【物理】2018届一轮复习人教版第9章第2节 磁场对运动电荷的作用教案
第 2 节 磁场对运动电荷的作用
知识点 1 洛伦兹力的方向和大小
1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力．
2．洛伦兹力的方向
(1)判断方法：
左手定则
磁感线垂直穿过掌心
指指向正电荷运动的方向
拇指指向正电荷所受洛伦兹力的方向
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即 F 垂直于 B 和 v 决定的平面．(注意：B 和 v
不一定垂直)．
3．洛伦兹力的大小
(1)v∥B 时，洛伦兹力 F＝0.
(2)v⊥B 时，洛伦兹力 F＝qvB.
(3)v＝0 时，洛伦兹力 F＝0.
知识点 2 带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点
洛伦兹力不改变带电粒子速度的大小，或者说，洛伦兹力对带电粒子不做功．
2．粒子的运动性质
(1)若 v0∥B，则粒子不受洛伦兹力，在磁场中做匀速直线运动．
(2)若 v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动．
3．半径和周期公式
(1)洛伦兹力方向总与速度方向垂直，正好起到了向心力的作用．根据牛顿
第二定律，其表达式为 qvB＝mv2
r .
(2)半径公式 r＝mv
qB
，周期公式 T＝2πm
qB .
[物理学史链接]
(1)荷兰物理学家洛伦兹提出运动电荷产生了磁场和磁场对运动电荷有作用
力(洛伦兹力)的观点．
(2)英国物理学家汤姆孙发现电子，并指出：阴极射线是高速运动的电子流．
(3)阿斯顿设计的质谱仪可用来测量带电粒子的质量和分析同位素．
(4)1932 年，美国物理学家劳伦兹发明了回旋加速器，能在实验室中产生大
量的高能粒子．(最大动能仅取决于磁场和 D 形盒直径，带电粒子圆周运动周期
与高频电源的周期相同)
1．正误判断
(1)洛伦兹力和安培力是性质完全不同的两种力．(×)
(2)粒子在只受到洛伦兹力作用时运动的动能不变．(√)
(3)运动电荷进入磁场后(无其他力作用)可能做匀速直线运动．(√)
(4)带电粒子只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同．(×)
(5)一个带电粒子，在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度的大小无
关．(√)
(6)根据周期公式 T＝2πr
v
得出 T 与 v 成反比．(×)
2．[洛伦兹力方向的判断]如图 921 所示，匀强磁场方向垂直纸面向里，甲、
乙、丙、丁四个带负电的点电荷分别沿四个方向、以大小相同的初速度 v0 垂直
磁场方向进入磁场．则进入磁场瞬间，受到洛伦兹力方向向下的点电荷是( )
图 921
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
D [根据左手定则分析，丁受到的洛伦兹力方向向下，故选项 D 正确．]
3．[半径、周期公式的应用](多选)(2015·全国卷Ⅱ)有两个匀强磁场区域Ⅰ和
Ⅱ，Ⅰ中的磁感应强度是Ⅱ中的 k 倍．两个速率相同的电子分别在两磁场区域做
圆周运动．与Ⅰ中运动的电子相比，Ⅱ中的电子( )
【导学号：92492340】
A．运动轨迹的半径是Ⅰ中的 k 倍
B．加速度的大小是Ⅰ中的 k 倍
C．做圆周运动的周期是Ⅰ中的 k 倍
D．做圆周运动的角速度与Ⅰ中的相等
AC [设电子的质量为 m，速率为 v，电荷量为 q，B2＝B，B1＝kB
则由牛顿第二定律得：qvB＝mv2
R
①
T＝2πR
v
②
由①②得：R＝mv
qB
，T＝2πm
qB
所以R2
R1
＝k，T2
T1
＝k
根据 a＝v2
R
，ω＝v
R
可知
a2
a1
＝1
k
，ω2
ω1
＝1
k
所以选项 A、C 正确，选项 B、D 错误．]
4．[带电粒子在磁场中的运动分析]两个质量相同、所带电荷量相等的带电
粒子 a、b，以不同的速率对准圆心 O 沿着 AO 方向射入圆形匀强磁场区域，其
运动轨迹如图 922 所示．若不计粒子的重力，则下列说法正确的是( )
图 922
A．a 粒子带正电，b 粒子带负电
B．a 粒子在磁场中所受洛伦兹力较大
C．b 粒子的动能较大
D．b 粒子在磁场中运动时间较长
C [由左手定则可知，a 粒子带负电，b 粒子带正电，A 错误；由 qvB＝m v2
r
得 r＝mv
qB
，故运动的轨迹半径越大，对应的速率越大，所以 b 粒子的速率较大，
在磁场中所受洛伦兹力较大，B 错误；由 Ek＝1
2mv2 可得 b 粒子的动能较大，C
正确；由 T＝2πm
qB
知两者的周期相同，b 粒子运动的轨迹对应的圆心角小于 a 粒
