人教版高中物理一轮复习课件:5机械能守恒定律及其应用
第3讲 机械能守恒定律及其应用
1.重力做功的特点
(1)重力做功与______无关,只与始末位置的________有关.
(2)重力做功不引起物体________的变化.
考点1 重力做功与重力势能
路径 高度差
机械能
2.重力势能与弹性势能
内容 重力势能 弹性势能
概念 物体由于______而具有的能
物体由于发生_________而
具有的能
大小 Ep=____ 与形变量及劲度系数有关
矢标性 标量 标量
相对性 大小与所选取的参考平面有关
一般选弹簧形变为零的状态为弹
性势能零点
被举高
弹性形变
mgh
1.重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系:重力对物体做正功,重力势能就减小;重力对物
体做负功,重力势能就增大.
(2)定量关系:重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量,
即WG=-(Ep2-Ep1)=Ep1-Ep2.
(3)重力势能的变化是绝对的,与参考面的选取无关.
2.弹力做功与弹性势能变化的关系
(1)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能
变化的关系,用公式表示:W=-ΔEp.
(2)对于弹性势能,一般物体的弹性形变量越大,弹性势能越大.
将质量为100 kg的物体从地面提升到10 m高处,在这个过程中,
下列说法中正确的是(取g=10 m/s2)( )
A.重力做正功,重力势能增加1.0×104 J
B.重力做正功,重力势能减少1.0×104 J
C.重力做负功,重力势能增加1.0×104 J
D.重力做负功,重力势能减少1.0×104 J
【解析】选C.由于重力的方向和物体上升的位移方向相反,故重
力做负功,物体的重力势能增加.由W=-mgΔh=-1.0×104 J得,
重力势能增加1.0×104 J,故C正确.
1.内容
在只有重力或弹力做功的情况下,物体的______与______相互
转化,但机械能总量保持______.
考点2 机械能守恒定律
动能 势能
不变
2.机械能守恒定律表达式
观点 表 达 式
守恒观点 Ek1+Ep1=________
转化观点 ΔEk=________
转移观点 ΔEA=________
Ek2+Ep2
-ΔEp
-ΔEB
1.对机械能守恒条件的三点说明
只有重力及系统内的弹力做功,可以从以下三方面理解:
(1)只受重力作用,例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体
运动,物体的机械能守恒.
(2)受其他力,但其他力不做功,只有重力或系统内的弹力做功.
(3)弹力做功伴随着弹性势能的变化,并且弹力做的功等于弹性
势能的减少量.
2.对机械能守恒定律三种表达式的理解
(1)守恒观点.
①意义:系统初状态的机械能等于末状态的机械能.
②注意问题:要先选取零势能参考平面,并且在整个过程中必
须选取同一个零势能参考平面.
(2)转化观点.
①意义:系统(或物体)的机械能守恒时,系统增加(或减少)的
动能等于系统减少(或增加)的重力势能.
②注意问题:要明确重力势能的增加量或减少量,即重力势能
的变化,可以不选取零势能参考平面.
(3)转移观点.
①意义:若系统由A、B两部分组成,当系统的机械能守恒时,
则A部分物体机械能的增加量等于B部分物体机械能的减少量.
②注意问题:A部分机械能的增加量等于A末状态的机械能减初
状态的机械能,而B部分机械能的减少量等于B初状态的机械能
减末状态的机械能.
质量为m的小球从高H处由静止开始自由下落,以地面作为零势
能面.当小球的动能和重力势能相等时,重力的瞬时功率为( )
A. B.
C. D.
【解析】选B.设当小球动能和重力势能相等时,小球下落的高
度为h,由机械能守恒定律得mgH= +mg(H-h), =mg(H-h),
解得:h= 故此时重力的功率为P=mg·v=mg
B正确.
2mg gH mg gH
1 mg gH2
1 mg gH3
21 mv2
21 mv2H ,v gH,2
gH,
机械能守恒的判断
【例证1】(多选)如图所示,质量均为m的A、B两个小球,用长
为2L的轻质杆相连接,在竖直平面内绕固定轴O沿顺时针方向自
由转动(转轴在杆的中点),不计一切摩擦,某时刻A、B球恰好
在如图所示的位置,A、B球的线速度大小均为v,下列说法正确
的是( )
A.运动过程中B球机械能守恒
B.运动过程中B球速度大小不变
C.B球在运动到最高点之前,单位时间内机械能的变化量保持不
变
D.B球在运动到最高点之前,单位时间内机械能的变化量不断变
化
【解题指南】解答本题时应注意以下两点:
(1)A、B两球的速度大小始终相等.
(2)B球单位时间内高度变化的关系.
