【物理】2018届一轮复习人教版1-3自由落体与竖直上抛运动学案
1.3 自由落体与竖直上抛运动
1. 自由落体与竖直上抛运动是高考热点，几乎是每年必考，全国卷多数情况下以计算题形式出现，应高度重视．
2. 通常结合生活实例，通过实例的分析，结合情景、过程、建立运动模型，再应用相应规律处理实际问题.
一、自由落体运动
物体只受重力作用所做的初速度为零的匀加速直线运动．
特点：（l）只受重力；（2）初速度为零．
规律：（1）vt=gt；（2）s=½gt2；（3）vt2=2gs；（4）s=；（5）；
【特别提醒】
1．自由落体运动实际上是物理学中的理想化运动，只有满足一定的条件才能把实际的落体运动看成是自由落体运动。第一，物体只受重力作用，如果还受空气阻力作用，那么空气阻力与重力相比可以忽略不计；第二，物体必须从静止开始下落，即初速为零。
必须是从静止开始算起的自由下落过程才是自由落体运动，从中间取的一段运动过程不是自由落体运动。
2．自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动。
(1)满足初速度为零的匀变速运动的几个推论的比例关系
(2)连续相等的时间内位移的增加量相等Δx＝gt2
(3)一段时间内的平均速度v＝＝gt。
例1、一小石块从空中a点自由落下，先后经过b点和c点，不计空气阻力．经过b点时速度为v，经过c点时速度为3v，则ab段与ac段位移之比为( )
A．1∶3 B．1∶5 C．1∶8 D．1∶9
答案 D
解析 物体做自由落体运动，
2ghab＝v2①
2ghac＝(3v)2②
由①②得＝，故D正确．
【变式探究】如图3所示，木杆长5m，上端固定在某一点，由静止放开后让它自由落下(不计空气阻力)，木杆通过悬点正下方20m处圆筒AB，圆筒AB长为5m，取g＝10m/s2，求：
图3
(1)木杆经过圆筒的上端A所用的时间t1是多少？
(2)木杆通过圆筒AB所用的时间t2是多少？
答案 (1)(2－) s
(2)(－) s
t2＝t上B－t下A＝(－) s
二、竖直上抛
1、将物体沿竖直方向抛出，物体的运动为竖直上抛运动．抛出后只在重力作用下的运动。
其规律为：（1）vt=v0－gt，（2）s=v0t －½gt2 （3）vt2－v02=－2gh
2．两种处理办法：两种思路解题：(速度和时间的对称)
（1）分段法：上升阶段看做初速度为零，加速度大小为g的匀减速直线运动，下降阶段为自由落体运动．
（2）整体法：从整体看来，运动的全过程加速度大小恒定且方向与初速度v0方向始终相反,因此可以把竖直上抛运动看作是一个统一的减速直线运动。这时取抛出点为坐标原点，初速度v0方向为正方向，则a= 一g。(用此解法特别注意方向)
3．上升阶段与下降阶段的特点：(速度和时间的对称)
（l）物体从某点出发上升到最高点的时间与从最高点回落到出发点的时间相等。即
t上=v0/g=t下 所以，从某点抛出后又回到同一点所用的时间为t=2v0/g
（2）上抛时的初速度v0与落回出发点的速度V等值反向，大小均为；即 V=V0=
注意：①以上特点适用于竖直上抛物体的运动过程中的任意一个点所时应的上升下降两阶段，因为从任意一点向上看，物体的运动都是竖直上抛运动，且下降阶段为上升阶段的逆过程．
②以上特点，对于一般的匀减速直线运动都能适用。若能灵活掌握以上特点，可使解题过程大为简化．尤其要注意竖直上抛物体运动的时称性和速度、位移的正负。
【特别提醒】
1．竖直上抛运动的两个结论
(1)最大高度H＝
(2)上升时间t＝
2．竖直上抛运动的对称性
(1)时间对称性：物体在上升和下降过程中通过同一竖直距离所用时间相同；
(2)速度对称性：物体在上升和下降过程中通过同一位置时速度大小相等、方向相反。
3．对竖直上抛运动的处理法
(1)二步分析法
根据竖直上抛的过程特点，以达到的最高点为界，可分为上升过程的匀减速直线运动和下降过程的自由落体运动，两个阶段分别按其对应的运动形式选用相应规律。
(2)整体分析法
竖直上抛运动中，其加速度始终不变，因此实质上是一个统一的匀变速直线运动。从整体上分析，一般取竖直向上的方向作为正方向，竖直上抛运动就是以v0为初速度的匀减速直线运动，其速度公式和位移公式可以统一为：vt＝v0－gt，x＝v0t－gt2。
例2、(2017·莱芜模拟)气球下挂一重物，以v0＝10 m/s的速度匀速上升，当到达离地高度h＝175 m处时，悬挂重物的绳子突然断裂，那么重物经多长时间落到地面？落地时的速度多大？空气阻力不计，g取10 m/s2.
