【物理】2020届一轮复习人教版第四章第3讲圆周运动学案
第3讲 圆周运动
[考试标准]
知识内容
考试要求
说明
圆周运动、向心加速度、向心力
d
1.不要求分析变速圆周运动的加速度问题．
2.不要求掌握向心加速度公式的推导方法．
3.不要求用“等效圆”处理一般曲线运动．
4.变速圆周运动和曲线运动的切向分力和切向加速度不作定量计算要求．
5.不要求求解提供向心力的各力不在同一直线上的圆周运动问题．
6.不要求对离心运动进行定量计算．
7.不要求分析与计算两个物体联结在一起(包括不接触)做圆周运动时的问题.
生活中的圆周运动
c
一、圆周运动、向心加速度、向心力
1．匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等．
(2)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动．
2．描述匀速圆周运动的物理量
(1)线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．
v＝＝.单位：m/s.
(2)角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
ω＝＝.单位：rad/s.
(3)周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．
T＝.
(4)转速：物体单位时间内所转过的圈数．符号为n，单位：r/s(或r/min)．
(5)相互关系：v＝ωr＝r＝2πrf＝2πnr.
3．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．
an＝＝rω2＝ωv＝r＝4π2f2r.
自测1 (2016·浙江10月选考·5)在G20峰会“最忆是杭州”的文艺演出中，芭蕾舞演员保持如图1所示姿势原地旋转，此时手臂上A、B两点的角速度大小分别为ωA、ωB，线速度大小分别为vA、vB，则( )
图1
A．ωA<ωB
B．ωA>ωB
C．vA
vB
答案 D
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．大小
F＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
自测2 (多选)下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法正确的是( )
A．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C．向心力由物体所受的合外力充当
D．向心力和向心加速度的方向都是不变的
答案 BC
三、生活中的圆周运动
1．火车转弯
特点：重力与支持力的合力提供向心力．(火车应按设计速度转弯，否则将挤压内轨或外轨)
2．竖直面内的圆周运动
(1)汽车过弧形桥
特点：重力和桥面支持力的合力提供向心力．
(2)水流星、绳模型、内轨道
最高点：当v≥时，能在竖直平面内做圆周运动；当v<时，不能到达最高点．
3．离心运动定义
做匀速圆周运动的物体，在所受的合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需的向心力的情况下，就会做逐渐远离圆心的运动，即离心运动．
4．受力特点
当F合＝mω2r时，物体做匀速圆周运动；
当F合＝0时，物体沿切线方向飞出；
当F合vC B．TB＝TC，vBωC，vB＝vC D．ωB<ωC，vB时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
模型1 轻绳模型
例3 (多选)如图12甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为
v，其FT－v2图象如图乙所示，则( )
图12
A．轻质绳长为
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，在最高点轻质绳拉力大小为＋a
D．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
答案 ABD
解析 小球在最高点时，根据牛顿第二定律：FT＋mg＝m，解得：FT＝m－mg，可知纵轴截距的绝对值为a＝mg，g＝，图线的斜率k＝＝，解得轻质绳的长度：L＝，故A、B正确；当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为：FT＝m－mg＝－a，故C错误；当v2＝b时，在最高点轻质绳拉力为零，小球运动到最低点时根据动能定理得：2mgL＝mv22－mv2，根据牛顿第二定律：FT′－mg＝m，联立得拉力为：FT′＝6mg＝6a，故D正确．
变式7 杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图13所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )
图13
A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出
B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零
C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
答案 B
解析 “水流星”在最高点的临界速度v＝＝4 m/s，由此知绳的拉力恰好为零，且水恰好不流出，故选B.