子运动的轨迹对应的圆心角，所以 b 粒子在磁场中运动时间较短，D 错误．]
对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确
定的平面．
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化．
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用．
(4)用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意一定分正、负电荷．
(5)洛伦兹力一定不做功．
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力，都是磁场力．
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功．
3．洛伦兹力和电场力的区别
洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0 且 v 不与 B 平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
力方向与场
方向的关系
一定是 F⊥B，F⊥v，与电荷电
性无关
正电荷受力与电场
方向相同，负电荷
受力与电场方向相
反
做功情况 任何情况下都不做功
可能做正功、负功，
也可能不做功
[题组通关]
1．(2017·宝鸡模拟)如图 923 所示，平行长直导线 ab、cd 通以反向等大直
流电，P 点是两导线所在面上 ab 右侧的一个点．现从 P 点沿平行 ba 方向打入一
个带正电的粒子，粒子恰好可以经过 ab、cd 的中间线上一点 O 到达 Q 点，并且
P 到中线的距离比 Q 到中线的距离大，则下列说法正确的是( )
图 923
A．ab 的电流方向是由 b 到 a 的
B．粒子在 P 点的速度大于在 Q 点的速度
C．粒子在 P 点的角速度大于在 Q 的角速度
D．粒子从 P 向 O 运动过程中的半径变小
C [正粒子要能够经过 O 点，则正粒子向右偏转，说明 ab 与中线间的磁场
方向垂直纸面向外，所以 ab 电流方向一定由 a 到 b，A 项错误；由于洛伦兹力
不做功，所以粒子的速率不变，B 项错误；速率不变，根据磁场叠加，中间线上
磁感应强度最小，则 P 点磁感应强度大于 Q 的磁感应强度，由 r＝mv
qB
知 rP
ωQ，C 项正确；粒子从 P 到 O 的过程中半径变大，D 项错误．]
2．(2017·杭州模拟)粗糙绝缘水平面上垂直穿过两根长直导线，俯视图如图
924 所示，两根导线中通有相同的电流，电流方向垂直纸面向里．水平面上一
带电滑块(电性未知)以某一初速 v 沿两导线连线的中垂线入射，运动过程中滑块
始终未脱离水平面．下列说法正确的是( ) 【导学号：92492341】
图 924
A．滑块可能做加速直线运动
B．滑块可能做匀速直线运动
C．滑块可能做曲线运动
D．滑块一定做减速运动
D [根据安培定则，知两导线连接的垂直平分线上方的磁场方向水平向右，
而下方的磁场方向水平向左，根据左手定则可知，滑块受到的洛伦兹力方向垂直
于纸面向外或向里，滑块所受的支持力减小或增大，滑块所受的滑动摩擦力与速
度反向，滑块一定做减速直线运动，故 A、B、C 错误．]
[多维探究]
带电粒子在匀强磁场中的运动
1．圆心的确定
(1)已知入射点、入射方向和出射点、出射方向时，可通过入射点
和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是
圆弧轨道的圆心(如图 925 甲所示)．
图 925
(2)已知入射方向和入射点、出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向
的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的
圆心(如图乙所示)．
(3)带电粒子在不同边界磁场中的运动：
①直线边界(进出磁场具有对称性，如图 926 所示)．
图 926
②平行边界(存在临界条件，如图 927 所示)．
(a) (b) (c)
图 927
③圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图 928 所示)．
图 928
2．半径的确定和计算
利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几个
重要的几何特点：
(1)粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于 AB 弦与切线的夹角(弦切角
θ)的 2 倍(如图 929 所示)，即φ＝α＝2θ＝ωt.