答案 见解析
解析 解法一：分成上升阶段和下落阶段两个过程处理．
绳子断裂后重物要继续上升的时间t1和上升的高度h1分别为
t1＝＝1 s
h1＝＝5 m
故重物离地面的最大高度为H＝h1＋h＝180 m
重物从最高处自由下落，落地时间和落地速度分别为
t2＝ ＝6 s
v＝gt2＝60 m/s
所以从绳子突然断裂到重物落地共需时间为t＝t1＋t2＝7 s.
解法二：取全过程作为一个整体考虑，从绳子断裂开始计时，经时间t后重物落到地面，规定初速度方
【变式探究】
在竖直的井底，将一物体以11m/s的速度竖直向上抛出，物体在井口处被人接住，在被人接住前1 s内物体的位移是4 m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)物体从抛出到被人接住所经历的时间；
(2)此竖直井的深度.
答案 (1)1.2s (2)6m
解析 (1)被人接住前1s内物体的位移是4m，由于自由落体的物体第1s内的位移h1＝gt2＝5m
故而一定是在物体通过最高点后返回过程中被接住，设接住前1s时的初速度为v1，则
h＝v1t－gt2
解得v1＝9m/s
t1＝＝s＝0.2s
从抛出到被人接住所经历的时间
t′＝t1＋1s＝1.2s
(2)竖直井的深度为H，
则H＝v0t′－gt′2＝11×1.2m－×10×1.22m＝6m.
【方法技巧】
1．自由落体运动和竖直上抛运动是匀变速直线运动的特例，匀变速直线运动的一切规律均可适用．
2．竖直上抛问题的处理方法
(1)全程法
将竖直上抛运动视为竖直向上的加速度为g的匀变速直线运动．
(2)分段法
将全程分为两个阶段，即上升过程的匀减速阶段和下落过程的自由落体阶段．
高频考点一、自由落体运动
例1、一个物体从h高处自由下落，经过最后196m所用的时间是4s，若空气阻力可以不计．求物体下落的总时间t和下落的高度h。(g＝9.8m/s2)
t＝＋2s＝s＋2s＝7s
h＝gt2＝240m
【答案】7s 240m
【特别提醒】自由落体运动是加速度为特定值(重力加速度)，初速度为零的匀加速直线运动。因此，凡是初速度为零的匀加速直线运动公式，自由落体运动都适用，并且其解法也往往有多种，解题中结合具体情况和个人的熟练程度合理选取不同的方法。
【变式探究】A、B两小球从不同高度自由下落，同时落地，A球下落的时间为t，B球下落的时间为t/2，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为( )
A．gt2 B.gt2
C.gt2 D.gt2
【答案】D
【解析】A球下落高度为hA＝gt2，B球下落高度为hB＝g()2＝gt2，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为Δh＝hA－g()2－hB＝gt2，所以D项正确。
高频考点二、竖直上抛运动规律的应用
例2、升降机以速度v＝4.9m/s匀速竖直上升，升降机内的天花板上有一个螺丝帽突然松脱，脱离天花板。已知升降机天花板到其地板的高度为h＝14.7m。求螺丝帽落到升降机地板所需时间。(g＝9.8m/s2)
由图中位移约束关系得：
h1＋h＝h2＋v(t1＋t2)，
即＋h＝gt＋v(＋t2)
代入数据化简得：t＋t2－2.75＝0
升降机而言，螺丝帽的下落加速度仍然是重力加速度。显然，螺丝帽相对于升降机的运动是自由落体运动，相对位移大小即升降机天花板到其地板的高度。由自由落体运动的规律可得，
h＝gt2
t＝＝s＝1. 73s
【答案】1.73s
【特别提醒】参考系选择不同，不仅物体的运动形式不同，求解时所用的物理规律也可能不同。选择适当的参考系，往往可以使问题的求解过程得到简化。
