【物理】2018届一轮复习人教版 机械能守恒定律及其应用 学案

【物理】2018届一轮复习人教版 机械能守恒定律及其应用 学案

第3讲　机械能守恒定律及其应用 知|识|梳|理 微知识❶ 机械能 ‎1．重力做功的特点 重力做功与运动路径无关，只与初末位置的高度差有关，大小：WG＝mgΔh。‎ ‎2．重力势能 ‎(1)概念：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积。公式：Ep＝mgh。‎ ‎(2)重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。‎ ‎(3)重力势能是物体和地球共有的。重力势能具有相对性，重力势能的大小与参考平面的选取有关。重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选择无关。‎ ‎(4)重力做功与重力势能变化的关系：重力做正功时，重力势能减少；重力做负功时，重力势能增加；重力做多少正(负)功，重力势能就减少(增加)多少，即：WG＝－ΔEp。‎ ‎3．弹性势能 ‎(1)概念：物体由于发生弹性形变而具有的能。‎ ‎(2)大小：弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，弹簧的形变量越大，劲度系数越大，弹簧的弹性势能越大。‎ ‎(3)弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。即弹簧恢复原长过程中弹力做正功，弹性势能减少，形变量变大的过程中弹力做负功，弹性势能增加。‎ 微知识❷ 机械能守恒定律 ‎1．内容 在只有重力(或弹簧的弹力)做功的物体系统内，动能与重力势能(或弹性势能)可以相互转化，而总的机械能保持不变。‎ ‎2．表达式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2‎ ‎3．机械能守恒的条件 对单个物体，只有重力做功；对系统，只有重力或系统内的弹簧弹力做功。‎ 基|础|诊|断 一、思维诊断 ‎1．被举到高处的物体的重力势能一定不为零(×)‎ ‎2．重力做正功物体的重力势能反而是减小的(√)‎ ‎3．弹簧弹力做正功时，弹性势能增加(×)‎ ‎4．物体受到的合外力为零，物体的机械能一定守恒(×)‎ ‎5．物体除受重力外还受其他力作用，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒(√)‎ 二、对点微练 ‎1．(重力做功与重力势能变化的关系)将质量为‎100 kg的物体从地面提升到‎10 m高处，在这个过程中，下列说法正确的是(取g＝‎10 m/s2)(　　)‎ A．重力做正功，重力势能增加1.0×104 J B．重力做正功，重力势能减少1.0×104 J C．重力做负功，重力势能增加1.0×104 J D．重力做负功，重力势能减少1.0×104 J 解析　WG＝－mgh＝－1.0×104 J，ΔEp＝－WG＝1.0×104 J，C项正确。‎ 答案　C ‎2．(弹簧弹力做功与弹性势能变化的关系) 如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连接着一轻弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去力F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中，下列说法正确的是(　　)‎ A．弹簧的弹性势能逐渐减少 B．物体的机械能不变 C．弹簧的弹性势能先增加后减少 D．弹簧的弹性势能先减少后增加 解析　因弹簧左端固定在墙上，右端与物体连接，故撤去F后，弹簧先伸长到原长后，再被物体拉伸，其弹性势能先减少后增加，物体的机械能先增大后减小，故D正确，A、B、C均错误。‎ 答案　D ‎3．(对机械能守恒的理解)(多选)下列关于机械能是否守恒的论述，正确的是(　　)‎ A．做变速曲线运动的物体，机械能可能守恒 B．沿水平面运动的物体，机械能一定守恒 C．合外力对物体做功等于零时，物体的机械能一定守恒 D．只有重力对物体做功时，机械能一定守恒 解析　‎ 判断机械能是否守恒，就要依据机械能守恒的条件来分析。要看是不是只有重力(或系统内弹簧的弹力)做功，而不是看物体如何运动。物体做变速曲线运动，机械能可能守恒，如平抛运动，A对；合外力做功为零，只是动能不变，势能的变化情况不确定，机械能不一定守恒，如物体匀速下落，机械能减少，C错；沿水平面运动的物体，重力势能不变，如果不是匀速，动能发生变化，机械能就不守恒，B错；只有重力对物体做功时，机械能一定守恒，D对。‎ 答案　AD ‎4．