【物理】2019届二轮复习追及相遇与图象学案（全国通用）

【物理】2019届二轮复习追及相遇与图象学案（全国通用）

‎ 第3讲 追及相遇与图象 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 教师版说明：自由落体和竖直上抛的基础知识暑假已经讲了，而且追击相遇的内容比较难，需要的时间多一点，所以自由落体和竖直上抛就不作为重点了。如果老师认为有必要或者学生暑假没有学过，可以选讲，请老师自己掌握进度。下面表格中画下划线的部分学生版中是需要填空的内容。‎ ‎ ‎ ‎3.1自由落体与竖直上抛复习（选讲）‎ 重点知识回顾 ‎1．自由落体与竖直上抛运动基础知识学 ]‎ 自由落体运动 竖直上抛运动 定义 物体只在重力作用下从静止开始下落的运动 将物体以一定的初速度竖直向上抛出去，且物体只在重力作用下的运动 运动特点 初速度：‎ 加速度：，竖直向下 初速度：，竖直向上 加速度：，竖直向下 运动性质 ‎ 初速度为零的匀加速直线运动 ]‎ 匀变速直线运动 基本规律 ‎⑴ 速度 时间关系：‎ ‎⑵ 位移 时间关系：‎ ‎⑶ 速度 位移公式：‎ 规定以方向为正 ‎⑴ 速度 时间关系：‎ ‎⑵ 位移 时间关系：‎ ‎⑶ 速度 位移公式：‎ 基本结论 ‎⑴ 上升到最高点所用时间：‎ ‎⑵ 上升的最大高度：‎ 对称性 ‎⑴ 上升与下降阶段通过同一段竖直距离所用时间相等 ‎⑵ 上升阶段与下降阶段经过同一位置时的速度大小相等，方向相反 多解性 由于竖直上抛运动是一种有往复的直线运动，在运动中能在不同时刻处于同一位置或在不同时刻处于离抛出点等距的位置上，因此存在双解甚至三解的情况。例如，在抛出点以上，同一个位移对应两个不同的时间和两个等大方向的速度。‎ ‎2．竖直上抛运动处理方法 ‎⑴ 分段法：上升过程是，的匀减速直线运动，下落阶段是自由落体运动。‎ ‎⑵ 全程法：将全过程看作是初速为，加速度是的匀变速直线运动，可以对全过程列方程，但必须注意方程的矢量性。‎ 习惯上取为正方向，则表示正在上升，表示正在下降；为正表示物体在抛出点上方，为负表示在抛出点下方。‎ ‎ ‎ 教师版说明：有关自由落体各种比例关系的推论，讲义中没有专门讲，暑假涉及过相关题目，让学生自己总结，如果老师认为有必要，可以把这些比例关系复习一下。‎ ‎① 前，前，前……位移之比为……‎ ‎② 第内、第内、第内……的位移之比为……‎ ‎③ 末，末，末……速度之比为…… | |k ]‎ ‎④ 前，前，前……内所用的时间之比为……‎ ‎⑤ 通过连续相等的位移所用时间之比为……‎ ‎ ‎ 基础训练 1． 关于自由落体运动，下列说法中正确的是 A．某段时间的中间时刻的速度等于初速度与末速度之和的一半 B．某段位移的中点位置的速度等于初速度与末速度之和的一半 C．在任何相等时间内速度的变化相同 D．在任何相等时间内位移的变化相同 【答案】 AC 2． 关于自由落体运动，下面说法正确的是 A．在开始连续的三个内通过的位移之比是 B．在开始连续的三个内通过的位移之比是 C．在开始连续的三个末的速度大小之比是 D．在开始连续的三个位移内，所经历的时间之比为 【答案】 BC 3． 质点作竖直上抛运动，回到出发点，下列说法正确的是 A．上升、下落经过同一位置时的速度相同 B．在最高点时，速度和加速度均为零 C．整个运动过程中，任何相等时间内速度的变化均相等 D．不管上抛初速度多大，上升过程的最后1秒内的位移总是一样的。‎ 【答案】 CD 4． 以的速度竖直向上抛出一个物体，若重力加速度取。试求： ‎ ‎⑴ 物体上升的最大高度； ‎ ‎⑵ 物体上升到最大高度所用的时间； ‎ ‎⑶ 物体落回原地所用的时间； ‎ ‎⑷ 物体运动到高度时所用的时间；‎ 【答案】 ‎⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 或 例题精讲 例题说明： 例1 例3考察自由落体运动，例4 例7考察竖直上抛运动。