2019-2020学年高中物理人教版必修2测试：5-7 生活中的圆周运动
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7 生活中的圆周运动
记一记
生活中的圆周运动知识体系
4个实例——铁路的弯道、拱形桥、航天器中的失重现象、离心运动
辨一辨
1.铁路的弯道处，内轨高于外轨．(×)
2．汽车行驶至凸形桥顶部时，对桥面的压力等于车重．(×)
3．汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车重．(√)
4．绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员处于完全失重状态，故不再具有重力．(×)
5．航天器中处于完全失重状态的物体所受合力为零．(×)
6．做离心运动的物体可以沿半径方向运动．(×)
想一想
1.铁路拐弯处，为什么外轨要高于内轨？
提示：列车转弯处做圆周运动，由于列车质量较大，因而需要很大的向心力作用．若内、外轨同高，则向心力需外轨的压力充当向心力，这样外轨会受到很大的水平向外的压力而容易产生脱轨事故．当外轨高于内轨一定的角度，列车以特定的速度转弯时，可由垂直于轨道平面的支持力及列车重力的合力充当向心力，而不挤压内轨和外轨，以保证行车安全．
2．物体做离心运动时是否存在离心力作用？
提示：
当向心力消失或合外力不足以提供物体做圆周运动的向心力时，物体便做离心运动，其实质是物体惯性的一种表现，根本不存在离心力．
3．为什么桥梁多设计成凸形拱桥而不设计成凹形桥？
提示：由向心力合成，对凸形拱桥有：mg－FN＝m，所以FN＝mg－m
mg.可知凸形拱桥所受压力小而不易损坏．
思考感悟：
练一练
1.
[2019·福建省普通高中考试]如图所示，质量为m的汽车保持恒定的速率运动．若通过凸形路面最高处时，路面对汽车的支持力为F1，通过凹形路面最低处时，路面对汽车的支持力为F2，重力加速度为g，则( )
A．F1>mg B．F1＝mg
C．F2>mg D．F2＝mg
答案：C
2．[2019·广东省普通高中考试]如图所示，用一根细绳拴住一小球在直平面内圆周运动，不计空气阻力，则( )
A．小球过最高点的速度可以等于零
B．小球在最低点的速度最大
C．小球运动过程中加速度不变
D．小球运动过程中机械能不守恒
答案：B
3．[2019·贵州省普通高中考试]在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，其原因是( )
A．赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘
B．赛车行驶到弯道时，没有及时加速
C．赛车行驶到弯道时，没有及时减速
D．在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小
答案：C
4.
[2019·人大附中高一月考](多选)如图所示，质量为m的小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g，下列说法正确的是( )
A．若小球刚好能做圆周运动，则它通过最高点时的速度为
B．若小球刚好能做圆周运动，则它通过最高点时的速度为零
C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定无作用力
D．小球在水平线ab以下的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
答案：BD
要点一 铁路的弯道
1.[2019·忻州高一检测](多选)火车转弯可近似看成是做匀速圆周运动．当火车以规定速度行驶时，内外轨道均不受侧向挤压．现要降低火车转弯时的规定速度，须对铁路进行改造，从理论上讲以下措施可行的是( )
A．减小内外轨的高度差
B．增加内外轨的高度差
C．减小弯道半径
D．增大弯道半径
解析：当火车以规定速度通过弯道时，火车的重力和支持力的合力提供向心力，如图所示：即Fnmgtan θ，而Fn＝m，故v＝.若使火车经弯道时的速度v减小，则可以减小倾角θ，即减小内外轨的高度差，或者减小弯道半径R，故A、C两项正确，B、D两项错误．
答案：AC
2.
铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m的火车转弯时速度等于，则( )
A．内轨对内侧车轮轮缘有挤压
B．外轨对外侧车轮轮缘有挤压
C．这时铁轨对火车的支持力等于
D．这时铁轨对火车的支持力大于
解析：由牛顿第二定律F合＝m，解得F合＝mgtan θ，此时火车受到的重力和铁路轨道的支持力的合力提供向心力，如图所示，FNcos θ＝mg，则FN＝，故C项正确，A、B、D三项错误．
答案：C
要点二 竖直面内的圆周运动
3.