(机械能守恒定律的简单应用)(2015·四川卷)在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面时的速度大小(　　)‎ A．一样大 B．水平抛的最大 C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大 解析　不计空气阻力，小球在空中只受重力作用，机械能守恒。抛出时高度、速度大小相等，落地时速度大小一定相等。‎ 答案　A 核心微讲 机械能守恒的判断方法 ‎1．利用机械能的定义判断(直接判断)：若物体动能、势能均不变，则机械能不变。若一个物体动能不变、重力势能变化，或重力势能不变、动能变化或动能和重力势能同时增加(减小)，其机械能一定变化。‎ ‎2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功，机械能守恒。‎ ‎3．用能量转化来判断：若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体或系统机械能守恒。‎ ‎4．对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因摩擦生热，系统机械能将有损失。‎ 题组突破 ‎1－1.如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是(　　)‎ A．斜劈对小球的弹力不做功 B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒 C．斜劈的机械能守恒 D．小球重力势能减小量等于斜劈动能的增加量 解析　不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球重力做功，系统机械能守恒，小球重力势能减小量等于斜劈和小球动能的增量之和，A、C、D错。故选B。‎ 答案　B ‎1－2.一轻质弹簧，固定于天花板上的O点处，原长为L，如图所示，一个质量为m的物块从A点竖直向上抛出，以速度v与弹簧在B点相接触，然后向上压缩弹簧，到C点时物块速度为零，在此过程中无机械能损失，则下列说法正确的是(　　)‎ A．由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变 B．由B到C的过程中，弹性势能和动能之和不变 C．由A到C的过程中，物块m的机械能守恒 D．由B到C的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒 解析　物块由A到C的过程中，只有重力、弹簧弹力做功，因此物块与弹簧组成的系统机械能守恒，由A到B的过程中，弹性势能不变，物块动能与重力势能之和不变，但物块由B到C的过程中，弹性势能增大，物块的机械能减小，重力势能增大，弹性势能与动能之和减小，故只有D正确。‎ 答案　D ‎(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零。“只有重力做功”不等于“只有重力作用”。‎ ‎(2)分析机械能是否守恒时，必须明确要研究的系统。‎ 核心微讲 ‎1．机械能守恒问题的各种表达形式 形式 表达式 意义 最适合的 研究对象 守恒 形式 mgh＋mv2＝‎ mgh′＋mv′2‎ 运动过程中初、末两状态的机械能相等 单个物体 转化 形式 ΔEp＝－ΔEk 动能的增加量等于势能的减少量 一个或 多个物体 转移 形式 ΔEA＝－ΔEB A物体增加的机械能等于B物体减少的机械能 两个物体 特别提醒　用“守恒形式”时，需要规定重力势能的参考平面。用“转化形式”和“转移形式”时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。‎ ‎2．解题步骤 ‎(1)确定研究对象和研究过程。‎ ‎(2)判断机械能是否守恒。‎ ‎(3)选定一种表达式，列式求解。‎ 典例微探 ‎【例1】　(2016·全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。‎ ‎(1)求小球在B、A两点的动能之比；‎ ‎(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。‎ 解题导思：‎ ‎(1)小球由静止开始经A到B的过程中有哪些力做功？小球的机械能守恒吗？‎ 答：只有重力做功，机械能守恒。‎ ‎(2)假设小球能到达C点，在C点小球受力又如何？‎ 答：假设小球到达C点，在C点时满足N≥0。