【物理】2018届二轮复习 曲线运动 学案（全国通用）
第一部分 特点描述
近几年 ，曲线运动已成为高考的热点内容之一，有时为选择题，有时以计算题形式出现，重点考查的内容有：平抛运动的规律及其研究方法，圆周运动的角度、线速度、向心加速度，做圆周运动的物体的受力与运动的关系，同时，还可以与带电粒子的电磁场的运动等知识进行综合考查；重点考查的方法有运动的合成与分解，竖直平面内的圆周运动应掌握最高点和最低点的处理方法．本部分内容是牛顿运动定律在曲线运动中的具体应用，而万有引力定律是力 中一个重要独立的基本定律，运动的合成与分解是研究复杂运动的基本方法，复习本章的概念和规律，将加深对速度、加速度及其关系的理解；加深对牛顿第二定律的理解，提高解题实际的能力。
第二部分 知识背一背
一、曲线运动
1.速度方向
质点在某一点的瞬时速度的方向，沿曲线上该点的切线方向.
2.运动性质
做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度.
3.曲线运动的条件
(1)运动 角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上.
(2)动力 角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上．
二、运动的合成与分解
1.分运动和合运动：一个物体同时参与几个运动，参与的这几个运动即分运动，物体的实际运动即合运动.
2.运动的合成：已知分运动求合运动，包括位移、速度和加速度的合成.
3. 运动的分解：已知合运动_求分运动，解题时应按实际“效果”分解，或正交分解.
三、平抛运动
1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动.
2.性质：加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
3.基本规律：以抛出点为原点，以水平方向(初速度v0方向)为x轴，以竖直向下方向为y轴，建立平面直角坐标系，则：
(1)水平方向：做匀速直线运动，速度vx= v0, 位移x=v0t
(2)竖直方向：做自由落体运动，速度vy=gt,位移y=
四、描述匀速圆周运动的物理量
概念：线速度、角速度、周期、转速、向心力、向心加速度，比较如表所示：
五、匀速圆周运动和非匀速圆周运动
1.匀速圆周运动
(1)定义：线速度大小不变的圆周运动.
(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动.
(3)质点做匀速圆周运动的条件合力大小不变，方向始终与速度方向垂直_且指向圆心.
2.非匀速圆周运动
(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动.
(2)合力的作用.
①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft=mat，它只改变速度的大小.
②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn=man，它只改变速度的方向.
六、离心运动和近心运动
1.离心运动
(1)定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动.
(2)本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向.
(3)受力特点.
①当F=mω2r时，物体做匀速圆周运动；
②当F=0时，物体沿切线方向飞出;
③当F
mω2r,物体将逐渐靠近圆心，做近心运动.
第三部分 技能+方法
一、曲线运动的性质、轨迹的判断
1.合力方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力方向指向曲线的“凹”侧.
2.速率变化情况判断
(1)当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变.
3.物体运动的形式，按速度分类有匀速运动和变速运动，按轨迹分类有直线运动和曲线运动．运动的形式取决于物体的初速度v0和合外力F，具体分类如下：
(1)F＝0：静止或匀速运动．
(2)F≠0：变速运动．
①F为恒量时：匀变速运动．
②F为变量时：非匀变速运动．
(3)F和v0的方向在同一直线上时：直线运动．
(4)F和v0的方向不在同一直线上时：曲线运动．
二、合运动的性质和轨迹
1.合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成).
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响.
(3)等效性：各分运动叠加起 与合运动有完全相同的效果.
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动.
2.两个直线运动的合运动性质的判断
根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动,具体分以下几种情况:
3.运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则.
【例1】如图，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图。已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，则下列说法中正确的是 （ ）
A．C点的速率小于B点的速率
B．A点的加速度比C点的加速度大
C．C点的速率大于B点的速率
D．从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大
【答案】 C
【例2】．一辆静止在水平地面上的汽车里有一个小球从高处自由下落，下落一半高度时汽车突然向右匀加速运动，站在车厢里的人观测到小球的运动轨迹是图中的 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】站在车厢里的人观察小球是以车厢为参考系，小球竖直方向一直自由落体运动，水平方向向左做匀加速运动；汽车启动的时刻，小球速度竖直向下，竖直方向做匀加速直线运动，水平方向向左做匀加速直线运动，故合加速度向左下方，与速度不共线，故物体一定做曲线运动，速度方向沿着曲线的切线方向；
故选C。
【例3】．一质点在xOy平面内运动的轨迹如图所示，已知质点在x方向的分运动是匀速运动，则关于质点在y方向的分运动的描述正确的是 （ ）
A. 匀速运动 B. 先匀速运动后加速运动
C. 先加速运动后减速运动 D. 先减速运动后加速运动
【答案】 D
【名师点睛】此题是关于运动的合成问题；注意此题是平面直角坐标系，与速度时间图象和位移时间图象不同，在xOy平面内任意一点的坐标值表示物体离开坐标轴的距离，如果纵坐标增加快，说明y方向运动快，如果横坐标增加快，说明x方向运动快，所以图象问题一定要看清坐标轴的物理意义。
三、对平抛运动的认识
1．飞行时间：由t＝ 知，时间取决于下落 高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程：x＝v0t＝v0，即水平射程与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关．
3．落地速度：vt＝＝，以θ表示落地速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，即落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关．
4.推论1：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，如图所示，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α.