(多选)如图所示，通过做实验来研究汽车通过桥的最高点时对桥的压力．在较大的平整木板上相隔一定的距离钉4个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉内，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具车就可以在桥面上跑起来了．把这套装置放在电子秤上，关于玩具车在拱桥顶端时电子秤的示数，下列说法正确的是( )
A．玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B．玩具车运动通过拱桥顶端时的示数小一些
C．玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小
解析：电子秤的示数大小为装置所受的重力加上玩具车对装置的压力，玩具车的速度越大，对装置的压力越小，所以电子秤的示数越小．B、D两项正确．
答案：BD
4．长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)：
(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；
(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.
解析：假设小球在最高点的受力如图所示．
(1)杆的转速为2.0 r/s时，
ω＝2πn＝4π rad/s
由牛顿第二定律得：F＋mg＝mLω2
故小球所受杆的作用力
F＝mLω2－mg
＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N
即杆对小球提供了138 N的拉力
由牛顿第三定律知，小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上．
(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2 πn′＝π rad/s
同理可得小球所受杆的作用力
F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10) N≈－10 N.
力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下．
答案：见解析
5．如图所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面承受的压力不超过3.0×105 N，则：
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)
解析：汽车驶至凹形桥面的底部时，合力向上，此时车对桥面压力最大；汽车驶至凸形桥面的顶部时，合力向下，此时车对桥面的压力最小．
(1)汽车在凹形桥面的底部时，由牛顿第三定律可知，桥面对汽车的最大支持力FN1＝3.0×105 N，根据牛顿第二定律得
FN1－mg＝m
即v＝＝ m/s＝10 m/s<＝10 m/s，故汽车在凸形桥最高点上不会脱离桥面，所以最大速率为10 m/s.
(2)汽车在凸形桥面的顶部时，由牛顿第二定律得mg－FN2＝，
则FN2＝m＝2.0×104× N
＝1.0×105 N
由牛顿第三定律得，在凸形桥面顶部汽车对桥面的压力为1.0×105 N.
答案：(1)10 m/s (2)1.0×105 N
要点三 离心运动
6.
如图所示，小球从“离心轨道”上滑下，若小球经过A点时开始脱离圆环，则小球将做( )
A．自由落体运动
B．平抛运动
C．斜上抛运动
D．竖直上抛运动
解析：小球在脱离轨道时的速度是沿着轨道的切线方向的，即斜向上．当脱离轨道后小球只受重力，所以小球将做斜上抛运动．
答案：C
7.
如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是( )
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
解析：若F突然消失，小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A项正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D项错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误．
答案：A
8.
如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度．
(2)当角速度为 时，绳子对物体拉力的大小．
解析：(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零时转速达到最大，设此时转盘转动的角速度为ω0，
则μmg＝mωr，得ω0＝.
(2)当ω＝时，ω>ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F＋μmg＝mω2r，
即F＋μmg＝m··r，
得F＝μmg.
答案：(1) (2)μmg
基础达标
1.[2019·黑龙江哈尔滨六中期中考试](多选)火车轨道在转弯处外轨高于内轨，其高度差由转弯半径与火车速度确定，若在某转弯处规定行驶速度为v，则下列说法正确的是( )
A．当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力提供向心力
B．当以v的速度通过此弯路时，火车重力、轨道面支持力和外轨对轮缘弹力的合力提供向心力
C．当速度大于v时，轮缘挤压外轨
D．当速度小于v时，轮缘挤压外轨
解析：当以v的速度通过此弯路时，火车重力与轨道面支持力的合力应正好等于向心力，当速度大于v时，火车重力与轨道面支持力的合力小于转弯所需向心力，此时轮缘挤压外轨，外轨对轮缘产生弹力，当速度小于v时，火车重力与轨道面支持力的合力大于转弯所需向心力，此时轮缘挤压内轨，故AC两项正确，BD项错误．
答案：AC
2.