图 929
(2)直角三角形的应用(勾股定理)．
找到 AB 的中点 C，连接 OC，则△AOC、△BOC 都是直角三角形．
3．运动时间的确定
粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α
时，其运动时间可由下式表示：
t＝ α
360°T
或 t＝ α
2πT ，t＝l
v(l 为弧长)．
[多维探究]
●考向 1 带电粒子在直线边界磁场中的运动
1．(2017·全国丙卷)平面 OM 和平面 ON 之间的夹角为 30°，其横截面(纸面)
如图 9210 所示，平面 OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直
于纸面向外．一带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q>0)．粒子沿纸面以大小为 v
的速度从 OM 的某点向左上方射入磁场，速度与 OM 成 30°角．已知该粒子在磁
场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM 上另一点射出磁场．不计重力．粒
子离开磁场的出射点到两平面交线 O 的距离为( )
图 9210
A. mv
2qB B． 3mv
qB
C.2mv
qB D．4mv
qB
D [如图所示，粒子在磁场中运动的轨道半径为 R
＝mv
qB.
设入射点为 A，出射点为 B，圆弧与 ON 的交点为
P.由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB＝R.
由几何图形知，AP＝ 3R，则 AO＝ 3AP＝3R，所以 OB＝4R＝4mv
qB
， 故选项
D 正确．]
●考向 2 带电粒子在圆形边界磁场中的运动
2．如图 9211 所示，半径为 R 的圆形区域内有一垂直纸面向里的匀强磁场，
P 为磁场边界上的一点，大量质量为 m，电荷量为 q 的带正电的粒子，在纸面内
沿各个方向以速率 v 从 P 点射入磁场，这些粒子射出磁场时的位置均位于 PQ 圆
弧上且 Q 点为最远点，已知 PQ 圆弧长等于磁场边界周长的1
4
，不计粒子重力和
粒子间的相互作用，则该匀强磁场的磁感应强度大小为( )
【导学号：92492342】
图 9211
A. 2mv
2qR B．mv
qR
C. mv
2qR D． 2mv
qR
D [从 P 点射入的粒子与磁场边界的最远交点为 Q，最远的点是轨迹上直
径与磁场边界圆的交点，相应的弧长为圆周长的1
4
，设磁场圆心为 O，∠POQ＝
90°，则粒子轨迹半径 r＝ 2
2 R，又因为 r＝mv
qB
，所以 B＝ 2mv
qR
，D 正确．]
3.如图 9212 所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab 是圆
的直径．一带电粒子从 a 点射入磁场，速度大小为 v、方向与 ab 成 30°角时，恰
好从 b 点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t；若同一带电粒子从 a 点沿
ab 方向射入磁场，也经时间 t 飞出磁场，则其速度大小为( )
图 9212
A.1
2v B．2
3v C. 3
2 v D．3
2v
C [设圆形区域的半径为 R，带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动，由洛伦
兹力提供向心力，qvB＝mv2
r
，得 r＝mv
qB
，r∝v；当粒子从 b 点飞出磁场时，运动
轨迹如图甲所示，入射速度与出射速度与 ab 的夹角相等，所以速度的偏转角为
60°，轨迹对应的圆心角为 60°，根据几何知识得轨迹半径为 r1＝2R；当粒子从 a
点沿 ab 方向射入磁场时，经过磁场的时间也是 t，由 T＝2πm
qB
知，同一粒子两次
在磁场中运动的周期相等，又轨迹对应的圆心角θ＝2πt
T
，即粒子沿 ab 方向射入
磁场时，轨迹对应的圆心角也是 60°，根据几何知识得，粒子的轨迹半径为 r2＝
3R；可得v′
v
＝r2
r1
＝ 3
2
，则 v′＝ 3
2 v，选项 C 正确．]
甲 乙
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”
1．画轨迹：即确定圆心，画出运动轨迹．
2．找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系，偏转角度与圆心角、