模型2 轻杆模型
例4 (2019届诸暨中学期末)如图14所示，长为l的轻杆，一端固定一个可视为质点的小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，小球过最高点的速度为v，下列叙述中不正确的是( )
图14
A．v的值可以小于
B．当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大
C．当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大
D．当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐减小
答案 D
解析 轻杆拉着小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点的最小速度为零，故v的值可以小于，选项A正确；由Fn＝m知，当v由零逐渐增大时，小球在最高点所需向心力也逐渐增大，选项B正确；当v＞时，杆对小球提供的是拉力，由牛顿第二定律得F＋mg＝m，故当v由逐渐增大时，杆对小球的弹力逐渐增大，选项C正确；当v＜时，杆对小球提供的是支持力，由牛顿第二定律得mg－F＝m，故当v由逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大，选项D错误．
变式8 如图15所示，半径为R的光滑圆环轨道竖直放置，一质量为m的小球恰能在此圆轨道内做圆周运动，则小球在轨道最低点处对轨道的压力大小为( )
图15
A．3mg
B．4mg
C．5mg
D．6mg
答案 D
解析 由题意知小球刚好能够通过最高点，则在最高点有mg＝m，从最高点到最低点，由动能定理得
2mgR＝mv′2－mv2，解得v′2＝5gR，
在最低点由牛顿第二定律得FN－mg＝m
解得FN＝6mg，根据牛顿第三定律，小球在轨道最低点处对轨道的压力大小FN′＝6mg.故D正确．
模型3 凹形桥与拱形桥模型
FN－mg＝
概述
如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力Fn＝FN－mg＝m
规律
桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态
mg－FN＝
概述
如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力Fn＝mg－FN＝m
规律
桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
例5 一辆汽车匀速率通过一座圆弧形拱形桥后，接着又以相同速率通过一圆弧形凹形桥．设两圆弧半径相等，汽车通过拱形桥桥顶时，对桥面的压力FN1为车重的一半，汽车通过圆弧形凹形桥的最低点时，对桥面的压力为FN2，则FN1与FN2之比为( )
A．3∶1 B．3∶2 C．1∶3 D．1∶2
答案 C
解析 汽车过圆弧形桥的最高点(或最低点)时，由重力与桥面对汽车的支持力的合力提供向心力．如图甲所示，汽车过圆弧形拱形桥的最高点时，由牛顿第三定律可知，汽车受桥面对它的支持力与它对桥面的压力大小相等，即FN1′＝FN1①
由牛顿第二定律可得mg－FN1′＝②
同样，如图乙所示，FN2′＝FN2，汽车过圆弧形凹形桥的最低点时，有FN2′－mg＝③
由题意可知FN1＝mg④
由①②③④得FN1∶FN2＝1∶3.
1．洗衣机的脱水筒采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法中错误的是( )
A．脱水过程中，衣物是紧贴筒壁的
B．水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大的缘故
C．加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
答案 B
解析 脱水过程中，衣物做离心运动而甩向筒壁，故A正确；水滴依附衣物的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩出，故B错误；F＝ma＝mω2R，ω增大会使向心力F增大，而脱水筒有洞，不能提供足够大的向心力，水滴就会被甩出去，增大向心力，会使更多水滴被甩出去，故C正确；靠近中心的衣服，R比较小，角速度ω一定，所以向心力小，脱水效果差，故D正确．