例1是公式的简单计算，关键是读懂题目描述的情景；例2难点是正确将题意转化成物理模型进行分析；例3是一类典型问题，知道中间或最后某段位移对应的时间，需要列方程组求解，有一定难度，另外，这道题可以用多种方法求解，是对自由落体运动的综合练习。例4是易错题，学生容易误认为是自由落体问题，本题考察全程法的应用；例5考察对称性；例6考察多解性；例7是一道较难的题目，需要搞清各物理量的关系，正确选择公式。‎ 【例1】 观察者发现，每隔一定时间，水滴会从高处的屋檐自由下落，当看到第五滴水刚要离开屋檐时，第一滴水正好落到地面，则此时第二滴水离地的高度是（取）‎ A． B． C． D．‎ 【答案】 A 【例2】 用轻绳的两端各拴一个小球，一人用手拿着绳上端的小球站在四层楼的阳台上，放手让小球自由下落，两小球相继落地的时间差为。如果站在三层楼的阳台上，同样放手让小球自由下落，则两小球相继落地的时间差将 A．不变 B．变大 C．变小 D．无法确定 【答案】 B 【例3】 一个物体从高处自由落下，经过最后所用的时间是，求物体下落高所用的总时间和高度，请用两种方法求解。（取，空气阻力不计）‎ 【解析】 方法一：根据自由落体公式 ‎ ⑴‎ ‎ ⑵‎ 式⑴ 减去式⑵，得 解得：，‎ 方法二：利用匀变速运动平均速度的性质 由题意得最后4s内的平均速度为。‎ 因为在匀变速运动中，某段时间中的平均速度等于中点时刻的速度，所以下落最后2s内的初速度为 从开始到下落至最后的时间 方法三：利用图象 ]‎ 画出这个物体自由下落的图，如图所示开始下落后经时间和后的速度分别为、图线的段与轴间的面积表示在时间内下落的高度。由 【答案】 ‎，‎ 【例1】 气球以的速度匀速竖直上升，从气球上掉下一个物体，经到达地面，求物体刚脱离气球时气球的高度。（）‎ 【答案】 ‎ ‎ 教师版说明：这里补充一道竖直上抛的问题，需要从图象中分析出竖直上抛的时间，不过由于给出的是图象，所以学生版中没有出现，不过此题实际并不需要用到牛顿定律，老师可以选用。‎ 一位蹦床运动员仅在竖直方向上运动，弹簧床对运动员的弹力随时间的变化规律通过传感器用计算机绘制出来，如图所示，取重力加速度。试结合图象，求运动员在起跳时的初速度和跳起的最大高度。‎ 【解析】 将运动员在空中近似看作竖直上抛运动，从图中可看出运动员在空中运动的时间为，所以运动员离开蹦床时的初速度为，‎ 【答案】 ‎，‎ ‎ ‎ 【例2】 某物体以的初速度竖直上抛，不计空气阻力，取。若运动过程中两次经过点所用时间间隔为，两次经过点所用时间间隔为，求、两点间的高度。‎ 【答案】 【例3】 以的速度竖直向上抛出一个石块，石块运动到离抛出点处，所经历的时间为（空气阻力不计，取）‎ A． B． C． D．‎ 【答案】 ACD 【例4】 一个小球作竖直上抛运动，经过时间上升到位置，经过时间上升到位置，小球上升到最高点后下落到位置的时间为，继续下落到位置的时间为。求证重力加速度 【解析】 此题求证结果较为复杂，若不加选择地套用竖直上抛运动公式则很难理出头绪，但如果抓住竖直上抛运动中时间的对称性从某一位置上升到最高点和从最高点落回该位置所用的时间相等则可简化问题的处理 设最高点到位置的距离为，则；‎ 设最高点到位置的距离为，则；‎ 而，将以上三式整理即可证。‎ 【答案】 略 ‎3.2 追及相遇问题 知识点睛 当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两个物体之间的距离就会发生变化，两物体间距越来越大或越来越小时，就会涉及追及、相遇问题。‎ ‎1．追及、相遇问题的实质 研究两物体能否在相同的时刻到达相同空间位置的问题。‎ ‎2．解相遇和追及问题的关键 画出物体运动的情景图，理清三大关系：‎ ‎⑴ 时间关系：‎ ‎⑵ 位移关系：‎ ‎⑶ 速度关系：两者速度相等时，物体间有最大（或最小）位移。这通常是追及问题中能否追上的临界条件，也是分析问题的切入点。‎ ‎3．追及、相遇问题的分析思路 ‎⑴ 根据运动过程，画出两个物体运动的示意图 ‎⑵ 根据两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程 ‎⑶ 找出两个物体在运动时间上的关系、位移关系、临界条件（即“两个关系，一个条件”）‎ ‎⑷ 联立方程求解 提示：‎ ‎⑴ 利用图象解决追及相遇问题时，有时可以减少计算量，使问题简化。