运动时间的联系，在磁场中的运动时间与周期的联系．
3．用规律：即牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公
式．
带电粒子在磁场中运动的多解问
题
[母题] 如图 9213 所示，中轴线 PQ 将矩形区域 MNDC 分成上下两部分，
上部分充满垂直于纸面向外的匀强磁场，下部分充满垂直于纸面向内的匀强磁
场，磁感应强度大小均为 B.一质量为 m、带电荷量为 q 的带正电粒子从 P 点进
入磁场，速度与边 MC 的夹角θ＝30°.MC 边长为 a，MN 边长为 8a，不计粒子重
力．求：
图 9213
(1)若要该粒子不从 MN 边射出磁场，其速度最大值是多少？
(2)若要该粒子恰从 Q 点射出磁场，其在磁场中的运行时间最短是多少？
【解析】 (1)设该粒子恰好不从 MN 边射出磁场时的轨迹半径为 r，则由几
何关系得 rcos 60°＝r－a
2
，解得 r＝a
又由 qvB＝mv2
r
，解得最大速度为 vmax＝qaB
m .
(2)粒子每经过分界线 PQ 一次，在 PQ 方向前进的位移为轨迹半径 R 的 3倍．
设粒子进入磁场后第 n 次经过 PQ 线时恰好到达 Q 点
有 n× 3R＝8a，且 R 8
3
＝4.62
n 所能取的最小自然数为 5
粒子做圆周运动的周期为 T＝2πm
qB
粒子每经过 PQ 分界线一次用去的时间为 t＝1
3T＝2πm
3qB
粒子到达 Q 点的最短时间为 tmin＝5t＝10πm
3qB .
【答案】 (1)qaB
m (2)10πm
3qB
[母题迁移]
●迁移 1 磁场方向不确定形成多解
1．(多选)(2017·商丘模拟)一质量为 m，电荷量为 q 的负电荷在磁感应强度
为 B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动，若磁场
方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍，则负
电荷做圆周运动的角速度可能是( )
A.4qB
m B．3qB
m
C.2qB
m D．qB
m
AC [依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可
能，且这两种可能方向相反．在方向相反的两个匀强磁场中，由左手定则可知负
电荷所受的洛伦兹力的方向也是相反的．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向
相同时，根据牛顿第二定律可知 4Bqv＝mv2
R
，得 v＝4BqR
m
，此种情况下，负电荷
运动的角速度为ω＝v
R
＝4Bq
m
；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，有
2Bqv＝mv2
R
，v＝2BqR
m
，此种情况下，负电荷运动的角速度为ω＝v
R
＝2Bq
m
，应选
AC.]
●迁移 2 带电粒子速度不确定形成多解
2. (多选)如图 9214 所示，两方向相反、磁感应强度大小均为 B 的匀强磁场
被边长为 L 的等边三角形 ABC 理想分开，三角形内磁场垂直纸面向里，三角形
顶点 A 处有一质子源，能沿∠BAC 的角平分线发射速度不同的质子(质子重力不
计)，所有质子均能通过 C 点，质子比荷q
m
＝k，则质子的速度可能为( )
【导学号：92492343】
图 9214
A．2BkL B．BkL
2
C.3BkL
2 D．BkL
8
BD [因质子带正电，且经过 C 点，其可能的轨迹如图
所示，
所有圆弧所对圆心角均为 60°，所以质子运行半径 r＝
L
n(n＝1,2,3，…)，由洛伦兹力提供向心力得 Bqv＝mv2
r
，即 v＝Bqr
m
＝Bk·L
n(n＝
1,2,3，…)，选项 B、D 正确．]
●迁移 3 带电粒子电性不确定形成多解
3.如图 9215 所示，宽度为 d 的有界匀强磁场，磁感应强度为 B，MM′和 NN′
是它的两条边界．现有质量为 m，电荷量为 q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射
入．要使粒子不能从边界 NN′射出，则粒子入射速率 v 的最大值可能是多少．
图 9215
【解析】 题目中只给出粒子“电荷量为 q”，未说明是带哪种电荷．若 q
为正电荷，轨迹是如图所示的上方与 NN′相切的1
4
圆弧，轨道半径：R＝mv
Bq
又 d＝R－ R
2
解得 v＝(2＋ 2)Bqd
m .