2.(多选)如图1为过山车以及轨道简化模型，过山车车厢内固定一安全座椅，座椅上乘坐“假人”，并系好安全带，安全带恰好未绷紧，不计一切阻力，以下判断正确的是( )
图1
A．过山车在圆轨道上做匀速圆周运动
B．过山车在圆轨道最高点时的速度应至少等于
C．过山车在圆轨道最低点时“假人”处于失重状态
D．若过山车能顺利通过整个圆轨道，在最高点时安全带对“假人”一定无作用力
答案 BD
解析 过山车在竖直圆轨道上做圆周运动，在最高点时，过山车的重力和轨道对过山车的压力的合力提供向心力，当压力为零时，速度最小，在最低点时，过山车重力和轨道对过山车的支持力的合力提供向心力，加速度向上，过山车处于超重状态；运动过程中，过山车重力势能和动能相互转化，即速度大小在变化，所以不是做匀速圆周运动，A错误；过山车在最高点重力完全充当向心力时，速度最小，则mg＝m，解得v＝，B正确；过山车在最低点时，“假人”受到竖直向上指向圆心的加速度，则“假人”处于超重状态，C错误；若过山车能顺利通过整个圆轨道，即在最高点重力和座椅的弹力的合力充当向心力，所以安全带对“假人”一定无作用力，D正确．
3．风能作为一种清洁的可再生能源，正逐步被推广使用．如图2所示是位于杭州湾跨海大桥北岸的海盐风力发电场内的一台发电机，在风力推动下，风叶带动发电机发电，a、b为同一叶片上的两点，则a点( )
图2
A．线速度等于b点的线速度
B．角速度小于b点的角速度
C．周期大于b点的周期
D．向心加速度小于b点的向心加速度
答案 D
解析 由同轴转动知ωa＝ωb，则Ta＝Tb，而ra＜rb，
则va＜vb，由a＝ω2r知aa＜ab.故D正确．
4.转篮球是一项需要技巧的活动，如图3所示，假设某同学让篮球在指尖上匀速转动，指尖刚好静止在篮球球心的正下方，下列判断正确的是( )
图3
A．篮球上的各点做圆周运动的圆心均在指尖与篮球的接触处
B．篮球上各点的向心力是由手指提供的
C．篮球上各点做圆周运动的角速度相等
D．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大
答案 C
解析 篮球上各点做同轴圆周运动，故角速度相等，由an＝ω2r知，篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越小．篮球上各点的向心力是由该点周围各点对它的合力提供的．
5．如图4所示，在室内自行车比赛中，运动员以速度v在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动．已知运动员的质量为m，做圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
图4
A．将运动员和自行车看做一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用
B．运动员受到的合力大小为m，做圆周运动的向心力大小也是m
C．运动员做圆周运动的角速度为vR
D．如果运动员减速，运动员将做离心运动
答案 B
解析 向心力是由整体所受的合力提供的，是效果力，不是物体真实受到的力，选项A错误；做匀速圆周运动的物体，合力提供向心力，选项B正确；运动员做圆周运动的角速度为ω＝，选项C错误；只有运动员加速到所受合力不足以提供做圆周运动的向心力时，运动员才做离心运动，选项D错误．
6．如图5所示，A、B两点分别位于大、小轮的边缘上，C点位于大轮半径的中点，大轮的半径是小轮的2倍，它们之间靠摩擦传动，接触面上没有相对滑动．则下列说法正确的是( )
图5
A．A点与B点角速度大小相等
B．A点与B点线速度大小相等
C．B点与C点线速度大小相等
D．A点的向心加速度等于C点的向心加速度
答案 B
7．如图6为一压路机，其大轮半径是小轮半径的1.5倍，A、B分别为小轮和大轮边缘上的点，压路机在平直路面上前进时，轮与路面不打滑，则下列说法正确的是( )
图6
A．A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝2∶3
B．A、B两点的线速度之比为vA∶vB＝3∶2
C．A、B两点的向心加速度之比为aA∶aB＝2∶3
D．A、B两点的向心加速度之比为aA∶aB＝3∶2
答案 D
解析 相同时间内，压路机大轮和小轮通过的距离相等，由v＝知大轮和小轮边缘上各点的线速度大小相等，故vA∶vB＝1∶1，选项A、B错误；由a＝得＝＝，选项C错误，D正确．