【自主解答】选B、D.以A、B球组成的系统为研究对象,两球在
运动过程中,只有重力做功(轻杆对两球做功的和为零),两球
的机械能守恒,以过O点的水平面为重力势能的参考平面时,系
统的总机械能为 假设A球下降h,则B球上升h,
此时两球的速度大小是v′,由机械能守恒定律知
mv2= mv′2×2+mgh-mgh,得到v′=v,故运动过程中B球速度大
小不变.当单独分析B球时,B球在运动到最高点之前,动能保持
不变,重力势能在不断增加.由几何知识可得单位时间内B球上
升的高度不同,因此机械能的变化量是不断改变的.B、D正确.
2 21E 2 mv mv .2
1
2
【总结提升】机械能是否守恒的四种判断方法
(1)利用机械能的定义判断(直接判断):机械能包括动能、重力
势能和弹性势能,判断机械能是否守恒可以看物体或系统机械
能的总和是否变化.
(2)用做功判断:若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,
虽受其他力,但其他力不做功,机械能守恒.
(3)用能量转化来判断:若物体系统中只有动能和势能的相互转
化而无机械能与其他形式的能的转化,则物体系统机械能守恒.
(4)对多个物体组成的系统,除考虑是否只有重力做功外,还要
考虑系统内力做功,如有滑动摩擦力做功时,因有摩擦热产生,
系统机械能将有损失.
【变式训练】(多选)(2012·宿迁模拟)如图所示,
两物体质量分别为m和M(m
0,即F>Ff,故F做
正功多于克服摩擦力做功,故机械能增加.A项正确.
单个物体机械能守恒定律的应用
【例证2】(15分)如图所示,斜面轨道AB与
水平面之间的夹角θ=53°,BD为半径R=4 m
的圆弧形轨道,且B点与D点在同一水平面上,
在B点,斜面轨道AB与圆弧形轨道BD相切,
整个轨道处于竖直平面内且处处光滑,在A点处有一质量m=1 kg的
小球由静止滑下,经过B、C两点后从D点斜抛出去,最后落在地面
上的S点时的速度大小vS=8 m/s,已知A点距地面的高度H=10 m,B
点距地面的高度h=5 m,设以MDN为分界线,其左边为一阻力场区
域,右边为真空区域,g取10 m/s2,cos53°=0.6,求:
(1)小球经过B点时的速度为多大?
(2)小球经过圆弧轨道最低处C点时对轨道的压力为多大?
(3)小球从D点抛出后,受到的阻力Ff与其瞬时速度方向始终相
反,求小球从D点到S点的过程中阻力Ff所做的功.
【解题指南】解答本题时应注意以下三个方面:
(1)轨道ABCD光滑,只有重力对小球做功.
(2)MN左侧为阻力场区域,有阻力对小球做负功.
(3)B、D等高,两处小球速度大小相等.
【规范解答】(1)设小球经过B点时的速度大小为vB,由机械能守
恒得:mg(H-h)= (3分)
解得vB=10 m/s. (1分)
(2)设小球经过C点时的速度为vC,对轨道的压力为FN,则轨道对
小球的支持力FN′=FN,根据牛顿第二定律可得
FN′-mg= (2分)
由机械能守恒得:mgR(1-cos53°)+ (3分)
由以上两式及FN′=FN解得FN=43 N. (2分)
2
B
1 mv2
2
Cvm R
2 2
B C
1 1mv mv2 2
(3)设小球受到的阻力为Ff,到达S点的速度为vS,在此过程中阻
力所做的功为W,由机械能守恒知vD=vB,由动能定理可得
mgh+W= (3分)
解得W=-68 J.(1分)
答案:(1)10 m/s (2)43 N (3)-68 J
2 2
S D
1 1mv mv .2 2
【总结提升】机械能守恒问题的规范解答
1.一般步骤
单个物体
(1)选取研究对象 多个物体组成的系统
含弹簧的系统
(2)分析受力情况和各力做功情况,确定是否符合机械能守恒条
件.
(3)确定初末状态的机械能或运动过程中物体机械能的转化情况.
(4)选择合适的表达式列出方程,进行求解.
(5)对计算结果进行必要的讨论和说明.
2.应注意的问题
(1)列方程时,选取的表达角度不同,表达式不同,对参考平面
的选取要求也不同.
(2)应用机械能守恒能解决的问题,应用动能定理同样能解决,
但其解题思路和表达式有所不同.