在冬奥会短道速滑项目中，运动员绕周长仅111米的短道竞赛．比赛过程中运动员在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧滑而摔离正常比赛路线．如图所示，圆弧虚线Ob代表弯道，即正常运动路线，Oa为运动员在O点时的速度方向(研究时可将运动员看做质点)．下列论述正确的是( )
A．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
B．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力
C．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa左侧
D．若在O点发生侧滑，则滑动的方向在Oa右侧与Ob之间
解析：发生侧滑是因为运动员的速度过大，所需要的向心力过大，而运动员受到的合力小于所需要的向心力，受到的合力方向指向圆弧内侧，故AB项错误；运动员在水平方向不受任何外力时沿Oa方向做离心运动，实际上运动员受到的合力方向指向圆弧Ob内侧，所以运动员滑动的方向在Oa右侧与Ob
之间，故C项错误，D项正确．
答案：D
3.
[2019·山西高平一中期中考试](多选)如图所示，用长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是 ( )
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
D．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
解析：在最高点，若向心力完全由重力提供，即球和细绳之间没有相互作用力，此时有mg＝m，解得v0＝，此时小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，若v>，则小球对细绳有拉力，若v<，则小球不能在竖直平面内做圆周运动，所以在最高点，充当向心力的不一定是重力，在最低点，细绳的拉力和重力的合力充当向心力，故有T－mg＝m，即T＝m＋mg，则小球过最低点时细绳的拉力一定大于小球重力，故CD正确，AB错误．
答案：CD
4.
[2019·湖北武汉华中师大一附中期中考试]如图所示，光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最高点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，下列说法正确的是(重力加速度为g)( )
A．小球b在最高点一定对外轨道有向上的压力
B．小球b在最高点一定对内轨道有向下的压力
C．速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动
D．小球a在最低点一定对外轨道有向下的压力
解析：当小球在最高点对轨道无压力时，重力提供向心力，mg＝m，v＝，小球在最高点速度小于时，内轨道可以对小球产生向上的支持力，大于时，外轨道可以对小球产生向下的压力，故小球在最高点速度只要大于零就可以在管内做圆周运动，ABC三项错误．在最低点外轨道对小球有向上的支持力，支持力和重力的合力指向圆心，提供小球做圆周运动的向心力，选项D项正确．
答案：D
5.
如图所示，洗衣机的脱水桶采用带动衣物旋转的方式脱水，下列说法错误的是( )
A．脱水过程中，衣物是紧贴桶壁的
B．水会从桶中甩出是因为水滴受到的向心力很大的缘故
C．增大脱水桶转动角速度，脱水效果会更好
D．靠近中心的衣物脱水效果不如四周的衣物脱水效果好
解析：脱水过程中，衣物做离心运动而被甩向桶壁，故A项正确．水滴的附着力是一定的，当水滴因做圆周运动所需的向心力大于该附着力时，水滴被甩掉，故B项错误．F＝mω2R，ω增大，所需向心力F增大，会有更多水滴被甩出去，故C正确．中心的衣服，R比较小，角速度ω一样，所需向心力小，脱水效果较差，故D项正确．
答案：B
6.
如图所示的陀螺，是我们很多人小时候喜欢玩的玩具．从上往下看(俯视)，若陀螺立在某一点顺时针匀速转动，此时滴一滴墨水到陀螺，则被甩出的墨水径迹可能是下列的( )
解析：做曲线运动的墨水，所受陀螺的束缚力消失后，水平面内(俯视)应沿轨迹的切线飞出，AB两项错误，又因陀螺顺时针匀速转动，故C错误，D正确．
答案：D
7.