8.2009年5月12日中央电视台《今日说法》栏目报道了发生在湖南长沙某公路上的离奇交通事故：在公路转弯处外侧的李先生家门口，三个月内连续发生了八次大卡车侧翻的交通事故．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图7所示．为了避免事故再次发生，很多人提出了建议，下列建议中不合理的是( )
图7
A．在进入转弯处设立限速标志，提醒司机不要超速转弯
B．在进入转弯处设立限载标志，要求降低车载货物的重量
C．改进路面设计，增大车轮与路面间的摩擦力
D．改造此段弯路，使弯道内侧低、外侧高
答案 B
9．如图8所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列关系中正确的有( )
图8
A．线速度vATB
C．它们受到的摩擦力FfA>FfB
D．筒壁对它们的弹力FNA>FNB
答案 D
解析 由于两物体同轴转动，角速度相等，根据v＝rω，rA>rB，所以vA>vB，A项错误；由于ω相等，则T相等，B项错误；因竖直方向受力平衡，Ff＝mg，所以FfA＝FfB，C项错误；筒壁对物体的弹力提供向心力，根据FN＝Fn＝mrω2，rA＞rB，故FNA>FNB，D项正确．
10.(2018·金华市、丽水市、衢州市十二校联考)荡秋千是人们平时喜爱的一项休闲娱乐活动，如图9所示，某同学正在荡秋千，A和B分别为运动过程中的最低点和最高点，若忽略空气阻力，则下列说法正确的是( )
图9
A．在A位置时，该同学处于失重状态
B．在B位置时，该同学受到的合力为零
C．在A位置时，该同学对秋千踏板的压力大于秋千踏板对该同学的支持力，处于超重状态
D．由A到B过程中，该同学向心加速度逐渐减小
答案 D
解析 在A位置时，该同学的加速度向上，处于超重状态，故A错误；在B位置，该同学的速度为零，向心力为零，即沿绳子方向的合力为零，故该同学受到的合力等于重力沿圆弧切线方向的分力，不为零，故B错误；根据牛顿第三定律知，在A位置时，该同学对秋千踏板的压力等于秋千踏板对该同学的支持力，故C错误；由A到B过程中，该同学的速度逐渐减小，由a＝分析知向心加速度逐渐减小，故D正确．
11.2015年7月31日，中国申报冬奥会成功，高山滑雪是最引人瞩目的项目之一．现假设有一运动员经过一段半径为R的圆弧轨道，如图10所示，当他滑到最低点时速度大小为v，若运动员和滑雪板的总质量为m，滑雪板与雪道之间的动摩擦因数为μ，运动员和滑雪板可看成质点，重力加速度为g，则关于运动员和滑雪板整体在圆弧轨道最低点的分析正确的是( )
图10
A．受重力、弹力、摩擦力和向心力四个力作用
B．受到的向心力为mg＋m
C．受到的摩擦力为μ
D．受到的合力方向斜向左上方
答案 C
解析 在最低点，运动员和滑雪板整体受重力、弹力和摩擦力三个力的作用，如图所示，选项A、B错误；在最低点，由牛顿第二定律得FN－mg＝m，Ff＝μFN，由以上两式解得Ff＝μ，选项C正确；由力的合成可知，运动员和滑雪板作为整体所受合力方向斜向右上方，选项D错误．
12.(2018·七彩阳光联盟期中)如图11所示，“天津之眼”是亚洲唯一建在桥上的摩天轮，是天津的地标之一．摩天轮直径110 m，轮外装挂48个360度透明座舱．假定乘客坐在摩天轮的座舱中，摩天轮匀速转动，转动一周所需时间为28分钟，则( )
图11
A．某时刻所有乘客运动的线速度都相同
B．某时刻所有乘客运动的加速度都相同
C．某乘客过最高、最低点时，受到座舱的力大小相等
D．某乘客过最高、最低点时，受到的合外力大小相等
答案 D
13.(2018·温州市九校联盟期末)如图12所示，某拱形桥的顶部可视为一段圆弧，这段圆弧对应的半径为10 m，当一辆小汽车(视作质点)以一定速度v经过该桥顶时(g取10 m/s2)，以下说法正确的是( )
图12
A．当v＝36 km/h时，车对桥面的压力等于重力
B．当v＝54 km/h时，车能贴着桥面，安全通过拱形桥
C．无论速度多大，车对桥面的压力都不可能大于重力
D．当v＝18 km/h时，车对桥面的压力是重力的0.25倍
答案 C
解析 在桥顶，根据牛顿第二定律得：mg－FN＝，当车对桥面的压力等于重力时，FN＝mg，解得：v＝0，故A错误；当FN＝0时，有最大速度，解得v＝＝10 m/s,10 m/s＝36 km/h<54 km/h，所以车不能安全通过拱形桥，故B错误；FN＝mg－m，因v2≥0，所以无论速度多大，车对桥面的压力都不可能大于重力，故C正确；v＝18 km/h＝5 m/s，支持力FN＝mg－m＝0.75mg，由牛顿第三定律知车对桥面的压力是重力的0.75倍，故D错误．
