2020版高考物理一轮总复习第十章 第3课时 匀强磁场中的临界、极值和多解问题（能力课时 ）

2020版高考物理一轮总复习第十章 第3课时 匀强磁场中的临界、极值和多解问题（能力课时 ）

匀强磁场中的临界、极值和多解问题 ‎[基础巩固题组](20分钟，50分)‎ ‎1．如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向(均平行于纸面)且速度大小相等的带正电的粒子(重力不计)，已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr.则粒子在磁场中运动的最长时间为(　　)‎ A.　　　　　　　　 B． C. D． 解析：选C.粒子在磁场中运动的半径为R＝＝＝2r；当粒子在磁场中运动时间最长时，其轨迹对应的圆心角最大，此时弦长最大，其最大值为磁场圆的直径2r，故t＝＝＝，故选项C正确．‎ ‎2．如图所示，在边长为‎2a的正三角形区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场．一个质量为m、电荷量为－q的带电粒子(重力不计)从AB边的中心O以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与AB边的夹角为60°，若要使粒子能从AC边穿出磁场，则匀强磁场的大小B需满足(　　)‎ A．B> B．B< C．B> D．B< 解析：选B.若粒子刚好达到C点时，其运动轨迹与AC相切，如图所示，则粒子运动的半径为r0＝＝a.由r＝得，粒子要能从AC边射出，粒子运行的半径应满足r>r0，解得B<，选项B正确．‎ ‎3．如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a 的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为(　　)‎ A.　 B．　 C.　 D．　 解析：选C.粒子在磁场中运动轨迹如图所示，则由图知斜向上射入时有rsin θ＝a，斜向下射入时有rsin θ＋a＝r，联立求得θ＝30°，且r＝‎2a，由洛伦兹力提供向心力得Bqv＝m，解得r＝，即粒子的比荷为＝，所以粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的圆心角为α＝2×(90°－30°)＝120°，运动时间为t＝＝，选项C正确．‎ ‎4．如图所示，中轴线PQ将矩形区域MNDC分成上下两部分，上部分充满垂直于纸面向外的匀强磁场，下部分充满垂直于纸面向内的匀强磁场，磁感应强度大小均为B.一质量为m、带电荷量为q的带正电粒子从P点进入磁场，速度与边MC的夹角θ＝30°.MC边长为a，MN边长为‎8a，不计粒子重力．求：‎ ‎(1)若要该粒子不从MN边射出磁场，其速度最大值是多少？‎ ‎(2)若要该粒子恰从Q点射出磁场，其在磁场中的运行时间最短是多少？‎ 解析：(1)设该粒子恰好不从MN边射出磁场时的轨迹半径为r，则由几何关系得 rcos 60°＝r－，‎ 解得r＝a 又由qvB＝m，‎ 解得最大速度为vmax＝.‎ ‎(2)粒子每经过分界线PQ一次，在PQ方向前进的位移为轨迹半径R的倍．‎ 设粒子进入磁场后第n次经过PQ线时恰好到达Q点 有n×R＝‎8a，且R＝4.62‎ n所能取的最小自然数为5‎ 粒子做圆周运动的周期为T＝ 粒子每经过PQ分界线一次用去的时间为 t＝T＝ 粒子到达Q点的最短时间为tmin＝5t＝.‎ 答案：(1)　(2) ‎5．如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m、带电量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行．‎ ‎(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A点，则初速度的大小是多少？‎ ‎(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？‎ 解析：(1)如图甲所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R1，则由几何关系得R1＝ 又qv1B＝m 得v1＝.‎ ‎(2)如图乙所示，设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R2，‎ 则由几何关系有(2r－R2)2＝R＋r2‎ 可得R2＝，又qv2B＝m，可得v2＝ 故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过.‎ 答案：(1)　(2) ‎[能力提升题组](25分钟，50分)‎ ‎1．(多选)如图所示，直角三角形ABC区域中存在一匀强磁场，比荷相同的两个粒子(不计重力)沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，则(　　)‎ A．从P点射出的粒子速度大 B．从Q点射出的粒子向心加速度大 C．从P点射出的粒子角速度大 D．两个粒子在磁场中运动的时间一样长 解析：选BD.粒子的运动轨迹如图所示，粒子在磁场中做圆周运动，分别从P点和Q点射出，洛伦兹力提供向心力：qvB＝m，轨迹半径r＝，两粒子比荷相等，rP＜rQ，所以vP＜vQ，故A错误；向心加速度a＝＝，vP＜vQ，所以aP＜aQ，故B正确；粒子在磁场中圆周运动的周期T＝＝，角速度ω＝＝，两粒子比荷相等，所以周期相等、角速度相等，故C错误；根据几何关系可知，粒子在磁场中偏转的圆心角相等，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝，所以粒子在磁场中运动的时间相等，故D正确．‎ ‎2．(多选)如图所示，空间存在一个半径为R0的圆形匀强磁场区域，磁场的方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小为B.有一个粒子源在纸面内沿各个方向以一定速率发射大量粒子，粒子的质量为m、电荷量为＋q.将粒子源置于圆心，则所有粒子刚好都不离开磁场，不考虑粒子之间的相互作用．