物体m用线通过光滑的水平板间的小孔与钩码M相连，并且正在做匀速圆周运动，如图所示，如果减小M的重量，则物体m的轨道半径r，角速度ω，线速度v的大小变化情况是( )
A．r不变，v变小 B．r增大，ω减小
C．r减小，v不变 D．r减小，ω不变
解析：物体做匀速圆周运动，线的拉力提供向心力，稳定时线的拉力等于M的重力，如果减小M的重量，拉力不足以提供物体做圆周运动的向心力，物体会出现离心现象，导致半径r变大，速度v减小，角速度减小，所以B项正确，ACD三项错误．
答案：B
8．[2019·江苏扬州中学期中考试]有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是( )
A．如图a，汽车通过拱桥的最高点时处于超重状态
B．如图b所示是一圆锥摆，增大θ，但保持圆锥的高不变，则圆锥摆的角速度不变
C．如图c，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置分别做匀速圆周运动，则在A、B
两位置小球的角速度及所受筒壁的支持力大小相等
D．火车转弯超过规定速度行驶时，内轨对内轮缘会有挤压作用
解析：汽车通过拱桥的最高点时加速度向下，故处于失重状态，选项A错误；圆锥摆的向心力为mgtan θ，高度h不变，其轨道半径为htan θ，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mω2htan θ，易得ω＝，角速度与角度θ无关，B项正确；题图c中，同一小球在光滑而固定的圆锥筒内的A、B位置分别做匀速圆周运动，则小球的向心力F＝＝mω2r，则在A、B两位置小球的向心力相同，但A位置的转动半径较大，故角速度较小，小球所受筒壁的支持力大小为FN＝，故支持力相等，C错误；火车转弯超过规定速度行驶时，外轨对外轮缘会有挤压作用，选项D错误．
答案：B
9.
[2019·山东枣庄三中期中考试]摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图所示．当列车转弯时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜，抵消离心力的作用，行走在直线上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒翁”一样．假设有一超高速摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h的速度拐弯，拐弯半径为1 km，则质量为50 kg的乘客在拐弯过程中所受到的列车给他的作用力大小为(g＝10 m/s2)( )
A．0 B．500 N
C．1 000 N D．500 N
解析：已知列车以360 km/h的速度拐弯，拐弯半径为1 km，则向心加速度为a＝＝10 m/s2，列车上的乘客在拐弯过程中受到的列车给他的作用力垂直于列车底部向上，大小为N，还受到重力，其合力F指向圆心，则F＝ma＝500 N，而乘客的重力与合力F
大小相等，那么作用力与向心力的夹角为45°，则列车给乘客的作用力大小为N＝＝ N＝500 N，故D项正确．
答案：D
10.
[2019·广东广雅中学期中考试]如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是( )
A．人在最高点时处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座椅不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座椅的压力等于mg
D．人在最低点时对座椅的压力大于mg
解析：设座椅对人的作用力为F，人在最高点时，由牛顿第二定律和向心力公式可得F＋ mg＝m，由此可知，当v＝时，人只受重力作用；当v>时，重力和座椅对人向下的压力提供向心力；当v<时，除受重力外，人还受保险带向上的拉力，A项错误．当v＝时，座椅对人向下的压力等于重力mg，由牛顿第三定律知，人对座椅的压力等于mg，选项B错误．人在最低点时，受到重力和支持力，由牛顿第二定律和向心力公式可得F－mg＝m，即F＝mg＋m>mg，故C项错误，D项正确．
答案：D
11.
[2019·上海交大附中期中考试]“东风”汽车公司在湖北某地有一试车场，其中有一检测汽车在极限状态下车速的试车道，该试车道呈碗状，如图所示．有一质量为m＝1 t的小汽车在A车道上飞驰，已知该车道转弯半径R为150 m，路面倾斜角为θ
＝45°(与水平面夹角)，路面与车胎间的动摩擦因数μ为0.25，重力加速度g＝10 m/s2，求汽车所能允许的最大车速．
解析：以汽车为研究对象，其极限状态下的受力分析如图所示．当摩擦力达到最大时，速度最大，在竖直方向上有FN sin 45°－Ff cos 45°－mg＝0
根据牛顿第二定律，在水平方向上有
FNcos 45°＋Ff sin 45°＝m 又Ff＝μFN
联立并将已知数据代入，解得v＝50 m/s
即汽车所能允许的最大车速为50 m/s.
答案：50 m/s
12.