推论2：做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示． . .
四、斜面上的平抛问题
方法
内容
实例
总结
斜面
求小球平抛时间
分解速度
水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝
解 如图，vy＝gt，tan θ＝＝，
故t＝
分解速度，构建速度三角形
分解位移
水平x＝v0t
竖直y＝gt2
合位移x合＝
解 如图，x＝v0t，y＝gt2，而tan θ＝，联立得t＝
分解位移，构建位移三角形
【例4】在教 楼的楼梯口,有如图所示的0、1、2、3k级台阶，每级台阶的长为30cm，高为15cm（g=10m/s2）．某同 从第0级台阶的边缘以v0=5m/s水平抛出一小球（不计一切阻力），则小球将落在第几级台阶上 （ ）
A．7级 B．8级 C．9级 D．10级
【答案】 C
相应的水平距离：，台阶数：知小球抛出后首先落到的台阶为第9级台阶．故C正确
【例5】如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上，若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为 （ ）
A.16 ︰9 B. 9︰16 C.3 ︰4 D.4︰3
【答案】 B
【解析】
对于A落到坡面上时即，对于B落到坡面上时即
，所以，B正确。
【例6】如图所示，离地面高2m处有甲、乙两个物体，甲以初速度v0水平射出，同时乙以初速度v0沿倾角为45°的光滑斜面滑下，已知重力加速度g＝10 m／s2，若甲、乙同时到达地面，则v0的大小是 （ ）
A. m／s B. 2m／s
C. m／s D. 4m／s
【答案】 A
考点：动能定理的应用、平抛运动
【名师点睛】解决本题的关键知道平抛运动的时间由高度决定，初速度和时间相同决定水平位移，抓住平抛运动的时间和匀加速运动的时间相同，结合牛顿第二定律和运动 公式灵活研究。
五、水平面内的匀速圆周运动
1.在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关系，表现为：
(1)同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v＝ωR与半径R成正比，向心加速度大小a＝Rω2与半径r成正比．
(2)当皮带不打滑时，用皮带连接的两轮边沿上的各点线速度大小相等，由ω＝可知，ω与R成反比，由a＝可知，a与R成反比．
2.用动力 方法解决圆周运动中的问题
(1)向心力的 .
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力.
(2)向心力的确定.
①确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置.
②分析物体的受力情况，找出所有的力,沿半径方向指向圆心的合力就是向心力.
(3)解决圆周运动问题的主要步骤.
①审清题意，确定研究对象；
②分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；
③分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的 ；
④根据牛顿运动定律及向心力公式列方程；
⑤求解、讨论.
六、竖直面内圆周运动问题分析
物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题，并有“最大”、“最小”、“刚好”等词语，常有两种模型——轻绳模型和轻杆模型，分析比较如下：
轻绳模型
轻杆模型
常见类型
过最高点的临界条件
由mg＝m
得v临＝
由小球能运动即可得v临＝0
讨论分析
(1)过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN
(2)不能过最高点v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道
(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心
(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背向圆心，随v的增大而减小
(3)当v＝时，FN＝0
(4)当v＞时，
FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
【例7】如右图所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动而没有相对滑动，图中c方向沿半径指向圆心，a与c垂直，下列说法正确的是 （ ）
A．当转盘匀速转动时，P受摩擦力方向为d方向
B．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为b方向
C．当转盘加速转动时，P受摩擦力方向可能为c方向
D．当转盘减速转动时，P受摩擦力方向可能为a方向
【答案】 B
【解析】转盘匀速转动时，摩擦力提供向心力，故P受到的摩擦方向为c方向，选项A错误；当转盘加速转动时，摩擦力有两个效果：一个是沿半径方向提供向心力，一个是沿速度方向使速度增大，故P受到的摩擦力可能为b方向，选项B正确；转盘减速转动时，摩擦力有两个效果：一个沿半径方向提供向心力，一个是沿速度反方向使速度减小，故P受摩擦力方向可能为d方向，选项D错误。 . .