若 q 为负电荷，轨迹如图所示的下方与 NN′相切的3
4
圆弧，
则有：R′＝mv′
Bq
d＝R′＋R′
2
，
解得 v′＝(2－ 2)Bqd
m .
【答案】 (2＋ 2)Bqd
m (q 为正电荷)或(2－ 2)Bqd
m (q 为负电荷)
常见多解情况分析
1．带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正
电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不
同而形成多解．
2．磁场方向不确定形成多解：带电粒子垂直进入方向不确定的匀强磁场时，
其偏转方向不同而形成多解．
3．运动的往复性形成多解：带电粒子在交变的磁场中运动时，运动往往具
有周期性而形成多解．
4．临界条件不唯一形成多解：带电粒子在有界磁场中运动时，因轨道半径
不同而形成多解．
带电粒子在有界磁场中的临界极值问题
1．分析方法
(1)数学方法和物理方法的结合：如利用“矢量图”“边界条件”等求
临界值，利用“三角函数”“不等式的性质”“二次方程的判别式”等求
极值．
(2)从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好”、“最大”、
“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定
要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件．
2．解题流程
[母题] 如图 9216 甲所示，在以 O 为圆心，内外半径分别为 R1 和 R2 的圆
环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面向外的匀强磁场，内外圆间的电势差 U
为常量，R1＝R0，R2＝3R0.一电荷量为＋q，质量为 m 的粒子从内圆上的 A 点进
入该区域，不计重力．
图 9216
(1)已知粒子从外圆上以速度 v1 射出，求粒子在 A 点的初速度 v0 的大小；
(2)若撤去电场，如图乙，已知粒子从 OA 延长线与外圆的交点 C 以速度 v2
射出，方向与 OA 延长线成 45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的
时间；
(3)在图乙中，若粒子从 A 点进入磁场，速度大小为 v3，方向不确定，要使
粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？
【解析】 (1)根据动能定理，qU＝1
2mv21－1
2mv20，
所以 v0＝ v21－2qU
m .
(2)如图所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径
为 R，
由几何知识可知 R2＋R2＝(R2－R1)2，
解得 R＝ 2R0，根据洛伦兹力公式 qv2B＝mv22
R
，
解得 B＝ mv2
q 2R0
＝ 2mv2
2qR0
.
又t
T
＝ θ
2π
，2πR＝v2T，
解得 t＝T
4
＝2πm
4Bq
＝ 2πm
4× mv2
2R0
＝ 2πR0
2v2
.
(3)考虑临界情况，如图所示．
qv3B′1＝mv23
R0
解得 B′1＝mv3
qR0
qv3B′2＝m v23
2R0
解得 B′2＝ mv3
2qR0
，综合得：B′< mv3
2qR0
.
【答案】 (1) v21－2qU
m (2) 2mv2
2qR0
2πR0
2v2
(3) mv3
2qR0
[母题迁移]如图 9217 所示，△ABC 为与匀强磁场垂直的边长为 a 的等边
三角形，比荷为e
m
的电子以速度 v0 从 A 点沿 AB 边入射，欲使电子经过 BC 边，
磁感应强度 B 的取值为( )
【导学号：92492344】
图 9217
A．B>2mv0
ae B．B<2mv0
ae
C．B> 3mv0
ae D．B< 3mv0
ae
D [由题意，如图所示，电子正好经过 C 点，此时圆周运
动的半径 R＝
a
2
cos 30°
＝ a
3
，要想电子从 BC 边经过，电子做圆
周运动的半径要大于 a
3
，由带电粒子在磁场中运动的公式 r＝
mv
qB
有 a
3
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