【变式探究】一杂技演员，用一只手抛球、接球。他每隔0.4s抛出一个球，接到球便立即把球抛出，已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个球，将球的运动近似看作是竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛出点算起，取g＝10m/s2)( )
A．1.6m B．2.4m
C．3.2m D．4.0m
【答案】C
【解析】假设某时刻刚好有一球A抛出手，由题意知空中有4个球，过0.4s就有一个球落在手中，那么A球过1.6s落入手中，A球上升到最高点只需0.8s，h＝gt2＝3.2m。
高频考点三 “临界分析法”解决抛体相遇问题
例3、在h高处，小球A由静止开始自由落下，与此同时，在A的正下方地面上以初速度v0竖直向上抛出另一小球B，求A、B在空中相遇的时间与地点，并讨论A、B相遇的条件(不计空气阻力作用)。
当在B球的最高点相遇时，应有gt2＋＝h，且t＝，解得v0＝。
当
时，在B球上升过程中两球相遇。
【方法技巧】
1.临界问题：是指一种物理过程转变为另一种物理过程，或一种物理状态转变为另一种物理状态时，处于两种过程或两种状态的分界处的问题．处于临界状态的物理量的值叫临界值。
2．临界问题的特点
(1)物理现象的变化面临突变性。
(2)对于连续变化问题，物理量的变化出现拐点， 呈现出两性，即能同时反映出两种过程和两种现象的特点。
3．分析方法：解决临界问题，关键是找出临界条件。一般有两种基本方法：①以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解，然后分析、讨论其特殊规律和特殊解；②直接分析、讨论临界状态和相应的临界值，求解出研究问题的规律和解。
高频考点四、多运动过程问题
如果一个物体的运动包含几个阶段，就要分段分析，各段交接处的速度往往是联系各段的纽带.可按下列步骤解题：
(1)画：分清各阶段运动过程，画出草图；
(2)列：列出各运动阶段的运动方程；
(3)找：找出交接处的速度与各段间的位移－时间关系；
(4)解：联立求解，算出结果.
例4、假设收费站的前、后都是平直大道，大假期间过站的车速要求不超过vt＝21.6km/h，事先小汽车未减速的车速均为v0＝108 km/h，制动后小汽车的加速度的大小为a1＝4m/s2.试问：
(1)大假期间，驾驶员应在距收费站至少多远处开始制动？
(2)假设车过站后驾驶员立即使车以a2＝6m/s2的加速度加速至原来的速度，则从减速开始至最终恢复到原来速度的过程中，汽车运动的时间至少是多少？
(3)在(1)(2)问题中，车因减速和加速过站而耽误的时间至少为多少？
答案 (1)108m (2)10s (3)4s
解析 (1)vt＝21.6km/h＝6 m/s，事先小汽车未减速的车速均为v0＝108km/h＝30 m/s，小汽车进入站台
减速阶段：vt＝v0－a1t1
t1＝＝s＝6s
加速阶段：v0＝vt＋a2t2
t2＝＝s＝4s
则汽车运动的时间至少为：t＝t1＋t2＝10s.
(3)在加速阶段：v－v＝2a2x2
302－62＝2×6x2
解得：x2＝72m
则总位移x＝x1＋x2＝180m
若不减速通过收费站，所需时间
t′＝＝6s
车因减速和加速过站而耽误的时间至少为：
Δt＝t－t′＝4s.
【感悟提升】多过程组合问题的“三个”处理技巧
1.用图象分析运动学问题能很好地反映出物体的运动规律，且直观、形象，这是图象法的优势，一些物理量的关系能通过图象很明显地反映出来.
2.将末速度为零的匀减速直线运动通过逆向思维转化为初速度为零的匀加速直线运动.
3.多运动过程的转折点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，转折点速度的求解往往是解题的关键.
【变式探究】短跑运动员完成100m赛跑的过程可简化为匀加速运动和匀速运动两个阶段.一次比赛中，运动员用11.00s跑完全程.已知运动员在加速阶段的第2s内通过的距离为7.5m，求运动员的加速度及加速阶段通过的距离.