‎ ‎⑵ 若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否停止运动。‎ ‎ ‎ 教师版说明：‎ ‎1．建议目标班的老师可以多给学生介绍几种解决追及相遇问题的方法，不要求学生都会运用，但是可以开拓一下思路。‎ ‎⑴ 临界条件法 当两物体到达同一位置时两者速度相同，则恰能追上或恰追不上（也是二者相撞的临界 条件）。‎ ‎⑵ 判别式法 若追者甲和被追者乙最初相距，令两者在时相遇，则有，得到关于时间的一元二次方程：当时，两者相撞或相遇两次；当时，两者恰好相撞或相遇；当时，两者不会相撞或相遇。‎ ‎⑶ 相对运动法 取两物体中的一个物体为参考系，研究另外一个物体的运动。这种情况下碰撞或避碰的临界条件是当物体的相对速度为零时二者间距离也恰好为零。‎ ‎⑷ 图象法 图象法求解这类问题时，常常使用图象。在图象中，两物体速度图线间所围面积是两物体在该段时间内通过的位移差值。‎ 在讲解方法时，可以利用下面这道例题讲解，四种方法都能用到。‎ 在平直道路上，甲汽车以速度匀速行驶。当甲车司机发现前方距离为处的乙汽车时，立即以大小为的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发现了甲，立即从静止开始以大小为的加速度沿甲运动的方向匀加速运动。则 A．甲、乙两车之间的距离一定不断减小 B．甲、乙两车之间的距离一定不断增大 C．若，则两车一定不会相撞 D．若，则两车一定不会相撞 【解析】 方法一：临界条件法 ‎ 若两车不发生相撞，则当两车速度相等前两车间的距离是减小的，速度相等之后两车间的距离又开始增大，故A、B皆错误。临界状态下两车速度相等恰好相碰，运动过程草图如图所示。‎ 由图可知，。设两者速度相等时的速度为，经历的时间为，则有，，由上述格式可解得故要使两车不相撞，应满足 方法二：判别式法 判断C、D两项时可以采用判别式法：‎ 设经过时间，两车间距离为，则有：‎ 当时整理可得，‎ 要使两车不相遇，应使 即 ‎ 、选项分析同方法一，以下同理。‎ ‎ 方法三：相对运动法 ‎ 取乙汽车为参考系，则甲汽车相对乙汽车做加速度大小为，初速度为的匀减速运动。要使两车不相撞，当甲车速度减小到零时通过的位移应小于，即，所以 方法四：图象法 做出两汽车的速度图象，要使两汽车不相撞，图中阴影部分 的面积应不超过，即：而故可解得 ‎ 【答案】 D ‎2．讲义主要是按照追及相遇问题的分析思路，解题关键来进行讲解，的没有过多的对运动情况进行分类，主要是考虑分类太多，学生反而容易乱，而且记不住。如果老师认为有必要，也可以总结一些临界条件。‎ ‎⑴ 初速度小者加速追初速度大者：追上前，两个物体速度相等时，有最大距离；‎ ‎⑵ 初速度大者减速追赶初速度小者：追上前在两个物体速度相等时，有最小距离。即必须在此之前追上，否则就不能追上。‎ ‎ ‎ 例题精讲 例题说明：例8结合图象定性考察追及相遇的位移关系、速度关系等；例9是一道比较常规的追及相遇问题，重点让学生练习解决问题的基本方法，本题用公式和图象都可以解决；例10本身难度不大，但文字叙述较长，需要将文字叙述正确转化为运动情景；例11、例12两道题涉及到两种不同的减速陷阱，学生很容易错，建议老师重点讲解；例13是自由落体的追及问题，例14是自由落体和竖直上抛的相遇问题，而且是两个有长度的物体的相遇问题。例15是一道较难的涉及竖直上抛的追及相遇问题，需要对相遇时间进行讨论。‎ 【例1】 甲乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的图中（如图所示），直线、分别描述了甲乙两车在的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是 A．在内两车逐渐靠近 B．在内两车逐渐远离 C．在内两车的位移相等 D．