【物理】2019届二轮复习专题一第3讲抛体运动圆周运动学案
第3讲 抛体运动 圆周运动
[做真题·明考向] 真题体验 透视命题规律
授课提示：对应学生用书第12页
[真题再做]
1．(2017·高考全国卷Ⅱ，T14) 如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环．小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功 B.一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
解析：由于大圆环是光滑的，因此小环下滑的过程中，大圆环对小环的作用力方向始终与速度方向垂直，因此作用力不做功，A项正确，B项错误；小环刚下滑时，大圆环对小环的作用力背离大圆环的圆心，滑到大圆环圆心以下的位置时，大圆环对小环的作用力指向大圆环的圆心，C、D项错误．
答案：A
2．(2017·高考全国卷Ⅰ，T15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响)．速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网．其原因是( )
A．速度较小的球下降相同距离所用的时间较多
B．速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大
C．速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少
D．速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大
解析：发球机从同一高度水平射出两个速度不同的乒乓球，根据平抛运动规律，竖直方向上，h＝gt2，可知两球下落相同距离h所用的时间是相同的，选项A错误；由v＝2gh可知，两球下落相同距离h时在竖直方向上的速度vy相同，选项B错误；由平抛运动规律，水平方向上，x＝vt，可知速度较大的球通过同一水平距离所用的时间t较少，选项C正确；由于做平抛运动的球在竖直方向的运动为自由落体运动，两球在相同时间间隔内下降的距离相同，选项D错误．
答案：C
3．(2018·高考全国卷Ⅲ，T17)在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍 B.4倍
C．6倍 D．8倍
解析：如图所示，可知：x＝vt，
x·tan θ＝gt2
则x＝·v2，
即x∝v2
甲、乙两球抛出速度为v和，则相应水平位移之比为4∶1，由相似三角形知，下落高度之比也为4∶1，由自由落体运动规律得，落在斜面上竖直方向速度之比为2∶1，则可得落至斜面时速率之比为2∶1.
答案：A
4.(2016·高考全国卷Ⅱ，T16)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示．将两球由静止释放．在各自轨迹的最低点( )
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
解析：小球从水平位置摆动至最低点，由动能定理得，mgL＝mv2，解得v＝，因LP
mQ，则两小球的动能大小无法比较，选项B错误；对小球在最低点受力分析得，FT－mg＝m，可得FT＝3mg，因mP>mQ，故选项C正确；由a＝＝2g可知，两球的向心加速度相等，选项D错误．
答案：C
5．(2017·高考全国卷Ⅱ，T17)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)( )
A. B. C. D.
解析：设轨道半径为R，小物块从轨道上端飞出时的速度为v1，由于轨道光滑，根据机械能守恒定律有mg×2R＝mv2－mv，小物块从轨道上端飞出后做平抛运动，对运动分解有x＝
v1t,2R＝gt2，求得x＝ ，因此当R－＝0，即R＝时，x取得最大值，B项正确，A、C、D项错误．
答案：B
[考情分析]
■ 命题特点与趋势——怎么考
1．高考对平抛运动与圆周运动知识的考查，多集中在考查平抛运动与圆周运动规律的应用及与生活、生产相联系的命题，多涉及相关物理量的临界和极限状态的求解，或考查平抛运动与圆周运动自身固有的特征物理量．竖直平面内的圆周运动结合能量知识命题、匀速圆周运动结合磁场相关知识命题是考试重点，历年均有相关选择题或计算题出现．
2．单独命题常以选择题的形式出现；与牛顿运动定律、功能关系、电磁学知识相综合的命题常以计算题的形式出现．
3．平抛运动的规律及其研究方法，圆周运动的角速度、线速度及加速度是近年考试的热点，且多数与电场、磁场、机械能等知识结合形成综合类考题．
■ 解题要领——怎么做
1．熟练掌握平抛、圆周运动的规律，对平抛运动和圆周运动的组合问题，要善于利用转折点的速度进行突破．
2．灵活应用运动的合成与分解的思想解决平抛、类平抛运动问题；对匀速圆周运动问题，掌握寻找向心力来源、圆心及求半径的方法．[建体系·记要点] 知识串联 熟记核心要点
授课提示：对应学生用书第13页
[网络构建]
[要点熟记]
1．物体做曲线运动的条件：当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动．
2．运动的合成与分解的运算法则：平行四边形定则．
3．做平抛运动的物体，平抛运动的时间完全由高度决定．
4．平抛(或类平抛)运动的推论
(1)任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
(2)设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tan θ＝2tan φ.