‎ ‎　解析　(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得EkA＝mg　①‎ 设小球在B点的动能为EkB，同理有EkB＝mg　②‎ 由①②式得＝5　③‎ ‎(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0　④‎ 设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有N＋mg＝m　⑤‎ 由④⑤式得，vC应满足mg≤m　⑥‎ 由机械能守恒有mg＝mv　⑦‎ 由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。‎ 答案　(1)5　(2)恰好运动到C点 题组微练 ‎2－1.一小球以初速度v0竖直上抛，它能到达的最大高度为H，如图的几种情况中，小球不可能达到高度H的是(忽略空气阻力)(　　)‎ A．以初速度v0沿光滑斜面向上运动(图甲)‎ B．以初速度v0沿光滑的抛物线轨道，从最低点向上运动(图乙)‎ C．以初速度v0沿半径为R的光滑圆轨道，从最低点向上运动(图丙，H＞R＞)‎ D．以初速度v0沿半径为R的光滑圆轨道，从最低点向上运动(图丁，R＞H)‎ 解析　四种情况中只有C中到达最大高度时速度不为零，不能达到高度H。‎ 答案　C ‎2－2.(多选)由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内。一质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处由静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上。下列说法正确的是(　　)‎ A．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2 B．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2 C．小球能从细管A端水平抛出的条件是H>2R D．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝R 解析　要使小球从A点水平抛出，则小球到达A点时的速度v>0，根据机械能守恒定律，有mgH－mg·2R＝mv2，所以H>2R，故选项C正确，选项D错误；小球从A点水平抛出时的速度v＝，小球离开A点后做平抛运动，则有2R＝gt2，水平位移x＝vt，联立以上各式可得水平位移x＝2 ，选项A错误，选项B正确。‎ 答案　BC 核心微讲 ‎1．对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。‎ ‎2．注意寻找用绳或杆连接的物体间的速度关系和位移关系。‎ ‎3．列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp的形式。‎ 典例微探 ‎【例2】　(多选)如图所示，在倾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为‎1 kg和‎2 kg的可视为质点的小球A和B，两球之间用一根长L＝‎0.2 m的轻杆相连，小球B距水平面的高度h＝‎0.1 m。两球从静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取‎10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)‎ A．下滑的整个过程中A球机械能守恒 B．下滑的整个过程中两球组成的系统机械能守恒 C．两球在光滑水平面上运动时的速度大小为‎2 m/s D．下滑的整个过程中B球机械能的增加量为 J 解题导思：‎ ‎(1)以A、B整体为研究对象，机械能守恒吗？‎ 答：机械能守恒。‎ ‎(2)以A或B为研究对象，其机械能守恒吗？‎ 答：不守恒。‎ ‎　解析　当小球A在斜面上、小球B在平面上时杆分别对A、B做功，因此下滑的整个过程中A球机械能不守恒，而两球组成的系统机械能守恒，A错误，B正确；从开始下滑到两球在光滑水平面上运动，利用机械能守恒定律可得：mAg(Lsin30°＋h)＋mBgh＝(mA＋mB)v2，解得v＝ m/s，C错误；下滑的整个过程中B球机械能的增加量为ΔE＝mBv2－mBgh＝ J，D正确。‎ 答案　BD 题组微练 ‎3－1.如图所示，把小车放在光滑的水平桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有沙子的小桶相连，已知小车的质量为M，小桶与沙子的总质量为m，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h的过程中，若不计滑轮及空气的阻力，下列说法正确的是(　　)‎ A．