【例8】如图所示，一箱土豆在转盘上随转盘以角速度ω做匀速圆周运动，其中一个处于中间位置的土豆质量为m，它到转轴的距离为R，则其他土豆对该土豆的作用力为 （ ）
A. mg B. mω2R
C. D.
【答案】 C
点睛：本题关键是将土豆合力分解为水平方向和竖直方向的分力，然后运用牛顿第二定律列式分析。
【例9】如图在光滑轨道oa的a端分别连接半径相同的光滑圆弧，其中图A是
圆弧轨道ab，b点切线水平；图B是圆弧轨道ac，c点切线竖直；图C是光滑圆管道，中心线的最高点d切线水平，管内径略比小球直径大：图D是小于的圆弧轨道，a点切线水平， o、b、d在同一水平线上，所有轨道都在同一竖直平面内，一个可以看成质点的小球分别从o点静止下滑，不计任何能量损失，下列说法正确的是 （ ）
A、图A、图B、图C中的小球都能达到O点的同一高度
B、图B、图C中的小球能到达O点的同一高度
C、图C中的小球到达和O点等高的d点时对外轨道的压力等于小球重力
D、图D中的小球到达最高点时速度为零
【答案】 B
第四部分 基础练+测
一、选择题
1．2013年4月28日凌晨，山东境内发生两列列车相撞事故，造成了大量人员伤亡和财产损失．引发事故的主要原因是其中一列列车转弯时超速行驶．如右图所示，是一种新型高速列车，当它转弯时，车厢会自动倾斜，提供转弯需要的向心力；假设这种新型列车以360 km/h的速度在水平面内转弯，弯道半径为1.5 km，则质量为 75 kg的乘客在列车转弯过程中所受到的合外力为 （ ）
A．500N B．1000 N
C．N D．0
【答案】 A
【解析】
因为360 km/h＝100 m/s，乘客在列车转弯过程中所受的合外力提供向心力
,A正确
2．现在很多高档汽车都应用无极变速，无极变速可以在变速范围内任意连续地变换速度，性能优于传统的档位变速器。如图所示是截锥式无极变速模型示意图，两个锥轮之间有一个滚动轮，主动轮、滚动轮、从动轮之间靠着彼此之间的摩擦力带动(不打滑)。当位于主动轮和从动轮之间的滚动轮从左向右移动时，从动轮转速减小，当滚动轮位于主动轮直径D1、从动轮直径D2的位置时，主动轮转速n1、从动轮转速n2的关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】 C
3．小船横渡一条河，在静水中船速度的大小和方向都不变．已知小船的运动轨迹如图所示，则河水的流速 （ ）
A．由A岸到B岸水速越 越小
B．由A岸到B岸水速越 越大
C．由A岸到B岸水速先增大后减小
D．水流速度恒定
【答案】 C
【解析】
据题意，以水速方向为建立x轴代表水在t时间内的位移x水，以垂直对岸方向为y轴代表船在t时间内的位移y船，从船的行驶轨迹可知tanθ=y船 /x水= v船t //v水t= v船 /v水的大小先减小后增加，由于船速大小不变，所以水洗大小先变大再减小，C选项正确。
4．如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速v0，若v0大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同。下列说法中不正确的是 （ ）
A．如果，则小球能够上升的最大高度等于R/2
B．如果，则小球能够上升的最大高度小于3R/2
C．如果，则小球能够上升的最大高度等于2R
D．如果，则小球能够上升的最大高度等于2R
【答案】 C
5．如图所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是 （ ）
A. 小球通过最高点时的最小速度是
B. 小球通过最高点时的最小速度为零
C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力
D. 小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力
【答案】 B
6．铁路在弯道处的内外轨道高低是不同的，已知内外轨道水平面倾角为θ(图)，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度小于，则 （ ）
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压；
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压；
C．这时铁轨对火车的支持力等于mg/cosθ；
D．这时铁轨对火车的支持力大于mg/cosθ.
【答案】 A
【解析】
对火车受力分析：重力ｍg和轨道的支持力N，当火车恰好对轨道无压力时，由牛顿第二定律可得：
，联立解得：．当火车的速度时，火车对内轨产生压力，故选项A正确B错误；又因为火车在竖直方向上静止且同时拐弯需要向心力，故支持力大于重力，即选项CD错误．
考点：本题考查圆周运动在实际生活中的应用，通过向心力的分析应用考查 生对知识的掌握情况．
7．如图所示，水平抛出的物体抵达斜面上端P处时，其速度方向恰好沿着斜面向下，然后沿斜面无摩擦滑下，在下图所示的图象中正确描述物体重力的功率随时间t变化的图象是 （ ）
【答案】 C
考点：平抛运动；功率问题．
点评：本题主要考查了平抛运动及匀加速直线运动的特点，注意匀加速直线运动也可以把加速度进行分解，难度适中． . .