答案 5m/s2 10m
解析 根据题意，在第1s和第2s内运动员都做匀加速运动.设运动员在匀加速阶段的加速度为a，在第
依题意及运动学规律，得t＝t1＋t2 ④
v＝at1 ⑤
x＝at＋vt2 ⑥
设加速阶段通过的距离为x′，则
x′＝at ⑦
联立③④⑤⑥⑦式，并代入数据得：
x′＝10m ⑧
【2015·山东·14】距地面高5m的水平直轨道A、B两点相距2m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图。小车始终以的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地。不计空气阻力，取重力加速度的大小。可求得h等于
A．1.25m B．2.25m C．3.75m D．4.75m
【答案】A
【2014·课标全国Ⅱ】奥地利极限运动员菲利克斯·鲍姆加特纳乘气球升至约39km的高空后跳下，经过4分20秒到达距地面约1.5km的高度处，打开降落伞并成功落地，打破了跳伞运动的多项世界纪录。取重力加速度的大小g＝10m/s2。
(1)若忽略空气阻力，求该运动员从静止开始下落至1.5km高度处所需的时间及其在此处速度的大小。
(2)实际上，物体在空气中运动时会受到空气的阻力，高速运动时所受阻力的大小可近似表示为Ff＝kv2，其中v为速率，k为阻力系数，其数值与物体的形状、横截面积及空气密度有关，已知该运动员在某段时间内高速下落的v－t图象如图所示，若该运动员和所带装备的总质量m＝100kg，试估算该运动员在达到最大速度时所受的阻力系数。(结果保留1位有效数字)
【答案】(1)87s 8.7×102m/s (2)0.008kg/m
【解析】(1)设该运动员从开始自由下落至1.5km高度处的时间为t，下落距离为s
，在1.5km高度处的
v＝8.7×102m/s⑤
(2)该运动员达到最大速度vmax时，加速度为零，由牛顿第二定律有
mg＝kv⑥
由所给v－t图象可读出
vmax＝360m/s⑦
由⑥⑦式得
k＝0.008kg/m
1.距地面高5m的水平直轨道上A、B两点相距2m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图4所示.小车始终以4m/s的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地.不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2.可求得h等于( )
图4
A.1.25m B.2.25m C.3.75m D.4.75m
答案 A
2．(多选)从水平地面竖直向上抛出一物体，物体在空中运动，到最后又落回地面．在不计空气阻力的条件下，以下判断正确的是 ( )．
A．物体上升阶段的加速度与物体下落阶段的加速度相同
B．物体上升阶段的加速度与物体下落阶段的加速度方向相反
C．物体上升过程经历的时间等于物体下落过程经历的时间
D．物体上升过程经历的时间小于物体下落过程经历的时间
解析 物体竖直上抛，不计空气阻力，只受重力，则物体上升和下降阶段加速度相同，大小为g，方向向下，A正确，B错误；上升和下落阶段位移大小相等，加速度大小相等，所以上升和下落过程所经历的时间相等，C正确，D错误．
答案 AC
3．取一根长2 m左右的细线，5个铁垫圈和一个金属盘．在线的一端系上第一个垫圈，隔12 cm再系一个，以后垫圈之间的距离分别为36 cm、60 cm、84 cm，如图1所示．站在椅子上，向上提起线的另一端，让线自由垂下，且第一个垫圈紧靠放在地面上的金属盘内．松手后开始计时，若不计空气阻力，则第2、3、4、5各垫圈 ( )．
图1
A．落到盘上的声音时间间隔越来越大
B．落到盘上的声音时间间隔相等
C．依次落到盘上的速率关系为1∶∶∶2
D．依次落到盘上的时间关系为1∶(－1)∶(－)∶(2－)
解析 垫圈之间的距离分别为12 cm、36 cm、60 cm、84 cm
，满足1∶3∶5∶7的关系，因此时间间隔相等，A项错误，B项正确．垫圈依次落到盘上的速率关系为1∶2∶3∶4∶…，垫圈依次落到盘上的时间关系为1∶2∶3∶4∶…，C、D项错误．
答案 B
4．一物体自空中的A点以一定的初速度竖直向上抛出，1 s后物体的速率变为10 m/s，则此时物体的位置和速度方向可能是(不计空气阻力，g＝10 m/s2) ( )．
A．在A点上方，速度方向向下
B．在A点上方，速度方向向上
C．正在A点，速度方向向下
D．在A点下方，速度方向向下
5．一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点a的时间间隔是Ta，两次经过一个较高点b的时间间隔是Tb，则a、b之间的距离为( )．
A.g(T－T) B.g(T－T)
C.g(T－T) D.g(Ta－Tb)
解析 根据时间的对称性，物体从a点到最高点的时间为，从b点到最高点的时间为，所以a点到最高点的距离ha＝g2＝，b点到最高点的距离hb＝g2＝，故a、b之间的距离为ha－hb＝g(T－T)，故选A.