在时两车在公路上相遇 【解析】 由图象可知，内，两车逐渐远离，内，两车逐渐靠近，故A、B均错；图象与时间轴所围成的面积表示位移，内，两图线与轴包围的面积相等，故两车的位移相等，C对；时，两车的位移再次相等，两车再次相遇，故D错。‎ 【答案】 C ‎ ‎ 教师版说明：下面再补充一道与图象结合的追及相遇问题，老师可以选用（学生版没有此题）‎ 如图所示，分别是甲、乙两球从同一地点、沿同一直线运动的图线，根据图线可以判断 A．两球在时速度相同 ‎ B．两球在时相距最近 C．两球在时相遇 D．在内，两球的加速度大小相等 【答案】 C ‎ ‎ 【例1】 汽车从静止开始以的加速度行驶，恰有一自行车以的速度从车边匀速驶过。‎ ‎⑴ 汽车从运动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？‎ ‎⑵ 什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？‎ 【解析】 ‎⑴ 解法一： ‎ 汽车开动时速度由零逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车速度还小于自行车速度时，两者的距离越来越大，当汽车的速度大于自行车速度时，两者距离越来越小，所以当两车的速度相等时，两车的距离最大，有，所以， ‎ 解法二：图像法 画出汽车和自行车的图，当时两车速度相等。‎ 即时两车的位移差最远 解法三：相对运动法 以自行车为参考系，汽车追上自行车之前初速度大小为，方向向后，加速度为大小为，方向向前。经分析汽车先远离自行车做匀减速直线运动末速度为零时相距最远，在靠近自行车做匀加速直线运动。‎ ‎⑵ 由图象可知，当时汽车追上自行车，。‎ 【答案】 ‎⑴ 、 ⑵ 、‎ ‎ ‎ 教师版说明：下面再补充一道类似的问题，只是此题对最大速度有限制条件，涉及两个运动过程，稍有变化。‎ 一辆值勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过后警车发动起来，并以的加速度做匀加速运动，但警车的行驶速度必须控制在以内。问：‎ ‎⑴ 警车在追赶货车的过程中，两车间的最大距离是多少？‎ ‎⑵ 判定警车在加速阶段能否追上货车？（要求通过计算说明）‎ ‎⑶ 警车发动后要多长时间才能追上货车？‎ 【解析】 ‎⑴ 警车在追赶货车的过程中，当两车速度相等时。它们的距离最大，设警车发动后经过时 ‎ 间两车的速度相等。则 所以两车间的最大距离 ‎⑵ 因为，故此时警车尚未赶上货车 ‎⑶ 警车刚达到最大速度时两车距离，警车达到最大速度后做匀速运动，设再经过时间追赶上货车。则：‎ 所以警车发动后要经过才能追上货车 【答案】 ‎⑴ ⑵ 不能 ⑶ ‎ ‎ ‎ 【例2】 甲乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置标记。在某次练习中，甲在接力区前处作了标记，并以 的速度跑到此标记时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端听到口令时起跑,并恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，完成交接棒。已知接力区的长度为。求：‎ ‎⑴ 此次练习中乙在接棒前的加速度 ‎⑵ 在完成交接棒时乙离接力区末端的距离 【解析】 ‎⑴ 在甲发出口令后，甲、乙达到共同速度所用时间为 ①‎ 设在这段时间内甲、乙的位移分别为和，则 ②‎ ‎ ③‎ ‎ ④‎ 联立①②③④式解得:‎ ‎⑵ 在这段时间内，乙在接力区的位移为 完成交接棒时，乙与接力区末端的距离为 【答案】 ‎⑴ ⑵ ‎ 【例1】 甲、乙两车相距，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度，加速度作匀减速直线运动，乙车在后，以初速度，加速度与甲同向作匀加速直线运动，求：‎ ‎⑴ 甲、乙两车相遇前相距的最大距离；‎ ‎⑵ 乙车追上甲车经历的时间。