向做匀速直线运动，乙物 体是在 t1 时刻开始从坐标原点沿 x 正方向做匀速直线运动，两物体在 t2 时刻相遇，然后远离，t3 时刻两物 体相距 x1，因此选项 ABD 正确。 【总结升华】x-t 图象中两图线相交说明两物体相遇，其交点 A 的横坐标表示相遇的时刻，纵坐标表 示相遇处对参考点的位移。 举一反三 【变式 1】如图所示，折线 a 是表示物体甲从 A 地向 B 地运动的位移图线，直线 b 是表示物体乙从 B 地向 A 地运动的位移图线，则下述说法中正确的是( ) A、甲、乙两物体是相向运动 B、甲物体是匀速运动，速度大小是 7.5m/s C、甲、乙两物体运动 8s 后，在距甲的出发点 60m 处相遇 D、甲在运动中停了 4s 【答案】ACD 【解析】由图象知，甲、乙两物体在开始运动时相距 100m，后来相距越来越小，甲向乙的出发点运 动，乙向甲的出发点运动，因而它们是相向运动，选项 A 正确。 两图线相交点表示了甲、乙同一时刻同一位置，即相遇的时刻与位置，故选项 C 正确。 甲在运动中有一段图线与时间轴平行，这表示甲在 4s 内位置始终没变，因而是静止的，选项 D 正确。 甲在全过程中并不是匀速运动，故选项 B 是错的。 【变式 2】一质点的 x-t 图象如图甲所示，那么此质点的 v-t 图象可能是图乙中的( )． 【答案】A 【解析】解题关键明白两种图象斜率的物理意义不同．v-t 图象的切线斜率表示速度，由图象可知：0～ 1 2 t 时间内图象的斜率为正且越来越小，在 1 2 t 时刻图象斜率为 0，即物体正向速度越来越小， 1 2 t 时刻减为零； 从 1 2 t ～ 1t 时间内，斜率为负值，数值越来越大，即速度反向增大，故选项 A 正确． 类型四、位移公式解决实际问题 例 4、某市规定，汽车在学校门前马路上的行驶速度不得超过 40 km/h．一次，一辆汽车在校门前马 路上遇紧急情况刹车，由于车轮抱死，滑行时在马路上留下一道笔直的车痕．交警测量了车痕长度 x＝9m， 又从监控资料上确定了该车从刹车到停止的时间 t＝1.5s，立即判断出这辆车违章超速，这是为什么? 【答案】汽车超速 【解析】解法一：(速度判断法)由于 x＝9m，t＝1.5 s，据 xv t  得平均速度 9 m /s 6m /s1.5v   ， 又因为 0 2 vv  ，得初速度 0 2v v  2×6m/s＝12m/s＝43.2km/h． 由于车速超过 40 km/h，可知此车超速． 解法二：(位移判断法)设汽车恰以 0 10040km / h m /s9v   的速度行驶，则刹车后 1.5s 停下，刹车 加速度 2 20 100 0 2009 m /s m /s1.5 1.5 27 vva t      ． 以此加速度刹车，刹车位移 2 2 0 1 100 1 2001.5 1.5 m 8.33m 9m2 9 2 27x v t at                  ，故 汽车超速． 【总结升华】超速判断涉及科技生活情景，是高考热点，可用速度判断，即根据刹车的运动矢量判断 刹车前速度与限速关系；也可用位移判断，即假设以限速行驶，在实际刹车情景中的刹车位移与求得的刹 车位移对比，从而判断是否超速． 举一反三 【变式 1】一辆汽车在笔直的公路上做匀变速直线运动，该公路每隔 15 m 安置一个路标，如图所示， 汽车通过 AB 两相邻路标用了 2s，通过 BC 两路标用了 3s，求汽车通过 A、B、C 三个路标时的速度． 【答案】8.5m/s 6.5m/s 3.5m/s 【解析】题目中已知条件是位移、时间，求的是速度，所以可用位移公式求解． 汽车从 A 到 C 是匀变速直线运动，设汽车通过路标 A 时速度为 vA，通过 AB 的时间 t1＝2s，通过 BC 的时间 t2＝3s．根据位移公式 2 0 1 2x v t at  ，研究 AB 运动的过程，有 2 1 1 1 2AB Ax v t at  ． 研究 AC 运动过程，有 21 2AC Ax v t at  ， 其中 t＝t1+t2＝5s， 解得 vA＝8.5m/s，a＝-1m/s2． 再根据速度公式 vB＝vA+at1＝6.5m/s，vC＝vA+at＝3.5m/s． 求得 a＝-1 m/s2，其中“-”说明 a 的方向与初速的方向相反，汽车做匀减速直线运动． 【变式 2】一质点做匀变速直线运动，某时刻速度大小为 4m/s，1 s 后速度的大小变为 10 m/s，在这 1 s 内该质点( ) A、位移的大小可能小于 4 m B、位移的大小可能小于 10 m C、加速度的大小可能小于 4 m/s2 D、加速度的大小可能大于 10 m/s2 【答案】ABD 【解析】题目中给出的两个速度值只有大小，没有方向，因此质点可能是做匀加速直线运动，也可能 是做匀减速直线运动． 若 质 点 做 匀 加 速 直 线 运 动 ， 利 用 平 均 速 度 公 式 得 0 1 2 v tv   7m/s ． 物 体 在 1 s 内 的 位 移 7m 10ma vt   ，故 B 正确．加速度 20 6m /stv va t   ． 若质点做匀减速直线运动，利用平均速度公式得 0 4 ( 10) m /s 3m /s2 2 tv vv       ．物体在 1 s 内的位移 3m 4ms vt    ，故 A 正确．加速度 0tv va t  ，故 D 正确．所以答案为 A、B、D． 【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系 第 6 页】 【变式 2】两物体从同一地点同时出发，沿同一方向做匀加速直线运动，若它们的初速度大小不同， 而加速度大小相同，则在运动过程中（ ） A．两物体速度之差保持不变 B．两物体的速度之差与时间成正比 C．两物体的位移之差与时间成正比 D．两物体的位移之差与时间的平方成正比 【答案】AC 【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系 第 8 页】 【变式 3】一物体以 5m/s 的初速度，－2m/s2 的加速度在粗糙水平面上滑行，4s 内物体通过的位移为 （ ） A．4m B．36m C．6.25m D．以上答案都不对 【答案】C 【高清课程：匀变速直线运动中位移与时间的关系 第 10 页】 【变式 4】矿井里的升降机由静止开始匀加速上升，经过 5s 速度达到 v=4 m/s 后，又以这个速度匀速 上升 20s，然后匀减速上升，再经 4s 停在井口．求矿井的深度． 【答案】98m