由此可知(　　)‎ A．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径一定是R0‎ B．带电粒子在磁场中运动的速率一定是 C．带电粒子在磁场中运动的周期一定是 D．带电粒子的动能一定是 解析：选BD.带电粒子刚好不离开磁场，则粒子轨迹一定和磁场边界内切，则轨迹半径 r＝R0，再根据r＝，得v＝，选项B正确，A错误；再根据Ek＝mv2＝，选项D正确；运动的周期T＝，选项C错误．‎ ‎3．(多选)如图所示，a、b、c是三个面积相等的圆形匀强磁场区域，图中的虚线MN过三个圆的圆心，该虚线与水平方向的夹角为45°.一个重力不计的带电粒子从a磁场区域的M点以初速度v0竖直向上射入磁场，运动轨迹如图，最后粒子从c磁场区域的N点离开磁场．已知粒子的质量为m，电荷量为q，三个区域内匀强磁场的磁感应强度大小均为B.则(　　)‎ A．a和c两个磁场区域内磁场的方向均垂直于纸面向里，b磁场区域内磁场的方向垂直于纸面向外 B．粒子在N点的速度方向水平向左 C．粒子从M点运动到N点所用的时间为 D．粒子从M点运动到N点所用的时间为 解析：选BC.带电粒子的电性未知，所以无法判断磁场的方向，A错误；根据几何关系，粒子在N点的速度方向水平向左，B正确；粒子从M点运动到N点的时间为四分之三个周期，由Bvq＝和T＝，可得周期T＝，所以运动的时间t＝T＝，C正确，D错误．‎ ‎4．(多选)如图，xOy平面的一、二、三象限内存在垂直纸面向外，磁感应强度B＝1 T的匀强磁场，ON为处于y轴负方向的弹性绝缘薄挡板，长度为‎9 m，M点为x轴正方向上一点，OM＝‎3 m，现有一个比荷大小为＝‎1.0 C/kg，可视为质点的带正电小球(重力不计)，从挡板下端N处小孔以不同的速度向x轴负方向射入磁场，若与挡板相碰后以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电荷量不变，小球最后都能经过M点，则小球射入的速度大小可能是(　　)‎ A．‎3 m/s B．‎3.75 m/s C．‎4 m/s D．‎5 m/s 解析：选ABD.由题意，小球运动的圆心的位置一定在y轴上，所以小球做圆周运动的半径r一定要大于等于‎3 m，而ON＝‎9 m<3r，所以小球最多与挡板ON 碰撞一次，碰撞后，第二个圆心的位置在O点的上方，也可能小球与挡板ON没有碰撞，直接过M点．由于洛伦兹力提供向心力，所以qvB＝m，得v＝Br　①；若小球与挡板ON碰撞一次，则轨迹可能如图1，设OO′＝s，由几何关系得r2＝OM2＋s2＝9＋s2　②，3r－9＝s　③，联立②③得r1＝‎3 m；r2＝‎3.75 m，分别代入①得v1＝·Br1＝1×1×‎3 m/s＝‎3 m/s，v2＝Br2＝1×1×‎3.75 m/s＝‎3.75 m/s，若小球没有与挡板ON碰撞，则轨迹如图2，设OO′＝x，由几何关系得r＝OM2＋x2＝9＋x2　④，x＝9－r3　⑤，联立④⑤得r3＝‎5 m，代入①得：v3＝Br3＝1×1×‎5 m/s＝‎5 m/s，A、B、D正确．‎ ‎5．如图所示，内圆半径为r、外圆半径为3r的圆环区域内有垂直纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场．圆环左侧的平行板电容器两板间电压为U，靠近M板处静止释放质量为m、电荷量为q的正离子，经过电场加速后从N板小孔射出，并沿圆环直径方向射入磁场，不计离子的重力，忽略平行板外的电场．求：‎ ‎(1)离子从N板小孔射出时的速率；‎ ‎(2)离子在磁场中做圆周运动的周期；‎ ‎(3)要使离子不进入小圆区域，电压U的取值范围．‎ 解析：(1)设离子射入匀强磁场时的速率为v，由动能定理得qU＝mv2，解得v＝ .‎ ‎(2)设离子在磁场中做圆周运动的半径为R，离子所受洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律可得qvB＝m，‎ 运动周期T＝，联立解得T＝.‎ ‎(3)若离子恰好不进入小圆区域，设离子与小圆相切时轨道半径为R0，此时轨迹如图所示．‎ 由几何关系得R＋(3r)2＝(R0＋r)2，解得R0＝4r.‎ 需满足的条件为R≤R0，又qvB＝m，qU＝mv2.联立解得U≤.‎ 答案：(1) 　(2)　(3)U≤ ‎6．如图所示，在半径为R＝的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点P有一速度为v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m，电荷量为q，粒子重力不计．‎ ‎(1)若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；‎ ‎(2)若粒子对准圆心射入，且速率为v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；‎ ‎(3)若粒子以速度v0从P点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上．‎ 解析：(1)设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为r，由牛顿第二定律得Bqv0＝m r＝R 带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为，如图甲所示，则 t＝＝ ‎(2)由(1)知，当v＝v0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为R，其运动轨迹如图乙所示，‎ 由几何关系可知∠PO2O＝∠OO2J＝30°，所以带电粒子离开磁场时偏转角为60°.v⊥＝‎ vsin 60°＝v0‎ ‎(3)由(1)知，当带电粒子以v0射入时，带电粒子在磁场中的运动轨道半径为R.设粒子射入方向与PO方向之间的夹角为θ，带电粒子从区域边界S射出，带电粒子的运动轨迹如图丙所示．‎ 因PO3＝O3S＝PO＝SO＝R 所以四边形POSO3为菱形 由图可知PO∥O3S，v0′⊥SO3，故v0′⊥PO 因此，带电粒子射出磁场时的方向为水平方向，与入射的方向无关．‎ 答案：(1)　(2)v0　(3)见解析