5．做匀速圆周运动的物体，其向心力等于合力，并且向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小，因此物体的动能保持不变，向心力不做功，但动量不断改变．
6．水平面内圆周运动临界问题
(1)水平面内做圆周运动的物体其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态．
(2)常见临界条件：绳子松弛的临界条件是绳的张力FT＝0；接触面滑动的临界条件是拉力F＝Ffmax；接触面分离的临界条件是接触面间的弹力FN＝0.
7．竖直平面内圆周运动的两种临界问题
(1)绳模型：半径为R的圆形轨道，物体能通过最高点的条件是v≥.
(2)杆模型：物体能通过最高点的条件是v>0.
[研考向·提能力] 考向研析 掌握应试技能
授课提示：对应学生用书第14页
考向一 运动的合成与分解
1．合运动性质和轨迹的判断方法：若加速度与初速度的方向在同一直线上，则为直线运动，否则为曲线运动，加速度恒定则为匀变速运动，加速度不恒定则为非匀变速运动．
2．三种过河情景分析
(1)过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，tmin＝(d为河宽，v1为船在静水中的速度)．
(2)过河路径最短(v2v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河，最短航程s短＝＝d.
3．端速问题解题原则
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解，常见的模型如图所示．
1．(2018·山东临沂检测)有一个质量为4 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象分别如图甲、乙所示．下列说法正确的是( )
A．质点做匀变速直线运动
B．质点所受的合外力为22 N
C．2 s时质点的速度为6 m/s
D．零时刻质点的速度为5 m/s
解析：由图可知质点在x轴方向上做匀加速直线运动，在y轴方向做匀速直线运动，合力的方向沿x轴方向．在x轴方向上的初速度为3 m/s，在y轴方向上的速度为4 m/s，则初速度v0＝ m/s＝5 m/s，初速度方向不沿x轴方向，所以质点做匀变速曲线运动，故A错误，D正确；质点在x轴方向上的加速度为ax＝1.5 m/s2，y轴方向上的加速度为零，则合加速度为a＝1.5 m/s2，所以合力为F＝ma＝4×1.5 N＝6 N，B错误；2 s末在x轴方向上的速度为vx＝6 m/s，在y轴方向上的速度为vy＝4 m/s，则合速度v＝ m/s>6 m/s，C错误．
答案：D
2．(2018·湖北咸宁期中联考)如图所示，小船以大小为v(小船在静水中的速度)、方向与上游河岸成θ的速度从O处过河，经过一段时间，正好到达正对岸的O′处．现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸O′处，在水流速度不变的情况下，
可采取的方法是( )
A．θ角不变且v增大 B.θ角减小且v增大
C．θ角增大且v减小 D．θ角增大且v增大
解析：若在增大v的同时，适当增大θ角，才能保证水流方向的分速度不变，而垂直河岸的分速度增大，则小船才能垂直到达河对岸，且时间更短，选项D正确．
答案：D
3．如图所示，在水平力F作用下，物体B沿水平面向右运动，物体A恰匀速上升．以下说法正确的是( )
A．物体B正向右做匀减速运动
B．物体B正向右做加速运动
C．地面对B的摩擦力减小
D．斜绳与水平方向成30°时，vA∶vB＝∶2
解析：将B的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向上的分速度等于A的速度，如图所示，根据平行四边形定则有vBcos α＝vA，所以vB＝，当α减小时，物体B的速度减小，但B不是做匀减速运动，选项A、B错误；在竖直方向上，对B有mg＝FN＋FTsin α，FT＝mAg，α减小，则支持力FN增大，根据Ff＝μFN可知摩擦力Ff增大，选项C错误；根据vBcos α＝vA，知斜绳与水平方向成30°时，vA∶vB＝∶2，选项D正确．
答案：D
运动的合成与分解问题的三点注意
(1)物体的实际运动是合运动，明确是在哪两个方向上的合成，如第3题中物体B的运动是合运动．
(2)根据合外力与合初速度的方向关系判断合运动的性质．
(3)运动的合成与分解就是速度、位移、加速度等的合成与分解，遵循平行四边形定则，如第1题中，速度和加速度的计算就遵循平行四边形定则．
考向二 抛体运动
[典例展示1] (多选)(2018·河北石家庄模拟)如图所示，甲球从O点以水平速度v1飞出，落在水平地面上的A点．乙球从O点以水平速度v2飞出，落在水平地面上的B点反弹后恰好也落在A点．已知乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度不变，竖直方向的分速度方向相反大小不变，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
A．由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等
B．甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍
C．v1∶v2＝3∶1
D．v1∶v2＝2∶1