【变式训练】如图甲所示,一半径R=1 m、圆心角等于143°的
竖直圆弧形光滑轨道,与斜面相切于B处,圆弧轨道的最高点为
M,斜面倾角θ=37°,t=0时刻有一物块沿斜面上滑,其在斜面
上运动的速度变化规律如图乙所示.若物块恰能达到M点,(取
g=10 m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8),求:
(1)物块经过B点时的速度vB;
(2)物块与斜面间的动摩擦因数μ;
(3)AB间的距离xAB.
【解析】(1)由题意物块恰能到达M点,则在M点有
由机械能守恒定律有
mgR(1+cos37°)=
代入数据可求得:
vB= m/s.
2
Mvmg m R
2 2
B M
1 1mv mv2 2
46
(2)由v-t图可知物块运动的加速度a=10 m/s2
由牛顿第二定律有
mgsin37°+μmgcos37°=ma
所以物块与斜面间的动摩擦因数
μ= =0.5
(3)由运动学公式2axAB=
又vA=8 m/s,得xAB=0.9 m.
答案:(1) m/s (2)0.5 (3)0.9 m
a gsin37
gcos37
2 2
A Bv v .
46
多个物体组成的系统机械能守恒定律的应用
【例证3】有一个固定的光滑直杆,该直杆与水平面的夹角为
53°,杆上套着一个质量为m=2 kg的滑块(可视为质点).
(1)如图甲所示,滑块从O点由静止释放,下滑了位移x=1 m后到
达P点,求滑块此时的速率.
(2)如果用不可伸长的细绳将滑块m与另一个质量为M=2.7 kg的
物块通过光滑的定滑轮相连接,细绳因悬挂M而绷紧,此时滑轮
左侧绳恰好水平,其长度L= m(如图乙所示).再次将滑块从O
点由静止释放,求滑块滑至P点的速度大小.(整个运动过程中M
不会触地,sin53°=0.8,cos53°=0.6,g取10 m/s2)
5
3
【解题指南】解答本题时应注意以下两点:
(1)滑块m与物块M的速度大小关系;
(2)滑块m与物块M的位移大小关系.
【自主解答】(1)设滑块下滑至P点时的速度为v1,
由机械能守恒定律得mgxsin53°=
解得v1=4 m/s
2
1
1 mv2
(2)设滑块再次滑到P点时速度为v2,M的速度
为vM,如图,将v2进行分解得:vM=v2cosθ
绳与直杆的夹角为θ,由几何关系得θ=90°
vM=0
再由系统机械能守恒定律得:
MgL(1-sin53°)+mgxsin53°= +0
解得v2=5 m/s
答案:(1)4 m/s (2)5 m/s
2
2
1 mv2
【互动探究】本题中若直杆和细绳足够长,试求滑块沿杆下滑
的最大距离xm.
【解析】M上升的最大高度为HM,则
HM=
由系统机械能守恒得:mgxmsin53°-MgHM=0
可求得:xm=6.127 m
答案:6.127 m
2 2
mx x Lsin53 L
【总结提升】多物体机械能守恒问题的分析方法
(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中,系统的
机械能是否守恒.
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.
(3)列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp的形式.
【例证】如图所示,质量为m1的物体A经一轻质
弹簧与下方地面上的质量为m2的物体B相连,弹
簧的劲度系数为k,A、B都处于静止状态.一条
不可伸长的轻绳绕过定滑轮,一端连物体A,
另一端连一轻挂钩.开始时各段绳都处于伸直
状态,A上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上
考查内容 与弹簧有关的机械能守恒问题
挂一质量为m3的物体C并从静止状态释放,已知它恰好能使B离
开地面但不继续上升.若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D,
仍从上述初位置由静止状态释放,则这次B刚离地时D的速度的
大小是多少?已知重力加速度为g.
【规范解答】开始时,A、B静止,设弹簧压缩量为x1,
有kx1=m1g ①
挂C并释放后,C向下运动,A向上运动,设B刚要离开地面时弹
簧伸长量为x2,则kx2=m2g ②
B不再上升,表示此时A和C的速度为零,C已降到最低点.由机械
能守恒,与初始状态相比,弹簧弹性势能的增加量为
ΔE=m3g(x1+x2)-m1g(x1+x2) ③
C换成D后,当B刚离地时的弹性势能的增量与前一次相同,由能
量关系得
④
由③④式得 ⑤
由①②⑤式得
答案:
2 2
3 1 1 3 1 1 2 1 1 2
1 1m m v m v m m g x x m g x x E2 2
2
1 3 1 1 2
1 2m m v m g(x x )2
2
1 1 2
1 3
2m m m gv 2m m k
2
1 1 2
1 3
2m m m g
2m m k
1.(2012·包头模拟)如图所示,下列四个选项的图中,木块均
在固定的斜面上运动,其中图A、B、C中的斜面是光滑的,图D
中的斜面是粗糙的,图A、B中的F为木块所受的外力,方向如图
中箭头所示,图A、B、D中的木块向下运动,图C中的木块向上
运动.在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
【解析】选C.图A、B中木块均受到力F作用,即除重力对木块做
功以外,还有力F做功,故木块的机械能不守恒,图D中木块下
滑时有摩擦力做功,其机械能不守恒,图C中斜面光滑,只有重
力对木块做功,木块机械能守恒,故只有C正确.