答案 A
6．如图2所示，小球从竖直砖墙某位置静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图2中1、2、3、4、5…所示小球运动过程中每次曝光的位置．连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d.根据图中的信息，下列判断错误的是 ( )．
图2
A．位置“1”是小球的初始位置
B．小球做匀加速直线运动
C．小球下落的加速度为
D．小球在位置“3”的速度为
7．小球从空中某处由静止开始自由下落，与水平地面碰撞后上升到空中某一高度，此过程中小球速度随时间变化的关系如图3所示，则 ( )．
图3
A．在下落和上升两个过程中，小球的加速度不同
B．小球开始下落处离地面的高度为0.8 m
C．整个过程中小球的位移为1.0 m
D．整个过程中小球的平均速度大小为2 m/s
8.一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点a的时间间隔是Ta，两次经过一个较高点b的时间间隔是Tb，则a、b之间的距离为( )
A.g(T－T) B.g(T－T)C.g(T－T) D.g(Ta－Tb)
答案 A
解析 根据时间的对称性，物体从a点到最高点的时间为，从b点到最高点的时间为，所以a点到最高点的距离ha＝g()2＝，b点到最高点的距离hb＝g()2＝，故a、b之间的距离为ha－hb＝g(T－T)，故选A.
9.如图2所示，在一个桌面上方有三个金属小球a、b、c，离桌面高度分别h1∶h2∶h3＝3∶2∶1.若先后顺次静止释放a、b、c，三球刚好同时落到桌面上，不计空气阻力，则下列说法不正确的是( )
图2
A.三者到达桌面时的速度之比是∶∶1
B.三者运动的平均速度之比是∶∶1
C.b与a开始下落的时间差小于c与b开始下落的时间差
D.b与a开始下落的时间差大于c与b开始下落的时间差
答案 D
解析 由公式v2－v＝2gx可得v＝，所以三者到达桌面时的速度之比是∶∶＝∶∶1，A正确；三者都做匀变速直线运动，初速度为零，所以＝，故平均速度之比为∶∶＝∶∶1，B正确；根据h＝gt2可得a、b开始下落的时间差为Δt1＝－
＝(－)，b、c开始下落的时间差为Δt2＝－＝(－1)，所以Δt1<Δt2，C正确，D错误.
10.如图3所示，运动员从离水面10m高的平台上向上跃起，举起双臂直体离开台面，此时其重心位于从手到脚全长的中点，跃起后重心升高0.45m达到最高点，落水时身体竖直，手先入水(在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计，计算时可以把运动员看成全部质量集中在重心的一个质点，g取10m/s2)，求：
图3
(1)运动员起跳时的速度v0.
(2)从离开跳台到手接触水面的过程中所经历的时间t(结果保留3位有效数字).
11.在一次低空跳伞训练中，当直升机悬停在离地面224m
高处时，伞兵离开飞机做自由落体运动.运动一段时间后，打开降落伞，展伞后伞兵以12.5m/s2的加速度匀减速下降.为了伞兵的安全，要求伞兵落地速度最大不得超过5 m/s，求：(取g＝10m/s2)
(1)伞兵展伞时，离地面的高度至少为多少？
(2)伞兵在空中的最短时间为多少？
答案 (1)99m (2)8.6s
解析 (1)设伞兵展伞时，离地面的高度至少为h，此时速度为v0
则有：v2－v＝－2ah，
又v＝2g(224m－h)
联立并代入数据解得：v0＝50m/s，h＝99m
(2)设伞兵在空中的最短时间为t，
则有：v0＝gt1，
t1＝5s
t2＝＝3.6s，
故所求时间为：t＝t1＋t2＝(5＋3.6) s＝8.6s.
12．李煜课外活动小组自制一枚火箭，火箭从地面发射后，始终在垂直于地面的方向上运动，火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：
(1)燃料恰好用完时火箭的速度；
(2)火箭离地面的最大高度；
(3)火箭从发射到残骸落回地面过程的总时间．