[思路探究] (1)甲球由O到A的时间和乙球由O到B的时间有何关系？
(2)乙球由B到A的运动满足什么规律？
(3)乙球由B到A的过程中最高点与O点相比哪点高？
[解析] 根据题述情景和平抛运动规律知，由O点到A点，甲球运动时间是乙球运动时间的，选项A错误；甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍，选项B正确；甲球从O点到A点，乙球从O点到B点，运动时间相等，由x＝vt可知，甲、乙两球水平速度之比为v1∶v2＝3∶1，选项C正确，D错误．
[答案] BC
处理平抛(类平抛)运动的注意事项
(1)处理平抛(或类平抛)运动时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动，如例题中甲、乙两物体水平方向都做匀速直线运动．
(2)对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值．
(3)若平抛运动的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值．
(4)做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同．
4.(多选)如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A，已知A点高度为h0，山坡倾角为θ，重力加速度为g，由此可算出( )
A．轰炸机的飞行高度 B.轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能
解析：根据A点的高度可知炸弹的水平位移为h0·cot θ，炸弹在水平方向上有h0·cot θ＝v0t，由于炸弹垂直击中目标A，有tan θ＝，联立可求得t与v0，再根据h＝gt2可以得出轰炸机的飞行高度，故A、B、C正确；由于不知道炸弹的质量，无法求出炸弹投出时的动能，D错误．
答案：ABC
5．(多选)如图所示，某一运动员从弧形雪坡上沿水平方向飞出后，又落回到斜面雪坡上．若斜面雪坡的倾角为θ，运动员飞出时的速度大小为v0，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的姿势保持不变，重力加速度为g，则( )
A．如果v0不同，则该运动员落到雪坡时的速度方向也就不同
B．不论v0多大，该运动员落到雪坡时的速度方向都是相同的
C．运动员在空中经历的时间是
D．运动员落到雪坡时的速度大小是
解析：设在空中飞行时间为t，运动员竖直位移与水平位移之比＝＝＝tan θ，则有飞行的时间t＝，故C正确；竖直方向的速度大小为vy＝gt＝2v0tan θ，运动员落回雪坡时的速度大小v＝＝v0，故D错误；设运动员落到雪坡时的速度方向与水平方向夹角为α，则tan α＝＝＝2tan θ，由此可知，运动员落到雪坡时的速度方向与初速度方向无关，初速度不同，运动员落到雪坡时的速度方向相同，故A错误，B正确．
答案：BC
6.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A. ，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
[思路探究] (1)小球做匀速圆周运动时，绳a拉力的效果是什么？
(2)若b绳上无张力，保持θ不变时角速度是多大？
[解析] 由于小球m的重力不为零，a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，选项A错误；由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，所以a绳的张力随角速度的增大不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，选项B错误；若b绳中的张力为零，设a绳中的张力为F，对小球m，Fsin θ＝mg，Fcos θ＝mω2l，联立解得ω＝ ，即当角速度ω> ，b绳将出现弹力，选项C正确；若ω＝ ，b绳突然被剪断时，a绳的弹力不发生变化，选项D错误．
[答案] C
解决圆周运动问题的主要步骤
(1)审清题意，确定研究对象，明确物体做圆周运动的平面是至关重要的一环，如例题中是水平圆周运动．
(2)分析物体的运动情况，即物体运动的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等．
(3)分析物体的受力情况，画出受力分析图，确定向心力的来源，如例题中，当ω＝ 时，a绳的水平分量提供向心力，当ω> 时，a绳的水平分量与b绳上拉力的合力充当向心力．
(4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
7．(多选)(2018·北京密云质检)如图甲、乙、丙、丁所示是游乐场中比较常见的过山车，甲、乙两图的轨道车在轨道的外侧做圆周运动，丙、丁两图的轨道车在轨道的内侧做圆周运动，两种过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，四个图中轨道的半径都为R.下列说法正确的是( )
A．甲图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最高点时，座椅一定给人向上的力
B．乙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力