2.(多选)(2012·苏州模拟)如图所示,
在倾角θ=30°的光滑固定斜面上,放
有两个质量分别为1 kg和2 kg的可视
为质点的小球A和B,两球之间用一根长L=0.2 m的轻杆相连,小
球B距水平面的高度h=0.1 m.两球从静止开始下滑到光滑地面上,
不计球与地面碰撞时的机械能损失,g取10 m/s2.则下列说法中
正确的是( )
A.下滑的整个过程中A球机械能守恒
B.下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒
C.两球在光滑水平面上运动时的速度大小为2 m/s
D.系统下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 2 J3
【解析】选B、D.A、B组成的系统相互作用,在下滑的过程中,
只有动能与势能的相互转化,没有其他形式的能参与转化,故A
球的机械能不守恒,A、B组成的系统机械能守恒,A错,B对.当
两球滑到水平面上时速度相等设为v,由系统机械能守恒得
mAg(Lsin30°+h)+mBgh= 故v= m/s,C错.对B
球:ΔE机增= J,D对.
2
A B
1 m m v2
, 8
3
2
B B
1 2m v m gh2 3
3.如图所示,在高1.5 m的光滑平台上有一个质量为2 kg的小球
被一细线拴在墙上,球与墙之间有一根被压缩的轻质弹簧.当烧
断细线时,小球被弹出,小球落地时的速度方向与水平方向成
60°角,则弹簧被压缩时具有的弹性势能为(g=10 m/s2)( )
A.10 J B.15 J C.20 J D.25 J
【解析】选A.由h= 和vy=gt得:
m/s,落地时,tan60°= 可得:
m/s,由机械能守恒得: 可求得:
Ep=10 J,故A正确.
21 gt2
yv 30 y
0
v
v
y
0
vv 10tan60
2
p 0
1E mv ,2
4.(2012·衡水模拟)一根质量为m、长为L的均匀链条一半放在
光滑的水平桌面上,另一半挂在桌边,桌面足够高,如图甲所
示.若在链条两端各挂一质量为 的小球,如图乙所示.若在链
条两端和中央各挂一个质量为 的小球,如图丙所示.由静止释
放,当链条刚离开桌面时,图甲中链条的速度为v甲,图乙中链条的
速度为v乙,图丙中链条的速度为v丙(设链条滑动过程中始终不离
开桌面).下列判断中正确的是( )
m
2
m
2
A.v甲=v乙=v丙 B.v甲v乙>v丙 D.v甲>v丙>v乙
【解析】选D.选链条下端点为零势面,图甲中,由于链条下滑过
程中机械能守恒,故 得
乙图中由机械能守恒,
得
丙图中由机械能守恒,
丙得 所以v甲>v丙>v乙.D对.
21 L 1 L 1mg mg mv .2 2 2 4 2
甲
3v gL.4
甲
21 L 1 L 1 L 1mg mg mg 2mv2 2 2 4 2 2 2
乙
5v gL.8
乙
21 L 1 L 1 L 1 L 1 5mg mg mg mg mv2 2 2 4 2 2 2 2 2 2
丙
7v gL.10
丙
5.如图所示,让摆球从图中A位置由静止开始下摆,正好到最低
点B位置时线被拉断.设摆线长为L=1.6 m,B点与地面的竖直高度
为6.6 m,不计空气阻力,求摆球着地时的速度大小.(g取
10 m/s2)
【解析】摆球从A摆到B的过程中,只有重力对其做功,机械能
守恒.
设摆球摆到B点时的速度为v,取B点所在水平面为参考平面,由
机械能守恒定律得
mgL(1-cos60°)=
解方程得摆球在B点的速度
m/s=4 m/s
21 mv2
v gL 10 1.6
摆球在B点断线后,以v=4 m/s的速度做平抛运动,摆球在空中
运动的过程中只有重力做功,机械能仍守恒,由机械能守恒定
律得: 则摆球着地时速度的大小为:
m/s=12.2 m/s.
答案:12.2 m/s
2 21 1mgh mv mv ,2 2
2 2v v 2gh 4 2 10 6.6