14.无缝钢管的制作原理如图13所示，竖直平面内，管状模型置于两个支撑轮上，支撑轮转动时通过摩擦力带动管状模型转动，铁水注入管状模型后，由于离心运动，铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，冷却后就得到无缝钢管．已知管状模型内壁半径为R，则下列说法正确的是( )
图13
A．铁水是由于受到离心力的作用才覆盖在模型内壁上的
B．模型各个方向上受到的铁水的作用力相同
C．若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，此时仅重力提供向心力
D．管状模型转动的角速度ω最大为
答案 C
解析 铁水做圆周运动，重力和弹力的合力提供向心力，没有离心力，故A错误；铁水不是做匀速圆周运动，故模型各个方向上受到的铁水的作用力不一定相同，故B错误；若最上部的铁水恰好不离开模型内壁，则是重力恰好提供向心力，故C正确；为了使铁水紧紧地覆盖在模型的内壁上，管状模型转动的角速度不能小于临界角速度，故D错误．
15．(2018·嘉兴市期末)体操运动员做“单臂大回环”时，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴在竖直平面内做圆周运动，如图14所示．此过程中，运动员到达最低点时手臂受的拉力约为(不计空气阻力)( )
图14
A．50 N
B．500 N
C．2 500 N
D．5 000 N
答案 C
解析 从最高点到最低点，由2mgR＝mv2，又由F－mg＝m，若运动员约50 kg，得F＝5mg＝2 500 N，故C正确．
16.如图15所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外轨内表面光滑，内轨外表面粗糙．一质量为m的小球从轨道的最低点以初速度v0向右运动，球的直径略小于两轨间距，球运动的轨道半径为R，重力加速度为g，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
图15
A．当v0＝时，小球最终停在最低点
B．当v0＝2时，小球可以到达最高点
C．当v0＝时，小球始终做完整的圆周运动
D．当v0＝时，小球在最高点时对内轨的外表面有挤压
答案 C
解析 若v0＝，则由mv02＝mgh可知，h＝R，则小球能到达与圆轨道圆心等高处反向返回，在最低点两侧做往返运动，选项A错误；若v0＝2，且轨道的内外壁均光滑时，小球到达最高点的速度恰好为零，但是因轨道内轨外表面粗糙，则小球与内轨接触时要损失机械能，则小球不能到达最高点，选项B错误；若小球运动时只与轨道的外轨接触
而恰能到达最高点，则到达最高点时满足mg＝m，从最低点到最高点由机械能守恒可知，mv02＝mg·2R＋mv2，解得v0＝，由此可知当v0＝时，小球始终做完整的圆周运动，且沿外轨道恰能运动到最高点，选项C正确，D错误．
17．如图16甲所示，与轻绳相连的滑块置于水平圆盘上，绳的另一端固定于圆盘中心的转轴上，绳子刚好伸直且无弹力，绳长r＝0.5 m，滑块随圆盘一起做匀速圆周运动(二者未发生相对滑动)，滑块的质量m＝1.0 kg，与水平圆盘间的动摩擦因数μ＝0.2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取g＝10 m/s2.求：
图16
(1)圆盘角速度ω1＝1 rad/s时，滑块受到静摩擦力的大小；
(2)圆盘的角速度ω2至少为多大时，绳中才会有拉力；
(3)在图乙中画出圆盘角速度ω由0缓慢增大到4 rad/s时，轻绳上的拉力F与角速度大小的平方ω2的图象(绳未断)．
答案 (1)0.5 N (2)2 rad/s (3)见解析图
解析 (1)静摩擦力提供向心力，有：Ff＝mω12r，代入数据解得：Ff＝0.5 N；
(2)当静摩擦力达到最大值时，绳中才出现拉力，最大静摩擦力提供向心力，有：
μmg＝mω22r，代入数据解得：ω2＝2 rad/s；
(3)当角速度0≤ω≤2 rad/s时，绳拉力F＝0
当2 rad/s<ω≤4 rad/s时，根据牛顿第二定律有：
F＋μmg＝mω2r，
解得绳中拉力：F＝0.5ω2－2.
ω＝4 rad/s时，F＝6 N.
F－ω2图象如图所示．