m处于完全失重状态 B．轻绳对小车的拉力等于mg C．小桶获得的动能为 D．运动中小车的机械能增加，M和m组成系统机械能不守恒 解析　小车从静止释放后，以m为研究对象，有mg－FT＝ma，以M为研究对象，有FT＝Ma，解得a＝、FT＝，选项A、B错误；由v2＝2ah及Ek＝mv2可知，下落h的过程中小车获得的动能为Ek＝mah＝，选项C正确；因为不计滑轮及空气阻力且水平桌面光滑，所以运动过程中无机械能损失，故M和m组成的系统机械能守恒，选项D错误。‎ 答案　C ‎3－2.(多选)如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g，则(　　)‎ A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 解析　设某一时刻a、b速度分别为va、vb，则vacosθ＝vbsinθ。当a落到地面时，θ＝90°，cosθ＝0，故vb为0，可知a下落过程中b先加速后减速，轻杆对b先做正功后做负功，A错误。轻杆对a的力先为支持力后为拉力，故a的加速度先小于g后大于g，C错误。由于a、b系统只有重力做功，故a、b机械能守恒，a落地时b速度为零，由机械能守恒定律得mgh＝mv，得va＝，B正确。当a机械能最小时，b的机械能最大，即动能最大，此时F杆＝0，故FN＝mg，D正确。‎ 答案　BD 与弹簧有关的机械能守恒问题 核心微讲 对两个(或两个以上)物体与弹簧组成的系统在相互作用的过程中，在能量方面，由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。若还有其他外力和内力做功，这些力做功之和等于系统机械能改变量。做功之和为正，系统总机械能增加，反之减少。在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。如系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。‎ 母题导航 ‎【母题】(2016·全国卷Ⅱ)轻质弹簧原长为‎2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为‎5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为‎5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动。重力加速度大小为g。‎ ‎(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；‎ ‎(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。‎ 解析　(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为‎5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能Ep＝5mgl　①‎ 设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得 Ep＝Mv＋μMg·‎4l　②‎ 联立①②式，取M＝m并代入题给数据得 vB＝　③‎ 若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P 此时的速度大小v应满足 －mg≥0　④‎ 设P滑到D点时的速度为vD，由机械能守恒定律得 mv＝mv＋mg·‎2l　 ⑤‎ 联立③⑤式得vD＝　 ⑥‎ vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出。设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得‎2l＝gt2　⑦‎ P落回到AB上的位置与B点之间的距离为 s＝vDt　 ⑧‎ 联立⑥⑦⑧式得s＝‎2l　 ⑨‎ ‎(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零。由①②式可知5mgl>μMg·‎4l　 ⑩‎ 要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道上的上升高度不能超过半圆轨道的中点C。由机械能守恒定律有 Mv≤Mgl　 ⑪‎ 联立①②⑩⑪式得 m≤M，小球就能做完整的圆周运动 D．