C．丙图中，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力
D．丁图中，轨道车过最高点的最小速度为
解析：甲图中，由mg＝m可知，当轨道车以一定的速度v＝通过轨道最高点时，座椅给人的力为零，选项A错误；乙图中，由F－mg＝m可知，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，安全带一定给人向上的力F＝mg＋m，选项B正确；丙图中，由F－mg＝m可知，当轨道车以一定的速度通过轨道最低点时，座椅一定给人向上的力F＝mg＋m
，选项C正确；由于过山车都有安全锁(由上、下、侧三个轮子组成)把轨道车套在了轨道上，丁图中，轨道车过最高点的最小速度可以为零，选项D错误．
答案：BC
8.(多选)如图所示，甲、乙两水平圆盘的半径之比为1∶2，两水平圆盘紧靠在一起，乙靠摩擦随甲不打滑转动．两圆盘上分别放置质量为m1和m2的小物体，m1＝2m2，两小物体与圆盘间的动摩擦因数相同．m1距甲盘圆心r，m2距乙盘圆心2r，此时它们正随盘做匀速圆周运动．下列判断正确的是( )
A．m1和m2的线速度之比为1∶4
B．m1和m2的向心加速度之比为2∶1
C．随转速慢慢增加，m1先开始滑动
D．随转速慢慢增加，m2先开始滑动
解析：甲、乙两圆盘边缘上的各点线速度大小相等，有ω1·R＝ω2·2R，则得ω1∶ω2＝2∶1，所以物块相对圆盘开始滑动前，m1与m2的角速度之比为2∶1，根据公式v＝ωr，得＝＝，A错误；根据a＝ω2r得m1与m2的向心加速度之比为a1∶a2＝(ω·r)∶(ω·2r)＝2∶1，B正确；根据μmg＝mrω2知，m1先达到临界角速度，可知当转速增加时，m1先开始滑动，C正确，D错误．
答案：BC
9．(多选)如图甲所示，半径为R、内壁光滑的圆形细管竖直放置，一可看作质点的小球在圆管内做圆周运动，当其运动到最高点A时，小球受到的弹力F与其在A点速度平方(即v2)的关系如图乙所示．设细管内径可忽略不计，则下列说法正确的是( )
A．当地的重力加速度大小为
B．该小球的质量为R
C．当v2＝2b时，小球在圆管的最低点受到的弹力大小为7a
D．当0≤v2，小球就能做完整的圆周运动
D．若小球能做完整圆周运动，则v0越大，小球与轨道间的最大压力与最小压力之差就会越大
解析：由题中条件易知弹簧的弹力始终为F＝kΔx＝mg，方向背离圆心，易得在最高点以外的任何地方轨道对小球均会有弹力作用，所以无论初速度多大，小球均不会离开圆轨道，A正确，B错误；若小球到达最高点的速度恰为零，则根据机械能守恒定律有mv＝mg·2R，解得v0＝，故只要v0>，小球就能做完整的圆周运动，C正确；在最低点时FN1－mg－kΔx＝，从最低点到最高点，根据机械能守恒定律有mv＝mv2＋mg·2R，在最高点FN2＋mg－kΔx＝，其中kΔx＝mg，联立解得FN1－FN2＝6mg，与v0无关，D错误．
答案：AC
三、非选择题
11．一探险队在探险时遇到一山沟，山沟的一侧OA竖直，另一侧的坡面OB呈抛物线形状，与一平台BC相连，如图所示．已知山沟竖直一侧OA的高度为2h，
平台离沟底的高度为h，C点离OA的水平距离为2h.以沟底的O点为原点建立坐标系xOy，坡面的抛物线方程为y＝.质量为m的探险队员在山沟的竖直一侧从A点沿水平方向跳向平台．人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g.求：
(1)若探险队员从A点以速度v0水平跳出时，掉在坡面OB的某处，则他在空中运动的时间为多少？
(2)为了能跳在平台上，他在A点的初速度v应满足什么条件？请计算说明．
解析：(1)设探险队员在OB坡面上的落点坐标为(x0，y0)，由平抛规律可得
x0＝v0t
2h－y0＝gt2
将(x0，y0)代入抛物线方程y＝
可得t＝.
(2)yB＝h，将(xB，yB)代入y＝，可求得xB＝h
由平抛规律得xB＝vBt1，xC＝vCt1,2h－h＝gt，又xC＝2h
联立以上各式解得
vB＝，vC＝
所以为了能跳到平台上，他在A点的初速度应满足≤v≤.
答案：(1)
(2)≤v≤，计算过程见解析
12.现有一根长L＝1 m的不可伸长的轻绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，将小球提至O点正上方的A点，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示，不计空气阻力，g取10 m/s2.
(1)为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应给小球施加多大的水平速度v0?
(2)在小球以速度v1＝4 m/s水平抛出的瞬间，绳中的张力为多少？
(3)在小球以速度v2＝1 m/s水平抛出的瞬间，绳中若有张力，求其大小；若无张力，试求绳再次伸直时所经历的时间．
解析：(1)要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时至少应该是重力提供小球做圆周运动所需要的向心力，则有mg＝m，得v0＝＝ m/s.
(2)因为v1>v0，故绳中有张力，由牛顿第二定律得
FT＋mg＝m
代入数据解得，绳中的张力FT＝3 N.
(3)因为v2
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