如图所示，质量为m＝0.2 kg的小球固定在长为L＝0.9 m的轻杆的一端，杆可绕O点的水平转轴在竖直平面内转动．(g＝10 m/s2)
(1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，求球对杆的作用力的大小与方向．
解析：(1)小球在最高点对轻杆作用力为零时，其所受重力恰好提供小球绕O点做圆周运动所需的向心力，故有mg＝m
代入数据得v＝3 m/s
(2)当小球在最高点速度为v1＝6 m/s时，设轻杆对小球的作用力为F1，取竖直向下为正，由牛顿第二定律得F1＋mg＝m
代入数据得F1＝6 N
由牛顿第三定律知小球对轻杆的作用力大小为6 N，方向竖直向上
当小球在最高点速度为v2＝1.5 m/s时，设轻杆对小球的作用力为F2，仍取竖直向下为正，由牛顿第二定律得F2＋mg＝m
代入数据得F2＝－1.5 N
由牛顿第三定律知小球对轻杆的作用力大小为1.5 N，方向竖直向下
答案：(1)3 m/s (2)速度为6 m/s时，作用力大小为6 N，方向竖直向上 速度为1.5 m/s时，作用力大小为1.5 N，方向竖直向下
能力达标
13.
[2019·广东中山一中期末考试]如图所示，两物块A、B套在水平粗糙的CD杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整个装置能绕过CD中点的轴OO′转动，已知两物块质量相等，杆CD对物块A、B的最大静摩擦力大小相等，开始时轻绳处于自然长度(轻绳恰好伸直但无弹力)，物块A到OO′轴的距离为物块B到OO′轴距离的2倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，从轻绳处于自然长度到两物块A、B即将滑动的过程中，下列说法正确的是( )
A．B受到的静摩擦力一直增大
B．B受到的静摩擦力先增大后减小
C．A受到的静摩擦力先增大后减小
D．A受到的合外力一直在增大
解析：解答本题的疑难在于对A、B运动过程的动态分析．由于A的半径比B的大，根据向心力公式F向＝mω2R，A、B的角速度相同，可知A所需向心力比B大，两物块的最大静摩擦力相等，所以A的静摩擦力会先不足以提供向心力而使轻绳产生拉力，之后随着速度的增大，静摩擦力已达最大不变了，轻绳拉力不断增大来提供向心力，所以物块A所受静摩擦力是先增大后不变的，C错误；根据向心力公式F向＝m，在发生相对滑动前物块A的半径是不变的，质量也不变，随着速度的增大，向心力增大，而向心力就是物块A的合力，故D项正确；因为是A
先使轻绳产生拉力的，所以当轻绳刚好产生拉力时B受静摩擦力作用且未达到最大静摩擦力，此后B的向心力一部分将会由轻绳拉力来提供，静摩擦力会减小，而在产生拉力前B的静摩擦力是一直增大的，易知B所受静摩擦力是先增大后减小再增大的，故A、B项错误．
答案：D
14．[2019·四川广元中学期末考试]如图所示，一根长为l＝1 m的细线一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T.(g＝10 m/s2, sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，结果可用根式表示)
(1)若小球即将离开锥面，则小球的角速度ω0为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？
(3)细线的张力T与小球匀速转动的角速度ω有关，请在坐标纸上画出ω的取值范围在0到ω′之间时的T—ω2的图象．(要求标明关键点的坐标值)
解析：(1)小球即将离开锥面时，小球只受到重力和拉力作用，小球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mωlsin θ
解得ω0＝＝ rad/s
(2)当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律得
mgtan 60°＝mω′2lsin 60°
解得ω′＝＝ rad/s
(3)当ω＝0时，T＝mgcos θ＝8 N
当0<ω< rad/s时Tsin θ－Ncos θ＝mω2lsin θ
Tcos θ＋Nsin θ＝mg
解得T＝mgcos θ＋mlω2sin2θ
ω＝ rad/s时，T＝12.5 N
当 rad/s<ω≤ rad/s时，小球离开锥面，设细线与竖直方向夹角为β，则Tsinβ＝mω2lsin β
解得T＝mlω2
ω＝ rad/s时，T＝20 N
画出T—ω2图象如图所示
答案：(1) rad/s (2) rad/s (3)如解析图所示