只要小球能做完整圆周运动，则小球与轨道间的最大压力与最小压力之差与v0无关 解析　因弹簧的劲度系数为k＝，原长为L＝2R，所以小球始终会受到弹簧的弹力作用，大小为F＝k(L－R)＝kR＝mg，方向始终背离圆心，无论小球在CD以上的哪个位置速度为零，重力在沿半径方向上的分量都小于等于弹簧的弹力(在CD以下，轨道对小球一定有指向圆心的支持力)，所以无论v0多大，小球均不会离开圆轨道，选项A正确，选项B错误；小球在运动过程中只有重力做功，弹簧的弹力和轨道的支持力不做功，机械能守恒，当运动到最高点速度为零，在最低点的速度最小，有：mv＝2mgR，解得：v0＝2，所以只要v0＞2，小球就能做完整的圆周运动，选项C正确；在最低点时，设小球受到的支持力为N，有：‎ N－kR－mg＝，解得：‎ N＝2mg＋m　①‎ 运动到最高点时受到轨道的支持力最小，设为N′，设此时的速度为v，由机械能守恒有：‎ mv＝2mgR＋mv2　②‎ 此时合外力提供向心力，有：‎ N′－kR＋mg＝m　③‎ 联立②③解得：N′＝m－4mg　④‎ 联立①④得压力差为：ΔN＝6mg，与初速度无关，选项D正确。‎ 答案　ACD ‎1. (多选)如图所示，A物体用板托着，细绳跨过轻质光滑定滑轮与A、B相连，绳处于绷直状态，已知A、B的质量分别为‎2m和m。现将板抽走，则A下落一段距离的过程中(　　)‎ A．A物体减少的机械能大于B物体增加的机械能 B．A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能 C．悬挂滑轮的绳子对天花板的拉力大于3mg D．悬挂滑轮的绳子对天花板的拉力小于3mg 解析　对A、B组成的系统，没有机械能与其他形式能的转化，因此系统的机械能守恒，A物体减少的机械能等于B物体增加的机械能，A错误，B正确；对滑轮受力分析，根据平衡条件得F＝‎2FT，对A、B整体受力分析，根据牛顿第二定律得2mg－mg＝3ma，对B物体受力分析得FT－mg＝ma，联立得F＝‎2FT＝mg，C错误，D正确。‎ 答案　BD ‎2.(2017·清江月考)(多选)如图所示，光滑半球的半径为R，球心为O，固定在水平面上，其上方有一个光滑曲面轨道AB，高度为。轨道底端水平并与半球顶端相切，质量为m的小球由A点静止滑下，最后落在水平面上的C点，重力加速度为g，则(　　)‎ A．小球将沿半球表面做一段圆周运动后跑至C点 B．小球将从B点开始做平抛运动到达C点 C．OC之间的距离为2R D．小球运动到C点的速率为 解析　小球从A到B的过程中，根据机械能守恒可得：mg·＝mv2－0，解得v＝ ‎，而在B点，当重力完全充当向心力时，根据mg＝m，解得vB＝，故当小球到达B点时，重力恰好完全充当向心力，所以小球从B点开始做平抛运动到达C，A错误B正确；根据平抛运动规律，水平方向上x＝vBt，竖直方向上R＝gt2，解得x＝R，C错误；对整个过程机械能守恒，故有mgR＝mv，解得vC＝，D正确。‎ 答案　BD ‎3.如图所示，轻绳的一端固定在O点，另一端系一质量为m的小球(可视为质点)。当小球在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动时，通过传感器测得轻绳拉力T、轻绳与竖直线OP的夹角θ满足关系式T＝a＋bcosθ，式中a、b为常数。若不计空气阻力，则当地的重力加速度为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　在最高点时：设此时物体的速度为v1，由题意可知：θ＝180°，绳的拉力T1＝a－b；‎ 根据向心力公式有：mg＋a－b＝ 在最低点时：设此时物体的速度为v2，由题意可知：‎ θ＝0°，绳的拉力T2＝a＋b；‎ 根据向心力公式有：a＋b－mg＝ 只有重力做功，由机械能守恒定律：‎ mv＝mv＋mg(2r)‎ 解得：g＝，所以D正确。‎ 答案　D ‎4.如图所示，一直角斜面体固定在水平地面上，左侧斜面倾角为60°，右侧斜面倾角为30°，A、B两个物体分别系于一根跨过定滑轮的轻绳两端且分别置于斜面上，两物体下边缘位于同一高度且处于平衡状态，不考虑所有的摩擦，滑轮两边的轻绳都平行于斜面。若剪断轻绳，让物体从静止开始沿斜面滑下，下列叙述错误的是(　　)‎ A．着地瞬间两物体的速度大小相等 B．着地瞬间两物体的机械能相等 C．着地瞬间两物体所受重力的功率相等 D．两物体的质量之比为mA∶mB＝1∶ 解析　根据初始时刻两物体处于平衡状态，由平衡条件可知，mAgsin60°＝mBgsin30°，由此可得，两物体的质量之比为mA∶mB＝1∶；由机械能守恒定律可知，着地瞬间两物体的速度大小相等，选项A、D叙述正确；着地瞬间，A物体重力功率PA＝mAgvsin60°，B物体重力功率PB＝mBgvsin30°，两物体所受重力的功率相等，选项C叙述正确；由于两物体质量不等，初始状态两物体的机械能不等，所以着地瞬间两物体的机械能不相等，选项B叙述错误。‎ 答案　B