8．（多选）如图所示，在水平地面上固定一倾角为θ的光滑斜面，在斜面底端的正上方高度为h处平抛一小球A，同时在斜面底端一物块B以某一初速度沿斜面上滑，当其滑到最高点时恰好与小球A相遇。小球A和物块B均视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g，下列判断正确的是 （ ）
A. 物块B沿斜面上滑的初速度为
B. 小球A下落的高度为
C. 小球A在空中运动的时间为
D. 小球A水平抛出时的速度为
【答案】 AB
9．（多选）甲、乙两船在同一条河流中同时开始渡河,河宽为H,河水流速为v0,划船速度均为v,出发时两船相距H,甲、乙两船船头均与河岸成60°角,如图所示。已知乙船恰好能垂直到达对岸A点。则下列判断正确的是 （ ）
A. 甲、乙两船到达对岸的时间不同
B. v=2v0
C. 两船可能在未到达对岸前相遇
D. 甲船也在A点靠岸
【答案】 ABD
【解析】将两船的运动分解为垂直于河岸方向和沿河岸方向，在垂直于河岸方向上，两船的分速度相等，河宽一定，所以两船渡河的时间相等．故A正确．乙船的合速度垂直于河岸，有vcos60°=v0，所以v=2v0．故B正确．两船渡河的时间 ，则甲船在沿河岸方向上的位移
．知甲船恰好能到达河对岸的A点．故C错误，D也错误．故选：ABD. . .
10．（多选）如图所示,在距水平地面高为0．4 m处,水平固定一根长直光滑杆,在杆上P点固定一定滑轮,滑轮可绕水平轴无摩擦转动,在P点的右边,杆上套有一质量m="2" kg的小球A。半径R=0．3 m的光滑半圆形细轨道,竖直地固定在地面上,其圆心O在P点的正下方,在轨道上套有一质量也为m="2" kg的小球B。用一条不可伸长的柔软细绳,通过定滑轮将两小球连接起 。杆和半圆形轨道在同一竖直面内,两小球均可看做质点,不计滑轮大小的影响, 且细绳刚好没有张力，g取10 m/s2。现给小球A一个水平向右的恒力F="55" N。以下说法正确的是 （ ）
A. 把小球B从地面拉到P点正下方C点过程中,力F做的功WF=16．5J
B. 当细绳与圆形轨道相切时，小球B与小球A速度大小相等
C. 把小球B从地面拉到P点正下方C点时,小球A速度的大小v=3 m/s
D. 把小球B从地面拉到P点正下方C点时,小球B速度的大小v=4m/s
【答案】 BD
，故B正确；由于B球到达C处时，已无沿绳的分速度，所以此时滑块A的速度为零，根据两球及绳子组成的系统的能量变化过程，由功能关系得：W=mv2+mgR，代入已知量得：22=×2×v2+2×10×0．3，解得小球B速度的大小 v=4m/s，故C错误，D正确；故选BD。
二、非选择题
11．如图所示，遥控赛车比赛中的一个规定项目是“飞跃壕沟”，比赛要求是：赛车从起点出发，沿水平直轨道运动，在B点飞出后越过“壕沟”，落在平台EF段．已知赛车的额定功率P=12.0W，赛车的质量m=1.0kg，在水平直轨道上受到的阻力f=2.0N，AB段长L=10.0m，B、E两点的高度差h=1.25m，BE的水平距离x=1.5m．赛车车长不计，空气阻力不计.g取10m/s2．
（1）若赛车在水平直轨道上能达到最大速度，求最大速度vm的大小；
（2）要使赛车越过壕沟，求赛车在B点速度至少多大；
（3）若比赛中赛车以额定功率运动，经过A点时速度vA=1m/s，求赛车在A点时加速度大小．
【答案】 （1）6m/s（2）3m/s（3）10m/s2
12．如图所示，AB是固定在竖直平面内倾角=370的粗糙斜面，轨道最低点B与水平粗糙轨道BC平滑连接，BC的长度为SBC= 5.6m．一质量为M =1kg的物块Q静止放置在桌面的水平轨道的末端C点，另一质量为m=2kg的物块P从斜面上A点无初速释放，沿轨道下滑后进入水平轨道并与Q发生碰撞。已知物块P与斜面和水平轨道间的动摩擦因数均为μ=0.25，SAB = 8m， P、Q均可视为质点，桌面高h = 5m，重力加速度g=10m/s2。
（1）画出物块P在斜面AB上运动的v-t图。
（2）计算碰撞后，物块P落地时距C点水平位移x的范围。
（3）计算物块P落地之前，全过程系统损失的机械能的最大值。
【答案】 (1)如图所示(2) (3)
（2）BC段滑行，则= （1分）
解得m/s （1分）
PQ碰撞，则有动量守恒： （1分）
能量关系有： （1分）
位置关系有： （1分）
联立解得：2m/s4m/s （1分）
平抛运动有：， （2分）
解得： （1分）