‎ 【解析】 ‎⑴ 乙两车速度相等时距离最大：，解得：‎ 前内，甲车 ，乙车 ‎ 所以。‎ ‎⑵ 甲车运动的时间 甲车位移 ‎ 乙车位移 ‎ 甲停止时甲、乙两车相距 ‎ 甲车停后，乙车以为初速度作匀加速直线运动 ‎ 得 乙车追上甲车时间。‎ 【答案】 ‎ ‎ 【例2】 在铁轨上有甲、乙两列火车，甲车在前，乙车在后，分别以速度，做同向匀速运动，当甲、乙间距为时，乙车开始做匀减速运动，加速度大小为，问乙车能否追上甲车？‎ 【解析】 由于乙车速度大于甲车速度，因此，尽管乙车刹车后做匀减速直线运动，速度开始减小，但其初始阶段速度还是比甲车的大，两车距离还是在减小，当乙车的速度减小为和甲车速度相等时，乙车的位移大于甲车相对乙车的位移，则乙车就一定能追上甲车，设乙车速度减为时所用时间为，则有，所以。‎ 在这段时间里乙车的位移为：，‎ 甲车位移为：，‎ 因为，所以乙车能追上甲车。‎ 【答案】 能 【例1】 球从塔顶自由下落，当落下时，球从距塔顶处开始落下，两球同时落地，求塔高及球自由下落的时间。‎ 【解析】 两球同时落地，设塔高为，得 ，故 【答案】 ‎ ‎ 【例2】 如图所示，、两棒长均为，的下端和的上端相距，若、同时运动，做自由落体运动，做竖直上抛运动，初速度。求：‎ ‎⑴ 、两棒何时相遇。‎ ‎⑵ 从相遇开始到分离所需的时间。‎ 【解析】 ‎ ⑴ 设经过时间两棒相遇，由 ‎，得。‎ ‎⑵ 从相遇开始到两棒分离过程中，棒做初速度不为零的匀加速运动，棒做匀减速运动，设从相遇开始到分离所需的时间发，则 ‎。其中，。‎ 代入后解得。‎ 【答案】 ‎⑴ ，⑵ ‎ 【例3】 球自距地面高处开始自由下落，同时球以初速度正对球竖直上抛，空气阻力不计。 ‎ ‎⑴ 要使两球在球上升过程中相遇，则应满足什么条件？‎ ‎⑵ 要使两球在球下降过程中相遇，则应满足什么条件？‎ 【解析】 两球相遇时位移之和等于，即，所以。‎ 而球上升到最高点的时间，球在空中总时间为。‎ ‎⑴ 要使两球在球上升过程中相遇，则有，即，所以。‎ ‎⑵ 要使两球在球下降过程中相遇，则有，即，所以。‎ 【答案】 ‎⑴ ⑵ ‎ ‎ ‎ 教师版说明：下面再补充一道较难的涉及竖直上抛的追及相遇问题，老师可以选用，学生版没有此题。‎ 在地面上以初速度竖直上抛一物体后，又以初速同地点竖直上抛另一物体，若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔必须满足什么条件？（不计空气阻力）‎ 【解析】 如按通常情况，可依据题意用运动学知识列方程求解，这是比较麻烦的。如换换思路，依据作图象，则可使解题过程大大简化。如图所示，显然，两条图线的相交点表示相遇时刻，纵坐标对应位移。由图可直接看出满足关系式时，可在空中相遇。‎ 【答案】 ‎ ‎ 挑战极限 例题说明：例16是图象问题，例17涉及减速问题，两道题都涉及分类讨论，老师可以根据学生情况选讲。‎ 【例1】 甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其图象如图所示，图中和的面积分别为和（）。初始时，甲车在乙车前方处 A．若，两车不会相遇 B．若，两车相遇次 C．若，两车相遇次 D．若，两车相遇次 【答案】 ABC 【例2】 摩托车以速度沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方处有一辆汽车。汽车的初速度是，此时汽车开始减速，加速度大小为。为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，求其加速度至少需要多少？‎ 【解析】 两车都做匀减速直线运动，不相碰撞的临界状态为：‎ 当汽车经时间停下时，摩托车正好经同样时间靠汽车停下，这时，两者的图线（如图所示），其相对位移为。‎ 当两车间距较小，即时，两车不发生碰撞的条件为相对速度为零，即有共同速度时，如图所示，即。这时，摩托车的加速度应为。‎ 当两车间距较大时，即汽车经时间先停下，摩托车经后停下，两车不发生碰撞的条件，如图即 这时，摩托车的加速度应为。‎ 【答案】 当时，；当时，‎